第第頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《解直角三角形》專項檢測卷（附答案）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題：本題共3小題，每小題3分，共9分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如圖，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點E，則AE的長為(

)

A.423 B.22 2.在正方形ABCD中，AB=2，點E是BC邊的中點，連接DE，延長EC至點F，使得EF=DE，過點F作FG⊥DE，分別交CD、AB于N、G兩點，連接CM、EG、EN，下列判斷正確的有(????)個。

①tan∠GFB=12；

②MN=NC；

③CMEGA.4 B.3 C.2 D.13.如圖，等邊△ABC的邊長為3，點D在邊AC上，AD=12，線段PQ在邊BA上運動，PQ=12，有下列結(jié)論：

①CP與QD可能相等;

②△AQD與△BCP可能相似;

③四邊形PCDQ面積的最大值為31316:

④四邊形PCDQ周長的最小值為3+A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共3小題，每小題3分，共9分。4.如圖，在?ABCD中，AB=13，AD=20，∠ABC為銳角，且sin∠ABC=1213，點E是AD邊上的動點，連接BE，作∠BEF=∠ABC，EF與BC邊交于點5.如圖，點A，B，C在半徑為2的⊙O上，AC與OB交于點D，點D是AC的中點，OC/?/AB，則AC=

．

6.如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，點E為邊BC上一動點，點F為AE中點，點G為DE上一點，滿足EF=FG，連接CG，則CG的最小值為_________________．

三、解答題：本題共14小題，共112分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。7.(本小題8分)

如圖，△ABC中，∠ACB=90°．

(1)尺規(guī)作圖：作⊙O，使圓心O在邊AC上，且⊙O與AB，BC所在直線相切(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)的條件下，若AC=9，cos∠ABC=45，求⊙O的半徑8.(本小題8分)如圖，ABC中，AB=AC=45，(1)動手操作：利用尺規(guī)作以AC為直徑的⊙O，并標(biāo)出⊙O與AB的交點D，與BC的交點E(保留作圖痕跡，不寫作法)．(2)綜合應(yīng)用：在你所作的圓中，求證：DE=(3)求△BDE的周長．9.(本小題8分)如圖，已知△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，cos∠ABC=45，BE(1)求AC的長；(2)求△BED的面積．10.(本小題8分)

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，⊙O經(jīng)過B，D兩點，且圓心O在AB上．

(1)尺規(guī)作圖：請畫出⊙O(保留作圖痕跡，不寫作法);(2)求證：AC是⊙O的切線．(3)若⊙O與AB的另一個交點為E，sinA=35，CB=2411.(本小題8分)如圖，在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=AC，沿射線BE折疊△ABC，使點A恰好落在BC的延長線上的點D處，射線BE與腰AC交于點E．(1)尺規(guī)作圖：作出射線BE(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)在(1)所作的圖形中，連接DE，若CE=22，求線段DE12.(本小題8分)

如圖，△ABC中，∠ACB=90°．(1)尺規(guī)作圖：作⊙O，使圓心O在邊AC上，且⊙O與AB，BC所在直線相切(保留作圖痕跡，不寫作法);(2)在(1)的條件下，若AC=9，cos∠ABC=45，求⊙O的半徑13.(本小題8分)

某數(shù)學(xué)興趣小組在探究矩形的折疊問題.如圖，他們把矩形ABCD的邊AD折疊，折疊后點D與BC邊上的點E重合．

(1)怎么找出這條直線折痕呢?興趣小組發(fā)現(xiàn)可以通過尺規(guī)作圖，準(zhǔn)確地找到這條折痕.請你利用尺規(guī)作圖幫他們確定折痕所在的直線(不寫作法，保留作圖痕跡);(2)折痕與CD邊的交點為F，連結(jié)EF，以AF為直徑作⊙O，興趣小組進一步探究點E與⊙O的位置關(guān)系，請你與興趣小組一起思考分析，確定點E與⊙O的位置關(guān)系并說明理由;(3)如果折痕AF=105，tan∠FEC=34，通過探究，興趣小組發(fā)現(xiàn)可以求出矩形14.(本小題8分)

如圖，在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=AC，沿射線BE折疊△ABC，使點A恰好落在BC的延長線上的點D處，射線BE與腰AC交于點E．

(1)尺規(guī)作圖：作出射線BE(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)所作的圖形中，連接DE，若CE=22，求線段DE15.(本小題8分)如圖，在Rt?ABC中，(1)尺規(guī)作圖：作∠CAB的角平分線AD，交線段BC于點D.(不寫作法，保留作圖痕跡(2)在(1)作出的圖中，若AC=2，tan∠BAD=12，求16.(本小題8分)

如圖，已知△ABD和△AGE都是等腰三角形，AB=AD，AG=AE，∠BAD=∠GAE=α．

(1)求證：GD=BE；(2)如圖1，連接ED，若α=90°，以A、D、E、G為頂點的四邊形是平行四邊形，求AD與AG的數(shù)量關(guān)系及(3)如圖2，若α=60°，AB=AG=63，DG與BE交于點P，△AGE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，從AG與AB重合開始，到AE與AD17.(本小題8分)

如圖，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙O交Rt△ABC的斜邊BC于點D，連接OD.點E在AC上，ED=EA．(1)求作滿足條件的點E，并求證：DE是⊙O的切線.(要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)(2)請在(1)的條件下，延長DE交BA的延長線于點F，若AB=6，AC=3，求DF的長．18.(本小題8分)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，AC=12，點D在邊BC的延長線上，過點D作DE⊥BC且DE=3DC，連接BE，點P(1)求BC的長；(2)連接AP，PD，AD，請判斷△APD是否為等邊三角形？若是，請證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由；(3)以點C為圓心，3為半徑作⊙C，交邊AC于點M，點Q是⊙C上的動點，連接PM，PQ，求PM+PQ的最小值．19.(本小題8分)

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，CO的延長線交AB于點D．

(1)求證：AO平分∠BAC；

(2)若BC=12，sin∠BAC=35，求AC和CD的長．

20.(本小題8分)如圖，AB為⊙O的直徑，OA=3，點M在直線AB的下方且將AB?平分，動點P在⊙O上且位于直線AB上方，連接OP，作點A關(guān)于直線PO的對稱點A′，連接OA′(1)當(dāng)A′與點B重合時，則∠AOP=________；(2)當(dāng)PA′⊥AB時，求AA′的長度；(3)△A′BM能否等腰三角形？如果能，求出此時AA′的長度；如果不能，請說明理由．參考答案1.【答案】C

【解析】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

在Rt△ADC中，AC=8，∠C=45°，

∴∠C=∠DAC=45°，

∴AD=DC=ACsin45°=22AC=42，

在Rt△ADB中，AD=42，∠ABD=60°，

∴BD=ADtan30°=33AD=463，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBD=30°，

在Rt△EBD中，BD=463，∠EBD=30°，

∴DE=BDtan30°=33BD=4232.【答案】B

【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，

∵AB=2，點E是BC邊的中點，

∴CE=1，

∠DNM=∠FCN，

∵FG⊥DE，

∴∠DMN=90°，

∴∠DMN=∠NCF=90°，∠GFB=∠EDC，

tan∠GFB=tan∠EDC=ECED=12，①正確；

②∵∠DMN=∠NCF=90°，∠MND=∠CNF，

∴∠MDN=∠CFN，

在△DEC和△FEM中，∠EDC=∠EFM∠ECD=∠EMFDE=EF,

∴△DEC≌△FEM(AAS)

∴EM=EC，

∴DM=FC，

∠MDN=∠CFN，∠MND=∠CNF，DM=FC，

在△DMN和△FCN中，∠MDN=∠CFN∠MND=∠CNFDM=FC,

∴△DMN≌△FCN(AAS)，

∴MN=NC，故②正確；

③∵BE=EC，ME=EC，

∴BE=ME，

在Rt△GBE和Rt△GME中，BE=EMGE=GE,

∴Rt△GBE≌Rt△GME(HL)，

∴∠BEG=∠MEG，

∵ME=EC，∠EMC=∠ECM，

∵∠EMC+∠ECM=∠BEG+∠MEG，

∴∠GEB=∠MCE，

∴MC/?/GE，

∴CMEG=CFEF，

∵EF=DE=EC2+CD2=5，

CF=EF?EC=5?1，

∴CMEG=CFEF=5?15=5?55，故③錯誤；

④由上述可知：BE=EC=1，3.【答案】C

【解析】解：?①在△ABC中可知PC恒大于PD，PD大于等于DQ，

∴PC>DQ，故?①錯誤;

?②∵∠A=∠B=60°，

∴當(dāng)ADBP=AQBC時，△AQD∽△BCP，

設(shè)BP=a，則AQ=52?a，

則12a=52?a3，

整理得2a2?5a+3=0，△=(?5)2?4×2×3=1>0，故方程有解，故?②正確;

?③設(shè)AQ=x，

則S四邊形PCDQ=12×3×332?12×12×32x?12×(3?x?12)×332=338+538x．

∵x的最大值為3?12=52，

∴當(dāng)x=52時，四邊形PCDQ的面積最大，最大值為31316，故?③正確;4.【答案】263【解析】解：如圖，作△BEF的外接圓⊙O，連接OE、OF、OB，過O作OH⊥BC于點H，

設(shè)∠BEF=∠ABC=α，

∴∠FOB=2∠BEF=2α，

∴∠FOH=α=∠ABC，

過A作AG⊥BC于點G，過E作EI⊥AD于點I，

∵sin∠ABC=AGAB=1213，AB=13，

∴AG=EI=12，

∴BG=AB2?AG2=5，

∵∠AGB=∠OHF=90°，∠FOH=∠B，

∴△ABG∽△FOH，

∴ABOF=BGOH，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OF=OE=r，

∴13r=5OH，

∴OH=513r，

∵OH+OE≥EI，

即513r+r≥12，

解得r=263，

∴⊙O的半徑最小值為263．

故答案為：263．

作△BEF的外接圓⊙O，連接OE、OF5.【答案】2【解析】本題考查了圓的基本概念、等邊三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．先證明?ABD≌?COD得到AB=OC=2，推出?AOB是等邊三角形，然后在Rt?AOD中利用正弦的定義求出AD的長，即可求解．【解答】

解：∵點D是AC的中點，OA=OC=2，∴AD=CD，OD⊥AC，∵OC//AB，∴∠BAD=∠OCD，∠ABD=∠COD，∴?ABD≌?CODAAS∴AB=OC=2，又∵OA=OB=2，∴AB=OA=OB=2，∴?AOB是等邊三角形，∴∠AOD=∠AOB=60∴在Rt?AOD中，sin∠AOD=∴AD=∴AC=2AD=2故答案為：26.【答案】2【解析】解：F是AE的中點，如圖1，連接AG，

∴12AE=AF=EF，

∵EF=FG，

∴AF=FG=EF，

∴∠FAG=∠FGA，∠FGE=∠FEG，

∵∠FAG+∠FGA+∠FGE+∠FEG=2(∠FGA+∠FGE)=180°，

∴∠FGA+∠FGE=90°=∠AGE，

∴∠AGE=∠AGD=90°，

∴點G在以AD為直徑的圓上運動，取AD的中點O，連接OG，如圖2：

當(dāng)O，G，C三點共線時，CG的值最小，

∵四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，

∴∠ADC=60°，AD=CD=AB=4，

∴OD=OG=12AD=2，

∵cos∠ADC=12，ODCD=12，

∴∠COD=90°，

在直角三角形OCD7.【答案】見解答．

⊙O的半徑為4．

【解析】解：(1)如圖，作∠ABC的平分線，交AC于點O，以點O為圓心，OC的長為半徑畫圓，

則⊙O即為所求．

(2)設(shè)⊙O與AB相切于點D，連接OD，

∴OC=OD，∠ADO=∠ACB=90°，

∴∠AOD+∠A=∠ABC+∠A=90°，

∴∠AOD=∠ABC，

∴cos∠ABC=cos∠AOD=45．

設(shè)⊙O的半徑為r，

則OC=OD=r，OA=AC?OC=9?r，

∴cos∠AOD=ODOA=r9?r=45，

解得r=4，

經(jīng)檢驗，r=4是原方程的解且符合題意，

∴⊙O的半徑為4．

(1)結(jié)合角平分線的性質(zhì)以及切線的判定與性質(zhì)，作∠ABC的平分線，交AC于點O，以點O為圓心，OC的長為半徑畫圓，則⊙O即為所求．

(2)設(shè)⊙O與AB相切于點D，連接OD，可得OC=OD，∠ADO=∠ACB=90°，進而可得∠AOD=∠ABC，則cos∠ABC=cos8.【答案】(1)解：如圖1，⊙O為所求，

.

(2)證明：如圖2，連接OD，OE，

，

因為AC為直徑，所以∠AEC=90°，

又因為AC=AB，所以CE=BE，

所以O(shè)E為△ABC的中位線，

所以O(shè)E/?/AB，∠COE=∠BAC，∠DOE=∠ADO，

又因為AO=DO，

所以∠BAC=∠ADO，

所以∠COE=∠DOE，

∴CE=DE.

(3)解：如圖3，在Rt△ACE中，

，

cos∠ACB=CEAC=55，AC=45，

∴CE=AC?cos∠C=45×55=4.

∵AB=AC，∠AEC=90°，

∴∠B=∠ACB，BE=CE=4．

又∵DE=CE，

∴DE=CE=4．【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】9.【答案】解：∵AC⊥BD，cos∠ABC=BCAB=45，BC=8，

∴AB=10，

在Rt△ACB中，由勾股定理得，

AC=AB2?BC2=102?82=6，

即AC的長為6；

(2)如圖，連接CE，過E點作BD的垂線，垂足F，

∵AC⊥BD，BE為AD邊上的中線，即E為AD的中點，

∴CE=12AD=DE，

在Rt△ACD中，由勾股定理得，【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】10.【答案】解：(1)如圖，⊙O即為所求；

(2)證明：連接OD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠OBD=∠CBD，

∴∠ODB=∠CBD，

又∵∠CBD+∠CDB=90°，

∴∠CDB+∠ODB=90°=∠ODC，

又∵點D為⊙O上一點，

∴AC是⊙O的切線；

(3)連接DE，

在Rt△ABC中，∵sinA=35，CB=245，

∴AB=CB÷sinA=245÷35=8，

設(shè)圓O的半徑為r，則OB=OD=r，AO=8?r，

∴在Rt△ADO中，sinA=DOAO=r8?r=35，

解得r=3，

∴OA=8?r=8?3=5，則AD=AO2?DO2=52?32=4，AE=AB?2r=8?6=2，

∵BE是圓O的直徑，

∴∠BDE=【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】11.【答案】解：(1)如圖，以點B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點D，連接AD，過點B作AD的垂線，交AC于點E，

則射線BE即為所求．

(2)過點C作CF⊥DE于點F，

由折疊得，∠CDE=∠BAC=30°．

∵AB=AC，

∴∠ACB=12(180°?∠BAC)=75°，

∴∠CED=∠ACB?∠CDE=45°．

在Rt△CEF中，CE=22，

∴EF=CF=CE2=222=2【解析】(1)結(jié)合折疊的性質(zhì)，以點B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點D，連接AD，過點B作AD的垂線，交AC于點E，則射線BE即為所求．

(2)過點C作CF⊥DE于點F，由折疊可得∠CDE=∠BAC=30°.由題意得∠ACB=12(180°?∠BAC)=75°，則∠CED=∠ACB?∠CDE=45°.在Rt△CEF中，可得EF=CF=CE2=222=2.在Rt△CDF中，得DF=12.【答案】解：(1)如圖，作∠ABC的平分線，交AC于點O，以點O為圓心，OC的長為半徑畫圓，

則⊙O即為所求．

(2)設(shè)⊙O與AB相切于點D，連接OD，

∴OC=OD，∠ADO=∠ACB=90°，

∴∠AOD+∠A=∠ABC+∠A=90°，

∴∠AOD=∠ABC，

∴cos∠ABC=cos∠AOD=45．

設(shè)⊙O的半徑為r，

則OC=OD=r，OA=AC?OC=9?r，

∴cos∠AOD=ODOA=r9?r=45【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】13.【答案】解：(1)如圖所示，射線AP為所求，

(2)∵AD沿AP折疊得到AE，

∴∠DAF=∠EAF，AD=AE，

在△ADF和△AEF中，

AD=AE∠DAF=∠EAF，

∴△ADF≌△AEF，

∴∠AEF=∠ADF=90°，

連接OE，則OE=12AF，

∴點E在⊙O上，

(3)由(2)知∠AEF=90°，

∴∠1+∠2=90°，在矩形ABCD中，∠B=∠D=90°，

∴∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

∴△ABE∽△ECF，

∵tan∠FEC=34，CFCE=34設(shè)CF=3x，則CE=4x，由勾股定理得EF=5x，

∵△ADF≌△AEF，

∴DF=EF=5x，

∴CD=8x=AB，

∵△ABE∽△ECFABCE=8x4x=21【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】14.【答案】見解答．

23【解析】解：(1)如圖，以點B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點D，連接AD，過點B作AD的垂線，交AC于點E，

則射線BE即為所求．

(2)過點C作CF⊥DE于點F，

由折疊得，∠CDE=∠BAC=30°．

∵AB=AC，

∴∠ACB=12(180°?∠BAC)=75°，

∴∠CED=∠ACB?∠CDE=45°．

在Rt△CEF中，CE=22，

∴EF=CF=CE2=222=2．

在Rt△CDF中，tan∠CDF=tan30°=CFDF，

∴DF=CFtan30°=233=23，

∴DE=EF+DF=23+2．

(1)結(jié)合折疊的性質(zhì)，以點B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點D，連接AD，過點B作AD的垂線，交AC于點E，則射線BE即為所求．

(2)過點15.【答案】解：(1)如圖，射線AD即為所求．

(2)過點D作DE⊥AB于點E，

∵AD為∠CAB的平分線，∠ACB=90°，

∴DE=CD．

∵AD=AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，

∴AE=AC=2．

∵tan∠BAD=DEAE=DE2=12，

∴DE=1，

∴DE=CD=1．

∵∠BED=∠BCA=90°，∠DBE=∠ABC，

∴△DBE∽△ABC，

∴【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】16.【答案】(1)證明：∠BAD=∠GAE=α，

∴∠BAD+∠DAE=∠DAE+∠GAE，

即∠BAE=∠DAG，

在△ABE和△ADG中，

{AG=AE∠BAE=∠DAGAB=AD,

∴△ABE≌△ADG(SAS)，

∴BE=GD；

(2)解：如圖(1)，

當(dāng)四邊形ADEG是平行四邊形時，則有AG=DE，AG//DE，

∵∠GAE=α=90°，AG=AE，

∴∠AED=∠GAE=90°，DE=AG=AE，

∴∠EAD=45°，

∴AD=2AE=2AG，∠GAD=∠GAE+∠EAD=135°；

如圖(2)，

當(dāng)四邊形ADGE為平行四邊形時，

則有AE=GD，AE//GD，

∵∠GAE=a=90°，AG=AE，

∴∠AGD=∠GAE=90°，DG=AG=AE，

∴∠GAD=45°，AD=2AG，

綜上所述，當(dāng)四邊形ADEG為平行四邊形時，AD=2AG，

∴∠GAD=45°或135°；

(3)∵α=60°，AB=AD，AG=AE，

∴△ABD和△AGE都是等邊三角形，

∴∠GAE=∠BAD=60°，

由(1)同理可證△ABE≌△ADG，

∴∠1=∠2，

又∵∠3=∠4，

∴∠GAE=∠EPG，

∴∠EPG=60°=∠BAD=∠BPD，

∴A、B、D、P四點共圓，即點P在等邊△ABD的外接圓上設(shè)BD中點為M，圓心為O，連接OD、OM，

則DM=3【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】17.【答案】(1)解：如圖，點E即為所求;

在△OEA和△OED中，OE=OEEA=EDOA=OD，

∴△OEA≌△OED(SSS)，

∴∠ODE=∠OAE=90°，

∴DF是⊙O的切線；

(2)解：過點D作DH⊥AB于點H．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADH+∠HDB=90°，

∵∠B+∠HDB=90°，

∴∠ADH=∠B，

∴tanB=tan∠ADH=ACAB=36=12，

∴AHDH=DHBH=12，

∴BH=4AH，【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】18.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，AC=12，

∴BC=ACcos∠ACB=12cos60°=24；

(2)△APD是等邊三角形，理由如下：

∵DE⊥BD，

∴∠BDE=90°，

∵點P是BE的中點，

∴在Rt△BDE中，DP=BP=PE=12BE，

在Rt△ABE中，AP=BP=EP=12BE，

∴AP=BP=DP=EP，

∵DE=3DC，

∴tan∠DEC=CDDE=CD3CD=33，

∴∠DEC=30°，

∵∠ABC=180°?∠BAC?∠ACB=30°，

∴∠DEA=∠DBA，

∴點A，B，E，D四點共圓，且點P為該圓的圓心，

∴∠APD=2∠ABD=60°，

∵AP=DP，

∴△APD是等邊三角形；

(3)取BC的中點H，連接PH，延長PH交AB于點N，

∵點P是BE的中點，點H是BC的中點，

∴PH//AE，

∴點P在直線PH上運動，

作點M關(guān)于PH的對稱點M′，連接MM′，交PN于點G，連接PM′，QM′，

則PM′=PM，

∴PM+PQ=PM′+PQ≥M′Q，

連接M′C，交⊙C于點Q′，則M′Q≥M′Q′，

∵點H是BC的中點，

∴CH=12BC，

∵HN//AC，

∴ANAB=HCBC=12，

∴AN=12AB=12×ACtan∠ACB=12×12×tan60°=63，

∵點M與點M′【解析】詳細(xì)解答和解析過程見【答案】19.【答案】解：(1)證明：延長AO交BC于H，連接BO，

∵AB=AC，OB=OC，

∴A，O在線段BC的垂直平分線上，

∴AO⊥BC，

又∵AB=AC，

∴AO平分∠BAC．

(2)延長CD交⊙O于E，連接BE，則CE是⊙O的直徑，

∵∠EBC=90°，BC⊥BE，

∴∠E=∠BAC，sin∠E=sin∠BAC，

∴BCCE=34，CE=53BC=10，

∴BE=CE2