專(zhuān)題02實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（考點(diǎn)清單）【考試題型1】傳播問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】明確每輪傳播中的傳染源個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的總數(shù)．【典例1】（2021秋·廣東湛江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）有一人患了新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎．(1)求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？【專(zhuān)訓(xùn)1-1】（2022秋·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某種流感病毒，若有一人患了這種流感，則在每輪傳染中一人將平均傳染x人．(1)現(xiàn)有一人患上這種流感，求第一輪傳染后患病的人數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；(2)在進(jìn)入第二輪傳染前，有兩位患者被及時(shí)隔高并治愈，問(wèn)第二輪傳染后患病的人數(shù)會(huì)有21人嗎？【專(zhuān)訓(xùn)1-2】（2022秋·福建漳州·九年級(jí)?？计谥校┯幸粋€(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后有若干人被傳染上流感．假設(shè)在每輪的傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人．(1)第二輪被傳染上流感人數(shù)是______；（用含x的代數(shù)式表示）(2)在進(jìn)入第二輪傳染之前，如果有4名患者被及時(shí)隔離（未治愈），經(jīng)過(guò)兩輪傳染后是否會(huì)有63人患病的情況發(fā)生，并說(shuō)明理由．【考試題型2】參賽球隊(duì)數(shù)量問(wèn)腿與一元二次方程【解題方法】如果有n只球隊(duì)參加比賽，比賽規(guī)則如下：1）若采取單循環(huán)比賽賽制，則比賽場(chǎng)次為：n（n2）若采取雙循環(huán)比賽賽制，則比賽場(chǎng)次為：n（n【典例2】（2022秋·北京西城·九年級(jí)北京育才學(xué)校校考期末）學(xué)生會(huì)要組織“西實(shí)杯”籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)）．（1）如果有4支球隊(duì)參加比賽，那么共進(jìn)行______場(chǎng)比賽；（2）如果全校一共進(jìn)行36場(chǎng)比賽，那么有多少支球隊(duì)參加比賽？【專(zhuān)訓(xùn)2-1】（2023秋·新疆阿克蘇·九年級(jí)校考期末）參加足球聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽．共要比賽90場(chǎng)．共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？【專(zhuān)訓(xùn)2-2】（2021秋·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)校考期中）應(yīng)用題：某市要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽．（本題第一問(wèn)要求列方程作答）（1）應(yīng)該邀請(qǐng)多少支球隊(duì)參加比賽？（2）若某支球隊(duì)參加3場(chǎng)后，因故不參與以后的比賽，問(wèn)實(shí)際共比賽多少場(chǎng)？【考試題型3】握手問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】握手次數(shù)=參會(huì)人數(shù)×（參會(huì)人數(shù)-1）÷2【典例3】（2021秋·湖北荊州·九年級(jí)校考期中）在一次聚會(huì)上，規(guī)定每?jī)蓚€(gè)人見(jiàn)面必須握1次手．

（1）若參加聚會(huì)的人數(shù)為6，則共握手次，若參加聚會(huì)的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），則共握手次；

（2）若參加聚會(huì)的人共握手36次，請(qǐng)求出參加聚會(huì)的人數(shù)？【專(zhuān)訓(xùn)3-1】（2022秋·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期中）元旦了，九（2）班每個(gè)同學(xué)都與全班同學(xué)交換一件自制的小禮物，結(jié)果全班交換小禮物共1560件，求九（2）班有多少個(gè)同學(xué)？【專(zhuān)訓(xùn)3-2】（2019秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在一次聚會(huì)上，規(guī)定每?jī)蓚€(gè)人見(jiàn)面必須握手，且握手1次．（1）若參加聚會(huì)的人數(shù)為3，則共握手次；若參加聚會(huì)的人數(shù)為5，則共握手次；（2）若參加聚會(huì)的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），則共握手次；（3）若參加聚會(huì)的人共握手28次，請(qǐng)求出參加聚會(huì)的人數(shù)．（4）嘉嘉由握手問(wèn)題想到了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：若線(xiàn)段AB上共有m個(gè)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A，B），線(xiàn)段總數(shù)為多少呢？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．【專(zhuān)訓(xùn)3-3】（2022秋·湖南湘潭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在2020年新冠肺炎疫情期間，某中學(xué)響應(yīng)政府有“停課不停學(xué)”的號(hào)召，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí)，九年級(jí)1班的全體同學(xué)在自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，彼此關(guān)懷，全班每?jī)蓚€(gè)同學(xué)都通過(guò)一次電話(huà)，互相勉勵(lì)，共同提高，如果該班共有48名同學(xué)，若每?jī)擅瑢W(xué)之間僅通過(guò)一次電話(huà)，那么全同學(xué)共通過(guò)多少次電話(huà)呢？我們可以用下面的方式來(lái)解決問(wèn)題．用點(diǎn)分表示第1名同學(xué)、第2名同學(xué)、第3名同學(xué)…第48名同學(xué)，把該班級(jí)人數(shù)x與通電話(huà)次數(shù)y之間的關(guān)系用如圖模型表示：（1）填寫(xiě)上圖中第四個(gè)圖中y的值為_(kāi)______，第五個(gè)圖中y的值為_(kāi)______．（2）通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)，通電話(huà)次數(shù)y與該班級(jí)人數(shù)x之間的關(guān)系式為_(kāi)_______，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的________．（3）若九年級(jí)1班全體女生相互之間共通話(huà)190次，問(wèn)：該班共有多少名女生？【考試題型4】變化率問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】①如果增長(zhǎng)率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)率為x，則第一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(1＋x)，第二次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(1＋x)2．②如果下降率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為a(1-x)，第二次下降后的數(shù)量為a(1-x)2．【典例4】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬(wàn)元，2021年投入資金1440萬(wàn)元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率；(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬(wàn)元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？【專(zhuān)訓(xùn)4-1】（2022春·江蘇鹽城·八年級(jí)景山中學(xué)?？计谀┠乘陿?biāo)價(jià)為10元/kg的某種水果經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后價(jià)格為8.1元/kg，并且兩次降價(jià)的百分率相同．時(shí)間/天x銷(xiāo)量/kg120－x儲(chǔ)藏和損耗費(fèi)用/元3x2－64x＋400(1)求該水果每次降價(jià)的百分率；(2)從第二次降價(jià)的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的銷(xiāo)量及儲(chǔ)藏和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如下表所示，已知該水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/kg，設(shè)銷(xiāo)售該水果第x天（1≤x＜10）的利潤(rùn)為377元，求x的值．【專(zhuān)訓(xùn)4-2】（2023秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）“雜交水稻之父”——袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標(biāo)．（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長(zhǎng)率，科研團(tuán)隊(duì)期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達(dá)到1200公斤，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他們的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)．【考試題型5】圖形問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】①常見(jiàn)幾何周長(zhǎng)面積是等量關(guān)系.②解決課本封面、小路寬度常采用圖形平移列方程.【典例5】（2022秋·天津?yàn)I海新·九年級(jí)校考期中）某扶貧單位為了提高貧困戶(hù)的經(jīng)濟(jì)收入，購(gòu)買(mǎi)了33m的鐵柵欄，準(zhǔn)備用這些鐵柵欄為貧困戶(hù)靠墻(墻長(zhǎng)15m)圍建一個(gè)中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)(如圖所示)，（1）若要建的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)面積為90m2，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)(AB)和寬(BC)；（2）該扶貧單位想要建一個(gè)100m2的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，這一想法能實(shí)現(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【專(zhuān)訓(xùn)5-1】（2022秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，某中學(xué)課外興題小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形花園ABCD，其中一邊靠墻，另外三邊用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍成，與墻平行的一邊BC上要預(yù)留2m寬的入口（如圖中MN所示，不用籬笆），已知墻長(zhǎng)為28m．(1)當(dāng)矩形的長(zhǎng)BC為多少米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米；(2)能否圍成500平方米的矩形花園?若能求出BC長(zhǎng)；若不能，說(shuō)明理由．【專(zhuān)訓(xùn)5-2】（2022秋·遼寧營(yíng)口·九年級(jí)期末）如圖，在寬為20m，長(zhǎng)為30m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為551m2，求道路的寬．【專(zhuān)訓(xùn)5-3】（2022秋·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）為了改善生態(tài)環(huán)境，重慶市政府決定對(duì)某公園進(jìn)行綠化，該綠化工程需要完成26000平方米的綠化任務(wù)．某施工隊(duì)在按計(jì)劃施工7天后，將每天的工作量增加為原來(lái)的1．5倍，結(jié)果再花4天剛好完成該項(xiàng)綠化工程．(1)該綠化工程原計(jì)劃每天完成多少平方米的綠化任務(wù)？(2)如圖，在綠化工程中，要修建一個(gè)中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，該花圃一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為16米），其余部分由籬笆圍成．為了出入方便，在建造花圃時(shí)，在長(zhǎng)邊上用其他材料建造了寬為1米的兩個(gè)小門(mén)，其余部分剛好用完長(zhǎng)為28米的籬笆．若此時(shí)花畫(huà)的面積為72平方米，求此時(shí)花圃的長(zhǎng)和寬．【考試題型6】行程問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】基本公式：路程=速度×?xí)r間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間關(guān)鍵問(wèn)題：確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置.基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量.相遇問(wèn)題解題思路：相遇時(shí)間＝總路程÷（甲速＋乙速）

總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間追擊問(wèn)題題解題思路：追及時(shí)間＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及時(shí)間【典例6】（2020秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動(dòng)漫制作活動(dòng)，小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)雛形，如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)、，以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng)，甲運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間滿(mǎn)足關(guān)系，乙以的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長(zhǎng)度為．（1）甲運(yùn)動(dòng)后的路程是多少?（2）甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間?（3）甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間?【專(zhuān)訓(xùn)6-1】（2019秋·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）“鐵路建設(shè)助推經(jīng)濟(jì)發(fā)展”，近年來(lái)我國(guó)政府十分重視鐵路建設(shè)．渝利鐵路通車(chē)后，從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車(chē)設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速提高了120千米/小時(shí)，全程設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間只需8小時(shí)，比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間少用16小時(shí)．（1）渝利鐵路通車(chē)后，重慶到上海的列車(chē)設(shè)計(jì)運(yùn)行里程是多少千米？（2）專(zhuān)家建議：從安全的角度考慮，實(shí)際運(yùn)行時(shí)速要比設(shè)計(jì)時(shí)速減少m%，以便于有充分時(shí)間應(yīng)對(duì)突發(fā)事件，這樣，從重慶到上海的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間將增加小時(shí)，求m的值．【考試題型7】圖表問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】理解題干內(nèi)容，從題干中獲取信息.【典例7】（2021·四川巴中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）李先生乘出租車(chē)去某公司辦事，下車(chē)時(shí)，打出的電子收費(fèi)單為“里程11千米，應(yīng)收29.10元”．該城市的出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示，請(qǐng)求出起步價(jià)N(N<12)．【專(zhuān)訓(xùn)7-1】（2020秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)龍灣風(fēng)景區(qū)的旅游信息，某公司組織一批員工到該風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社28000元.你能確定參加這次旅游的人數(shù)嗎？【考試題型8】數(shù)字問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】①若個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則十位數(shù)字表示為10b+a.百位數(shù)字表示100c+10b+a②日歷中的某個(gè)日期，左右相差1，上下相差7.【典例8】（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀﹥蓚€(gè)相鄰正奇數(shù)的積為143，求這兩個(gè)正奇數(shù)．【專(zhuān)訓(xùn)8-1】（2022秋·湖南常德·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和是，求這三個(gè)偶數(shù)．【專(zhuān)訓(xùn)8-2】（2020秋·全國(guó)·九年級(jí)期末）根據(jù)下列問(wèn)題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位上數(shù)字與十位上數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4，求這個(gè)兩位數(shù)．【專(zhuān)訓(xùn)8-3】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字的平方少9．如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到的兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)小27，求原來(lái)的兩位數(shù)．【考試題型9】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】在動(dòng)點(diǎn)中觀(guān)察圖形的變化情況，需理解動(dòng)點(diǎn)在圖形不同位置情況，才能做好計(jì)算推理過(guò)程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的基本思路。【典例9】（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．(1)______cm，______cm（用含x的式子表示）；(2)若時(shí)，求x的值；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，將成為以為斜邊的直角三角形．【專(zhuān)訓(xùn)9-1】（2022秋·湖南張家界·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．求：（1）幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2？（2）△PBQ的面積能否等于7cm2？說(shuō)明理由．【專(zhuān)訓(xùn)9-2】（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏魯木齊市第九中學(xué)?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)點(diǎn)B為止；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止移動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts，連接PQ．(1)當(dāng)t=2時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；(2)當(dāng)PQ=10cm時(shí)，求t的值．【專(zhuān)訓(xùn)9-3】（2022秋·陜西西安·九年級(jí)西安市西航一中校聯(lián)考期中）如圖，中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s．(1)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，為等腰三角形？(2)為何值時(shí)，的面積等于面積的？(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的長(zhǎng)度能否為？試說(shuō)明理由．

專(zhuān)題02實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（考點(diǎn)清單）【考試題型1】傳播問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】明確每輪傳播中的傳染源個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的總數(shù)．【典例1】（2021秋·廣東湛江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）有一人患了新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎．(1)求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？【答案】(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了12個(gè)人(2)第三輪將又有2028人被傳染【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患了流感，可求出x，（2）由（1）所得可求出第三輪過(guò)后，又被感染的人數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則（x＋1)2＝169．解得，(舍去)．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了12個(gè)人；（2）解：由題意得：169×12＝2028(人)．答：第三輪將又有2028人被傳染．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，先求出每輪傳染中平均每人傳染了多少人數(shù)是解題關(guān)鍵．【專(zhuān)訓(xùn)1-1】（2022秋·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某種流感病毒，若有一人患了這種流感，則在每輪傳染中一人將平均傳染x人．(1)現(xiàn)有一人患上這種流感，求第一輪傳染后患病的人數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；(2)在進(jìn)入第二輪傳染前，有兩位患者被及時(shí)隔高并治愈，問(wèn)第二輪傳染后患病的人數(shù)會(huì)有21人嗎？【答案】(1)；(2)不會(huì)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了人，開(kāi)始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個(gè)人，他傳染了人，則第一輪后共有人患了流感；（2）第二輪傳染中，這些人中的每個(gè)人又傳染了人，因進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時(shí)隔離并治愈，則第二輪后共有人患了流感，而此時(shí)患流感人數(shù)為21，根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系列出方程若能求得正整數(shù)解即可會(huì)有21人患?。驹斀狻浚?）解：由題意可知：第一輪傳染后患病的人數(shù)人，（2）解：設(shè)在每輪傳染中一人將平均傳給人，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，∵，都不是正整數(shù)，∴第二輪傳染后共會(huì)有21人患病的情況不會(huì)發(fā)生．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時(shí)隔離并治愈列出方程并求解．【專(zhuān)訓(xùn)1-2】（2022秋·福建漳州·九年級(jí)?？计谥校┯幸粋€(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后有若干人被傳染上流感．假設(shè)在每輪的傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人．(1)第二輪被傳染上流感人數(shù)是______；（用含x的代數(shù)式表示）(2)在進(jìn)入第二輪傳染之前，如果有4名患者被及時(shí)隔離（未治愈），經(jīng)過(guò)兩輪傳染后是否會(huì)有63人患病的情況發(fā)生，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)第二輪傳染后不會(huì)有63人患病的情況發(fā)生【分析】（1）根據(jù)每輪的傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，可得答案；（2）根據(jù)題意，列出一元二次方程，進(jìn)而即可判斷是否會(huì)有63人患病的情況．【詳解】（1）解：第一輪被感染的人數(shù)為x，第二輪被傳染上流感人數(shù)是，故答案為：；（2）解：經(jīng)過(guò)兩輪傳染后不會(huì)有63人患病的情況發(fā)生，理由如下：依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），∵不為正整數(shù)，∴第二輪傳染后不會(huì)有63人患病的情況發(fā)生．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系，列出一元二次方程是關(guān)鍵．【考試題型2】參賽球隊(duì)數(shù)量問(wèn)腿與一元二次方程【解題方法】如果有n只球隊(duì)參加比賽，比賽規(guī)則如下：1）若采取單循環(huán)比賽賽制，則比賽場(chǎng)次為：n（n2）若采取雙循環(huán)比賽賽制，則比賽場(chǎng)次為：n（n【典例2】（2022秋·北京西城·九年級(jí)北京育才學(xué)校?？计谀W(xué)生會(huì)要組織“西實(shí)杯”籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)）．（1）如果有4支球隊(duì)參加比賽，那么共進(jìn)行______場(chǎng)比賽；（2）如果全校一共進(jìn)行36場(chǎng)比賽，那么有多少支球隊(duì)參加比賽？【答案】（1）6；（2）9支【分析】根據(jù)賽制為單循環(huán)形式場(chǎng)，即可求解；（2）設(shè)有支球隊(duì)參加比賽，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）（場(chǎng)），答：共進(jìn)行6場(chǎng)比賽；（2）設(shè)有支球隊(duì)參加比賽，根據(jù)題意得：，解得：（不合題意，舍去），答：有9支球隊(duì)參加比賽．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【專(zhuān)訓(xùn)2-1】（2023秋·新疆阿克蘇·九年級(jí)?？计谀﹨⒓幼闱蚵?lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽．共要比賽90場(chǎng)．共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？【答案】共有10個(gè)隊(duì)參加比賽．【分析】設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參加比賽，根據(jù)每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽結(jié)合共比了90場(chǎng)即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參加比賽，根據(jù)題意得：2×x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．故共有10個(gè)隊(duì)參加比賽．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽結(jié)合共比了90場(chǎng)列出關(guān)于x的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【專(zhuān)訓(xùn)2-2】（2021秋·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)校考期中）應(yīng)用題：某市要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽．（本題第一問(wèn)要求列方程作答）（1）應(yīng)該邀請(qǐng)多少支球隊(duì)參加比賽？（2）若某支球隊(duì)參加3場(chǎng)后，因故不參與以后的比賽，問(wèn)實(shí)際共比賽多少場(chǎng)？【答案】（1）6；（2）13【分析】（1）設(shè)應(yīng)該邀請(qǐng)x支球隊(duì)參加比賽，則比賽的總場(chǎng)數(shù)為場(chǎng)，與總場(chǎng)數(shù)為15場(chǎng)建立方程求出其解即可；（2）用3加上余下的5支球隊(duì)比賽的總場(chǎng)數(shù)即可．【詳解】（1）設(shè)應(yīng)該邀請(qǐng)x支球隊(duì)參加比賽，依題意得：，解得：或（不合題意，舍去）．答：應(yīng)邀請(qǐng)6支球隊(duì)參加比賽；（2）由題可得：（場(chǎng)）．答：實(shí)際共比賽13場(chǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)以單循環(huán)形式比賽規(guī)則的總場(chǎng)數(shù)作為等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．【考試題型3】握手問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】握手次數(shù)=參會(huì)人數(shù)×（參會(huì)人數(shù)-1）÷2【典例3】（2021秋·湖北荊州·九年級(jí)?？计谥校┰谝淮尉蹠?huì)上，規(guī)定每?jī)蓚€(gè)人見(jiàn)面必須握1次手．

（1）若參加聚會(huì)的人數(shù)為6，則共握手次，若參加聚會(huì)的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），則共握手次；

（2）若參加聚會(huì)的人共握手36次，請(qǐng)求出參加聚會(huì)的人數(shù)？【答案】（1）15；；（2）參加聚會(huì)的有9人．【分析】（1）根據(jù)每一人與其它五人握手，可得6×5次，其中每?jī)扇酥貜?fù)一次握手，共有，根據(jù)握手次數(shù)=參會(huì)人數(shù)×（參會(huì)人數(shù)-1）÷2，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)有x人參加聚會(huì)，由（1）的結(jié)論結(jié)合共握手36次，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）若參加聚會(huì)的人數(shù)為，則共握手（次）；參加聚會(huì)的人數(shù)為（為正整數(shù)），則共握手次．故答案為：15；；（2）設(shè)有人參加聚會(huì)，根據(jù)題意得，，整理得，因式分解得，解得：，（不合題意，舍去），答：參加聚會(huì)的有9人．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，列代數(shù)式，一元二次次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含n的代數(shù)式表示出握手總數(shù)；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．【專(zhuān)訓(xùn)3-1】（2022秋·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期中）元旦了，九（2）班每個(gè)同學(xué)都與全班同學(xué)交換一件自制的小禮物，結(jié)果全班交換小禮物共1560件，求九（2）班有多少個(gè)同學(xué)？【答案】40個(gè)【分析】設(shè)九（2）班有x個(gè)同學(xué)，則每個(gè)同學(xué)交換出（x﹣1）件小禮物，根據(jù)全班交換小禮物共1560件，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)九（2）班有x個(gè)同學(xué)，則每個(gè)同學(xué)交換出（x﹣1）件小禮物，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝1560，解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合題意，舍去）．答：九（2）班有40個(gè)同學(xué)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【專(zhuān)訓(xùn)3-2】（2019秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在一次聚會(huì)上，規(guī)定每?jī)蓚€(gè)人見(jiàn)面必須握手，且握手1次．（1）若參加聚會(huì)的人數(shù)為3，則共握手次；若參加聚會(huì)的人數(shù)為5，則共握手次；（2）若參加聚會(huì)的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），則共握手次；（3）若參加聚會(huì)的人共握手28次，請(qǐng)求出參加聚會(huì)的人數(shù)．（4）嘉嘉由握手問(wèn)題想到了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：若線(xiàn)段AB上共有m個(gè)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A，B），線(xiàn)段總數(shù)為多少呢？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．【答案】（1）3；10；（2）；（3）參加聚會(huì)的人數(shù)為8人；（4）.【分析】（1）（2）（3）根據(jù)題意每個(gè)人要與他自己以外的人握手一次，當(dāng)兩人只握手一次，所以握手次數(shù)為：×聚會(huì)人數(shù)×（聚會(huì)人數(shù)-1），故可進(jìn)行計(jì)算求解；（4）由線(xiàn)段上AB上共有m個(gè)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A，B），則相當(dāng)于聚會(huì)人數(shù)為m+2,則根據(jù)公式即可寫(xiě)出線(xiàn)段數(shù).【詳解】（1）若參加聚會(huì)的人數(shù)為3，則共握手3次；若參加聚會(huì)的人數(shù)為5，則共握手10次；（2）若參加聚會(huì)的人數(shù)為n（n為正整數(shù)），則共握手次（3）由題意得：=28，即解得，，（舍去）答：參加聚會(huì)的人數(shù)為8人．（4）由線(xiàn)段上AB上共有m個(gè)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A，B），則相當(dāng)于聚會(huì)人數(shù)為m+2,則根據(jù)公式即可寫(xiě)出線(xiàn)段數(shù)為【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系進(jìn)行求解.【專(zhuān)訓(xùn)3-3】（2022秋·湖南湘潭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在2020年新冠肺炎疫情期間，某中學(xué)響應(yīng)政府有“停課不停學(xué)”的號(hào)召，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí)，九年級(jí)1班的全體同學(xué)在自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，彼此關(guān)懷，全班每?jī)蓚€(gè)同學(xué)都通過(guò)一次電話(huà)，互相勉勵(lì)，共同提高，如果該班共有48名同學(xué)，若每?jī)擅瑢W(xué)之間僅通過(guò)一次電話(huà)，那么全同學(xué)共通過(guò)多少次電話(huà)呢？我們可以用下面的方式來(lái)解決問(wèn)題．用點(diǎn)分表示第1名同學(xué)、第2名同學(xué)、第3名同學(xué)…第48名同學(xué)，把該班級(jí)人數(shù)x與通電話(huà)次數(shù)y之間的關(guān)系用如圖模型表示：（1）填寫(xiě)上圖中第四個(gè)圖中y的值為_(kāi)______，第五個(gè)圖中y的值為_(kāi)______．（2）通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)，通電話(huà)次數(shù)y與該班級(jí)人數(shù)x之間的關(guān)系式為_(kāi)_______，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的________．（3）若九年級(jí)1班全體女生相互之間共通話(huà)190次，問(wèn)：該班共有多少名女生？【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20【分析】（1）觀(guān)察圖形，可以找出第四和第五個(gè)圖中的y值；（2）根據(jù)y值隨x值的變化，可找出，再代入可求出當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的y值；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合九年級(jí)1班全體女生相互之間共通話(huà)190次，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）觀(guān)察圖形，可知：第四個(gè)圖中y的值為10，第五個(gè)圖中y的值為15．故答案為：10；15．（2）∵，∴，當(dāng)時(shí)，．故答案為：；1128．（3）依題意，得：，化簡(jiǎn)，得：，解得：（不合題意，舍去）．答：該班共有20名女生．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及圖形的變化規(guī)律，觀(guān)察圖形找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【考試題型4】變化率問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】①如果增長(zhǎng)率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)率為x，則第一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(1＋x)，第二次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(1＋x)2．②如果下降率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為a(1-x)，第二次下降后的數(shù)量為a(1-x)2．【典例4】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬(wàn)元，2021年投入資金1440萬(wàn)元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率；(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬(wàn)元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？【答案】(1)20%(2)18個(gè)【分析】（1）先設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)2019年投入資金2021年投入的總資金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的資金年增長(zhǎng)率求出2022年的投入資金，然后2022年改造老舊小區(qū)的總費(fèi)用要小于等于2022年投入資金，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得：，解這個(gè)方程得，，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合本題要求．答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為20%．（2）設(shè)該市在2022年可以改造個(gè)老舊小區(qū)，由題意得：，解得．∵為正整數(shù)，∴最多可以改造18個(gè)小區(qū)．答：該市在2022年最多可以改造18個(gè)老舊小區(qū)．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的等量關(guān)系和相應(yīng)的不等關(guān)系，列出正確的方程和不等式．【專(zhuān)訓(xùn)4-1】（2022春·江蘇鹽城·八年級(jí)景山中學(xué)?？计谀┠乘陿?biāo)價(jià)為10元/kg的某種水果經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后價(jià)格為8.1元/kg，并且兩次降價(jià)的百分率相同．時(shí)間/天x銷(xiāo)量/kg120－x儲(chǔ)藏和損耗費(fèi)用/元3x2－64x＋400(1)求該水果每次降價(jià)的百分率；(2)從第二次降價(jià)的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的銷(xiāo)量及儲(chǔ)藏和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如下表所示，已知該水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/kg，設(shè)銷(xiāo)售該水果第x天（1≤x＜10）的利潤(rùn)為377元，求x的值．【答案】(1)10%(2)9【分析】（1）設(shè)該水果每次降價(jià)的百分率為y，根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解．(1)設(shè)該水果每次降價(jià)的百分率為y，依題意，得10（1－y）2＝8.1，解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不合題意，舍去）．答：該水果每次降價(jià)的百分率為10%．(2)依題意，得，解得x1＝9，x2＝11（舍去）．答：x的值為9．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意列出一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．【專(zhuān)訓(xùn)4-2】（2023秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）“雜交水稻之父”——袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標(biāo)．（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長(zhǎng)率，科研團(tuán)隊(duì)期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達(dá)到1200公斤，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他們的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)．【答案】（1）20%；（2）能【分析】（1）設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x，依題意列出關(guān)于x的一元二次方程，求解即可；（2）根據(jù)（1）求出的平均增長(zhǎng)率計(jì)算第四階段畝產(chǎn)量即可．【詳解】解：（1）設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：，解得：，（舍去），答：畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為20%．（2）第四階段的畝產(chǎn)量為（公斤），∵，∴他們的目標(biāo)可以實(shí)現(xiàn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，掌握2次變化的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．【考試題型5】圖形問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】①常見(jiàn)幾何周長(zhǎng)面積是等量關(guān)系.②解決課本封面、小路寬度常采用圖形平移列方程.【典例5】（2022秋·天津?yàn)I海新·九年級(jí)校考期中）某扶貧單位為了提高貧困戶(hù)的經(jīng)濟(jì)收入，購(gòu)買(mǎi)了33m的鐵柵欄，準(zhǔn)備用這些鐵柵欄為貧困戶(hù)靠墻(墻長(zhǎng)15m)圍建一個(gè)中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)(如圖所示)，（1）若要建的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)面積為90m2，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)(AB)和寬(BC)；（2）該扶貧單位想要建一個(gè)100m2的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，這一想法能實(shí)現(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）雞場(chǎng)的長(zhǎng)（AB）為15m，寬（BC）為6m；（2）不能，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)BC=xm，則AB=（33-3x）m，根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合矩形養(yǎng)雞場(chǎng)面積為90m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分別代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出結(jié)論；（2）不能，理由如下，設(shè)BC=ym，則AB=（33-3y）m，同（1）可得出關(guān)于y的一元二次方程，由根的判別式△=-111＜0，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)BC=xm，則AB=（33-3x）m，依題意，得：x（33-3x）=90，解得：x1=6，x2=5．當(dāng)x=6時(shí)，33-3x=15，符合題意，當(dāng)x=5時(shí)，33-3x=18，18＞15，不合題意，舍去．答：雞場(chǎng)的長(zhǎng)（AB）為15m，寬（BC）為6m．（2）不能，理由如下：設(shè)BC=ym，則AB=（33-3y）m，依題意，得：y（33-3y）=100，整理，得：3y2-33y+100=0．∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0，∴該方程無(wú)解，即該扶貧單位不能建成一個(gè)100m2的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【專(zhuān)訓(xùn)5-1】（2022秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，某中學(xué)課外興題小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形花園ABCD，其中一邊靠墻，另外三邊用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍成，與墻平行的一邊BC上要預(yù)留2m寬的入口（如圖中MN所示，不用籬笆），已知墻長(zhǎng)為28m．(1)當(dāng)矩形的長(zhǎng)BC為多少米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米；(2)能否圍成500平方米的矩形花園?若能求出BC長(zhǎng)；若不能，說(shuō)明理由．【答案】(1)當(dāng)矩形的長(zhǎng)BC為12米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米(2)不能?chē)?00平方米的矩形花園，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)可以砌60m長(zhǎng)的墻的材料，即總長(zhǎng)度是60m，BC=xm，則AB=（60-x+2）m，再根據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可．（2）利用根的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）設(shè)矩形花園BC的長(zhǎng)為x米，則其寬為（60﹣x+2）米，依題意列方程得：（60﹣x+2）x＝300，x2﹣62x+600＝0，解這個(gè)方程得：x1＝12，x2＝50，∵28＜50，∴x2＝50（不合題意，舍去），∴x＝12．答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)BC為12米時(shí)，矩形花園的面積為300平方米；（2）設(shè)矩形花園BC的長(zhǎng)為x米，則其寬為（60﹣x+2）米，依題意列方程得：（60﹣x+2）x＝500，x2﹣62x+1000＝0，△＝622﹣4000＝﹣156＜0，則該方程無(wú)解，即不能?chē)?00平方米的矩形花園．答：不能?chē)?00平方米的矩形花園．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系求解，注意圍墻EF最長(zhǎng)可利用28m，舍掉不符合題意的數(shù)據(jù)．【專(zhuān)訓(xùn)5-2】（2022秋·遼寧營(yíng)口·九年級(jí)期末）如圖，在寬為20m，長(zhǎng)為30m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為551m2，求道路的寬．【答案】【分析】設(shè)道路的寬為，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)道路的寬為，根據(jù)題意得：，解得：，（不合題意，舍去），答：道路的寬為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【專(zhuān)訓(xùn)5-3】（2022秋·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）為了改善生態(tài)環(huán)境，重慶市政府決定對(duì)某公園進(jìn)行綠化，該綠化工程需要完成26000平方米的綠化任務(wù)．某施工隊(duì)在按計(jì)劃施工7天后，將每天的工作量增加為原來(lái)的1．5倍，結(jié)果再花4天剛好完成該項(xiàng)綠化工程．(1)該綠化工程原計(jì)劃每天完成多少平方米的綠化任務(wù)？(2)如圖，在綠化工程中，要修建一個(gè)中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，該花圃一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為16米），其余部分由籬笆圍成．為了出入方便，在建造花圃時(shí)，在長(zhǎng)邊上用其他材料建造了寬為1米的兩個(gè)小門(mén)，其余部分剛好用完長(zhǎng)為28米的籬笆．若此時(shí)花畫(huà)的面積為72平方米，求此時(shí)花圃的長(zhǎng)和寬．【答案】(1)該綠化項(xiàng)目原計(jì)劃每天完成2000平方米(2)花圃的長(zhǎng)為6米，寬為12米．【分析】（1）直接利用每天的工作量增加為原來(lái)的1.5倍，再用4天完成了該項(xiàng)綠化工程，進(jìn)而得出方程求出答案；（2）設(shè)花圃的寬AB為x米，它的面積為72米2，進(jìn)而列出方程求出答案即可．【詳解】（1）解：設(shè)該項(xiàng)綠化工程原計(jì)劃每天完成x米2，根據(jù)題意得：＝4，解得：x＝2000，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2000是原方程的解，答：該綠化項(xiàng)目原計(jì)劃每天完成2000平方米；（2）解：設(shè)花圃的寬AB為x米，則BC＝28+2﹣3x＝30﹣3x，根據(jù)題意，得（30﹣3x）x＝72，解得：x1＝4，x2＝6．∵當(dāng)x＝4時(shí)，30﹣3x＝18＞16，∴不符合題意，舍去．∴寬為6米，長(zhǎng)為12米．答：花圃的長(zhǎng)為6米，寬為12米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，正確找到等量關(guān)系，列出方程是解題關(guān)鍵．【考試題型6】行程問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】基本公式：路程=速度×?xí)r間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間關(guān)鍵問(wèn)題：確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置.基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量.相遇問(wèn)題解題思路：相遇時(shí)間＝總路程÷（甲速＋乙速）

總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間追擊問(wèn)題題解題思路：追及時(shí)間＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及時(shí)間【典例6】（2020秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動(dòng)漫制作活動(dòng)，小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)雛形，如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)、，以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng)，甲運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間滿(mǎn)足關(guān)系，乙以的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長(zhǎng)度為．（1）甲運(yùn)動(dòng)后的路程是多少?（2）甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間?（3）甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間?【答案】（1）28cm；（2）3s；（3）7s【分析】（1）將t=4代入公式計(jì)算即可；（2）第一次相遇即是共走半圓的長(zhǎng)度，據(jù)此列方程，求解即可；（3）第二次相遇應(yīng)是走了三個(gè)半圓的長(zhǎng)度，得到，解方程即可得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)t=4s時(shí)，cm.答：甲運(yùn)動(dòng)4s后的路程是．（2）由圖可知，甲乙第一次相遇時(shí)走過(guò)的路程為半圓，甲走過(guò)的路程為，乙走過(guò)的路程為，則.解得或（不合題意，舍去）．答：甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了3s．（3）由圖可知，甲乙第二次相遇時(shí)走過(guò)的路程為三個(gè)半圓，則解得或（不合題意，舍去）．答：甲、乙從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了7s．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.【專(zhuān)訓(xùn)6-1】（2019秋·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）“鐵路建設(shè)助推經(jīng)濟(jì)發(fā)展”，近年來(lái)我國(guó)政府十分重視鐵路建設(shè)．渝利鐵路通車(chē)后，從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車(chē)設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速提高了120千米/小時(shí)，全程設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間只需8小時(shí)，比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間少用16小時(shí)．（1）渝利鐵路通車(chē)后，重慶到上海的列車(chē)設(shè)計(jì)運(yùn)行里程是多少千米？（2）專(zhuān)家建議：從安全的角度考慮，實(shí)際運(yùn)行時(shí)速要比設(shè)計(jì)時(shí)速減少m%，以便于有充分時(shí)間應(yīng)對(duì)突發(fā)事件，這樣，從重慶到上海的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間將增加小時(shí)，求m的值．【答案】（1）1600；（2）20．【分析】（1）利用“從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車(chē)設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速提高了l20千米/小時(shí)，全程設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間只需8小時(shí)，比原鐵路設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)間少用16小時(shí)”，分別得出等式組成方程組求出即可；（2）根據(jù)題意得出：進(jìn)而求出即可．【詳解】（1）設(shè)原時(shí)速為xkm/h，通車(chē)后里程為ykm，則有：，解得：，答：渝利鐵路通車(chē)后，重慶到上海的列車(chē)設(shè)計(jì)運(yùn)行里程是1600千米；（2）由題意可得出：，解得：，（不合題意舍去），答：m的值為20．【考試題型7】圖表問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】理解題干內(nèi)容，從題干中獲取信息.【典例7】（2021·四川巴中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）李先生乘出租車(chē)去某公司辦事，下車(chē)時(shí)，打出的電子收費(fèi)單為“里程11千米，應(yīng)收29.10元”．該城市的出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示，請(qǐng)求出起步價(jià)N(N<12)．【答案】起步價(jià)是10元．【詳解】試題分析：表格中的含義是：當(dāng)行車(chē)?yán)锍滩怀^(guò)3公里時(shí)，價(jià)格是N元，當(dāng)行車(chē)?yán)锍坛^(guò)了3公里而不超過(guò)6公里時(shí)，除付10元外，超過(guò)的部分每公里再付元；若行車(chē)?yán)锍坛^(guò)6公里，除了需付以上兩項(xiàng)費(fèi)用外，超過(guò)6公里的部分，每公里再付元．根據(jù)題意列出方程即可求解．試題解析：依題意，得N+（6-3）×+（11-6）×=29.10，整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10．由于N＜12，所以N=10．答：起步價(jià)是10元．【專(zhuān)訓(xùn)7-1】（2020秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)龍灣風(fēng)景區(qū)的旅游信息，某公司組織一批員工到該風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社28000元.你能確定參加這次旅游的人數(shù)嗎？【答案】參加旅游的人數(shù)40人.【分析】首先設(shè)有人參加這次旅游，判定，然后根據(jù)題意列出方程，再判定出符合題意的解即可.【詳解】設(shè)有人參加這次旅游∵∴參加人數(shù)依題意得：解得：，當(dāng)時(shí)，，符合題意.當(dāng)時(shí)，，不符合題意答：參加旅游的人數(shù)40人.【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，列出方程.【考試題型8】數(shù)字問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】①若個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則十位數(shù)字表示為10b+a.百位數(shù)字表示100c+10b+a②日歷中的某個(gè)日期，左右相差1，上下相差7.【典例8】（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)校考期末）兩個(gè)相鄰正奇數(shù)的積為143，求這兩個(gè)正奇數(shù)．【答案】11和13【分析】設(shè)較小的奇數(shù)為未知數(shù)，根據(jù)連續(xù)奇數(shù)相差2得到較大的奇數(shù)，根據(jù)兩個(gè)數(shù)的積是143列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為x，，根據(jù)題意，∴（舍去），，∴這兩個(gè)正奇數(shù)為11和13．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程進(jìn)行求解．【專(zhuān)訓(xùn)8-1】（2022秋·湖南常德·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和是，求這三個(gè)偶數(shù)．【答案】或【分析】設(shè)中間的偶數(shù)為，則這三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)依次為：，根據(jù)題意，列出方程并求解，然后分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，進(jìn)而即可得出三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)．【詳解】解：設(shè)中間的偶數(shù)為，則這三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)依次為：，根據(jù)題意，可得：，整理可得：，解得：，當(dāng)時(shí)，三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)依次為：，當(dāng)時(shí)，三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)依次為：，∴這三個(gè)連續(xù)偶數(shù)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)，用代數(shù)式表示三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，即可列方程求解．【專(zhuān)訓(xùn)8-2】（2020秋·全國(guó)·九年級(jí)期末）根據(jù)下列問(wèn)題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個(gè)位上數(shù)字與十位上數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小4，求這個(gè)兩位數(shù)．【答案】x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4，一般形式為：2x2－19x+24=0．【分析】等量關(guān)系為：個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的平方和＝這個(gè)兩位數(shù)﹣4，把相關(guān)數(shù)值代入求得整數(shù)解即可．【詳解】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為（x﹣4）．可列方程為：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4整理得：2x2－19x+24=0．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系．【專(zhuān)訓(xùn)8-3】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字的平方少9．如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到的兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)小27，求原來(lái)的兩位數(shù)．【答案】原兩位數(shù)為74．【分析】等量關(guān)系為：原來(lái)的兩位數(shù)-新兩位數(shù)=27，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算可得各位上的數(shù)字，根據(jù)兩位數(shù)的表示方法求得兩位數(shù)即可．【詳解】設(shè)原兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為（x2－9）．

∴10（x2－9）+x－10x－（x2－9）=27，

解得x1=4，x2=－3（不符合題意，舍去）．

∴x2－9=7，

∴原兩位數(shù)為74．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，熟練的掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.【考試題型9】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與一元二次方程【解題方法】在動(dòng)點(diǎn)中觀(guān)察圖形的變化情況，需理解動(dòng)點(diǎn)在圖形不同位置情況，才能做好計(jì)算推理過(guò)程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的基本思路。【典例9】（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．(1)______cm，______cm（用含x的式子表示）；(2)若時(shí)，求x的值；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，將成為以為斜邊的直角三角形．【答案】(1)，(2)或(3)當(dāng)為或時(shí)，是以為斜邊的直角三角形【分析】（1）直接根據(jù)P、Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速度表示出答案；（2）在中，根據(jù)勾股定理即可求出答案；（3）表示出、和，由勾