山西省太原市某校2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知平面向量，，若與共線，則實數(shù)（

）A． B．8 C． D．22．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（

）A． B． C． D．3．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是（

）A．16 B．12 C． D．4．在中，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．已知某商品的形狀為圓臺，該圓臺的軸截面是上底為2，下底為4，腰為3的等腰梯形，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．6．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，BC邊上一點D滿足，且AD平分.若的面積為，則（

）A． B．2 C． D．47．已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，棱錐的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．如圖，“六芒星”是由兩個邊長為正三角形組成，中心重合于點且三組對邊分別平行，點，是“六芒星”（如圖）的兩個頂點，動點在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模為1 B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限C．復(fù)數(shù)是方程的解 D．10．已知，點是平面內(nèi)一點，記，，則（

）A．當(dāng)，時，則在方向上的投影向量為B．當(dāng)，時，為銳角的充要條件是C．當(dāng)時，點、、三點共線D．當(dāng)，時，動點經(jīng)過的重心11．中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．若為銳角三角形，則取值范圍是D．若為邊上的中點，則的最大值為三、填空題12．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為．13．若一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為2、4，它的高為2，則該四棱臺的表面積為．14．在中，點滿足為線段的中點，過點作一條直線與邊分別交于點兩點.設(shè)，當(dāng)與的面積比為時，則的值為.四、解答題15．如圖所示，在四邊形中，，，（1）求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積；（2）求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的體積.16．在中，記角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角；（2）若，且的面積為，求的周長.17．記銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為a，b，c，已知，．（1）求；（2）求的最大值．18．設(shè)平面內(nèi)兩個非零向量，的夾角為，定義一種運算“”．即．試求解下列問題．（1）已知向量，滿足，，，求的值．（2）向量，，，求的最小值．

參考答案1．【答案】D【詳解】由題意可得，因為與共線，所以，即，解得，故選D2．【答案】A【詳解】由，可得，所以的虛部是，故選:A.3．【答案】A【詳解】在直觀圖中，，可得原圖形是平行四邊形，其底邊長2，高為，則另一邊長為，所以原圖形的周長為．故選A.4．【答案】D【詳解】由題設(shè)，且為三角形的最大角，所以，則的面積為.故選D5．【答案】B【詳解】該圓臺的表面積.故選B6．【答案】B【詳解】依題意，，由正弦定理得.移項可得.所以.所以，因為，所以，兩邊同時除以，可得，即，所以.由三角形面積公式可得，即，化簡可得①.因為，所以.又因為平分，根據(jù)角平分線定理得，即，所以②.由①②解得.故選B7．【答案】B【分析】先判斷球心在三棱錐的高線上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半徑即得.【詳解】如圖，設(shè)點在底面的射影為點，因底面邊長均為，側(cè)棱長均為，故球心在上，連接，設(shè)球的半徑為，則，由正弦定理，解得，在中，，則，在中，由，解得，則球的表面積為.故選B.8．【答案】B【詳解】由對稱性可得，連接，與的交點為，則為的中點，為的中點，故，，，，過點作直線的垂線，垂足記為，則向量在向量上的投影向量為，所以，如圖過點作，，垂足分別為，所以，，觀察圖象可得，其中與同向，與反向，所以當(dāng)點位于點的位置時，取最大值，最大值為，當(dāng)點位于點的位置時，取最小值，最小值為，所以的取值范圍是.故選B.9．【答案】AD【詳解】，，故A正確；復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點為，則該點在第四象限，故B錯誤；由，則，解得，故C錯誤；，故D正確.故選AD.10．【答案】ACD【詳解】對于A選項，當(dāng)，時，則在方向上的投影向量為，A對；對于B選項，當(dāng)，時，角為銳角且、不共線，即，解得且，所以，為銳角的充要條件是，B錯；對于C選項，因為，即，所以，，即，又因為、有公共點，故點、、三點共線，C對；對于D選項，設(shè)線段的中點為，則，因為，則，此時，動點經(jīng)過的重心，D對.故選ACD.11．【答案】BCD【詳解】因為，所以，，又，所以，A錯；若，則，三角形有兩解，B正確；若為銳角三角形，則，，所以，，，，C正確；若D為邊上的中點，則，，又，，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D正確．故選BCD．12．【答案】/【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則滿足，則.13．【答案】/【詳解】如下圖所示：，所以，所以該四棱臺的表面積為：.14．【答案】3【詳解】因為，所以，得，又是的中點，，，所以因為三點共線，所以，且，，所以，即.故答案為：.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意可知，四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為圓臺挖去一個圓錐的組合體，過點作，垂足分別為，如下圖所示：易知，所以，又，所以，可得；故圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，母線長；高，母線長，所以圓臺的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓臺的下底面面積為，所以幾何體的表面積為．（2）易知幾何體的體積等于圓臺體積減去圓錐體積，即，所以幾何體的體積為．16．【答案】（1）（2）12【詳解】（1）由正弦定理知，在中，，所以.又，，可得，所以.（2）由題意可知的面積.因為，所以.由余弦定理，可得，即，所以，所以，故的周長為12.17．【答案】（1）（2）．【詳解】（1）因為，所以．

又為銳角三角形，故，則．

因為，所以．又，故．（2）由正弦定理