專題03解直角三角形及其應(yīng)用（7大題型）【題型目錄】題型一解直角三角形的相關(guān)計(jì)算題型二解非直角三角形題型三構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積題型四仰角俯角問(wèn)題題型五方位角問(wèn)題題型六坡度坡比問(wèn)題題型七解直角三角形的其他應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac，cosA（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）知識(shí)點(diǎn)2：解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問(wèn)題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問(wèn)題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決．在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；知識(shí)點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用——方位角問(wèn)題（1）在辨別方向角問(wèn)題中：一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．知識(shí)點(diǎn)4：解直角三角形的應(yīng)用—:坡度、坡角問(wèn)題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．知識(shí)點(diǎn)5:解直角三角形的綜合應(yīng)用（1）通過(guò)解直角三角形能解決實(shí)際問(wèn)題中的很多有關(guān)測(cè)量問(wèn)．如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度．（2）解直角三角形的一般過(guò)程是：①將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問(wèn)題的答案．【經(jīng)典例題一解直角三角形的相關(guān)計(jì)算】1．（22·23下·深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)E在邊上自A向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在邊上自C向B運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)速度相同，連接交于點(diǎn)P，連接，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（21·22下·武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形中，，，點(diǎn)C為半徑上的一點(diǎn)，過(guò)C作交弧于點(diǎn)D，交于E，若，則的值為（

）

A．1 B． C． D．3．（21·22下·武漢·一模）如圖，已知D為等腰的腰上一點(diǎn)，繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，M為的中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，．

4．（21·22下·蕪湖·自主招生）如圖所示，已知，且與的距離為2，與的距離為1，正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在，，上，則．

5．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市南山區(qū)荔香學(xué)校?？计谥校┪覀兌x：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對(duì)（），如圖①，在中，，頂角A的正對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：

(1)________．(2)對(duì)于，的正對(duì)值的取值范圍是________．(3)如圖②，已知，其中為銳角，試求的值．【經(jīng)典例題二解非直角三角形】1．（2020·哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，若千米，則點(diǎn)兩點(diǎn)的距離為（）千米．A．4 B． C．2 D．62．（2019上·成都·期末）如圖，在等腰中，于點(diǎn)，則的值（

）

A． B． C． D．3．（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）在中，若，，，則．4．（22·23下·長(zhǎng)寧·二模）如圖，將平行四邊形沿著對(duì)角線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，交于點(diǎn)，如果，，且，那么平行四邊形的周長(zhǎng)為．（參考數(shù)據(jù)：）5．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問(wèn)題：(1)如圖2，在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：，【經(jīng)典例題三構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積】1．（22·23下·益陽(yáng)·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．542．（2022下·哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一點(diǎn)，將沿直線AM對(duì)折得到，若AN平分，則CN的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．33．（22·23下·專題練習(xí)）如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為，的面積為．4．（22·23上·西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，連接、，，，，則的值為．5．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）四邊形中，，，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)（不與C重合），點(diǎn)F在上運(yùn)動(dòng)，且．

(1)若，判斷與的數(shù)量關(guān)系；(2)若，你在（1）中得到的結(jié)論是否會(huì)發(fā)生變化？寫出猜想并給出證明；(3)若，，為銳角，設(shè)，當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求t的取值范圍．【經(jīng)典例題四仰角俯角問(wèn)題】1．（22·23下·日照·階段練習(xí)）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點(diǎn)，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，在處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（22·23·一模）安裝了軟件“”的智能手機(jī)可以測(cè)量物高．其數(shù)學(xué)原理是：該軟件通過(guò)測(cè)量手機(jī)離地面的高度，物體底端的俯角和頂端的仰角即可得出物體高度．如圖，小明測(cè)得大樹(shù)底端點(diǎn)俯角，頂端點(diǎn)的仰角，點(diǎn)離地面的高度米，則大樹(shù)的為（

）

A．米 B．米C．米 D．米3．（21·22下·武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一飛機(jī)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，測(cè)得觀禮臺(tái)C在飛機(jī)前下方，俯角為，此時(shí)飛行路線改為沿仰角為方向的直線飛行，飛機(jī)飛行了6千米到B處時(shí)，居民區(qū)D恰好在飛機(jī)的正下方，現(xiàn)在的飛行高度為5千米，則觀禮臺(tái)C和居民區(qū)D的距離是千米．（，，，，結(jié)果精確到0.1）4．（21·22下·武漢·階段練習(xí)）如圖，在一場(chǎng)馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測(cè)得起點(diǎn)拱門的頂部C的俯角為，底部D的俯角為，如果A處離地面的高度米，則起點(diǎn)拱門的高度為．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，，）

5．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在襄陽(yáng)市諸葛亮廣場(chǎng)上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)處，探測(cè)器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【經(jīng)典例題五方位角問(wèn)題】1．（23·24上·石家莊·階段練習(xí)）如圖，島位于島的正西方，兩島間的距離為海里，由島分別測(cè)得船位于南偏東和南偏西方向上，則船到島的距離為（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里2．（22·23下·廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在鐵路建設(shè)中，需要確定隧道兩洞口A和B的距離．點(diǎn)D，點(diǎn)E分別位于測(cè)繪點(diǎn)C的正北和正西方向．已知測(cè)得兩定位點(diǎn)E和D與隧道口A和B的距離分別為和，測(cè)繪點(diǎn)H，G分別為，的中點(diǎn)，測(cè)繪方在測(cè)繪點(diǎn)H測(cè)得點(diǎn)G在點(diǎn)H的南偏西的方向上，且，則隧道的長(zhǎng)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．1600m B．1300m C．980m D．900m3．（23·24上·泰安·期中）如圖，輪船從處以每小時(shí)60海里的速度沿南偏東方向勻速航行，在處觀測(cè)燈塔位于南偏東方向上，輪船航行40分鐘到達(dá)處，在處觀測(cè)燈塔位于北偏東方向上，則處與燈塔的距離是．

4．（22·23下·清遠(yuǎn)·三模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔的處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的北偏東方向上的B處，這時(shí)，B處與燈塔P的距離為．

5．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)校考期末）如圖，某漁船向正東方向以10海里/時(shí)的速度航行，在A處測(cè)得島C在北偏東方向上，1小時(shí)后漁船航行到B處，測(cè)得島C在北偏東方向上，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．

(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？(3)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)（參考數(shù)據(jù)：、、）【經(jīng)典例題六坡度坡比問(wèn)題】1．（22·23下·廣州·一模）如圖是一個(gè)山坡，已知從處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)處，垂直高度同時(shí)升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．2．（22·23下·太原·一模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測(cè)量建筑物的高度，如圖，建筑物前有一段坡度為的斜坡，用測(cè)角儀測(cè)得建筑物屋頂?shù)难鼋菫椋又∶饔窒蛳伦吡嗣?，剛好到達(dá)坡底處，這時(shí)測(cè)到建筑物屋頂?shù)难鼋菫?，在同一平面?nèi)，若測(cè)角儀的高度米，則建筑物的高度約為（）米．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）

A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米3．（21·22下·江門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在距某居民樓樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離m，在坡頂D點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓與山坡的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）

4．（22·23下·南充·階段練習(xí)）有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為100cm．王詩(shī)嬑觀測(cè)到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100cm，則高圓柱的高度為多少cm

5．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某種電纜在空中架設(shè)時(shí)，兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線的形狀，現(xiàn)按操作要求，電纜最低點(diǎn)離水平地面不得小于6米．

(1)如圖1，若水平距離間隔80米建造一個(gè)電纜塔柱，求此電纜塔柱用于固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有多少米的高度？(2)如圖2，若在一個(gè)坡度為的斜坡上，按水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的位置離地面高度為20米的塔柱．求這種情況下在豎直方向上，下垂的電纜與地面的最近距離為多少米？【經(jīng)典例題七解直角三角形的其他應(yīng)用】1．（2022春·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問(wèn)這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無(wú)法計(jì)算2．（2022秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)校考期中）為完成“綜合與實(shí)踐”作業(yè)任務(wù)，小明和小華利用周末一起去郊外放風(fēng)箏，小明負(fù)責(zé)放風(fēng)箏，小華負(fù)責(zé)測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如圖，當(dāng)小明把風(fēng)箏放飛到空中到點(diǎn)P處時(shí)，小華分別在地面測(cè)得，，米，則風(fēng)箏的高度的長(zhǎng)為（

）米（點(diǎn)C在點(diǎn)P的正下方，A、B、C在地面的同一條直線上）（結(jié)果保留根號(hào)）

A． B． C． D．3．（2022·湖北武漢·?？既＃┯幸环N落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過(guò)改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來(lái)調(diào)整晾衣竿的高度圖2是支撐桿的平面示意圖，和分別是兩根不同長(zhǎng)度的支撐桿，夾角．若，，問(wèn)：當(dāng)時(shí)，較長(zhǎng)支撐桿的端點(diǎn)A離地面的高度h約為．（參考數(shù)據(jù)：，）．

4．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，某景區(qū)由游客中心A處通往百米觀景長(zhǎng)廊有兩條棧道，且，現(xiàn)需要從游客中心A到觀景長(zhǎng)廊加修一條棧道，則的最短長(zhǎng)度為米．（結(jié)果精確到0.1，，）5．（2022春·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西段（瓦盆窯——秦家）項(xiàng)目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省的標(biāo)志性工程．主橋采用雙塔雙索面鋼—混凝土結(jié)合梁斜拉橋，塔墩固結(jié)一體、塔與主梁縱向活動(dòng)支承，屬塔墩固結(jié)、塔梁支承式半懸浮體系．大橋索塔為門式塔，橋面以上設(shè)一道上橫梁．全長(zhǎng)．圖2是從圖1引申出的平面圖．假設(shè)你站在橋上測(cè)得拉索與水平橋面的夾角是，拉索與水平橋面的夾角是，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為128米，請(qǐng)求出索塔高的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米，）

【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（21·22下·哈爾濱·二模）如圖，是等邊三角形，是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．32．（23·24上·襄陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，則的半徑為（）

A． B．4 C． D．3．（23·24上·杭州·階段練習(xí)）如圖，矩形中，，對(duì)折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕是，連接，若，則點(diǎn)的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．4．（22·23·丹東·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，若，則矩形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．5．（21·22下·泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，將沿著方向平移的長(zhǎng)度得到，連接，則的值為（

）

A． B． C． D．6．（23·24上·楊浦·期中）如圖，已知在中，點(diǎn)在邊上，，，那么的值是．7．（23·24上·泰安·階段練習(xí)）如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏東方向，則兩港之間的距離為．

8．（23·24上·浦東新·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上．將沿著所在的直線翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊的延長(zhǎng)線上．如果平分，那么的長(zhǎng)度為．9．（21·22下·黃石·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某辦公樓的后面有一建筑物，當(dāng)光線與地面的夾角是時(shí)，辦公樓在建筑物的墻上留下高2米的影子，而當(dāng)光線與地面夾角是時(shí)，辦公樓頂A在地面上的影子F與墻角C有25米的距離（，F(xiàn)，C在一條直線上）．則辦公樓的高度為．（參考數(shù)據(jù)：，，）10．（21·22下·綏化·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，．點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若點(diǎn)F是對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值是．11．（22·23上·紅河·期末）昆明西山萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)是萬(wàn)達(dá)集團(tuán)斥資100億元打造的第100座開(kāi)業(yè)萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)．項(xiàng)目位于昆明市西山區(qū)前興路東側(cè)，是“昆明金產(chǎn)區(qū)”核心．其中萬(wàn)達(dá)·昆明雙塔寫字樓是昆明城市新地標(biāo)，定位為西南金融總部基地．在大樓的頂部有一塊廣告牌，廣告牌位于寫字樓頂部如圖所示的兩點(diǎn)之間．某校九年級(jí)數(shù)學(xué)社團(tuán)利用元旦假期進(jìn)行校外實(shí)踐活動(dòng)，他們選定點(diǎn)為觀測(cè)點(diǎn)，測(cè)得廣告牌頂端的仰角為，測(cè)得廣告牌底的仰角為，已知樓高，請(qǐng)你幫他們求出廣告牌的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，）12．（21·22·哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，軸交拋物線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸左側(cè)，直線下方圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，作，垂足為，連接，若，求的值．四、計(jì)算題13．（23·24上·專題練習(xí)）已知：如圖，在中，D是邊的中點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，且，，．求：

(1)線段的長(zhǎng)；(2)的余弦值．五、證明題14．（23·24上·浦東新·期中）如圖，點(diǎn)D是斜邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是直線左側(cè)一點(diǎn)，且，．

(1)求證：；(2)如果點(diǎn)D是斜邊的中點(diǎn)，且，試求的值．六、應(yīng)用題15．（23·24上·沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，一般輪船在A處測(cè)得燈塔M位于A的北偏東方向上，輪船沿著正北方向航行10海里到達(dá)B處，測(cè)得燈塔M位于B的北偏東方向上，測(cè)得港口C位于B的北偏東方向上：已知港口C在燈塔M的正北方向上．(1)填空：______度，______度；(2)求燈塔M到輪船航線的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(3)求港口C與燈塔M的距離（，，結(jié)果精確到1海里）．

專題03解直角三角形及其應(yīng)用（7大題型）【題型目錄】題型一解直角三角形的相關(guān)計(jì)算題型二解非直角三角形題型三構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積題型四仰角俯角問(wèn)題題型五方位角問(wèn)題題型六坡度坡比問(wèn)題題型七解直角三角形的其他應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對(duì)邊斜邊=ac，cosA（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）知識(shí)點(diǎn)2：解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問(wèn)題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問(wèn)題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決．在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；知識(shí)點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用——方位角問(wèn)題（1）在辨別方向角問(wèn)題中：一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．知識(shí)點(diǎn)4：解直角三角形的應(yīng)用—:坡度、坡角問(wèn)題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．知識(shí)點(diǎn)5:解直角三角形的綜合應(yīng)用（1）通過(guò)解直角三角形能解決實(shí)際問(wèn)題中的很多有關(guān)測(cè)量問(wèn)．如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度．（2）解直角三角形的一般過(guò)程是：①將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問(wèn)題的答案．【經(jīng)典例題一解直角三角形的相關(guān)計(jì)算】1．（22·23下·深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)E在邊上自A向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在邊上自C向B運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)速度相同，連接交于點(diǎn)P，連接，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A作于A，作于，連接，交于，證明，得，再證明，可得，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的弧，再由弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于A，作于，連接，交于，是等邊三角形，，，，，，，是的垂直平分線，，在中，，，，，，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的弧，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡等知識(shí)，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解本題的關(guān)鍵．2．（21·22下·武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形中，，，點(diǎn)C為半徑上的一點(diǎn)，過(guò)C作交弧于點(diǎn)D，交于E，若，則的值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】連接，由，，可得．設(shè)，則，，．在中，由，可得方程，求解得，因此，，從而求解．【詳解】連接，

∵，，∴．設(shè)，則∵在中，，∴．∵在中，，∴，解得，∴，，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（21·22下·武漢·一模）如圖，已知D為等腰的腰上一點(diǎn)，繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，M為的中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，．

【答案】/0.25【分析】連接，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，推出，則，根據(jù)三角形的中位線定理可得，通過(guò)證明，可推出，得出，即可求解．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，∵繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，則，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)D為中點(diǎn)，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，即，則，∵，，，∴，∴，∴，即，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，相似三角性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例．4．（21·22下·蕪湖·自主招生）如圖所示，已知，且與的距離為2，與的距離為1，正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在，，上，則．

【答案】【分析】作于．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，過(guò)作的垂線．顯然有為等邊三角形，，都是有一個(gè)角為30°的直角三角形，所以．勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖所示作于則，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，過(guò)作的垂線，交分別于點(diǎn)，

∴為等邊三角形，則∴∵，∴∴，∴，∵，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市南山區(qū)荔香學(xué)校?？计谥校┪覀兌x：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對(duì)（），如圖①，在中，，頂角A的正對(duì)記作，這時(shí)．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：

(1)________．(2)對(duì)于，的正對(duì)值的取值范圍是________．(3)如圖②，已知，其中為銳角，試求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖，,，所以.（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)A向靠近時(shí)，增大，逐漸接近，腰長(zhǎng)接近，相應(yīng)的；當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離時(shí)，減小，逐漸接近，腰長(zhǎng)逐漸增大，相應(yīng)的；于是．（3）如圖，在上截取，過(guò)H作于D，設(shè)，則,．解，，．【詳解】（1）解：如圖，,,∵,∴.

（2）解：如圖，點(diǎn)A在的中垂線上，當(dāng)點(diǎn)A向靠近時(shí)，增大，逐漸接近，腰長(zhǎng)接近，相應(yīng)的；當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離時(shí)，減小，逐漸接近，腰長(zhǎng)逐漸增大，相應(yīng)的逐漸接近0，；∴

（3）解：如圖，在上截取，過(guò)H作于D，，設(shè)，則，,∴．中，，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查新定義，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性質(zhì)；添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二解非直角三角形】1．（2020·哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，若千米，則點(diǎn)兩點(diǎn)的距離為（）千米．A．4 B． C．2 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，，千米，則根據(jù)三角函數(shù)可求、，再根據(jù)，利用三角函數(shù)可求BC，則．【詳解】解：由題意可知，，，∵，∴，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義，正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．2．（2019上·成都·期末）如圖，在等腰中，于點(diǎn)，則的值（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先由，易得，由可得，進(jìn)而用勾股定理分別將BD、BC長(zhǎng)用AB表示出來(lái)，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性質(zhì)和勾股定理以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）在中，若，，，則．【答案】1或13【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分高在三角形內(nèi)部和三角形外部?jī)煞N情況進(jìn)行討論求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分兩種情況討論：①當(dāng)在的外部時(shí)，如圖：

∵，∴設(shè)，則：，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，如圖：

同法可得：，∴；綜上：1或13；故答案為：1或13．【點(diǎn)睛】本題考查解非直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解．4．（22·23下·長(zhǎng)寧·二模）如圖，將平行四邊形沿著對(duì)角線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，交于點(diǎn)，如果，，且，那么平行四邊形的周長(zhǎng)為．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】由，四邊形為平行四邊形，折疊的性質(zhì)可得是等腰三角形，，設(shè)，則，由三角形的內(nèi)角和定理解得，由外角性質(zhì)可證明為等腰三角形，繼而得到，解得，分別過(guò)點(diǎn)作，利用余弦定理分別解得的長(zhǎng)，最后求得平行四邊形的周長(zhǎng)．【詳解】解：，四邊形為平行四邊形，翻折是等腰三角形設(shè)，則在中，由三角形內(nèi)角和定理可得分別過(guò)點(diǎn)作在中，在中，平行四邊形的周長(zhǎng)為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、圖形的翻折變換等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問(wèn)題：(1)如圖2，在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，在中，，，；（2）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，在中，又，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的前提．【經(jīng)典例題三構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積】1．（22·23下·益陽(yáng)·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接，如圖所示

，，，四邊形的面積為48故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)巧妙添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．2．（2022下·哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一點(diǎn)，將沿直線AM對(duì)折得到，若AN平分，則CN的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)N作CD的垂線交于點(diǎn)E，根據(jù)對(duì)折和平分線可以得到，再利用三角函數(shù)可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)N作CD的垂線交于點(diǎn)E由折疊可知：，，∵AN平分∴∴∵∴，∴∴∵，∴∴，∴∴在中，由勾股定理可得：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、解直角三角形以及勾股定理，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．3．（22·23下·專題練習(xí)）如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為，的面積為．【答案】【分析】過(guò)作，如圖所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面積公式代值求解即可得到．【詳解】解：過(guò)作，如圖所示：在中，，，，在中，，，即，，由勾股定理得；，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查解非直角三角形問(wèn)題以及求三角形面積，涉及三角函數(shù)定義、勾股定理及三角形面積公式，熟練掌握解非直角三角形的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（22·23上·西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，連接、，，，，則的值為．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，，是等腰直角三角形，設(shè)，則，，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形．正確的添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟記直角三角形的邊角關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）四邊形中，，，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)（不與C重合），點(diǎn)F在上運(yùn)動(dòng)，且．

(1)若，判斷與的數(shù)量關(guān)系；(2)若，你在（1）中得到的結(jié)論是否會(huì)發(fā)生變化？寫出猜想并給出證明；(3)若，，為銳角，設(shè)，當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求t的取值范圍．【答案】(1)(2)沒(méi)有變化，，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．設(shè)交于點(diǎn)．證明是等邊三角形和是等邊三角形，得到.證得與，即可證明，得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn),證明，即可得到結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，作于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，求出，得到，則，，，，證明，，證明，則，則，則，則，點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合，，即可求出答案．【詳解】（1）；證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)．

則，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴.∵，，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）沒(méi)有變化．，證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，

則，，∵，∴.∴，∴.∵，∴.∵，，∴.∵，，∴，∴，∴；（3）證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，作于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，

∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，由（2）可得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴，∴，∵點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合，∴∴∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四仰角俯角問(wèn)題】1．（22·23下·日照·階段練習(xí)）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點(diǎn)，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，在處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于，首先根據(jù)坡度求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于，

由題意得：米，米，米，在中，：，米，在中，，米，，米，米；即建筑物的高度約為米．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角、坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．2．（22·23·一模）安裝了軟件“”的智能手機(jī)可以測(cè)量物高．其數(shù)學(xué)原理是：該軟件通過(guò)測(cè)量手機(jī)離地面的高度，物體底端的俯角和頂端的仰角即可得出物體高度．如圖，小明測(cè)得大樹(shù)底端點(diǎn)俯角，頂端點(diǎn)的仰角，點(diǎn)離地面的高度米，則大樹(shù)的為（

）

A．米 B．米C．米 D．米【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

，由題意得：，，，在中，，，在中，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（21·22下·武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一飛機(jī)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，測(cè)得觀禮臺(tái)C在飛機(jī)前下方，俯角為，此時(shí)飛行路線改為沿仰角為方向的直線飛行，飛機(jī)飛行了6千米到B處時(shí)，居民區(qū)D恰好在飛機(jī)的正下方，現(xiàn)在的飛行高度為5千米，則觀禮臺(tái)C和居民區(qū)D的距離是千米．（，，，，結(jié)果精確到0.1）【答案】【分析】過(guò)A作于點(diǎn)E，過(guò)C作于點(diǎn)F，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出千米，千米，再證四邊形為矩形，得出千米，，在中，千米，則千米．【詳解】過(guò)A作于點(diǎn)E，過(guò)C作于點(diǎn)F，∵，∴為直角三角形，，∵，，∴（千米），（千米），∴（千米），∵，，∴，∴四邊形為矩形，∴千米，，∵在中，（千米），∴（千米）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，仰角與俯角，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，掌握解直角三角形的應(yīng)用，仰角與俯角，利用輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．4．（21·22下·武漢·階段練習(xí)）如圖，在一場(chǎng)馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測(cè)得起點(diǎn)拱門的頂部C的俯角為，底部D的俯角為，如果A處離地面的高度米，則起點(diǎn)拱門的高度為．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】6米【分析】作于，則四邊形為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)正切的定義求出，結(jié)合圖形計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：作于，則四邊形為矩形，

∴，，由題意得：，，∴為等腰直角三角形，，∴米，∴米，∵在中，，∴（米），∴（米），故答案為：6米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在襄陽(yáng)市諸葛亮廣場(chǎng)上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)處，探測(cè)器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】銅像的高度是；【分析】根據(jù)題意可得，從而求出，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴銅像的高度是；【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出．【經(jīng)典例題五方位角問(wèn)題】1．（23·24上·石家莊·階段練習(xí)）如圖，島位于島的正西方，兩島間的距離為海里，由島分別測(cè)得船位于南偏東和南偏西方向上，則船到島的距離為（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】要求的長(zhǎng)，需要構(gòu)造直角三角形，作輔助線，然后根據(jù)題目中的條件利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，

海里,，，，，，，，解得：海里，海里，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行解答．2．（22·23下·廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在鐵路建設(shè)中，需要確定隧道兩洞口A和B的距離．點(diǎn)D，點(diǎn)E分別位于測(cè)繪點(diǎn)C的正北和正西方向．已知測(cè)得兩定位點(diǎn)E和D與隧道口A和B的距離分別為和，測(cè)繪點(diǎn)H，G分別為，的中點(diǎn)，測(cè)繪方在測(cè)繪點(diǎn)H測(cè)得點(diǎn)G在點(diǎn)H的南偏西的方向上，且，則隧道的長(zhǎng)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．1600m B．1300m C．980m D．900m【答案】B【分析】先解直角三角形求出，然后根據(jù)三角形中位線定理求出，即可求解．【詳解】解：由題意知：，，，，在中，，∴，∵點(diǎn)H，G分別為，的中點(diǎn)，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—方位角問(wèn)題，三角形中位線定理等，明確題意，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（23·24上·泰安·期中）如圖，輪船從處以每小時(shí)60海里的速度沿南偏東方向勻速航行，在處觀測(cè)燈塔位于南偏東方向上，輪船航行40分鐘到達(dá)處，在處觀測(cè)燈塔位于北偏東方向上，則處與燈塔的距離是．

【答案】海里【分析】過(guò)點(diǎn)作于．先由題意得，，再根據(jù)等角對(duì)等邊得出，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到海里．然后在直角中，利用余弦函數(shù)的定義即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，

由題意得，，，（海里），，則．，，，，，于，（海里）．在直角中，，，（海里）．故答案為：海里．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義，難度適中．求出海里是解題的關(guān)鍵．4．（22·23下·清遠(yuǎn)·三模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔的處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的北偏東方向上的B處，這時(shí)，B處與燈塔P的距離為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

在中，海里，，（海里），在中，，（海里），處與燈塔的距離為海里，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)?？计谀┤鐖D，某漁船向正東方向以10海里/時(shí)的速度航行，在A處測(cè)得島C在北偏東方向上，1小時(shí)后漁船航行到B處，測(cè)得島C在北偏東方向上，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．

(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？(3)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)（參考數(shù)據(jù)：、、）【答案】(1)10海里(2)有危險(xiǎn)(3)沒(méi)有危險(xiǎn)【分析】（1）過(guò)C作垂直，通過(guò)證明，即可求出的長(zhǎng)；（2）求出點(diǎn)C到的距離是否大于9，如果大于9則無(wú)觸礁危險(xiǎn)，反之則有；（3）過(guò)點(diǎn)C作，首先求出，然后根據(jù)三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，進(jìn)而比較求解即可．【詳解】（1）過(guò)C作垂直，

為漁船向東航行到C道最短距離∵在A處測(cè)得島C在北偏東的∴又∵B處測(cè)得島C在北偏東，∴，，∴，∴（海里）；（2）∵，∴∴（海里）∴（海里）∵∴如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險(xiǎn)；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作，

根據(jù)題意可得，∴，即解得（海里）∵∴沒(méi)有危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角度得到，再通過(guò)三角函數(shù)計(jì)算出相關(guān)距離．【經(jīng)典例題六坡度坡比問(wèn)題】1．（22·23下·廣州·一模）如圖是一個(gè)山坡，已知從處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)處，垂直高度同時(shí)升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而利用坡度的定義得出答案．【詳解】解：由題意可得：（米），則山坡的坡度為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵．2．（22·23下·太原·一模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測(cè)量建筑物的高度，如圖，建筑物前有一段坡度為的斜坡，用測(cè)角儀測(cè)得建筑物屋頂?shù)难鼋菫?，接著小明又向下走了米，剛好到達(dá)坡底處，這時(shí)測(cè)到建筑物屋頂?shù)难鼋菫椋谕黄矫鎯?nèi)，若測(cè)角儀的高度米，則建筑物的高度約為（）米．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）

A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米【答案】D【分析】設(shè)米，延長(zhǎng)交于，作于，于，求出米，米，由矩形的性質(zhì)得出米，在中，求出米，米，米，在中，由，得出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)米，延長(zhǎng)交于，作于，于，

，在中，米，，米，米，四邊形是矩形，四邊形是矩形，米，在中，，米，米，米，在中，，，，米，米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用的輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．3．（21·22下·江門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在距某居民樓樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離m，在坡頂D點(diǎn)處測(cè)得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓與山坡的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】82.1m【分析】構(gòu)造直角三角形，利用坡比的意義和直角三角形的邊角關(guān)系，分別計(jì)算出、，進(jìn)而求出．【詳解】如圖，由題意得，，在中，∵山坡的坡度，

∴，設(shè)則，由勾股定理可得，又，即，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、坡比；添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（22·23下·南充·階段練習(xí)）有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為100cm．王詩(shī)嬑觀測(cè)到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100cm，則高圓柱的高度為多少cm

【答案】280【分析】過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，設(shè)，利用勾股定理求出和，得到，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，再根據(jù)同一時(shí)刻身高與影長(zhǎng)的比例，求出的長(zhǎng)度，即可得到．【詳解】解：如圖，為高圓柱，為太陽(yáng)光，為斜坡，為圓柱在斜坡上的影子，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，

由題意可得：，∵斜坡坡度，∴，∴設(shè)，在中，，解得：，∴，∴，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，∵同一時(shí)刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm，，可知四邊形為矩形，∴，

∴，∴，故高圓柱的高度為280cm．故答案為：280．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解實(shí)際物體與影長(zhǎng)之間的關(guān)系解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．5．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某種電纜在空中架設(shè)時(shí)，兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線的形狀，現(xiàn)按操作要求，電纜最低點(diǎn)離水平地面不得小于6米．

(1)如圖1，若水平距離間隔80米建造一個(gè)電纜塔柱，求此電纜塔柱用于固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有多少米的高度？(2)如圖2，若在一個(gè)坡度為的斜坡上，按水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的位置離地面高度為20米的塔柱．求這種情況下在豎直方向上，下垂的電纜與地面的最近距離為多少米？【答案】(1)22米(2)米【分析】（1）由題意，最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是40，代入函數(shù)表達(dá)式中可求得高度即可；（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為，直線的解析式為，設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作軸于F，交于G，則，由可求解．【詳解】（1）解：由題意，最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是40，則，（米），答：固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有22米的高度；（2）解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)此時(shí)拋物線的解析式為，由于斜坡的坡度為，且米，∴米，而（米），∴；∵，，坐標(biāo)兩點(diǎn)分別代入解析式中，得，解得，∴，即，即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；過(guò)點(diǎn)M作軸于F，交于G，∵坡度為，∴（米），∴（米），答：在豎直方向上，下垂的電纜與地面的最近距離為米．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用、坡度問(wèn)題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七解直角三角形的其他應(yīng)用】1．（2022春·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問(wèn)這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無(wú)法計(jì)算【答案】B【分析】設(shè)這個(gè)秋千的繩索，得到，求出的值即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)秋千的繩索，則，，，，，，這個(gè)秋千的繩索有尺．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谥校橥瓿伞熬C合與實(shí)踐”作業(yè)任務(wù)，小明和小華利用周末一起去郊外放風(fēng)箏，小明負(fù)責(zé)放風(fēng)箏，小華負(fù)責(zé)測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如圖，當(dāng)小明把風(fēng)箏放飛到空中到點(diǎn)P處時(shí)，小華分別在地面測(cè)得，，米，則風(fēng)箏的高度的長(zhǎng)為（

）米（點(diǎn)C在點(diǎn)P的正下方，A、B、C在地面的同一條直線上）（結(jié)果保留根號(hào)）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的長(zhǎng)為x米，根據(jù)，，，得出，，最后根據(jù)米，列出求解即可．【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)為x米，∵，，，∴，，∵米，∴，解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值，以及解直角三角形的方法和步驟．3．（2022·湖北武漢·?？既＃┯幸环N落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過(guò)改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來(lái)調(diào)整晾衣竿的高度圖2是支撐桿的平面示意圖，和分別是兩根不同長(zhǎng)度的支撐桿，夾角．若，，問(wèn)：當(dāng)時(shí)，較長(zhǎng)支撐桿的端點(diǎn)A離地面的高度h約為．（參考數(shù)據(jù)：，）．

【答案】120【分析】過(guò)作，過(guò)作，可得，利用等腰三角形的三線合一得到為角平分線，進(jìn)而求出同位角的度數(shù)，在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義求出即可．【詳解】解：過(guò)作，過(guò)作，可得，

，平分，，，在中，，，∴較長(zhǎng)支撐桿的端點(diǎn)離地面的高度約為，故答案為：120．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．4．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，某景區(qū)由游客中心A處通往百米觀景長(zhǎng)廊有兩條棧道，且，現(xiàn)需要從游客中心A到觀景長(zhǎng)廊加修一條棧道，則的最短長(zhǎng)度為米．（結(jié)果精確到0.1，，）【答案】63.4【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，最短，設(shè)，然后利用三角函數(shù)用x表示出，進(jìn)而構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，最短，設(shè)，則在直角三角形中，∵，∴，在直角三角形中，∵，∴，∵，即，∴解得：米；故答案為：63.4．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西段（瓦盆窯——秦家）項(xiàng)目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省的標(biāo)志性工程．主橋采用雙塔雙索面鋼—混凝土結(jié)合梁斜拉橋，塔墩固結(jié)一體、塔與主梁縱向活動(dòng)支承，屬塔墩固結(jié)、塔梁支承式半懸浮體系．大橋索塔為門式塔，橋面以上設(shè)一道上橫梁．全長(zhǎng)．圖2是從圖1引申出的平面圖．假設(shè)你站在橋上測(cè)得拉索與水平橋面的夾角是，拉索與水平橋面的夾角是，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為128米，請(qǐng)求出索塔高的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米，）

【答案】109.8米【分析】設(shè)的長(zhǎng)為x米，運(yùn)用三角函數(shù)表示出的長(zhǎng)，列出等式算出，即可解答；【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)為x米，在中，，（米），米，在中，米，米，，，解得：，米，（米），答：索塔BH的長(zhǎng)約為109.8米．【點(diǎn)睛】該題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答該題的關(guān)鍵是能夠熟練地運(yùn)用三角函數(shù)列出等量關(guān)系式．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（21·22下·哈爾濱·二模）如圖，是等邊三角形，是的平分線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】先求出，再求出，根據(jù)所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵是等邊三角形，是的平分線上一點(diǎn)，∴，∵，為線段的垂直平分線，∴，∴，∴，在中，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練利用相應(yīng)的定理進(jìn)行推理．2．（23·24上·襄陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，則的半徑為（）

A． B．4 C． D．【答案】B【分析】在優(yōu)弧上取點(diǎn)，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出的度數(shù)，故可得出的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出的長(zhǎng)．【詳解】解∶優(yōu)弧上取點(diǎn)，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，∴．∵于點(diǎn)，∴，，∴，故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓內(nèi)接四邊形是解答此題的關(guān)鍵．3．（23·24上·杭州·階段練習(xí)）如圖，矩形中，，對(duì)折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕是，連接，若，則點(diǎn)的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)可得，，，，可得，從而可得，可得，從而可得的長(zhǎng)，，即可求解，進(jìn)而求出的長(zhǎng)．【詳解】解：四邊形是矩形，，由折疊性質(zhì)可得：，，，，在中，，，，，，，，，，，在中，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用邊之間的關(guān)系推出．4．（22·23·丹東·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，若，則矩形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，即可求證為等邊三角形，進(jìn)而得出點(diǎn)E為中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴為等邊三角形，∵，∴點(diǎn)E為中點(diǎn)，∵F是的中點(diǎn)，若，∴，∵，∴，∴，∴矩形的周長(zhǎng)，故選：D．【點(diǎn)睛】矩形主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的對(duì)角線相等，等邊三角形三線合一，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，以及解直角三角形的方法和步驟．5．（21·22下·泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，將沿著方向平移的長(zhǎng)度得到，連接，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明和是等邊三角形，設(shè)，則，所以，由平移可得，，根據(jù)勾股定理可得，然后利用銳角三角函數(shù)可得，根據(jù)，，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴和是等邊三角形，∴，∵四邊形是菱形，∴，設(shè)，則，∴，由平移可知：，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是得到．6．（23·24上·楊浦·期中）如圖，已知在中，點(diǎn)在邊上，，，那么的值是．【答案】/0.25【分析】設(shè)，則，，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，解得，，然后過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求出長(zhǎng)，然后計(jì)算解題即可．【詳解】設(shè)，則，∴，又∵，，∴，∴，即，解得：，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（23·24上·泰安·階段練習(xí)）如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏東方向，則兩港之間的距離為．

【答案】【分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)正北方向直線為，過(guò)點(diǎn)正北方向直線為，過(guò)作于，過(guò)作，由題意得：，，，，則，為等腰直角三角形，，由平行線的性質(zhì)可得，再由，求出的長(zhǎng)，即可得到答案．【詳解】解：如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)正北方向直線為，過(guò)點(diǎn)正北方向直線為，過(guò)作于，過(guò)作，由題意得：，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方位角問(wèn)題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．8．（23·24上·浦東新·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上．將沿著所在的直線翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊的延長(zhǎng)線上．如果平分，那么的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】由翻折得出，再根據(jù)平分，得出，然后借助相似列出方程即可．【詳解】解：作于H，在紙片中，，由勾股定理得：，∵將沿翻折得，∴，∵平分，∴，∴，設(shè)，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了以直角三角形為背景的翻折問(wèn)題，緊扣翻折前后對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等來(lái)解決問(wèn)題，通過(guò)相似表示線段和列方程是解題本題的關(guān)鍵．9．（21·22下·黃石·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某辦公樓的后面有一建筑物，當(dāng)光線與地面的夾角是時(shí)，辦公樓在建筑物的墻上留下高2米的影子，而當(dāng)光線與地面夾角是時(shí)，辦公樓頂A在地面上的影子F與墻角C有25米的距離（，F(xiàn)，C在一條直線上）．則辦公樓的高度為．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】米/米【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，易證四邊形是矩形，則，設(shè)，則，則，，最后根據(jù)，列出方程求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，根據(jù)題意可得：，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，∵，，∴，∴，∵，∴，∵米，，∴，解得：，∴（米），故答案為：米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題