第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)天津市濱海新區(qū)大港一中2024-2025學(xué)年高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共14小題，每小題5分，共70分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=i1?i(iA.12 B.22 C.12.已知非零向量a、b，且AB=a+2b，?BCA.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D3.已知a，b是互不重合的直線，α，β是互不重合的平面，下列命題正確的是(

)A.若a/?/b，b?α，則a/?/α

B.若a⊥α，b?β，α/?/β，則a4.已知復(fù)數(shù)z=5+i(i為虛數(shù)單位)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.滿(mǎn)足條件a=4,bA.1個(gè) B.2個(gè) C.無(wú)數(shù)個(gè) D.不存在6.若水平放置的四邊形AOBC按“斜二測(cè)畫(huà)法”得到如圖所示的直觀圖，其中A′C′//O′B′，A.12

B.6

C.32

7.如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿(mǎn)杯子，則杯子的高h(yuǎn)=(

)A.9cm

B.6cm

C.8.已知非零向量a，b滿(mǎn)足|a|=3|b|,a與bA.?1 B.?94 C.49.在△ABC中，“cosAA.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分又非必要條件10.如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，A.12a+b+c

11.為測(cè)量?jī)伤庵g的距離，某同學(xué)建立了如圖所示的幾何模型.若MA⊥平面ABC，NB⊥平面ABC，AC=60m，BA.7510m B.753m12.已知非零向量AB、AC滿(mǎn)足ABAB+ACA.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形

C.等腰(非等邊)三角形 D.等邊三角形13.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BADA.2116 B.32 C.251614.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，BBA.523

B.18

C.563

二、填空題：本題共6小題，共35分。15.已知(2x?1)+i=y+16.在四面體ABCD中，AC=BD=4，E，F(xiàn)分別是AD，BC17.已知向量a=(2,1),b=(?3,1)，①(a+b)18.已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A=π3，b=2，△A19.如圖是某機(jī)械零件的幾何結(jié)構(gòu)，該幾何體是由兩個(gè)相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對(duì)稱(chēng)，每個(gè)四棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，且兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直．則這個(gè)幾何體有

個(gè)面，其體積為

．

20.在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)M滿(mǎn)足AM=xAB+yAC?三、解答題：本題共4小題，共48分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。21.(本小題12分)

已知i為虛數(shù)單位，m∈R，復(fù)數(shù)z=(m2?8m+15)+(m2?4m+3)i．

(Ⅰ)若z是實(shí)數(shù)，求m的值；

(Ⅱ22.(本小題12分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，A1A=AB=BC=2．23.(本小題12分)

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知3(a?c)2=3b2?2ac．

(Ⅰ24.(本小題12分)

已知在四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥CD，PA=PD=AD=2BC=2CD=2，E，

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)后利用模的公式計(jì)算．【解答】

解：z=i1?i=i(12.【答案】A

【解析】【分析】本題考查平面向量的共線，屬于基礎(chǔ)題．

證明三點(diǎn)共線，借助向量共線證明即可，故解題目標(biāo)是驗(yàn)證由三點(diǎn)組成的兩個(gè)向量共線即可得到共線的三點(diǎn)．【解答】

解：由向量的加法原理知：BD=BC+CD

=?5a+6b+7a?2b

=2a3.【答案】B

【解析】解：若a/?/b，b?α，則a/?/α、或a?α，故A錯(cuò)誤；

若a⊥α，α/?/β，推得a⊥β，又b?β，則a⊥b，故B正確；

若a/?/α，a/?/β，則α/?/β或4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．

直接由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)為a+bi(a,b∈R)的形式，則答案可求．

【解答】

解：∵z=55.【答案】B

【解析】解：由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA，即16=18+c2?6c6.【答案】C

【解析】解：由斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖知，

A′C′//O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′=1，O′B′=2；

∴O′A′7.【答案】A

【解析】解：由題意可得，12×4π3×4.53=13×π×4.58.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閨a|=3|b|,a與b夾角的余弦值為13，

設(shè)|b|=t(t>0)，則|a|=3t，

因?yàn)?x9.【答案】C

【解析】解：充分性：在△ABC中，“cosA>cosB”，由余弦函數(shù)在(0,π)是減函數(shù)，故有A<B，

若B不是鈍角，顯然有“sinA<sinB”成立，

若B是鈍角，因?yàn)锳+B<π，故有A<π?B<π2，故有sinA<sin(π?B)=sinB

綜上，“co10.【答案】D

【解析】解：連接MN，在△A1MN中，MN=MA1+A1N，

∵M(jìn)是A1D1的中點(diǎn)，∴MA1=?A1D12=?AD2=?12b，

∵點(diǎn)N是CA1上的點(diǎn)，且CN：NA1=1：4．

∴A1N11.【答案】C

【解析】解：依題意，在Rt△MAC中，AC=60m，tan∠MCA=34，

tan∠MCA=AMAC=AM60=34，可得AM=45m，

則CM=AM2+AC2=12.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，三角形形狀的判斷，考查了學(xué)生綜合分析能力，屬于基礎(chǔ)題．

先根據(jù)(AB|AB|+【解答】

解：∵(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，AB|AB|，A13.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了向量數(shù)量積，坐標(biāo)法解決向量問(wèn)題，屬于中檔題．

以D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，求出A，B，【解答】

解：如圖所示，以D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，

以DC所在的直線為y軸，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥y軸，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，

∴AN=ABcos60°=12，BN=A14.【答案】C

【解析】解：如圖，取AB中點(diǎn)，連接DN，MN，

易知MN//AB1//DC1，

∴過(guò)C1，D，M的平面截正方體的截面為四邊形MNDC1，

∴過(guò)C1，D，M的平面把正方體分成兩部分，則較小部分為三棱臺(tái)MNB15.【答案】72【解析】解：∵(2x?1)+i=y+(3?y)i，

∴2x?1=y，3?y16.【答案】60°【解析】解：取CD的中點(diǎn)G，連接EG、FG，

因?yàn)椤鰽CD中，E、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，

所以AC/?/EG，且AC=2EG，同理可證BD/?/FG且BD=2FG．

所以∠EGF(或其補(bǔ)角)就是異面直線AC、BD的所成角，

在△EFG中，EF=23，EG=FG=2，

可得cos∠E17.【答案】2

【解析】解：a+b=(?1,2)，所以(a+b)?a=?1×2+2×1=0，所以(a+b)⊥a，故①正確；

a+2b18.【答案】4π【解析】解：由12×2c?sinπ3=23，解得c=4．

∴a2=22+42?2×2×4cos19.【答案】20；【解析】【分析】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題．

直接由對(duì)稱(chēng)性可得該幾何體面的個(gè)數(shù)；該幾何體的體積為兩個(gè)四棱柱的體積和減去兩個(gè)四棱柱交叉部分的體積，兩個(gè)四棱柱的體積和為V=2×2×2×4=32，交叉部分的體積為四棱錐S?ABCD的體積的2倍，由該幾何體前后、左右、上下均對(duì)稱(chēng)，知四邊形ABC【解答】

解：由對(duì)稱(chēng)性可知，該幾何體共有20個(gè)面；

該幾何體的直觀圖如圖所示，

該幾何體的體積為兩個(gè)四棱柱的體積和減去兩個(gè)四棱柱交叉部分的體積，

兩個(gè)四棱柱的體積和為：V=2×2×2×4=32，

交叉部分的體積為四棱錐S?ABCD的體積的2倍，

在等腰△ABS中，SB=22，SB邊上的高為2，則SA=6，

∴由該幾何體前后、左右、上下均對(duì)稱(chēng)，知四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為6的棱形，

設(shè)AC的中點(diǎn)為H，連結(jié)BH，20.【答案】?2【解析】解：由四點(diǎn)共面定理及三點(diǎn)共線定理可知，

M∈平面BCD，N∈直線AC，

當(dāng)AM，BN最短時(shí)，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，

所以M為正△BCD的中心，N為AC的中點(diǎn)，

MC=2321.【答案】(Ⅰ)m=1或m=3；

(Ⅱ)m=5；

【解析】(Ⅰ)復(fù)數(shù)z=(m2?8m+15)+(m2?4m+3)i，

若z是實(shí)數(shù)，則m2?4m+3=0，解得m=1或m=3；

(Ⅱ)若z是純虛數(shù)，則m2?8m+15=0m2?4m+3≠0，解得m=5；

(Ⅲ)復(fù)數(shù)z與1?2i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量分別為22.【答案】(Ⅰ)證明過(guò)程見(jiàn)詳解；

(Ⅱ)證明過(guò)程見(jiàn)詳解；

(Ⅲ)π6【解析】(Ⅰ)證明：連接B1C，設(shè)B1C∩BC1=O，連接OD，

由題意可得O為CB1的中點(diǎn)，而D為AC的中點(diǎn)，

所以O(shè)D//AB1，

而AB1?平面BC1D，OD?平面BC1D，

所以AB1//平面BC1D；

(Ⅱ)證明：因?yàn)閭?cè)棱AA1⊥底面ABC，

可得平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=A1C，

又因?yàn)锳B=BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC，

BD?平面ABC，

所以BD⊥平面AA1C1C；23.【答案】(I)cosB=2【解析】(I)在△ABC中，由3(a?c)2=3b2?2ac，整理得a2+c2?b22ac=23，

又由余弦定理，可得cosB=23；

(II)由B∈(0,π)及(1)可得sinB=524.【答案】(Ⅰ)證明過(guò)程見(jiàn)詳解；

(Ⅱ)12；

(Ⅲ)【解析】(Ⅰ)證明：連接AC交BE于O，

因?yàn)锳D//BC，AD=2BC，E為AD的中點(diǎn)，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，

而F為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)F//PA，

PA?平面