第23講

矩形

目錄CONTENTS123課標(biāo)要求

作業(yè)目標(biāo)教材整合·核心歸納重點精講·變式探究課標(biāo)要求作業(yè)目標(biāo)

01第五單元

第23講課標(biāo)要求作業(yè)目標(biāo)矩形1.理解矩形的概念.2.探索并證明矩形的性質(zhì)定理:矩形的四個角都是直角，對角線相等.3.探索并證明矩形的判定定理:三個角是直角的四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形.掌握矩形的概念及性質(zhì)定理，并能運用它們解決幾何證明問題和生活應(yīng)用問題掌握直角三角形的性質(zhì)：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，并能運用它解決幾何證明問題和簡單的實際問題掌握矩形的判定定理，并能運用它們解決幾何證明問題和簡單的實際問題會分析矩形和平行四邊形之間的區(qū)別和聯(lián)系，進一步認(rèn)識一般與特殊的關(guān)系在綜合的實際問題情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，建立形數(shù)之間的聯(lián)系要求與目標(biāo)教材整合核心歸納

02第五單元

第23講2.

操作1：同P87操作1，如圖①，兩個三角形滿足形狀

為

三角形，即∠B＝∠D＝

°，則四邊形

ABCD為矩形；操作2：同P87操作2，如圖②，兩根木棒滿足

條件AC

BD，則四邊形ABCD為矩形.48

直角90

＝

第2題圖1.

已知矩形的一邊長為6cm，一條對角線的長為10cm，則矩形的面積為

cm2.

矩形四個角都是直角；對角線相等定義平行四邊形?

矩形?性質(zhì)特殊的平行四邊形：矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；角：四個角都是直角，即∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝

；

對角線：對角線互相平分且相等，即AC＝BD，OA＝OC＝

＝

?；對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有兩條對稱軸90°

OB

OD

面積面積：S＝

(a，b分別表示矩形的長和寬)教材典型應(yīng)用如右圖，已知點P為矩形邊AD上任意一點，PE⊥AC，PF⊥BD，則連接PO，根據(jù)面積法可得出PE＋PF是一個定值.見P92T10

ab

考點?矩形的性質(zhì)【省卷T26，長沙T23】考點清單判定判定方法幾何語言有一個角是直角的平行四邊形∵∠CDA＝

°，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形對角線相等的平

行四邊形∵AC

BD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形有三個角是直角

的四邊形∵∠CDA＝∠DAB＝∠ABC＝

°，∴四邊形ABCD是矩形90

＝

90

考點?矩形的判定考點清單重難精講變式探究

03第五單元

第23講例改編問題鏈如下圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，已知AB＝4.(1)若△AOB是等邊三角形.①求證：?ABCD是矩形；②求AD的長；①證明：∵△AOB為等邊三角形，∴OA＝OB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BD＝AC.

∴?ABCD是矩形.②解：∵?ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.∵△AOB為等邊三角形，∴∠ABO＝60°.∴∠ADB＝90°－60°＝30°.

OA＝OBAC＝BDAD＝ABtan60°(2)【逆向設(shè)問】若∠BAD＝90°，∠ABD＝60°，求△AOB

的周長.例改編問題鏈如下圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，已知AB＝4.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∠BAD＝90°，

又∵∠ABO＝60°，∴△AOB為等邊三角形.∴△AOB的周長為12.?ABCD是矩形OA＝OB△AOB為等邊三角形△AOB的周長為121.

(2024·成都)如下圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交

于點O，則下列結(jié)論一定正確的是(

C

)A.

AB＝ADB.

AC⊥BDC.

AC＝BDD.

∠ACB＝∠ACD第1題圖C2.

(2024·吉林)如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為

(－4，0)，點C的坐標(biāo)為(0，2).以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC.

若將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA'B'C'，

則點B'的坐標(biāo)為(

C

)A.(－4，－2)B.(－4，2)C.(2，4)D.(4，2)第2題圖C(－4，2)－42(2，4)3.

(2023·湘西州)如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，點F是AE的中點，AB＝8，AD＝DE＝10，則BF的長為

?.

8101010684

BE＝4

4.

如下圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B的對應(yīng)點為

點E，AE與CD交于點F.

求證：△DAF≌△ECF.

第4題圖證明：將矩形ABCD沿對角線AC折疊，則AD＝BC＝EC，∠D＝∠B＝∠E＝90°.在△DAF和△ECF中，

∴△DAF≌△ECF(AAS).5.

要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是

(

C

)A.

測量兩條對角線是否相等B.

度量兩個角是否是90°C.

測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等D.

測量兩組對邊是否分別相等C6.

(2023·岳陽)如下圖，點M在?ABCD的邊AD上，BM＝CM，請從以下三個選項中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，選擇一個合適的選項作為已知條件，使?ABCD為矩形.第6題圖(1)你添加的條件是

(填序號)；①(或②)

(2)添加條件后，請證明?ABCD為矩形.添加條件①.添加條件①.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＋∠D＝180°.

∴△ABM≌△DCM(SAS).∴∠A＝∠D.

∴∠A＝∠D＝90°.∴?ABCD為矩形.(選②證明也可)易得△ABM≌△DCM(SAS)∠A＝∠D＝90°∠A＋∠D＝180°AB＝DC∴AB∥DC，AB＝DC.

?ABCD為矩形易得△ABM≌△DCM(SSS)7.

(2024·蘭州)如下圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，

CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.

(1)求證：四邊形ADCE是矩形；第7題圖證明：∵在△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°.∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°.∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°.∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°.∴四邊形ADCE是矩形.三線合一∠ADB＝∠ADC＝90°∠ECD＝∠ADB＝90°∠EAD＝90°四邊形ADCE是矩形(2)若BC＝4，CE＝3，求EF的長.7.

(2024·蘭州)如下圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.

解：∵在△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，BC＝4，

由(1)可知四邊形ADCE是矩形，∴AE＝CD＝2，∠AEC＝90°.在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3，

∵EF⊥AC，由三角形的面積公式得

3322面積法

2

8.

如下圖，矩形ABCD中，AB＝2，點E是AC的中點，

∠AED＝120°，則AD的長為(

A

)B.4D.5第8題圖A9.

矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點F在矩形

ABCD的邊上，連接OF.

若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，

則∠AOF的度數(shù)為

?.10.

【面積法】如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，點P是AD邊上任意一點，PE⊥AC，PF⊥BD，點E，

F分別是垂足，則PE＋PF的長為

?.46°或106°

第10題圖11.

(2024·長沙)如下圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交

于點O，∠ABC＝90°.(1)求證：AC＝BD；(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形.∴AC＝BD.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形.∴AC＝BD.

解：如圖，作OH⊥BC于點H，則∠OHE＝∠OHC＝90°.∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，

∵∠CEO＝∠COE，