課時(shí)規(guī)范練37等比數(shù)列基礎(chǔ)鞏固練1.(2024·安徽黃山一模)已知{an}是以q為公比的等比數(shù)列,a3-a1=2,a6-a4=16,則q=()A.2 B.3 C.4 D.52.(2024·廣東江門一模)已知{an}是等比數(shù)列,a3a5=8a4,且a2,a6是方程x2-34x+m=0的兩根,則m=()A.8 B.-8C.64 D.-643.(2023·天津,6)已知{an}為等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,an+1=2Sn+2,則a4的值為()A.3 B.18 C.54 D.1524.(2024·湖北孝感模擬)為響應(yīng)國家號(hào)召,某地出臺(tái)了相關(guān)的優(yōu)惠政策鼓勵(lì)“個(gè)體經(jīng)濟(jì)”.個(gè)體戶小王2024年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元,用于進(jìn)貨,因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉,供不應(yīng)求.據(jù)測(cè)算:他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%,并且每月月底需扣除生活費(fèi)800元,余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨,如此繼續(xù),預(yù)計(jì)到2025年5月底他的年所得收入(扣除當(dāng)月生活費(fèi)且還完貸款)為()(參考數(shù)據(jù):1.211≈7.4,1.212≈9)A.35200元 B.39200元C.30000元 D.31520元5.(多選題)(2024·湖北黃岡二模)數(shù)列{an}滿足:a1=1,Sn-1=3an(n≥2),則下列結(jié)論中正確的是()A.a2=1B.{an}是等比數(shù)列C.an+1=43an,n≥D.Sn-1=(43)n-1,n≥6.(多選題)(2024·吉林長春模擬)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān)”,其意思是:“某人到某地需走378里路,第一天健步行走,從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天才到達(dá)目的地”,記此人中間兩天走的路程之和為M,中間四天走的路程之積為N,則下列說法正確的是()A.此人第一天走了全程的一半B.此人第五天和第六天共走了18里路C.5M<378D.N=115227.(2024·上海閔行三模)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S3=4,a4+a5+a6=8,則S12S68.(2024·河北“五個(gè)一”名校聯(lián)盟模擬)右圖數(shù)陣的每一行最右邊數(shù)據(jù)從上到下形成以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,每行的第n個(gè)數(shù)從上到下形成以2n-1為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,則該數(shù)陣第n行(n∈N*)所有數(shù)據(jù)的和Sn=.9.(13分)(2024·湖南長沙一模)已知數(shù)列{an}滿足an+1-3an=2n-1,且a1=1.(1)證明:數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.10.(13分)(2024·江西南昌二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=1,a2=3,an+an+2=kan+1.(1)當(dāng)k=2時(shí),求S10;(2)若k=52,設(shè)bn=an+1-2an,求{bn}的通項(xiàng)公式綜合提升練11.(2024·河南開封三模)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積,若a1=1,an+1=Sn,則滿足Tn>1000的n的最小值是()A.5 B.6 C.7 D.812.(多選題)(2024·江西贛州一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=18,S3=26,則()A.an>0B.Sn>0C.數(shù)列{|an|}為單調(diào)數(shù)列D.數(shù)列{|Sn|}為單調(diào)數(shù)列13.(2024·湖北八市聯(lián)考)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若3S2>S6>0,則公比q的取值范圍為.14.(15分)(2024·新疆烏魯木齊一模)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a2+a4=30,S4=45.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=1anan+1,求{bn}的前創(chuàng)新應(yīng)用練15.(15分)(2024·山東濰坊二模)數(shù)列{an}中,從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差組成的數(shù)列{an+1-an}稱為{an}的一階差數(shù)列,記為{an(1)},依此類推,{an(1)}的一階差數(shù)列稱為{an}的二階差數(shù)列,記為{an(2)},….如果一個(gè)數(shù)列{an}的p階差數(shù)列{a(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1.①求a1②證明:{an}是一階等比數(shù)列.(2)已知數(shù)列{bn}為二階等比數(shù)列,其前5項(xiàng)分別為1,209,379,789,2159答案：1.A解析由題得a6-a4=a3q3-a1q3=q3(a3-a1)=2q3=16,解得q=2.2.C解析因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以a3a5=a2a6=a42,又a3a5=8a4,所以a4=又a2,a6是方程x2-34x+m=0兩根,所以m=a2a6=a42=3.C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,當(dāng)n=1時(shí),a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,①當(dāng)n=2時(shí),a3=2(a1+a2)+2,即a1q2=2(a1+a1q)+2,②聯(lián)立①②可解得a1=2,q=3,所以a4=a1q3=54.4.D解析設(shè)2024年6月底小王手中有現(xiàn)款為a1=(1+20%)×8000-800=8800元,設(shè)2024年6月底為第一個(gè)月,以此類推,設(shè)第n個(gè)月月底小王手中有現(xiàn)款為an,第n+1個(gè)月月底小王手中有現(xiàn)款為an+1,則an+1=1.2an-800,即an+1-4000=1.2(an-4000),所以數(shù)列{an+1-4000}是首項(xiàng)為4800,公比為1.2的等比數(shù)列,所以a12-4000=4800×1.211,即a12=4000+4800×1.211≈39520,所以預(yù)計(jì)到2025年5月底他的年所得收入為39520-8000=31520元.5.AC解析由Sn-1=3an(n≥2),當(dāng)n=2時(shí),S1=a1=3a2=1,解得a2=13,故A正確;當(dāng)n≥1時(shí),可得Sn=3an+1,所以Sn-Sn-1=3an+1-3an(n≥2),所以an=3an+1-3an(n≥2),即an+1=43an(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),a2=13a1不符合上式,故C正確,B錯(cuò)誤;因?yàn)镾n-1=a1+a2+a3+…+an-1=1+13[1-(43)

n-2]16.BCD解析設(shè)此人第n天走了an里路,則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1,公比為q=12的等比數(shù)列,已知六天走的路程總和為S6=a1(1-q6)1-q=a1[1-(12)

6]1-12=378,解得a1=192,an=192×(12)n-1.此人第一天走了全程的192378=96189>12,A錯(cuò)誤;已知a5=192×(12)4=12,a6=192×(12)5=6,可得a5+a6=18,B正確;中間兩天走的路程之和為M=a3+a4=192×(12)2+192×(12)3=72,則57.5解析由題意得S6-S3=8,S6=S3+8=4+8=12,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比數(shù)列,故S6-S3S3=S9-S6S6-S3=S12-S9S9-S6,即82=4(S9-12),解得S9=28,則S8.3n-2n解析因?yàn)槊啃械牡趎個(gè)數(shù)從上到下形成以2n-1為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,所以Sn=30×2n-1+31×2n-2+32×2n-3+…+3n-1×20,所以Sn=3n-1×[(23)n-1+(23)n-2+(23)n-3+…+(23)0],Sn=3n-1×1-(23)

n1-23=39.(1)證明由an+1-3an=2n-1,得an+1+(n+1)=3(an+n),又a1=1,即a1+1=2,所以數(shù)列{an+n}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列.(2)解由(1)知,an+n=2·3n-1,即an=2·3n-1-n,所以Sn=(2×30-1)+(2×31-2)+…+(2×3n-1-n)=2(30+31+…+3n-1)-(1+2+…+n)=2(1-3n)1-10.解(1)當(dāng)k=2時(shí),有an+an+2=2an+1,即an+2-an+1=an+1-an,所以{an}為等差數(shù)列.因?yàn)閍1=1,a2=3,所以公差d=a2-a1=2,所以S10=1×10+10×92×(2)由已知,當(dāng)k=52時(shí),有an+2=52an+1-an,所以an+2-2an+1=12an+1-an=12(an+1-2an),即bn+1=12bn,且b1=a2-2a1=1,所以{bn}是以1所以bn=1×(12)n-1=(12)n-11.B解析由an+1=Sn可得Sn+1-Sn=Sn,即Sn+1=2Sn,S1=1≠0,故{Sn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,故Sn=2n-1,所以an+1=Sn=2n-1,故當(dāng)n≥2時(shí),an=2n-2,n=1時(shí)不符合該式,因此an=2n-2,n≥2,1,n=1.故Tn=a1a2a3…an=1×2由Tn>1000,則2(n-1)(n-2)2>1000,當(dāng)n=6時(shí),210>1000,當(dāng)n=5時(shí),26<1000,且(n-1)(n12.BC解析設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,由題意有a1q2=18,a1+a1q+a1q2=26,解得q=3,a1=2或q=-34,a1=32,對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)q=-34,a1=32,n為偶數(shù)時(shí),a對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)q=3時(shí),數(shù)列{|an|}是首項(xiàng)為2,公比為3的遞增數(shù)列,當(dāng)q=-34時(shí),數(shù)列{|an|}是首項(xiàng)為32,公比為34的遞減數(shù)列,所以C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,由選項(xiàng)B的分析知Sn>0,所以|Sn|=Sn,當(dāng)q=-34,a1=32時(shí),Sn=32×[1-(-34)

n13.(-1,0)∪(0,1)解析由題知等比數(shù)列{an}的公比q≠0,又S6=S2(1+q2+q4),所以3S2>S6>0可轉(zhuǎn)化為3S2>S2(1+q2+q4)>0,所以q2-1<0,解得q∈(-1,0)∪(0,1).所以公比q的取值范圍為(-1,0)∪(0,1).14.解(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意可得a即a1q+a1q3=30,a1+(2)因?yàn)閎n=1anan+1≠0,則bn+1bn=1an+1an+21anan+1=anan+2=1q15.(1)①解由a1=1,an+1=2an+1,易求得a2=3,a3=7,a4=15,由一階差數(shù)列的定義得a1(1)=a2-a1=2,a2(1)=a3-a2=4,②證明因?yàn)閍n+1=2an+1,所以an+1-2an=1,所以當(dāng)n≥2時(shí),有an-2an-1=1,所以an+1-2an=an-2an-1,變形得an+1-an=2(an-an-1),即an(1)=2an-1(1),n≥2,又因?yàn)閍1(1)=2,故{a(2)解由題意知{bn}的二階差數(shù)列{bn(2)}為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,則由題意得,b1(2)=23,q=4,所以bn(2)=23×4n-1.由題意b1(1)=119,所以bn(1)=b1(1)+∑k=1n-1(bk+1(1)?bk(1))當(dāng)n≥6時(shí),4n-1-1=(1+3)n-1-1=Cn-11×3+Cn-12×32+C所以原題等價(jià)于3Cn因?yàn)?Cn-顯然3(n-1)-1