2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷

(天津?qū)Ｓ?

(考試時間：120分鐘,分值：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教A版2019選擇性必修第二冊第五章一選擇性必修第三冊第六章+第七章。

5.難度系數(shù)：0.68o

第I卷

一、單項選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,4),若尸(X<2“-3)=P(X>a+2),則實數(shù)。的值為()

57

A.5B.3C.-D.-

33

【答案】D

【解析】因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,4),P(X<2"3)=?(X>a+2),

7

所以根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，可得2a-3+a+2=6,解得

故選D.

2.已知函數(shù)/(x)=x、x2+x,則〃2)+八2)=()

A.-15B.15C.28D.-28

【答案】B

【解析】函數(shù)/(%)=尤3--+%，則/，(X)=3X2-2X+1,所以

/(2)+/,(2)=(23-22+2)+(3x22-2x2+1)=6+9=15.

故選B.

3.如果一個三位正整數(shù)“?；?。3”滿足且/<。2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275),

當(dāng)中間數(shù)為3或4時，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()

A.18B.15C.16D.21

【答案】A

【解析】當(dāng)中間數(shù)為3時，有2x3=6(個)；

當(dāng)中間數(shù)為4時，有3x4=12(個).

故共有6+12=18(個).

故選A

4.設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列如下，則尸(|X|=1)等于()

X-101

￡、21

P\-2q3q-^+-

3

【答案】A

【解析】由離散型隨機變量的性質(zhì)可得;+l-2q+3q2F+；=l,

17

即畫一1)(3仁2)=0,解得或0=

21

g=§時l_2q<o,不合題意，”=

2

—T)+P(X=1)=—。)[

故選A.

5.已知函數(shù)〃x)=3(2-機2卜-g3在》=1處取得極小值，則“X)的極大值為()

A.-4B.2C.-2D.4

【答案】D

【解析】由題得/'(司=3(2-/)-3mx)因為函數(shù)/■(》)在x=l處取得極小值,

所以/'⑴=3(2—例2)—3m=—3("J+7〃—2)=0=機=一2或機=1,

當(dāng)機=-2時，/(x)=-6x+2x3,/,(x)=-6+6x2=-6(l-x2)=-6(l+x)(l-x),

所以當(dāng)XG(-8,-1)。(,+力)時,f'[x)>0,當(dāng)時,/(x)<0,

所以函數(shù)/(X)在X=1處取得極小值，符合題意，

所以函數(shù)在X=-1處取得極大值為/(-1)=4；

當(dāng)刃=1時，/(x)=3x-x3,/'(%)=3-3%2=3(l+x)(l-x),

所以當(dāng)XC(T?,-1)U(L+8)時,f'(x)<0,當(dāng)時，fr(x)>0,

所以函數(shù)/(尤)在x=l處取得極大值，不符合題意；

綜上加=-2,〃無)的極大值為4.

故選D

6.甲乙兩人參加一項戶外挑戰(zhàn)賽，該挑戰(zhàn)賽設(shè)置了多道關(guān)卡，已知兩人是否通過某道關(guān)卡是相互獨立的,

且兩人中至少有一人通過當(dāng)前關(guān)卡，才有資格同時進(jìn)入下一關(guān)挑戰(zhàn)，否則挑戰(zhàn)結(jié)束.已知在第一關(guān)中甲

33

乙兩人通過的概率分別為歷，若兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)，則在第一關(guān)中，甲通過的概率為()

75_

B.-C.-D.

936

【答案】D

【解析】在第一關(guān)中甲乙兩人通過的事件分別為45,兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)的事件為

則尸⑷=|,尸⑻=^，尸(M)=1-P(AB)=1-(1-1)(1-^)=||,3

P(AM)=P(A)5

3

515

P(AM)-

所以若兩人有資格挑戰(zhàn)第二關(guān)，則在第一關(guān)中，甲通過的概率P(4]")=6-

P(M)18-

25

故選D

7.+1)”的展開式中的常數(shù)項為O

A.18B.20C.22D.24

【答案】B

【解析】f2+-\2x-l)11=2(2x-l)11+-(2x-l)H,

VxJx

(2x-l)H的二項展開示的通項為j=C「(2x)g.(-iy=(-1曠.2?建：3T

2(2x-I)11=(一1曠2-小婢--①，

-(2x-l)ll=(-1)*2"-葭：3"②，

X

在①式中,令11一左=0得左=11,故2(2x—l)u的常數(shù)項為(-1)"2(：；=-2,

在②式中，令10-4=0得左=10,則1(2x-l)”的常數(shù)項為(-1)”C：；=22,

X

故(2+J(2x-I)11的展開式中的常數(shù)項為-2+22=20,

故選B.

8.設(shè)玉＜工3＜工4＜&，隨機變量。取值再，工2戶3/4，工5的概率均為02,隨機變量是取值

土吆土，紅匚生馬鼻,上石,石士生的概率也均為0.2,則()

A.￡信)>￡值)B.￡(4)<E值)

c.。侑）催）D.。/）<。6）

【答案】C

［5

［解析］E（。）=0.2x$+0.2x%2H—+0.2x/=—2演，

5z=i

AOX1+2x2,AOx2+2x3,no^3+2X4,AOX4+2X5,AOX5+2X1

v2733333

_1（3（再+I2+工3+14+15）］_1三

=513）5斗

故磯。）=￡值），故A、B錯誤；

設(shè)E（jJ=E&）=m，

則。⑷=0.2x二（%-mF=：Z（x；-2叫+m2）=|1立七+m2

1=1>z=i3z=i3z=i

—乙m'xUjm+m2+x；+x；+x；+x；-5m2）

5

同理:D值）=j5m2

15x；++5x；++為0+4工213+413工4+4工4工5+4%再

--------------------------------------------------------------------------------------5m2

59

由再</，(再一%)2=%；+后一2%％2〉0，故4否入2<2卜；+君)，

同理則有Q（J）<1+5，；+5<；+謁+婕+4玉2+44+4”；+4“；+4“；5m2

=《(x；+X：+%；+X：+x；-5m2)=Z)(4),

即。(3〉。仁)，故C正確，D錯誤；

故選C.

9.對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/(%),若存在一個點看,使得/(%)=%,那么我們稱/(x)為“不動點”

函數(shù).若存在〃個點玉。=1,2,….)，滿足/(七)=七，則稱/(%)為“〃型不動點”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3

型不動點”函數(shù)的是()

A./(x)=l-lnxB.f(x)=5-lnx-ex

/-2

C./(%)=----D./(x)=2sinx+2cosx

【答案】D

【解析】對于A,令/(x)=l-hu=x(x>0),BPx+lux-1=0.

因為y=x/=lnx均為(O,+e)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以V=x+lnx-l在區(qū)間(0,+e)上單調(diào)遞增，所以/(x)

不可能為“3型不動點”函數(shù)，故A錯誤；

對于B,令/(X)=5—Inx—e=x,即無+ln無+e*—5=0.

由于>=5>=1眸)=二均為(0,+8)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以y=x+lnx+e=5在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增,

所以/(x)不可能為“3型不動點”函數(shù)，故B錯誤；

對于C,由/(月=+，得尸3=4。一?廣2,

易知當(dāng)x<0時，/'(x)<O/(x)單調(diào)遞減，xf0目./(x)<0,所以當(dāng)x<0時，=*

的圖象與直線P=x有且只有一個交點；

4

當(dāng)0<x<l時，/(x)<O/(x)單調(diào)遞減，且/⑴=1>1；

當(dāng)x>l時，/'(x)>O/(x)單調(diào)遞增.令/'(x)=l,得Gy-=],解得x=2,此時〃2)=2,所以

X

直線》=》與曲線/(無)=竺:相切于點(2,2).

X

所以直線了=X與曲線/(#=號共有兩個交點，所以/(X)為“2型不動點”函數(shù)，故C錯誤；

々/

y=f8/

4

-

e

。

對于D,/(x)=2sinx+2cosx=2^/2sin[x+：J,作出/(x)的圖象，如圖所示.易知其與直線>=尤有

且只有三個不同的交點，

即2sinx+2cosx=x有三個不同的解，所以/(無)=2sinx+2cosx為“3型不動點”函數(shù)，故D正確.

故選D.

第n卷

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

10.若則正整數(shù)x的值是.

【答案】5或7

【解析】，可得2x-l=x+6或2x-l+x+6=20,

解得尤=7或x=5,經(jīng)檢驗，這兩個數(shù)都符合要求.

故答案為：5或7.

11.五一臨近，某火車站有三個安檢入口，每個安檢入口每天通過的旅客人數(shù)超過1100人的概率為0.2,

假設(shè)三個安檢入口均能正常工作，則這三個安檢入口每天通過的旅客人數(shù)至少有兩個超過1100人的概

率為.

13

【答案】急他104

【解析】依題意，旅客人數(shù)X超過1100人的概率不低于0.2,即尸（X>1100"0.2,

所以這三個安檢入口每天至少有兩個超過1100人的概率最少為

]3

P=C^XO.22X（1-0.2）+C；x0.23x（l-0.2）°=0.104=—.

13

故答案為：

12.已知隨機變量X的分布列如下，則。（3X+2）=.

X1234

P0.10.20.30.4

【答案】9

【解析】E（X）=0.1X1+0.2X2+0.3X3+0.4X4=3,

￡>（X）=0.1x（l-3）2+0.2x（2-3）2+0.3x（3-3）2+0.4x（4-3）2=1,

所以。（3X+2）=9D（X）=9.

故答案為：9.

13.如圖，一只螞蟻從正四面體OABC的頂點O出發(fā)，每一步（均為等可能性的）經(jīng)過一條邊到達(dá)另一

頂點，設(shè)該螞蟻經(jīng)過〃步回到點0的概率勺，則￡=,匕=.

o

【答案】*㈢

【解析】由題可知，在1步后螞蟻位于。、B、C、A點的概率分別為0,|

故經(jīng)過2步回到點O的概率++=

,，只+i=g（l-q）,，只只-；）,

???數(shù)列?t是公比為-g的等比數(shù)列，

又4一：=_；，尸，即匕mm,

故答案為：;*㈢

2e"+xx<0

14.已知函數(shù)/1（X）='若尤2>再，且/（乙）=/（占），則%-占的最小值是,此時在點

I2x-l,x>0

&J（xJ）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.

【答案】l+'ln2(1+.2)2

24

【解析】由＞=2/+%求導(dǎo)得j/=2e"+l,令2e"+l=2,解得x=-ln2,

得與直線＞=2x-1平行的直線切曲線＞=2/+》,工40的切點(-ln2,l-ln2),

由2x—1=1—ln2,解得x=l—51n2,因此(％—xJmin=1—,ln2—(—ln2)=l+/ln2,

函數(shù)%/(x)的圖象在點(-ln2,1-ln2)處的切線/的方程為y-(1-In2)=2(x+In2),

直線/交X于點4-巖上,0),交了軸于點3(0,l+ln2),

所以切線/與坐標(biāo)軸所圍三角形面積為g|CMH02|=&岑匚.

故答案為：l+gln2；(1+M2)2

24

15.已知集合A,5是集合/={1,2,3,4,5,6}的含兩個元素的子集，且/彳5,則A中兩元素之差的絕對值等

于8中兩元素之差的絕對值的概率為一.

4

【答案】4

【解析】當(dāng)A,8中兩元素之差的絕對值均為1時，（48）的個數(shù)為5x4=20；

當(dāng)A,5中兩元素之差的絕對值均為2時，（48）的個數(shù)為4x3=12；

當(dāng)A,3中兩元素之差的絕對值均為3時，（48）的個數(shù)為3x2=6；

當(dāng)A,8中兩元素之差的絕對值均為4時，（48）的個數(shù)為2x1=2；

故滿足條件的（40共有20+12+6+2=40（個）；

p404

故其概率為尸=€^^=不

4

故答案為：—

三、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（14分）

4234

若（2x+V3）=a。+axx+a2x+a3x+a4x.

(1)求生+&+。3+。4的值；

⑵求(%+出+%A—(%+%了的值.

4234

【解析】(1)(2x+V3)=a0+axx+a2x+a3x+a4x,

令x=l,可得(2+6)4=%+%+%+〃3+%，

令x=0,可得(0+6)4=%,

***Q]+?+4+%=%+Q]+a2+%+%-〃o=(2+A/3)4—(0+-\/3)4—88+56^/3.

44

(2)(2x+V3)=%+axx+生/+a3xi+a4x,

令X—\i可得(2+V3>=%+%+%+。3+〃4(J)，

令X=—1,Oj彳導(dǎo)(—2+y/3)4=-%+-%+為C2),

結(jié)合?(D可得，(。0+。2+。4)~—(%+—A=(。0-%+%—4+。4)(。0+%+%+%+%)

=(2+V3)4X(-2+V3)4

=1.

17.(15分)

“青團(tuán)”是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點心，據(jù)考證“青團(tuán)”之稱大約始于唐代，已有1000多年的歷

史.現(xiàn)有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的“青團(tuán)”，已知甲箱中有3個蛋黃餡的“青團(tuán)”，2個肉

餡的“青團(tuán)”和5個青菜餡的“青團(tuán)”.乙箱中有3個蛋黃餡的“青團(tuán)”,3個肉餡的“青團(tuán)”和4個青菜餡的“青

團(tuán)問：

(1)從甲箱中取出一個“青團(tuán)”是蛋黃餡的概率是多少？

(2)若依次從甲箱中取出兩個“青團(tuán)”，求第一個是蛋黃餡的條件下，第二個是肉餡的概率；

(3)若先從甲箱中隨機取出一個“青團(tuán)”放入乙箱，再從乙箱中隨機取出一個“青團(tuán)”，從乙箱取出的“青團(tuán)”

是蛋黃餡的概率.

【解析】⑴設(shè)事件/="取出青團(tuán)是蛋黃餡”，「⑷葉.

(2)設(shè)事件8="甲箱中取出的第一個青團(tuán)是蛋黃餡"，事件C="取出第二個青團(tuán)是肉餡”，

32

尸(,昨瑞——X—

二109=2

39

To

(3)設(shè)事件"從乙箱取出的“青團(tuán)”是蛋黃餡”.

設(shè)事件4,4,4分別是甲箱中取出蛋黃餡的“青團(tuán)”，肉餡的“青團(tuán)”和青菜餡的“青團(tuán)”,

尸(。)=尸(4)尸(到4)+尸(4)尸(必4)+尸(4)尸(。|4)

3423533

=——X--------1--------X---------1--------X——

10111011101110

18.(15分)

已知函數(shù)/(力=3/+以+6在無=1處取得極值-1.

⑴求實數(shù)。力的值；

⑵求〃尤)在區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值.

(3)若方程^+ax+b-k=^k^有三個不同的實數(shù)根,求實數(shù)人的取值范圍.

【解析】(1)f(x)=3x3+ax+b,則/卜)=9—+。,

因函數(shù)［(x)=3Y+ax+6在x=1處取得極值一1,

〃l)=3+a+b=T

/'⑴=9+a=

此時/(x)=3/-9x+5,/(X)=9X2-9,

/(X)>0得X<-1或X>1,/(x)<0得-1<X<1,

則/(x)在(-8,-1)和(1，+⑹上單調(diào)遞增，在(T,l)上單調(diào)遞減，

故"X)在x=l處取得極小值，故“=-9/=5.

(2)由(1)可知〃x)在(-2,-1)和(1,2)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而

/(-2)==1=-l,/(2)=11,

則/(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為11和最小值-1.

(3)令g(x)=3x3-9x+5-左，貝ljg'(x)=/(x)=9x2-9,

則P=g(x)與V=/(x)單調(diào)性相同，

因方程3x3+辦+6-左=0(丘R)有三個不同的實數(shù)根,

g(-l)=ll-A:>0

則<得—1〈左<11,

g(l)=-l-/r<0

則實數(shù)上的取值范圍為(T,11).

19.(15分)

的展開式中滿足”。，且常數(shù)項為彳，求:

(1)二項式系數(shù)最大的項

(2)系數(shù)絕對值最大的是第幾項

(3)從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項，求共有多少種不同的取法.

z、10-左5

【解析】(1)根據(jù)展開式的通項可得〃+|=(-1)C&F

令20-g左=0,解得左=8

即左=8時，常數(shù)項5=(一1『e：(4=.,

解得a=\

所以二項式系數(shù)最大的項T=C；0(-1)5QJ富6315

6-----x~1

8

(2)系數(shù)絕對值最大的項等價于系數(shù)最大的項;

設(shè)第左+1項系數(shù)最大,

3/1>19

即，又左eZ,

3k&22

所以左=7,

即第8項系數(shù)最大，也即展開式中第8項系數(shù)絕對值最大.

(3)令20—k=m,zweZ,解得左=0,2,4,6,8,10,

2

即展開式中的有理項共有6項，無理項有5項；

所以從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項的取法共有

Cg+C阻=135種.

20.(16分)

2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行了夏季奧運會.為了普及奧運知識，M大學(xué)舉辦了一次