重難點(diǎn)01二次根式十四大重難點(diǎn)題型

EQ知識(shí)梳理

▲知識(shí)點(diǎn)1：二次根式有關(guān)概念

1、二次根式的定義：一般地，我們把形如6（壯0）的式子叫做二次根式.其中“廠”

稱為二次根號(hào)，〃為被開方數(shù).

2、代數(shù)式的定義：用基本運(yùn)算符號(hào)（基本運(yùn)算符號(hào)包括：力口、減、乘、除、乘方和開

方）把表示數(shù)或字母連接起來的式子，稱為代數(shù)式.

3、最簡(jiǎn)二次本艮式概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因

數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

4、可合并的二次根式概念：把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方

數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是可以合并的二次根式.

▲知識(shí)點(diǎn)2：二次根式的有關(guān)性質(zhì)

1、VT的性質(zhì)：V^>o；a>0（雙重非負(fù)性）.

202（a>0）的性質(zhì)：

（VH）2=。（壯0）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）.

fa（a>0）

3、的性質(zhì)：Va2=\a\=]0（a=0）（算術(shù)平方根的意義）.

V—a（a<0）

▲知識(shí)點(diǎn)3：二次根式的相關(guān)運(yùn)算

1、二次根式的乘除法

二次根式的乘法法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.

二次根式的除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.

用字母表示為：

（1）二次根式的乘法法則：Va*VF=Va-b（壯0,Z>>0）

（2）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：Va-b=y/a*Vb（定0,6>0）

（3）二次根式的除法法則：*=If（a>0,b>0）

7b\b

（4）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：g=*（應(yīng)0，6>0）

7b7b

2、二次根式的加減法

二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行

合并.合并方法為系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.

3、二次根式的混合運(yùn)算

（1）二次根式的混合運(yùn)算是指二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算.

（2）二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序是一樣：先乘方、再乘除、最

后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）.

m題型解讀

〈題型十巧用二次根式的小數(shù)部分與整數(shù)部分求代數(shù)式的值）

題型三二欠根式與絕對(duì)值的綜合運(yùn)用

次

題里四二次根式與三角形的綜合運(yùn)用AI〈題型十一二次根式的化簡(jiǎn)求值）

7題型十二利用有理數(shù)的意義求字噴子的值

愚型五二次根式乘除法法則成立的條件式

田真題精練

【題型一二次根式有意義的條件】

1.若在與有意義,則X的取值范圍是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2

2.（2024春?番禺區(qū)期末）下列二次根式有意義的范圍為4的是（）

A.Vx+4B.Vx—4C-D-

1

3.（2024春?白云區(qū)期末）若代數(shù)式不丁有意義，則工的取值范圍是（）

V2x—3

3223

A.x^=-B.C.x>~D.x>~

4.無(wú)論。取何值，下列各式中一定有意義的是（）

A.4aB.C.Va+1D.Va2+1

5.（2024?莘縣一模）已知函數(shù)>=正孕，則x滿足的條件是.

（工一2）°

6.若代數(shù)式:占有意義，則x的取值范圍是

2—vx—1

【題型二根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的取值】

1.已知師與是整數(shù)，則自然數(shù)〃所有可能的值有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

2.若VI百是整數(shù)，則滿足條件的自然數(shù)"的值可以是（寫出一個(gè)即可）.

3.（2024春?鄂爾多斯月考）若是整數(shù)，則滿足條件的最大自然數(shù)〃是

4.（2024春?潮南區(qū)期末）已知是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值為.

5.已知VI于與是整數(shù)，求自然數(shù)〃所有可能的值；

【題型三二次根式與絕對(duì)值的綜合運(yùn)用】

1.已知實(shí)數(shù)x滿足|2017-x|—2018=x,求x-20172的值.

2.已知x,y滿足_V<VK-3—V3-比+5,試化簡(jiǎn)卜-5|—Jy2_12y+36.

3.（2024春?興化市期末）實(shí)數(shù)心6、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)

J（a—b）2—?b—c）2+|c|-

ca0b

4.實(shí)數(shù)4、b在數(shù)軸上的位置如圖中的4、5兩點(diǎn).

(1)4點(diǎn)與表示-1點(diǎn)的距離是；

(2)化簡(jiǎn)g—1|+7b2—4b+4.

.」?_____3__

—1a0lb2

5.已知，N+8x+16+Vx2-12x+36=10,化簡(jiǎn)J(2v+8)2+2\x-6|

6.小明在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，碰到這樣一道題，他嘗試著運(yùn)用分類討論的方法解題如下:

題目：若代數(shù)式J(ni-l)2+.(欠_2)2的值是1,求"?的取值范圍.

解：原式=1加-1帕加-21，

當(dāng)機(jī)<1時(shí)，原式=(1-m)+(2-m)=3-2m—I,解得m—1(舍去)；

當(dāng)l<m<2時(shí)，原式=(?7-1)+(2-m)=1,符合條件；

當(dāng)m>2時(shí)，原式=(m-1)+(加-2)—2m-3=1,解得m—2(舍去)；

所以，m的取值范圍是\<m<2.

請(qǐng)你根據(jù)小明的做法，解答下列問題：

(.1)當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)：J(m—3)2+7(^1—5)2=;

(2)若代數(shù)式J(2—6)2的值是4,求優(yōu)的取值范圍.

【題型四二次根式與三角形的綜合運(yùn)用】

1.設(shè)Q,b,c分別為一三角形的三邊長(zhǎng)，試化簡(jiǎn)：+5+c）2+-6-c[+1（b—ct—c）2

—y/(c—b—a)2.

2.已知a、b、。是A4BC的三邊，化簡(jiǎn)：J(a+b+c)2—[(a+b+c)2+J(b—c—a)2一

J(c-a—力/.

3.已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5,第三邊長(zhǎng)為c,化簡(jiǎn)（V|2^i）2_J1C2_4C+16.

4.（2024春?廣州期中）已知直角三角形的三邊為a,b,c.其中6,c滿足（c-6>+標(biāo)石

=0.

（1）求a；

（2）先化簡(jiǎn)再求值：（而石）2+Va2-16a+64.

【題型五二次根式乘除法法則成立的條件】

1.等式有意義，則X的取值范圍為（)

A.3<x<4B.3<x<4C.3vx<4D.3<x<4

2.等式，x+37x—3—，力2—9成立的條件是

3.（2024秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）如果V4%2—1=V2x+172%-1成立,那么x的取值范圍

是.

4.（2024?綿陽(yáng)模擬）等式+1）=-不I成立的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）

5.（2024秋?萬(wàn)柏林區(qū)校級(jí)月考）等式啟=佟三成立的x取值范圍是（）

\x—3\3—x

A.x<lB.x>3C.l<x<3D.x<3

【題型六把二次根式根號(hào)外的因數(shù)（式）移到根號(hào)內(nèi)】

1.（2024春?涼州區(qū)期末）若把xj-l中根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi),則轉(zhuǎn)化后的結(jié)果是（）

A.VxB.V-xC.-VxD.—V—x

2.（2024春?綏濱縣期末）把（％-1）中根號(hào)前的（沉-1）移到根號(hào)內(nèi)得（）

A.Vm—1B.Vl—mC.—Vm—1D.—Vl—m

3.把下列各式中根號(hào)外的因式適當(dāng)改變后移到根號(hào)內(nèi).

⑴2V5；(2)-41;(3)(2-x)

4.把下列各式中根號(hào)外的因數(shù)（式）移到根號(hào)內(nèi).

⑴-孫積（2）7月(3)-5V3；(4)3b2；

73b

【題型七二次根式的混合運(yùn)算】

1.(2024春?廬陽(yáng)區(qū)期末)計(jì)算：V48-V3+J|xV12-|2-V6|.

2.（2024春?盤龍區(qū)期末）計(jì)算：（&+1）（加—1）—向正—遍）+VL

3.（2024春?汕尾期末）計(jì)算:

（1）V16+（-2）2-V8;

(2)2(V3+V5)-V5+4V3.

4.(2024春?紅旗區(qū)校級(jí)期末)計(jì)算：

⑴V18-V32+V2;

(2)(1—2V3)2—(V5+V2)(V5-V2).

5.（2024春?平城區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算:

(1)V48-V3-J|xV12+(遙)T;

(2)(V5+V2)(V8—V20)+(V2—V5).

6.(2024春?梁園區(qū)期末)計(jì)算：

(1)V48-V3-J|xV12+V24;

(2)V12+V27+7V48-15旦.

【題型八二次根式的運(yùn)算在實(shí)際生活中的應(yīng)用】

1.（2024秋?宣化區(qū)期末）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形中無(wú)重疊的放入面積分別為32c〃?2和2c加2

的兩張正方形紙片，則圖中陰影部分的面積為（）

32

2

A.32cm2B.6V2cm2C.6cm2D.12cm2

2.（2024秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在一個(gè)正方形的內(nèi)部放置大小不同的兩個(gè)小正方形,

其中較大的正方形條的面積為15,重疊部分的面積為1,空白部分的面積為4任-4,則

較小的正方形面積為（）

C.9D.4V15

3.（2024春?潼南區(qū)期中）在一塊矩形的土地上種植草坪，該矩形土地的長(zhǎng)為W而加、寬為

VTsw.

（1）求該矩形土地的周長(zhǎng)；

（2）若種植造價(jià)每平方米160元，求在該矩形土地上全部種植草坪的總費(fèi)用.

（提示：結(jié)果保留整數(shù)，遍=2.4）

4.（2024春?陵城區(qū)期中）如圖，有一張邊長(zhǎng)為的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個(gè)

角剪掉，制作一個(gè)有底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，剪掉的四個(gè)角是面積相等的小正方形，此小正

方形的邊長(zhǎng)為bcm.

（1）求長(zhǎng)方體盒子的容積；

（2）求這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積.

5.（2024春?漢濱區(qū)期中）三角形的周長(zhǎng)為（5乃+2怖）cm,面積為（20遙+4店）

cm2,已知兩邊的長(zhǎng)分別為加和金to,求：5.三邊的長(zhǎng)；

（2）第三邊上的高.

6.（2024春?云南期末）某居民小區(qū)有塊形狀為矩形/BCD的綠地，長(zhǎng)2c為五萬(wàn)米，寬

N5為同米，現(xiàn)在要矩形綠地中修建兩個(gè)形狀大小相同的長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部

分），每個(gè)長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為（市+1）米，寬為（VH-1）米.

（1）求矩形NBCD的周長(zhǎng).（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）

（2）除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/平方米

的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買地磚需要花費(fèi)多少元？

【題型九二次根式的大小比較】

1.用平方法比較遙+VTT與V1T+百的大小.

2.(2024春?關(guān)嶺縣期末)王老師在小結(jié)時(shí)總結(jié)了這樣一句話“對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)a,b,如

_1

果a>b,那么6然后講解了一道例題：比較不反而和2舊的大小.

4211___

解：(-V200)=—x200=8,(2V3)2=4X3=12.?.?8<12,.---V200<2V3.

參考上面例題的解法，解答下列問題：

(1)比較-5份與-6店的大??；

(2)比較V7+1與通+板的大小.

3.(2024秋?山亭區(qū)期末)數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題：比較V工TQ與—2石的2大小.

小華的方法是：

因?yàn)榉?gt;4,所以內(nèi)—22,所以灣二^(填“>”或“〈”)；

小英的方法是：

灣=由|衛(wèi)，因?yàn)椋?>42=16,所以后—4—0,所以名二10,所以

A/19—22

(填“>”或

(1)根據(jù)上述材料填空；

(2)請(qǐng)從小華和小英的方法中選擇一種比較純工與J的大小.

42

4.課堂上老師講解了比較VTT-V1U和后-的方法，觀察發(fā)現(xiàn)11-10=15-14=1,于

是比較這兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)：

VTT-Vio=（ViT-Vio）（ViT+VTo）=皿+國(guó)

1_瑋+舊__

V15-V14=（V15-V14）（V15+VT4）=+V14

11

因?yàn)樽?g>VTT+vTU,所以無(wú)二方>五二而，則有W石一舊〈近1一也.

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方法比較倔+W與爬+遮的大小.

111

5.閱讀下面問題：謂壽=&五;后=遍一2.

V^7=V2-1;

11

（1）根據(jù)以上規(guī)律推測(cè)，化簡(jiǎn)：①萬(wàn)二后；②而J詬（"為正整數(shù)）?

（2）根據(jù)你的推測(cè)，比較和Vli-瓜的大小.

【題型十巧用二次根式的小數(shù)部分與整數(shù)部分求代數(shù)式的值】

1.若6-g的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為y,則（2x+Vlg）y的值是（）

A.5—3VT3B.3C.3V13-5D.-3

,__r271r

2.已知機(jī)、〃分別是6-Vl?的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求冽、〃的值，并求代數(shù)式*-一-m2

m

的值.

3.(2024春?天長(zhǎng)市校級(jí)月考)大家知道我是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此正

的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，但可以用血-1來表示血的小數(shù)部分，因?yàn)槲宓恼麛?shù)

部分是1,將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.又例如：???痣<77〈百，即2<v7

<3,的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為(V7-2).請(qǐng)解答：

(1)后的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是;

(2)如果逐的小數(shù)部分為°,疝的整數(shù)部分為6,求a+b-芯的值.

4.(2024秋?羅湖區(qū)校級(jí)期中)根據(jù)推理提示，回答下列問題：

?■?VT<V3<V4,即1<逐<2,

二四的整數(shù)部分為1,小數(shù)部分為遮-1.

(1)m的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是.

(2)如果病的小數(shù)部分為"％&T的整數(shù)部分為〃，求2根+"-2乃=.

(3)已知：10+快=a+6,其中a是整數(shù)，且0<6<1,則a=,b=.

【題型十一二次根式的化簡(jiǎn)求值】

.—3_2

1.先化簡(jiǎn)，再求值：+求-（4y《+J36%y）,其中x=§,y=Tl.

2.（2024春?長(zhǎng)沙期中）先化簡(jiǎn)，后求值：.（a+五）（a-物-a（a-4）,其中。=，+孚.

a+bc2a—2b4a23a_

3-先化簡(jiǎn)’再求值：（力）?五前一瓦萬(wàn)一丁其中0=亞6=?

4.（2024春?宜昌期中）已知孫=6,且x,歹都是正數(shù)，求抻值.

5.已知：％=2+遮，y=2-y[3,求下列各式的值:

(1)X2-y2；(2)x2-xy+y2；(3)2x^+6x2y+2xy2.

6.（2024春?青秀區(qū)校級(jí)月考）請(qǐng)閱讀下列材料:

問題：已知久=返+2,求代數(shù)式x2-4x-7的值.

小明根據(jù)二次根式的性質(zhì)：（&）2=a,聯(lián)想到了以下的解題方法：

根據(jù)久=返+2得萬(wàn)-2=而，則（X-2）2=5,即/-4X+4=5,-4x=5-4=1.

把x2-4x作為整體代入，得：/---7=1-7=-6.

仿照上述方法解決問題：

（1）已知x=VIU-3,求代數(shù)式/+6x-8的值.

根據(jù)x=得x+3=①，貝IJ（尤+3）2=X2+6X+9—②，x2+6x

③，；.X2+6X-8=④.

（2）已知％=與人求代數(shù)式/+2.3的值.

【題型十二利用有理數(shù)的意義求字母式子的值】

1.若a+6g=（租+?、?,當(dāng)Q,m,〃均為正整數(shù)時(shí)，則正的值為

2.先閱讀下面的材料，然后再根據(jù)要求解答提出的問題：設(shè)a,6是有理數(shù)，且滿足。+四

b^3-2V2,求6。的值.解：由題意得(a-3)+(6+2)V2=0,因?yàn)閍,6都是有理數(shù),

所以a-3,6+2也是有理數(shù)，由于魚是無(wú)理數(shù)，所以a-3=0,6+2=0,所以a=3,b=

-2,所以ba=(-2)3=-8.

問題：設(shè)x,y都是有理數(shù)，且滿足x2-2y+碣=8+4而，求x+y的值.

3.【閱讀學(xué)習(xí)】

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方,如3+2魚=

(1+V2)2.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)。+從/2=(m+?V2)2(其中a,b,m,"均為整數(shù))，則有0+6立=加2+2〃2+2北僅〃.

.?-a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把的式子化為平方式的方法.

【解決問題】

(1)當(dāng)a,6,〃均為正整數(shù)時(shí)，若a+Zn"=(m+77V3)2,用含m,〃的式子分別表

zj、a,b,彳導(dǎo)：ci--,b=:；

(2)利用(1)的結(jié)論，找一組正整數(shù)a,b,m,n(加韌)，使得a+6V=(/M+Z/V3)2

成立，且。+6+加+"的值最小.請(qǐng)直接寫出a,b,加，"的值；

(3)若a+6V^=(m+z/VS)2,且a,相，〃均為正整數(shù)，求a的值.

【題型十三有關(guān)二次根式的規(guī)律探究】

1.(2024春?承德期末)觀察下列各式及其驗(yàn)證過程:

%=20驗(yàn)證：河=/浮1

再=3奈驗(yàn)證：再二/^

(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想15+言的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證;

(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用"(”為大于1的整數(shù))表示的等式并給予驗(yàn)證.

2.(2024秋?鄲州區(qū)期中)先閱讀材料，再解決問題.

VU=VP=1；

Vl3+23=V32=3；

Vl3+23+33=V62=6；

"+23+33+43=V102=10；

根據(jù)上面的規(guī)律，解決問題：

(1)79+23+33+43+53+63==

(2)求-13+23+33+…+n3(用含〃的代數(shù)式表示).

3.（2024春?海淀區(qū)校級(jí)期中）同學(xué)們，在二次根式一章中有一個(gè)有趣的現(xiàn)象：白|=居

=21|,根號(hào)里的因數(shù)2經(jīng)過適當(dāng)?shù)难葑?，竟“跑”到了根?hào)的外面，我們不

妨把這種現(xiàn)象稱為''穿墻”.具有這一性質(zhì)的數(shù)還有許多，如囚1=3點(diǎn)^^=4底

等等.

⑴猜想：麻一舟

（2）請(qǐng)?jiān)賹懗?個(gè)具有“穿墻”性質(zhì)的數(shù)

（3）請(qǐng)用只含有一個(gè)正整數(shù)〃（〃、2）的等式表示上述規(guī)律:

4.(2024春?朔州月考)綜合與探究：

觀察下列等式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：

①金+1-(V2+1)(V2-1)-(V2)2-12-72T

1_遮-魚_b-魚_

?V3+V2=(V3+V2)(V3-V2)=(V3)2-(V2)2=?-蟲

?V4+V3=(V4+V3)(V4-V3)=(V4)2-(V3)2=血-蟲

1

(1)化簡(jiǎn)：V7+V6=--------------------------

1

(2)化簡(jiǎn)：而京布=("為正整數(shù)).

(3)利用上面所揭示的規(guī)律計(jì)算：

]1]]]1

1+V2+V3+V2+V4+V3+……+V2019+V2020+V2020+V2021+V2021+V2022'

5.（2024春?香洲區(qū)期中）觀察下列各式:

I7?111I7r.iiiIrii

[1+運(yùn)+衰=1+彳_5=15,J1+ii+^=1+2-3=16,J1+至T+殺=1+1?

1

=1----?

12，

請(qǐng)根據(jù)以上三個(gè)等式提供的信息解答下列問題：

（1）猜想[1+W+三=1+=___________；

7627267

（2）歸納：根據(jù)猜想寫出一個(gè)用"（"表示正整數(shù)）表示的等式;

⑶應(yīng)用計(jì)算：必+揭

(4)拓展應(yīng)用：化簡(jiǎn)下列式子；

1+工+工+|1+工+工+/1+工+工+…+

N1222\2232\T32T42弋11,十+^201—92+T^202—02

【題型十四二次根式運(yùn)算在復(fù)合二次根式中的應(yīng)用】

1.先閱讀下面例題的解答過程，然后作答.

例題：化簡(jiǎn),8+2反.

解：先觀察8+2后，

由于8=5+3,即8=(V5)2+(V3)2,

且15=5x3,即2Vli=2義逐義四，

則有，8+2后=J(V5+V3)2=V5+V3.

試用上述例題的方法化簡(jiǎn)：V15+4V14=()

A.V2+V13B.2+VilC.1+V14D.V7+2V2

2.(2024秋?城陽(yáng)區(qū)期中)先閱讀下面的解題過程，然后再解答：

形如Jm士2傷的化簡(jiǎn),只要我們找到兩個(gè)數(shù)a,b,使a+6=加，ab=n,即(VH)2+

(赤)2—m,y/a,4b=Vn,那么便有：y/m+2y/n=J(y/a±Vb)2-y/a±4b(a>b).

例如：化簡(jiǎn)：J7+4收

解：首先把J7+4百化為J7+2位,這里％=7,〃=12.

因?yàn)?+3=7,4x3=12,

即(V4)2+(V3)2=7,V4xV3=V12,

所以J7+4仃=V7+2V12=J(四+V3)2=2+V3.

根據(jù)上述方法完成下列題目：

(I)V5+2V6=(直接寫化簡(jiǎn)后結(jié)果)；

(2)化簡(jiǎn)：714-6V5.(寫出解答過程)

3.(2024秋?鄲城縣期中)請(qǐng)閱讀下列材料：

形如Jni±2代的式子的化簡(jiǎn),我們只要找到兩個(gè)正數(shù)a,6,使a+b=w,ab—n,即(VH

)2+(VF)2=m,聲義&=匹,那么便有±2瓜=士VF)2=Va±VF(a>6).

例如：化簡(jiǎn)J7+4行

解：首先把J7+4舊化為J7+2位,這里加=7,〃=12,

由于4+3=7,4x3=12,即(四/+(舊產(chǎn)=7,V4XV3=V12,

所以，7+4g=V7+2V12=J(V4+V3)2=2+V3.

請(qǐng)根據(jù)材料解答下列問題：

(1)填空：75-276=.

(2)化簡(jiǎn)：V21-12V3(請(qǐng)寫出計(jì)算過程).

4.(2024春?金華月考)有這樣一類題目：將Ja+2詬化簡(jiǎn),若你能找到兩個(gè)數(shù)加和"，

使m2+n~—a且mn-VF,則a+2VF可變?yōu)閙~+n2+2mn,即變成(加+〃)2,從而使得Ja+2VK

化簡(jiǎn).

例如：?.?5+2傷=3+2+2逐=(V3)2+(V2)2+2A/6=(V3+V2)2

.?.75+2V6=(V3+V2)2=V3+V2

請(qǐng)你仿照上例將下列各式化簡(jiǎn):

（1）74+2V3；

（2）77-2V10.

mI限時(shí)測(cè)評(píng)

1.（2024春?貴池區(qū)期末）下列式子一定是二次根式的是（）

A.仿B.V=4C.V2D.Va2+i

2.（2024?任城區(qū)模擬）若二次根式爾石有意義，則x的取值范圍是（）

A.B.x》2C.x2-2D.xW2

3.（2。24春.濰城區(qū)期末）使層1=］巖在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的x的取值范圍是（）

A.-lWx<2B.1?2C.l<x<2D.-1WXW2

4.（2024春?湖州期末）已知實(shí)數(shù)0,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)J（a+1尸+J（b—2）2

的正確結(jié)果是（）

ab

??ii午iiji?

-4-3-2-101234

A.Q+6-1B.\~a~bC.a~b+3D.b~a~3

1

5.（2024春?樂陵市校級(jí)月考）計(jì)算：3+百的值為（）

A.1B.3C.V3D.9

6.（2024春?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）若最簡(jiǎn)二次根式喜工與與病”是同類二次根式，則。

7.（2024春?