...wd......wd......wd...2016年北京市朝陽區(qū)高三二模理科數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題〔共8小題〕1．集合，，則＝〔

〕A．B．C．D．2．復(fù)數(shù)〔為虛數(shù)單位〕在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于〔

〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．執(zhí)行如以以下列圖的程序框圖，輸出的值為〔

〕A．6B．10C．14D．154．非零向量，，“〞是“〞的〔

〕A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．同時具有性質(zhì):“①最小正周期是；②圖象關(guān)于直線對稱；③在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)〞的一個函數(shù)可以是〔

〕A．B．C．D．6．函數(shù)且的最大值為，則的取值范圍是〔

〕A．B．C．D．7．某學(xué)校高三年級有兩個文科班，四個理科班，現(xiàn)每個班指定1人，對各班的衛(wèi)生進(jìn)展檢查．假設(shè)每班只安排一人檢查，且文科班學(xué)生不檢查文科班，理科班學(xué)生不檢查自己所在的班，則不同安排方法的種數(shù)是〔

〕A．B．C．D．8．正方體的棱長為2，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體內(nèi)部或正方體的外表上，且∥平面，則動點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積是〔

〕A．B．C．D．二、填空題〔共6小題〕9.雙曲線的漸近線方程是；假設(shè)拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個焦點(diǎn)重合，則______．10.如圖，為⊙外一點(diǎn)，是⊙的切線，為切點(diǎn)，割線與⊙相交于兩點(diǎn)，且，為線段的中點(diǎn)，的延長線交⊙于點(diǎn)．假設(shè)，則的長為______；的值是________．11.等邊的邊長為3，是邊上一點(diǎn)，假設(shè)，則的值是______．12.關(guān)于的不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切螀^(qū)域，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．13.為了響應(yīng)政府推進(jìn)“菜籃子〞工程建設(shè)的號召，某經(jīng)銷商投資60萬元建了一個蔬菜生產(chǎn)基地.第一年支出各種費(fèi)用8萬元，以后每年支出的費(fèi)用比上一年多2萬元.每年銷售蔬菜的收入為26萬元.設(shè)表示前年的純利潤〔=前年的總收入－前年的總費(fèi)用支出－投資額〕，則_____〔用表示〕；從第_____年開場盈利.14.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)，曲線上的動點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)，構(gòu)成等腰直角三角形，且，則線段長的最大值是_____．三、解答題〔共6小題〕15.在中，角，，的對邊分別是，，，，．(Ⅰ)求的值；〔Ⅱ)假設(shè)角為銳角，求的值及的面積．16.交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映某區(qū)域道路網(wǎng)在某特定時段內(nèi)暢通或擁堵實(shí)際情況的概念性指數(shù)值．交通指數(shù)范圍為，五個級別規(guī)定如下：某人在工作日上班出行每次經(jīng)過的路段都在同一個區(qū)域內(nèi)，他隨機(jī)記錄了上班的40個工作日早頂峰時段(早晨7點(diǎn)至9點(diǎn))的交通指數(shù)(平均值)，其統(tǒng)計結(jié)果如直方圖所示．〔Ⅰ〕據(jù)此估計此人260個工作日中早頂峰時段〔早晨7點(diǎn)至9點(diǎn)〕中度擁堵的天數(shù)；〔Ⅱ〕假設(shè)此人早晨上班路上所用時間近似為：暢通時30分鐘，根本暢通時35分鐘，輕度擁堵時40分鐘，中度擁堵時50分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聲r70分鐘，以直方圖中各種路況的頻率作為每天遇到此種路況的概率，求此人上班路上所用時間的數(shù)學(xué)期望．17.如圖1，在等腰梯形中，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．將沿折起到的位置，使得平面平面〔如圖2〕．〔Ⅰ〕求證：；〔Ⅱ〕求直線與平面所成角的正弦值；〔Ⅲ〕側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，請說明理由．18.函數(shù)，．〔Ⅰ〕當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；〔Ⅱ〕當(dāng)時，假設(shè)曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，試求的取值范圍．19.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的直線的方程為．〔Ⅰ〕求橢圓的離心率；〔Ⅱ〕假設(shè)直線與軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，試求面積的最小值；〔Ⅲ〕設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線．20.集合，且．假設(shè)存在非空集合，使得，且，并，都有，則稱集合具有性質(zhì)，〔〕稱為集合的子集．〔Ⅰ〕當(dāng)時，試說明集合具有性質(zhì)，并寫出相應(yīng)的子集；〔Ⅱ〕假設(shè)集合具有性質(zhì)，集合是集合的一個子集，設(shè)，求證：，，都有；〔Ⅲ〕求證：對任意正整數(shù)，集合具有性質(zhì)．答案局部1.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算試題解析：所以=。故答案為：A答案：A2.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘除和乘方試題解析：則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限。故答案為：B答案：B3.考點(diǎn)：算法和程序框圖試題解析：是；是；是；，否，則輸出的值為10.故答案為：B答案：B4.考點(diǎn)：平面向量的幾何運(yùn)算試題解析：假設(shè)∥，則=，則=〔1+〕，故∥；反過來，假設(shè)∥，則=，所以=-1〕，所以∥。所以“∥〞是“∥〞的充要條件。故答案為：C答案：C5.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)試題解析：故排除A；又圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)在處取得最值，故排除C；又，對B：，是減函數(shù)，故B錯。故答案為：D答案：D6.考點(diǎn)：分段函數(shù)，抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)試題解析：因?yàn)楹瘮?shù)最大值為，且x-1所以時，且所以的取值范圍是。故答案為：A答案：A7.考點(diǎn)：排列組合綜合應(yīng)用試題解析：故答案為：D答案：D8.考點(diǎn)：平行柱，錐，臺，球的構(gòu)造特征試題解析：動點(diǎn)的軌跡為：由棱的中點(diǎn)構(gòu)成的正六邊形，邊長為，所以面積為故答案為：C答案：C9.考點(diǎn)：拋物線雙曲線試題解析：雙曲線：中，所以漸近線方程為:.因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與雙曲線的一個焦點(diǎn)〔2，0〕重合，所以故答案為：，答案：，10.考點(diǎn)：圓相似三角形試題解析：由切割線定理有：所以PC=9，BC=8.又為線段的中點(diǎn)，所以DB=4，CD=4，所以故答案為：，16答案：，1611.考點(diǎn)：數(shù)量積的應(yīng)用試題解析：故答案為：答案：612.考點(diǎn)：線性規(guī)劃試題解析：作可行域：由圖知：A(0，2)，B(1，1)虛線為y=2x-k，所以縱截距為-k.所以當(dāng)或即或時平面區(qū)域?yàn)槿切螀^(qū)域。故答案為：答案：13.考點(diǎn)：函數(shù)模型及其應(yīng)用試題解析：由題知：令即>0，解得：所以從第5年開場盈利.故答案為：，答案：，14.考點(diǎn)：直線綜合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程試題解析：設(shè)B，C(x，y)，根據(jù)題意有：且整理得由〔2〕得：代入〔1〕得：〔〕整理得：即所以，因?yàn)閤>2，所以所以=9+4〔〕。令，所以m>0時，t有最小值，所以m<0.所以所以所以故答案為：答案：15.考點(diǎn)：倍角公式余弦定理正弦定理試題解析：(Ⅰ)因?yàn)?，且，所以．因?yàn)?，由正弦定理，得?Ⅱ)由得．由余弦定理，得．解得或〔舍負(fù)〕．所以．答案：(Ⅰ)．(Ⅱ)．16.考點(diǎn)：隨機(jī)變量的期望與方差隨機(jī)變量的分布列頻率分布表與直方圖試題解析：〔Ⅰ〕由可得：上班的40個工作日中早頂峰時段中度擁堵的頻率為0.25，據(jù)此估計此人260個工作日早頂峰時段〔早晨7點(diǎn)至9點(diǎn)〕中度擁堵的天數(shù)為260×0.25=65天.〔Ⅱ〕由題意可知的可能取值為．且；；；；；所以答案：〔Ⅰ〕65天.〔Ⅱ〕4617.考點(diǎn)：利用直線方向向量與平面法向量解決計算問題空間的角平行垂直試題解析：〔Ⅰ〕如圖1，在等腰梯形中，由，，，為中點(diǎn)，所以為等邊三角形．如圖2，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面，所以．〔Ⅱ〕連結(jié)，由得，又為的中點(diǎn)，所以．由〔Ⅰ〕知平面，所以，所以兩兩垂直．以為原點(diǎn)，分別為軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系〔如圖〕．因?yàn)?，易知．所以，所以．設(shè)平面的一個法向量為，由得即取，得．設(shè)直線與平面所成角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．〔Ⅲ〕假設(shè)在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面．設(shè)，．因?yàn)?，所以．易證四邊形為菱形，且，又由〔Ⅰ〕可知，，所以平面．所以為平面的一個法向量．由，得．所以側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，且．答案：〔Ⅰ〕如圖1，在等腰梯形中，由，，，為中點(diǎn)，所以為等邊三角形．如圖2，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面，所以?/p>

〔Ⅱ〕．〔Ⅲ〕假設(shè)在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面．設(shè)，．因?yàn)?，所以．易證四邊形為菱形，且，又由〔Ⅰ〕可知，，所以平面．所以為平面的一個法向量．由，得．所以側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，且．18.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)求最值和極值導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義試題解析：〔Ⅰ〕當(dāng)時，，．．則，而．所以曲線在點(diǎn)(1，)處的切線方程為，即．〔Ⅱ〕依題意當(dāng)時，曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，等價于當(dāng)時，恒成立．設(shè)，．所以．〔1〕當(dāng)，即時，當(dāng)時，，為單調(diào)減函數(shù)，所以．依題意應(yīng)有解得所以．〔2〕假設(shè)，即時，當(dāng)，，為單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)，，為單調(diào)減函數(shù)．由于，所以不合題意．〔3〕當(dāng)，即時，注意到，顯然不合題意．綜上所述，．答案：〔Ⅰ〕，即．〔Ⅱ〕．19.考點(diǎn)：橢圓試題解析：〔Ⅰ〕依題意可知，，所以橢圓離心率為．〔Ⅱ〕因?yàn)橹本€與軸，軸分別相交于兩點(diǎn)，所以．令，由得，則．令，由得，則．所以的面積．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．所以．即，則．所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，面積的最小值為．…9分〔Ⅲ〕①當(dāng)時，．當(dāng)直線時，易得，此時，．因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線．同理，當(dāng)直線時，三點(diǎn)共線．②當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以整理得解得所以點(diǎn)．又因?yàn)椋?，且．所以．所以點(diǎn)三點(diǎn)共線．綜上所述，點(diǎn)三點(diǎn)共線．答案：〔Ⅰ〕橢圓離心率為．〔Ⅱ〕面積的最小值為．〔Ⅲ〕①當(dāng)時，．當(dāng)直線時，易得，此時，．因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線．同理，當(dāng)直線時，三點(diǎn)共線．②當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以整理得解得所以點(diǎn)．又因?yàn)椋?，且．所以．所以點(diǎn)三點(diǎn)共線．綜上所述，點(diǎn)三點(diǎn)共線．20.考點(diǎn)：數(shù)列綜合應(yīng)用試題解析：〔Ⅰ〕當(dāng)時，，令，，則，且對，都有，所以具有性質(zhì)．相應(yīng)的子集為，．〔Ⅱ〕①假設(shè)，由，又，所以．所以．②假設(shè)，可設(shè)，，且，此時．所以，且．所以．③假設(shè)，，，則，所以．又因?yàn)?，所以．所以．所以．綜上，對于，，都有．〔Ⅲ〕用數(shù)學(xué)歸納法證明．〔1〕由〔Ⅰ〕可知當(dāng)時，命題成立，即集合具有性質(zhì)．〔2〕假設(shè)()時，命題成立．即，且，，都有．那么當(dāng)時，記，，并構(gòu)造如下個集合：，，，，，顯然．又因?yàn)?，所以．下面證明中任意兩個元素之差不等于中的任一元素．①假設(shè)兩個元素，，則，所以．②假設(shè)兩個元素都屬于，由〔Ⅱ〕可知，中任意兩個元素之差不等于中的任一數(shù)．從而，時命題成立．綜上所述，對任意正整數(shù)，集合具有性質(zhì)．答案：〔Ⅰ〕子集為，．〔Ⅱ〕①假設(shè)，由，又，所以．所以．②假設(shè)，可設(shè)，，且，此時．所以，且．所以．③假設(shè)，，