湖北省武漢市重點(diǎn)中學(xué)5G聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)一、單選題1．已知某質(zhì)點(diǎn)位移與時(shí)間滿足函數(shù)，則質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A．2 B．2.5 C．4 D．4.52．?dāng)?shù)列滿足（），且，，則（

）A． B．9 C． D．73．參加實(shí)踐活動(dòng)的2名教師和A，B，C，D，4名志愿者站成一排合影留念，其中教師不站在兩端且不相鄰，且A、B相鄰的方法有（

）種A．20 B．12 C．36 D．244．已知，則（

）A． B．C． D．5．已知某家族有A、B兩種遺傳性狀，該家族某位成員出現(xiàn)A性狀的概率為，出現(xiàn)B性狀的概率為，A、B兩種遺傳性狀都不出現(xiàn)的概率為.則該成員在出現(xiàn)A性狀的條件下，出現(xiàn)B性狀的概率為（

）A． B． C． D．6．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則的值為（

）A．8 B．10 C．9 D．67．在送教下鄉(xiāng)活動(dòng)中，某學(xué)校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老師到3所鄉(xiāng)學(xué)校工作，每所學(xué)校至少安排一名老師，且甲、乙、丙三名老師不同時(shí)安排在同一學(xué)校，則不同的分配方法總數(shù)為（

）A．36 B．72 C．144 D．1088．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x都有，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．10．甲、乙兩個(gè)口袋各裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，把從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球放入對方口袋中稱為一次操作，重復(fù)n次操作后，甲口袋中恰有0個(gè)紅球，1個(gè)紅球，2個(gè)紅球分別記為事件，，，則（

）A． B．C． D．11．對于，，…，的全部排列，定義Euler數(shù)（其中，，1，…，n）表示其中恰有次升高的排列的個(gè)數(shù)（注：次升高是指在排列中有k處，，…，）.例如：1，2，3的排列共有：123，132，213，231，312，321六個(gè)，恰有1處升高的排列有如下四個(gè)：132，213，231，312，因此：.則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．三、填空題12．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.13．某學(xué)校有A，B兩家餐廳，張同學(xué)第一天午餐隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.6.則張同學(xué)第二天去B餐廳用餐的概率為.14．對任意，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.四、解答題15．已知函數(shù)，其中.(1)若在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值.16．已知，且.(1)求的值；(2)若時(shí)，求被4整除的余數(shù).17．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．已知函數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若，（其中）滿足，求證：.19．已知函數(shù).(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若不等式對任意都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.題號12345678910答案CBDADACBBCDBCD題號11答案AC1．C根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出瞬時(shí)速度.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：C2．B根據(jù)等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合通項(xiàng)公式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以等差?shù)列，設(shè)公差為，所以，即得，所以，所以，則.故選：B.3．D首先將、捆綁作為一組，與、排列，再將名教師插入中間的個(gè)空中，利用排列數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】首先將、捆綁作為一組，與、排列，則有種排法，再將名教師插入中間的個(gè)空中，則有種排法，綜上可得一共有種排法.故選：D4．A先求導(dǎo)，計(jì)算，最后計(jì)算即可.【詳解】由有，所以，所以，故選：A.5．D設(shè)該家族某位成員出現(xiàn)A性狀為事件，出現(xiàn)B性狀為事件，先計(jì)算，由計(jì)算，最后由即可計(jì)算.【詳解】設(shè)該家族某位成員出現(xiàn)A性狀為事件，出現(xiàn)B性狀為事件，則有，所以，又,所以，所以，故選：D.6．A根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算和性質(zhì)即可求解.【詳解】由可知等比數(shù)列的公比不為1，故，，又，所以，故，則，故選：A7．C考慮間接法求解,求出甲、乙、丙、丁、戊五名老師到3所鄉(xiāng)學(xué)校工作，每所學(xué)校至少安排一名老師的方法種數(shù)，減去每所學(xué)校至少安排一名老師且甲、乙、丙三名老師同時(shí)安排在同一學(xué)校的方法種數(shù)，利用排列組合數(shù)公式計(jì)算即得.【詳解】根據(jù)題意，考慮間接法求解，即求出甲、乙、丙、丁、戊五名老師到3所鄉(xiāng)學(xué)校工作，每所學(xué)校至少安排一名老師的方法種數(shù)，減去每所學(xué)校至少安排一名老師且甲、乙、丙三名老師同時(shí)安排在同一學(xué)校的方法種數(shù)即可.將甲、乙、丙、丁、戊五名老師到3所鄉(xiāng)學(xué)校工作，每所學(xué)校至少安排一名老師，可分為兩種情況，其一：按照“221”分組，有種方法；其二：按照“113”分組，有種方法.而每所學(xué)校至少安排一名老師且甲、乙、丙三名老師同時(shí)安排在同一學(xué)校的方法有種.故不同的分配方法總數(shù)為種.故選：C.8．B由條件可得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及求出函數(shù)的解析式，解不等式可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以可設(shè)，即，又，所以，故，所以不等式可化為，故，所以，所以不等式的解集為.故選：B.9．BCD根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：BCD.10．BCD對于A操作一次后甲袋中有1個(gè)紅球，則有兩種情況，第一種相互交換了1個(gè)紅球，第二種情況都只是交換了1個(gè)白球，即可計(jì)算，對于B操作兩次后甲袋中有0個(gè)紅球，即可求，對于C由表示操作3次后甲袋有兩個(gè)紅球，所以后面兩次操作乙袋中的紅球要交換到甲袋，即可計(jì)算，對于D由條件概率公式即可計(jì)算.【詳解】對于A：操作一次后甲袋中有1個(gè)紅球，則有兩種情況，第一種相互交換了1個(gè)紅球，第二種情況都只是交換了1個(gè)白球，所以，故A錯(cuò)誤；對于B：操作兩次后甲袋中有0個(gè)紅球，則第一種情況：第一次操作甲袋中1個(gè)紅球換乙袋中的1個(gè)白球，第二次操作甲袋的一個(gè)白球換乙袋中的1個(gè)白球，第二種情況，第一次操作甲袋中1個(gè)紅球換乙袋中的1個(gè)紅球，第二次操作甲袋的紅球換乙袋中的1個(gè)白球，第三種情況：第一次操作甲袋中1個(gè)白球換乙袋中的一個(gè)白球，第二次操作甲袋中的紅球換乙袋中一個(gè)白球，所以，故B正確；對于C：表示第一次操作甲袋中有0個(gè)紅球，則，表示操作3次后甲袋有兩個(gè)紅球，所以后面兩次操作乙袋中的紅球要交換到甲袋，則，故C正確；對于D：，表示第一次甲袋1個(gè)紅球交換乙袋中的1個(gè)白球，第二次甲袋中1個(gè)白球交換乙袋中1個(gè)紅球，則，所以，故D正確，故選：BCD.11．AC按的定義計(jì)算，判斷，；根據(jù)的定義，舉反例判斷，.【詳解】選項(xiàng)A，將、、、全部排列，恰有1次升高的排列為，1排首位時(shí)，共有1432，共1個(gè)排列符合恰有1次升高；2排首位時(shí)，共有2431，2143，共2個(gè)排列符合恰有1次升高；3排首位時(shí)，共有3142，3214，3241，3421共4個(gè)排列符合恰有1次升高；4排首位時(shí)，共有4132，4213，4231，4312共4個(gè)排列符合恰有1次升高；故，故正確；選項(xiàng)，將、、、全部排列，恰有2次升高，排列個(gè)數(shù)可以如下考慮：1排首位時(shí)，共有1324，1423，1342，1243共4個(gè)排列符合恰有2次升高；2排首位時(shí)，共有2134，2341，2314，2413共4個(gè)排列符合恰有2次升高；3排首位時(shí)，共有3124，3412共2個(gè)排列符合恰有2次升高；4排首位時(shí)，共有4123共1個(gè)排列符合恰有2次升高；故，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，舉例當(dāng)，，，當(dāng)由選項(xiàng)、知，，該對稱性普遍成立，故.故C正確；選項(xiàng)D，不妨取，則，而，，則，即，故，故D錯(cuò)誤；故選：.12．由二項(xiàng)式定理得出含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，由得，則含的項(xiàng)為，系數(shù)為故答案為：13．令事件表示第天去餐廳，事件表示第天去餐廳，，由全概率公式先求，由即可求解.【詳解】令事件表示第天去餐廳，事件表示第天去餐廳，，則，，由全概率公式有，所以，故答案為：.14．根據(jù)題意，得到，令，則，其中求得恒成立，得到在遞增，轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，令，得到在為單調(diào)遞增函數(shù)，得到，得到，即可求解.【詳解】由不等式，可得，即，令，則，其中又由恒成立，則在單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，令，可得，所以在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，所以，又因?yàn)椋?，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15．(1)(2)，（1）先求導(dǎo)，計(jì)算，由切線與直線垂直即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，∴，由題意知，∴.（2）當(dāng)時(shí)，∴，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，又，，∴，∴，∴.16．(1)(2)3（1）根據(jù)已知組合數(shù)及排列數(shù)計(jì)算得出，再求導(dǎo)函數(shù)結(jié)合賦值法求值；（2）應(yīng)用二項(xiàng)式計(jì)算得出余數(shù).【詳解】（1）∵，∴，∴又∵，∴，∴.兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)∴，令，∴.（2）時(shí)，，∴被4整除的余數(shù)為3.17．(1)證明見解析(2)（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即證明；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，又，∴，∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，則，，∴，∴，∴.18．(1)極大值，無極小值(2)(3)證明見解析（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而得出極值；（2）把的根轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)求解；（3）由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性即可推理得證.【詳解】（1）時(shí)，的定義域?yàn)?，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，極大值，無極小值.（2）有兩個(gè)不等實(shí)根，∴有兩個(gè)不等實(shí)根，即（），設(shè)，∴，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，，∴.（3）當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又且，∴要證，即證，即證，即證，設(shè)（），，∴在單調(diào)遞增，又，∴，又，∴，∴.19．(1)0(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減