專題3-2離散型隨機變量及其分布列

題型?解讀

模塊一重點題型梳理模塊二求分布列綜合大題

【題型11隨機變量與離散型隨機變量【題型71分組分配問題

的辨析【題型8】重復隨機事件的分布列

【題型2】隨機變量分布列的性質【題型9】答題計分類問題

【題型3】由隨機變量的分布列求概率【題型10］選拔，闖關類問題

【題型4】兩個相關隨機變量性質問題【題型11］摸球類問題

【題型5］求離散型隨機變量的分布列【題型12］分布列與概率綜合

【題型6】兩點分布【題型13】比賽場次問題

課后鞏固

題型匯編知識梳理與?？碱}型

模塊一重點題型梳理

【題型1】隨機變量與離散型隨機變量的辨析

基礎知識

1、隨機變量定義：一般地，對于隨機試驗樣本空間。中的每個樣本點叫都有唯一的實數(shù)X(s)與

之對應，我們稱X為隨機變量.

注：關于定義，了解就好。說白了，我們就是把真實的隨機事件抽象出來，用隨機變量來表示，進

行數(shù)字化、抽象化，便于分析。

2、離散型隨機變量：如果一個隨機變量的所有可能取值為有限個或可列無窮多個，則這樣的隨機變

量稱為離散型隨機變量。通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如X,Y,Z

特別的:

非離散型隨機變量：與離散型相對地，非離散型隨機變量指隨機變量有不可列個不同取值的隨機變

量。比如人的身高，可以從0厘米到300厘米任取，是無限個取值，因此是非離散型的。

【注意】離散型隨機變量的特征：

(1)可以用數(shù)值表示；

(2)試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值，但不能確定取何值；

(3)試驗結果能一一列出.

3、“三步法”判定離散型隨機變量

（1）明確隨機試驗的所有可能結果；

（2）將隨機試驗的試驗結果數(shù)量化；

（3）確定實驗結果所對應的實數(shù)是否可按一定次序——列出，如果能——列出，則該隨機變量是離

散型隨機變量，否則不是。

典型例題1

【例題1】面給出四個隨機變量：

①一高速公路上某收費站在十分鐘內經過的車輛數(shù)

②一個沿無軸進行隨機運動的質點，它在x軸上的位置小

③某派出所一天內接到的報警電話次數(shù)X；

④某同學上學路上離開家的距離y.

其中是離散型隨機變量的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【例題2】甲乙兩人進行7局4勝制比賽，則最終甲獲勝時兩人比賽的局數(shù)記為X,則X=5表示的

含義為（）

A.共進行了5局比賽，甲贏了前四局

B.共進行了5局比賽，其中甲贏了第五局，且前四局甲贏了其中3局

C.共進行了5局比賽，甲贏了其中4局

D.共進行了7局比賽，甲贏了其中4局

【例題3］如果X是一個離散型隨機變量且y=aX+b,其中a,b是常數(shù)且aK0,那么V（）

A.不一定是隨機變量

B.一定是隨機變量，不一定是離散型隨機變量

C.可能是定值

D.一定是離散型隨機變量

鞏固練習

【鞏固練習1］（多選）一副撲克牌共有54張牌，其中52張是正牌，另2張是副牌（大王和小王），

從中任取4張，則隨機變量可能為（）

A.所取牌數(shù)B.所取正牌和大王的總數(shù)

C.這副牌中正牌數(shù)D.取出的副牌的個數(shù)

【鞏固練習2】（多選）下列隨機變量中屬于離散型隨機變量的是（）

A.某電話亭內的一部電話1小時內使用的次數(shù)記為X

B.測量一個年級所有學生的體重，在60依~70依之間的體重記為X

C.測量全校所有同學的身高，在170c^~175c機之間的人數(shù)記為X

D.一個數(shù)軸上隨機運動的質點在數(shù)軸上的位置記為X

【鞏固練習3】下列敘述中，是離散型隨機變量的為（）

A.將一枚質地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和

B.某人早晨在車站等出租車的時間

C.連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)

D.袋中有2個黑球6個紅球，任取2個，取得一個紅球的可能性

【題型2】隨機變量分布列的性質

基礎知識

離散型隨機變量的分布列的性質

（1）p,>0,z=1,2,,n；（2）pr+p2++p〃=l

典型例題

【例題1】（24-25高二下?江西?階段練習）已知隨機變量X的分布規(guī)律為P（X=i）=52（7=1,2,3）,

則P（X=2）=（）

A.-B.-C.-D.-

7347

【例題2】（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）設X是一個離散型隨機變量，其分布列如下，則P（|X|=1）

等于（）

X-101

c21

Pl—2q3g-^+-

3

【例題3】（24-25高三下?江蘇揚州?階段練習）已知隨機變量X的分布列為

X1234

Pab

66

上1+?4的最小值為.

ab

鞏固練習

【鞏固練習1】（23-24高二下?河北滄州?期中）已知離散型隨機變量X的分布列為尸（乂=〃）="（”+］）

（77=1,2,3）,貝心=（）

3423

A.-B.-C.-D.一

4332

【鞏固練習2】（24-25高二上?遼寧遼陽?期末）下表是離散型隨機變量J的概率分布，則尸（毀2）=（）

41234

aaj_

p

24I~26

11-2-23

—C.-D.—

12324

【鞏固練習3】（23-24高二下?河北邢臺?期末）隨機變量J的分布列如下：其中2》=a+c,則P（周=1）

等于（）

4-101

pabc

【鞏固練習4】（24-25高二下?山西臨汾?階段練習）設隨機變量4的概率分布列為如圖，則常數(shù)

a=

01

p9"—a3—8〃

【鞏固練習5】（24-25高二下?陜西榆林?階段練習）已知隨機變量X的分布列為尸（X=Q=/

笈=1,2,3,4,則“24X43）的值為.

【題型3】由隨機變量的分布列求概率

基礎知識

離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各值的概率之和

典型例題

【例題1】已知隨機變量X的分布列為尸(X=i)=!(i=l,2,3,4),則尸(2<X44)等于()

【例題2】現(xiàn)有來自甲、乙兩班的學生共7名，從中任選2名，這兩名同學都來自甲班的概率為g.

(1)求7名學生中甲班的學生數(shù)；

(2)設所選2名學生中甲班的學生數(shù)為X,求X的分布列，并求所選2人中甲班學生數(shù)不少于1人的

概率.

【例題3】(高二下?湖北十堰?階段練習)袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概

率為:，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直

到兩人中有一人取到白球時終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用X表示取球終止所

需要的取球次數(shù).

(1)求袋中所有的白球的個數(shù)；(2)求隨機變量X的分布列；(3)求乙取到白球的概率.

鞏固練習

【鞏固練習1]一袋中裝有4個白球和2個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個不放回，取出

后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時從袋中抽取的白球的個數(shù)為隨機變量X,

則P（XW2）=（）

【鞏固練習2】（多選）設隨機變量4的分布列為：

=ak,(左=1,2,3,4,5),則

A.15a=1P(0.4<^<0.8)=0.2

C.P(0.1<J<0.6)=0.2p《=l)=0.3

【鞏固練習3】（22-23高二下?重慶南岸?期中）彭老師要從10篇課文中隨機抽3篇不同的課文讓同

學背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格.某同學只能背誦其中的7篇，求：

（1）抽到他能背誦的課文的數(shù)量X的分布列；（2）他能及格的概率.

【鞏固練習4】（22-23高二下?江蘇?期中）從裝有除顏色外完全相同的6個白球，4個黑球和2個黃

球的箱中隨機取出兩個球，規(guī)定每取出1個黑球記2分，而取出1個白球記-1分，取出黃球記零分.

（1）以X表示所得分數(shù)，求X的概率分布；（2）求得分X>0時的概率.

【題型4】兩個相關隨機變量分布列性質問題

基礎知識

根據(jù)變量間的關系，把其中一個隨機變量轉化為另一個

典型例題】

【例題1】(高二下?山東臨沂?期中)已知離散型隨機變量x的分布列如下表:

X0123

1j_

pa5a

36

若離散型隨機變量y=2x+i,則p(y\5)=().

【例題21(24-25高二下?全國?課后作業(yè))設隨機變量〃=2"1,且P(毀4)=0.7,則尸<7)=(

A.0.3B.0.5C.0.1D.0.2

鞏固練習

【鞏固練習1](24-25高二下?天津紅橋?階段練習)設離散型隨機變量X的分布列為

X0123

P0.20.10.10.3

若隨機變量Y=|X-1|,貝"(y=i)等于()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

【鞏固練習2】已知隨機變量X的取值范圍為{3,4,5,6},且尸(X=6)=0.1,若y=4X+3,則

p(y<23)=.

【鞏固練習3】已知隨機變量X的分布列如下：

若隨機變量Y滿足y=3X-1,則下列說法正確的是()

1C1

A.a=iB.P(X>1)=,C.P(Y=2)=|D.P(Y<2)=0

【題型5］求離散型隨機變量的分布列

基礎知識

離散型隨機變量的分布列

1、定義：一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為工,々，…，X",我們稱X取每一個￡的概率

P(X=%)=Pi,，=1,2,3,,，”為X的概率分布列，簡稱分布列.

離散型隨機變量的分布列可以用表格表示：

XX]%X"

P

P1p2Pn

2、離散型隨機變量分布列的意義和作用

(1)離散隨機變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一個值的概

率的大小，從而反映出隨機變量在隨機試驗中取值的分布情況，是進一步研究隨機試驗數(shù)量特征的

基礎。

典型例題

【例題11在一次購物抽獎活動中，假設10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，

有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品.顧客甲從10張獎券中任意抽

取1張，求中獎次數(shù)X的分布列.

【例題2】（23-24高二下.福建福州?期中）現(xiàn)有4張不同數(shù)字的撲克，每張撕去一半放在桌上（牌背

向上），排成一列.

⑴將余下4個半張隨機翻開兩張，然后將桌上4個半張再隨機翻開兩張，求這四個半張撲克上的數(shù)

字恰好有2個相同的概率；

（2）將余下來的4個半張隨機放在桌上4個半張上面，再分別翻開，記放在一起的兩個半張數(shù)字相同

的個數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

【例題3】（23-24高二下?廣東湛江?期中）A,8兩人進行象棋友誼賽，雙方約定：在任意一局比賽

中，一方獲勝、打成平局和失敗分別記相+3分、加分和0分.比賽兩局，已知在每局比賽中A獲勝、

打成平局和戰(zhàn)敗的概率分別為0.5,0.3,0.2.各局的比賽結果相互獨立.

⑴若根=2,求A兩局得分之和為5的概率；

（2）若〃?=3,用X表示8兩局比賽的得分之和，求X的分布列.

鞏固練習

【鞏固練習1】一個袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1、2、3、4、5、6,從中隨機取出3個

球，以X表示取出球的最大號碼，求X的分布.

【鞏固練習2】某小組共10人，利用假期參加義工活動.己知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)

分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會，設X為選出的2人參加義

工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列.

【鞏固練習3】(23-24高二下.河北承德.期中)某公司餐廳有米飯和面兩類主食，員工小張每天中午

2

選擇其中一種就餐，已知小張第一天中午選面食的概率是不，若小張第一天中午選擇面食，則第二

天中午選擇米飯的概率為:，若小張第一天中午選擇米飯，則第二天中午選擇面食的概率為

(1)求小張第二天中午吃米飯的概率；(2)記小張前兩天中午吃面食的次數(shù)為X,求X的分布列.

【題型6】兩點分布

基礎知識

1、定義：對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示''成功”，目表示“失敗”,

LA發(fā)生

定義X=<如果P(A)="，則P(A)=1—0,那么X的分布列如表所示.

0,4不發(fā)生

1—p

我們稱X服從兩點分布或0-1分布.【注意】隨機變量X只取0和1,才是兩點分布，否則不是.

2、兩點分布的適用范圍

(1)研究只有兩個結果的隨機試驗的概率分布規(guī)律；

(2)研究某一隨機事件是否發(fā)生的概率分布規(guī)律。

如抽取的彩票是否中獎；買回的一件產品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可以

用兩點分布來研究。

典型例題

【例題1】已知離散型隨機變量X的分布列服從參數(shù)為p的兩點分布，且尸(X=l)=3-4尸(X=0),

則P=.

【例題2】已知X服從參數(shù)為0.3的兩點分布，則P(X=O)=；若y=3X-2,則

p(r=i)=.

鞏固練習

【鞏固練習I】隨機變量X服從兩點分布，且尸(x=i)=0.2,令y=3x—2,則尸(y=-2)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

【鞏固練習2】設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，若用隨機變量X描述一次試驗成功的次數(shù)，

求尸(X=0)的值.

【鞏固練習3】已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且尸(X=0)=3-4P(X=l)=a,則

〃二()

1

ABcD.-

-I-I-;4

模塊二求分布列綜合大題

【題型7】分組分配問題

解題技巧

先區(qū)分是否均勻分組。若均勻分組(各組元素數(shù)相同)，需用組合數(shù)公式后除以組數(shù)的階乘消除重

復；非均勻分組直接逐層分步計算

典型例題

【例題1】(23-24高二下.山西.期中)今年的賀歲片《第20條》、《飛馳人生》、《熱辣滾燙》引爆了

電影市場，某天甲、乙、丙、丁、戊五名同學每人隨機從三部電影中選一部觀看，現(xiàn)知道每部電影

至少有一人觀看.

⑴求只有甲乙觀看《熱辣滾燙》電影的概率；（2）求這五個人觀看《熱辣滾燙》電影的人數(shù)X的分布

列.

【題型8】重復隨機事件的分布列

典型例題

3

【例題1】（23-24高二下?天津?期中）甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率時了，乙

4

2

每次擊中目標的概率假設兩人射擊是否擊中目標.相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標，

相互之間沒有影響.

⑴求甲至少有1次未擊中目標的概率；

⑵記甲擊中目標的次數(shù)為九求4的概率分布列；

⑶求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率.

鞏固練習

【鞏固練習1】2024年7月26日至8月11日，第33屆夏季奧林匹克運動會在法國巴黎舉行，中國

體育健兒們在賽場上奮力拼搏，取得驕人戰(zhàn)績.為了弘揚“更快、更高、更強、更團結”的奧運精神，

以及中國運動員們展現(xiàn)的“和諧、包容、堅忍不拔”一中國傳統(tǒng)文化的精髓，某校舉辦奧運知識競

賽.比賽的題目包括“奧運會歷史”“中國歷屆奧運成績”兩個板塊，每個板塊4個題目，每位參加比

賽的同學首先從“奧運會歷史”板塊中隨機抽取2題依次回答，然后從“中國歷屆奧運成績”板塊中隨

機抽取2題依次回答，至少答對3題者獲得獎品一份.已知甲同學能正確回答“奧運會歷史”板塊中

的2題，能正確回答“中國歷屆奧運成績”板塊中每題的概率為0.8,且回答每題相互獨立.

(1)記X為甲答對題數(shù)，求X的分布列；(2)已知甲獲得一份獎品，求甲4題全部答對的概率.

【鞏固練習2】(23-24高二下?廣東佛山?期末)某工廠制造甲、乙、丙三件產品，制造過程必須先后

經過兩道工序.當?shù)谝坏拦ば蛲瓿刹⒑细窈蠓娇蛇M入第二道工序，兩道工序過程相互獨立.根據(jù)該廠現(xiàn)

有的技術水平，經過第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次為：，經過第二道工序

543

349

后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為了，--

4510

(1)求第一道工序完成后至少有一件產品合格的概率；

(2)若前后兩道工序均合格的產品為合格產品，記合格產品的個數(shù)為九求隨機變量。的分布列.

【題型9】答題計分類問題

解題技巧

按得分規(guī)則分類計算概率。例如答對+5分、答錯一2分，需分別列出答對題數(shù)左對應的總分，再通

過組合數(shù)計算概率。若涉及多題不同分值，可構建得分分段表，用全概率公式疊加各情況概率，注

意排除不可能得分區(qū)間。

典型例題

【例題1】學生甲想加入?；@球隊，籃球教練對其進行投籃測試.測試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，

每輪均有兩次機會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進第一球，則直

接進入下一輪，若第一次沒投進可以進行第二次投籃，投進則進入下一輪，否則不預錄?。虎廴羲?/p>

在三分線處投進第一球，則直接錄取，若第一次沒投進可以進行第二次投籃，投進則錄取，否則不

予錄取.已知學生甲在罰球線處投籃命中率為3:，在三分線處投籃命中率為2彳.假設學生甲每次投

43

進與否互不影響.

（1）求學生甲被錄取的概率；（2）在這次測試中，記學生甲投籃的次數(shù)為X,求X的分布列.

【例題2】（23-24高二下.河北保定?期中）學校組織一項競賽，在初賽中有兩輪答題：第一輪從A類

的三個問題中隨機選兩題作答，每答對一題得30分，答錯得0分；第二輪從8類的分值分別為40,

70的2個問題中隨機選1題作答，每答對一題得相應滿分,答錯得0分.若兩輪總積分不低于100分，

則晉級復賽.甲、乙同時參賽，在A類的三個問題中，甲每個問題答對的概率均為：，乙只能答對其

32

中兩個問題；在B類的2個分值分別為40,70的問題中，甲答對的概率分別為乙答對的概率

43

21

分別為§，］，甲、乙回答任一問題正確與否互不影響.設甲、乙在第一輪的得分分別為X,Y.

（1）分別求x,y的概率分布列；（2）分別計算甲、乙晉級復賽的概率.

【例題3】（23-24高二上?吉林長春?期末）某商場為了促銷規(guī)定顧客購買滿500元商品即可抽獎，最

多有3次抽獎機會，每次抽中，可依次獲得10元，30元，50元獎金，若沒有抽中，則停止抽獎.顧

客每次軸中后，可以選擇帶走所有獎金，結束抽獎；也可選擇繼續(xù)抽獎，若沒有抽中，則連同前面

所得獎金全部歸零，結束抽獎.小李購買了500元商品并參與了抽獎活動，已知他每次抽中的概率

依次為右251；1,如果第一次抽中選擇繼續(xù)抽獎的概率為：2，第二次抽中選擇繼續(xù)抽獎的概率為（1，

且每次是否抽中互不影響.

（1）求小李第一次抽中且所得獎金歸零的概率；

（2）設小李所得獎金總數(shù)為隨機變量X,求X的分布列.

鞏固練習

【鞏固練習1】（23-24高二下?重慶?期中）某種資格證考試，每位考生一年內最多有3次考試機會.

一旦某次考試通過，便領取資格證書，不再參加以后的考試，否則就繼續(xù)參加考試，直到用完3次

機會.小明決定參加考試，如果考試前復習了，每次參加考試通過的概率依次為0.3,0.4,0.5,且每

次考試是否通過相互獨立.如果考試前不復習，每次參加考試通過的概率依次為01，0.2,0.3；考試

前復習的概率為0.5,試求：

（1）小明通過第一次考試的概率；（2）小明在一年內參加考試次數(shù)X的分布列.

【鞏固練習21學校舉行定點投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投中得0分,

假設每次投籃投中與否是相互獨立的.已知小明每次投籃投中的概率都是

（1）求小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率；（2）求小明在4次投籃后的總得分^的分布列

【鞏固練習3］（24-25高二上?黑龍江齊齊哈爾?期中）某中學舉辦“數(shù)學知識競賽”，初賽采用“兩輪制”

方式進行，要求每個班級派出兩個小組，且每個小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才

具備參與決賽的資格.高三（6）班派出甲、乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲、乙兩組通過第一輪比

賽的概率分別是3:：3，通過第二輪比賽的概率分別4是且2各個小組所有輪次比賽的結果互不影

響.

（1）若高三（6）班獲得決賽資格的小組個數(shù)為X,求X的分布列；

（2）已知甲、乙兩個小組在決賽中相遇，決賽以三道搶答題形式進行，搶到并答對一題得100分，答錯

一題扣100分，得分高的獲勝.假設這兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽

12

資格的概率，且甲、乙兩個小組搶到該題的可能性分別是假設每道題搶與答的結果均互不影響，

求乙已在第一道題中得100分的情況下甲獲勝的概率.

【題型10］選拔，闖關類問題

解題技巧

分析終止條件(如連續(xù)失敗次數(shù)或總成功次數(shù))，建立遞推關系或幾何分布。例如闖關成功概率0.6,

失敗3次淘汰，則X為淘汰前成功次數(shù)，P(X=^)=0.6AJtx0.3A(Jt+1)(最后一次必失敗)，需累加所

有可能失敗位置。

典型例題

【例題1】學生甲想加入?；@球隊，籃球教練對其進行投籃測試.測試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，

每輪均有兩次機會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進第一球，則直

接進入下一輪，若第一次沒投進可以進行第二次投籃，投進則進入下一輪，否則不預錄取；③若他

在三分線處投進第一球，則直接錄取，若第一次沒投進可以進行第二次投籃，投進則錄取，否則不

予錄取.已知學生甲在罰球線處投籃命中率為3在三分線處投籃命中率為2;.假設學生甲每次投

43

進與否互不影響.

(1)求學生甲被錄取的概率；(2)在這次測試中，記學生甲投籃的次數(shù)為X,求X的分布列.

【例題2】(23-24高二上.吉林長春.期末)某商場為了促銷規(guī)定顧客購買滿500元商品即可抽獎，最

多有3次抽獎機會，每次抽中，可依次獲得10元，30元，50元獎金，若沒有抽中，則停止抽獎.顧

客每次軸中后，可以選擇帶走所有獎金，結束抽獎；也可選擇繼續(xù)抽獎，若沒有抽中，則連同前面

所得獎金全部歸零，結束抽獎.小李購買了500元商品并參與了抽獎活動，已知他每次抽中的概率

依次為:2'號1；1，如果第一次抽中選擇繼續(xù)抽獎的概率為：2，第二次抽中選擇繼續(xù)抽獎的概率為1:，

且每次是否抽中互不影響.

(1)求小李第一次抽中且所得獎金歸零的概率；

(2)設小李所得獎金總數(shù)為隨機變量X,求X的分布列.

鞏固練習

【鞏固練習1】（23-24高二下.重慶.期中）某種資格證考試，每位考生一年內最多有3次考試機會.

一旦某次考試通過，便領取資格證書，不再參加以后的考試，否則就繼續(xù)參加考試，直到用完3次

機會.小明決定參加考試，如果考試前復習了，每次參加考試通過的概率依次為0.3,0.4,0.5,且每

次考試是否通過相互獨立.如果考試前不復習，每次參加考試通過的概率依次為01，0.2,0,3；考試

前復習的概率為0.5,試求：

（1）小明通過第一次考試的概率；（2）小明在一年內參加考試次數(shù)X的分布列.

【鞏固練習2】（23-24高二下.江蘇南通.階段練習）甲乙兩人參加知識競賽活動，比賽規(guī)則如下：兩

人輪流隨機抽題作答，答對積1分且對方不得分，答錯不得分且對方積1分，然后換對方抽題作答，

4

直到有領先2分者晉級，比賽結束.已知甲答對題目的概率為二，乙答對題目的概率為尸，答對與否

3

相互獨立，抽簽決定首次答題方，已知兩次答題后甲乙兩人各積1分的概率為手記甲乙兩人的答題

總次數(shù)為〃（〃22）.

⑴求尸；⑵當〃=2時，求甲得分X的分布列

【鞏固練習3】(23-24高二下?浙江?期中)每年的3月14日是“國際圓周率日”，這是為紀念中國

古代數(shù)學家祖沖之發(fā)現(xiàn)圓周率而設立的.2024年3月14日，某班級為紀念這個日子，特舉辦數(shù)學

題答題比賽.已知賽題共6道(各不相同)，其中3道為高考題，另3道為競賽題，參賽者依次不

放回地從6道賽題中隨機抽取一題進行作答，答對則繼續(xù)，答錯(或不答)或者6道題都答對即停

止并記錄答對題數(shù).

⑴舉辦方進行模擬抽題，設第X次為首次抽到競賽題，求X的分布列；

(2)A同學數(shù)學成績優(yōu)異，但沒有參加過競賽培訓，高考題答對的概率為100%,競賽題答對的概率

為20%.

①求A同學停止答題時答對題數(shù)為1的概率；

②已知A同學停止答題時答對題數(shù)為2,求這兩題抽到競賽題題數(shù)￥的分布列.

【題型11］摸球類問題

解題技巧

區(qū)分放回與不放回。關鍵步驟：明確目標球數(shù)〃和非目標球數(shù)計算抽取〃球中左目標球的概率

典型例題

【例題1】(24-25高二上?河南?階段練習)一個袋中裝有2個紅球和4個白球，這些球除了顏色以外

完全相同.每次從袋中隨機取出一個球，取出的球不放回.

(1)求第二次取出的是紅球的概率；

(2)若第三次取球時發(fā)現(xiàn)取出的是紅球，求此時袋中沒有紅球的概率；

(3)設2個紅球都被取出時，已經取出的白球個數(shù)為X,求X的分布列.

【例題2】（23-24高二下.廣東茂名.期中）化州市宏達廣場的惠客多超市準備在2024年五一假期舉

辦了一場有獎銷售活動，并且設置一等獎、二等獎和三等獎，其中三等獎有4種獎品供選擇，每種

獎品都有若干個，凡是在該商場消費的人均可參與抽獎，消費者抽中三等獎后可從4種獎品中隨機

選擇一種，每種獎品被選中的可能性相同，且每位消費者抽中三等獎的概率均為g.

（1）求甲、乙2位消費者均抽中三等獎且2人最終選擇的獎品不一樣的概率；

（2）若有4位消費者均抽中三等獎，記三等獎的4種獎品中無人挑選的獎品種數(shù)為X,求隨機變量X

的分布列.

【例題3】（23-24高二下?廣東深圳?階段練習）盒中有大小顏色相同的6個乒乓球，其中4個未使用

過（稱之為新球），2個使用過（稱之為舊球）.每局比賽從盒中隨機取2個球作為比賽用球，該局比

賽結束后放回盒中.使用過的球即成為舊球.

（1）求一局比賽后盒中恰有3個新球的概率；（2）設兩局比賽后盒中新球的個數(shù)為X,求X的分布列.

鞏固練習

【鞏固練習1】（23-24高二下.河北邢臺.期中）一個不透明盒子里裝有7個大小相同、質地均勻的小

球，其中白色小球3個（分別標有數(shù)字1,2,3）,黑色小球4個（分別標有數(shù)字2,3,4,5）.現(xiàn)

從盒子中一次性隨機取出3個小球.

（1）求取出的3個小球上的數(shù)字之和等于10的概率；

（2）在取出的3個小球中有黑色小球的情況下，黑色小球上的數(shù)字的最大值為X（當只取到1個黑色

小球時，該球上的數(shù)字即為X）,求隨機變量X的分布列.

【鞏固練習2】（23-24高二下?重慶?期中）第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦,

其中男子100米比賽分為預賽、半決賽和決賽三個階段，只有預賽、半決賽都獲勝才有資格進入決

賽.已知甲在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為J和1■，乙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為|■和

/33

3412

丙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為P和1-P,其中

（1）甲、乙、丙三人中，哪個人進入決賽的可能性更大？

（2）在p的條件下，設甲、乙、丙三人中進入決賽的人數(shù)為久求J的分布列.

【鞏固練習3】2024年春晚為觀眾帶來了一場精彩紛呈的視覺盛宴，同時，也是傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代科

技完美融合的展現(xiàn).魔術師劉謙為大家呈現(xiàn)了一個精妙絕倫的魔術《守歲共此時》，小明深受啟發(fā)，

在家嘗試對這個魔術進行改良，小明準備了甲、乙兩個一模一樣的袋子，甲、乙兩袋中各裝有大小

相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2,3,4.乙袋中紅色、黑色、

白色小球的個數(shù)均為3,小明用左右手分別從甲、乙兩袋中取球.

⑴若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；

（2）若左手取完兩球后，右手再取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球（左

右手完成各取兩球為兩次取球）的成功取法次數(shù)的隨機變量X,求X的分布列.

【鞏固練習4】（23-24高二下?河南鄭州?期中）夏辰廣場乒乓球場上，乒乓飛舞，明星老師帶領班上

同學組織班內友誼比賽，拿過來一盤乒乓球，盒中有大小顏色相同的6個乒乓球，其中4個未使用

過（稱之為新球），2個使用過（稱之為舊球），每局比賽從盒中隨機取1個球作為比賽用球，該局

比賽結束后放回盒中使用過的球即成為舊球.

（1）求兩局比賽后盒中恰有3個新球的概率；

（2）設三局比賽后盒中新球的個數(shù)為X,求X的分布列.

【題型12］分布列與概率綜合

典型例題

【例題1】某校組織圍棋比賽，每場比賽采用五局三勝制(一方先勝三局即獲勝，比賽結束)，比賽

采用積分制.積分規(guī)則如下：每場比賽中，如果四局及四局以內結束比賽，取勝的一方積3分，負

者積。分；五局結束比賽，取勝的一方積2分，負者積1分.已知甲、乙兩人比賽，甲每局獲勝的

概率為

(1)在一場比賽中，甲的積分為X,求X的概率分布列；

(2)已知甲在參加三場比賽后積分之和為5分，求這三場比賽甲得分都不同的概率.

【例題2】(2025?云南玉溪?二模)某種量子加密技術所用光子有兩種指向：“0指向”和“1指向”，光

子的發(fā)送和接收都有A、B兩種模式.當發(fā)送和接收模式相同時，檢測器檢測到的光子指向信息與發(fā)

送信息一致，否則檢測出相異的指向信息.現(xiàn)發(fā)射器以A模式，從兩個“1指向”、兩個“0指向”的光

12

子中隨機選擇兩個依次發(fā)送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分別為g和1■.每次發(fā)送和接

收相互獨立.

(1)求發(fā)射器第1次發(fā)送“0指向”光子的條件下，第二次發(fā)送“1指向”光子的概率；

(2)記發(fā)射器共發(fā)射“0指向”光子個數(shù)為X,求X的分布列；

(3)求檢測器檢測到兩個“1指向”光子的概率.

鞏固練習

【鞏固練習1】（23-24?江西?期末）甲乙兩人進行乒乓球比賽，經過以往的比賽分析，甲乙對陣時,

若甲發(fā)球，則甲得分的概率為：3，若乙發(fā)球，則甲得分的概率為§1.該局比賽甲乙依次輪換發(fā)球權（甲

先發(fā)球），每人發(fā)兩球后輪到對方進行發(fā)球.

（1）求在前4球中，甲領先的概率；

（2）16球過后，雙方戰(zhàn)平（8:8）,已知繼續(xù)對戰(zhàn)數(shù)球后，甲率先取得11分并獲得勝利（獲勝要求凈

勝2分及以上）.設凈勝分為X（甲，乙的得分之差），求X的分布列.

【鞏固練習2】（23-24高二下.湖北武漢?期末）甲、乙兩位學生進行答題比賽，每局只有1道題目，

比賽時甲、乙同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得10分，答錯者得-10

分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分.根據(jù)以往答題經驗，每道題甲答對的概率為乙答

2

對的概率為且甲、乙答對與否互不影響，每次答題的結果也互不影響.

（1）求在一局比賽中，甲的得分X的分布列與數(shù)學期望；

（2）設這次比賽共有4局，若比賽結束時，累計得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概率.

【鞏固練習3】（24-25高三下?山東聊城?開學考試）在排球比賽中發(fā)球不過網或球落在對方界外均為

發(fā)球失誤，獲得發(fā)球權的一方在本隊發(fā)球未失誤后，需要連續(xù)發(fā)球，發(fā)球失誤后，發(fā)球權轉移至對

方，由對方發(fā)球.若甲隊發(fā)球失誤的概率為（，乙隊發(fā)球失誤的概率為:，并規(guī)定該場比賽甲隊先

開始發(fā)球.

（1）記在第2,3,4次發(fā)球中甲隊獲得發(fā)球權的次數(shù)為X,求X的分布列；

（2）若乙隊在第n次獲得發(fā)球權的概率大于19言9，求n的最小值.

450

（參考數(shù)據(jù)：1g2?0.30,lgll?1.04）

【題型13］比賽場次問題

解題技巧

根據(jù)賽制（如三局兩勝）確定最大場次，按勝負序列組合計算概率。例如甲勝率0.6,乙0.4,求3

局內決勝負的場次分布:X=2時需前兩局連勝,P=0.62+0.42；X=3時前兩局1勝1負，尸=2x0.6x04,

再乘決勝局勝率。

典型例題

【例題1X23-24高二下?北京?期中）甲、乙兩隊要舉行一場排球比賽，雙方約定采用“五局三勝”制.已

21

知甲隊每局獲勝的概率為乙隊每局獲勝的概率為1.

⑴求乙隊以3:2的比分獲勝的概率；（2）設確定比賽結果需要比賽X局，求X的分布列.

【例題2】某校組織圍棋比賽，每場比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結束），比賽

采用積分制.積分規(guī)則如下：每場比賽中，如果四局及四局以內結束比賽，取勝的一方積3分，負

者積。分；五局結束比賽，取勝的一方積2分，負者積1分.已知甲、乙兩人比賽，甲每局獲勝的

概率為

（1）在一場比賽中，甲的積分為X,求X的概率分布列；

（2）已知甲在參加三場比賽后積分之和為5分，求這三場比賽甲得分都不同的概率.

【鞏固練習1】（23-24.浙江紹興?階段練習）甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)約定：誰先贏3局誰就贏

12

得比賽，且比賽結束.若每局比賽甲獲勝的概率為乙獲勝的概率為1.

⑴求甲贏得比賽的概率；（2）記比賽結束時的總局數(shù)為X,寫出X的分布列.

【鞏固練習2】（23-24高二下?浙江嘉興?期中）為落實“堅持五育并舉，全面發(fā)展素質教育，強化體

育鍛煉”的精神，某高中學校鼓勵學生自發(fā)組織各項體育比賽活動.甲、乙兩名同學利用課余時間進

行乒乓球比賽.規(guī)定：每局比賽中獲勝方記1分，失敗方記。分，沒有平局.首先獲得5分者獲勝，

比賽結束.假設每局比賽甲獲勝的概率都是：.

⑴求比賽結束時恰好打了6局的概率；

（2）若甲以3:1的比分領先，記X表示到結束比賽時還需要比賽的局數(shù)，求X的分布列.

【鞏固練習3】（23-24高二上.河南?期末）學校羽毛球社團中的甲、乙、丙三名社員進行羽毛球比賽,

約定如下：先從甲、乙、丙三人中隨機選擇兩人打第一局，獲勝者與第三人進行下一局的比賽，率先

獲勝兩局者為優(yōu)勝者，比賽結束，且每局比賽均無平局.已知甲贏乙的概率為0.3,乙贏丙的概率為

0.5,丙贏甲的概率為0.7.

⑴若甲、乙二人率先開局比賽，求比賽局數(shù)X的概率分布列；（2）求甲成為優(yōu)勝者的概率.

課后鞏固

1.某射擊運動員平時訓練成績的統(tǒng)計結果如下:

命中環(huán)數(shù)678910

頻率0.10.150.250.30.2

如果這名運動員只射擊一次，則命中的環(huán)數(shù)小于9環(huán)的概率為.

2.（24-25高二下?陜西西安?階段練習）設X是一個離散型隨機變量，其分布列為如下，則

q=__________

X024

5

P----2q

24

3.某商場為了促銷規(guī)定顧客購買滿500元商品即可抽獎，最多有3次抽獎機會，每次抽中，可依

次獲得10元，30元，50元獎金，若沒有抽中，則停止抽獎.顧客每次軸中后，可以選擇帶走

所有獎金，結束抽獎；也可選擇繼續(xù)抽獎，若沒有抽中，則連同前面所得獎金全部歸零，結束

211

抽獎.小李購買了500元商品并參與了抽獎活動，己知他每次抽中的概率依次為如果

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