高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市2025年第一次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)仿真模擬卷03一、選擇題（本大題共20題，每小題3分，共計(jì)60分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，則，故選B.2．函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B．1，2 C． D．【答案】D【解析】令，得，函數(shù)的零點(diǎn)是.故選D.3．已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知向量，則.故選：D.4．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以?duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D.5．（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.6．已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，.故選：C.7．的值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】.故選：D.8．不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式化為，解得，故選B9．若直線不垂直于平面，那么平面內(nèi)（

）A．不存在與l垂直的直線 B．只存在一條與l垂直的直線C．存在無(wú)數(shù)條直線與l垂直 D．以上都不對(duì)【答案】C【解析】平面內(nèi)與在內(nèi)的射影垂直的直線，垂直于直線，這樣的直線有無(wú)數(shù)條，故C正確，則A，B、D錯(cuò)誤.故選：C.10．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，故選：A.11．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則""是""的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】充分性，不妨令，此時(shí)滿足，但，充分性不成立，必要性，不妨令，此時(shí)滿足，但，必要性不成立，故是的既不充分也不必要條件.故選：D.12．從甲、乙、丙3名學(xué)生中任選2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名學(xué)生參加上午的活動(dòng)，另1名學(xué)生參加下午的活動(dòng)，則甲參加上午活動(dòng)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】從甲、乙、丙3名學(xué)生中任選2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名學(xué)生參加上午的活動(dòng)，另1名學(xué)生參加下午的活動(dòng)，可能的結(jié)果為{(甲乙)(甲丙)(乙丙)(乙甲)(丙甲)(丙乙)}共有6種不同的方法，而甲參加上午活動(dòng)，則甲被選中，還需從乙、丙二人中任選1人參加下午的活動(dòng)，共有2種不同的方法，則甲參加上午活動(dòng)的概率為，故選：C.13．已知函數(shù)，若，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】由已知得：當(dāng)時(shí)，，解得：，或（舍），當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上：的值為或,故選：C.14．在中，，則（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由，所以.故選：A.15．下列函數(shù)中，在區(qū)間上存在最小值的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)A，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得最小值，故A正確；對(duì)BCD，，，在單調(diào)遞增，且在不能取到，所以不存在最小值，故BCD錯(cuò)誤.故選：A.16．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，即，解得．故選：C.17．已知圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為4，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：由題意得，，，

，故選：D.18．“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級(jí)雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種植的雜交水稻苗的長(zhǎng)勢(shì)，從稻田中隨機(jī)抽取7株水稻苗，測(cè)得苗高（單位：）分別是23，24，23，25，26，23，25.則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（

）A．24，25 B．23，23C．23，24 D．24，24【答案】C【解析】苗高由小到大排列為：，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是23，24，故選C.19．某校組織全校1850名學(xué)生赴山東曲阜、陜西西安和河南洛陽(yáng)三地開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，每位學(xué)生選擇其中一個(gè)研學(xué)地點(diǎn)，且每地最少有100名學(xué)生前往，則研學(xué)人數(shù)最多的地點(diǎn)（

）A．最多有1651名學(xué)生 B．最多有1649名學(xué)生C．最少有618名學(xué)生 D．最少有617名學(xué)生【答案】D【解析】,，即研學(xué)人數(shù)最多的地點(diǎn)最少有617名學(xué)生，，即研學(xué)人數(shù)最多的地點(diǎn)最多有名學(xué)生.故選：D.20．已知，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，故A錯(cuò)誤；由可得，故B錯(cuò)誤；由可得，故C錯(cuò)誤；，由可得，所以，故D正確；故選：D.二、填空題（本題共4小題，每小題3分，共計(jì)12分）21．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，22．若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是．【答案】【解析】依題意，，所以，所以，所以.23．已知平面直角坐標(biāo)系中，向量，單位向量滿足，則x的值可以是.（寫出一個(gè)正確結(jié)果即可）【答案】（或）【解析】由，則，即，即，即有，又，則，則.24．已知的，給出下列三個(gè)結(jié)論：①的定義域?yàn)?；②；③，使曲線與恰有兩個(gè)交點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①②【解析】對(duì)于①：由恒成立得的定義域?yàn)?，①正確；對(duì)于②：，②正確；對(duì)于③：令，變形得，作出函數(shù)的圖象如下圖：根據(jù)圖象可得在上單調(diào)遞增，故與只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，使曲線與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，③錯(cuò)誤.三、解答題（本題共4小題，共28分）25．已知（，且），且．(1)求a的值及的定義域；(2)求在上的最小值．解：（1），即，則，由題意得，∴，的定義域?yàn)椋?（2），令，則，，的對(duì)稱軸：，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；∵，∴在單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)可知：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，∴.26．某同學(xué)解答一道三角函數(shù)題：“已知函數(shù)，其最小正周期為．（1）求和的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值及相應(yīng)x的值．”該同學(xué)解答過(guò)程如下：解：（1）；因?yàn)椋?，所以．?）畫出函數(shù)在上的圖象，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值．下表列出了某些數(shù)學(xué)知識(shí)：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定義弧度制的概念的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式弧度與角度的互化函數(shù)的圖象三角函數(shù)的周期性正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式正切函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)兩角差的余弦公式函數(shù)的實(shí)際意義兩角差的正弦、正切公式參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響兩角和的正弦、余弦、正切公式半角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式積化和差、和差化積公式請(qǐng)寫出該同學(xué)在解答過(guò)程中用到了此表中的哪些數(shù)學(xué)知識(shí)．解：該同學(xué)在解答過(guò)程中用到了此表中的數(shù)學(xué)知識(shí)有：①弧度制的概念；②三角函數(shù)的周期性；③函數(shù)的圖象；④正弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)；⑤參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響．27．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，平面，求證：平面.證明：（1）連接，∵四邊形是平行四邊形，且是的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，∵E為PC的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴面，∵，∴平面.28．已知和數(shù)表，其中.若數(shù)表滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)表由生成.①任意中有三個(gè)，一個(gè)3；②存在，使中恰有三個(gè)數(shù)相等.(1)判斷數(shù)表是否由生成；（結(jié)論無(wú)需證明）(2)是否存在數(shù)表由生成？說(shuō)明理由；解：（1）數(shù)表是由生成；檢驗(yàn)性質(zhì)①：當(dāng)時(shí)，，共三個(gè)，一個(gè)3；當(dāng)時(shí)，，共三個(gè)，一個(gè)3；當(dāng)時(shí)，，共三個(gè)，一個(gè)3；任意中有三個(gè)，一個(gè)3；檢驗(yàn)性質(zhì)②：當(dāng)時(shí)，，恰有3個(gè)數(shù)相等.（2）不存在數(shù)表由生成,理由如下:若存在這樣的數(shù)表A，由性質(zhì)①任意中有三個(gè)，一個(gè)3，則或-1，總有與的奇偶性相反，類似的，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反；因?yàn)橹星∮?個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，所以對(duì)任意的，中均有2個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，此時(shí)中至多有2個(gè)數(shù)相等，不滿足性質(zhì)②；綜上，不存在數(shù)表由生成；（3）的所有可能的值為3，7，11.一方面，當(dāng)時(shí)，可以生成數(shù)表；當(dāng)時(shí)，可以生成數(shù)表；當(dāng)時(shí)，可以生成數(shù)表；另一方面，若存在數(shù)表A由生成，首先證明：除以4余3；證明：對(duì)任意的，令，則，分三種情況：（i）若，且，則；（ii）若，且，則；（iii）若，且，則；均有與除以4的余數(shù)相同.特別的，“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)相同”；類似的，“存在，使得”的一個(gè)必要不充分條件為“除以4的余數(shù)