2024-2025學(xué)年四川省宜賓市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬考試

檢測(cè)試題

一.單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

5

Z二----

1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2+i,則N=（）

A.2-iB.2+iC.l+2iD.l-2i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算、共軌復(fù)數(shù)等知識(shí)求得正確答案.

55（2-i）_

【詳解】由于所以三十1

故選：B

22

2.橢圓土+乙=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

38

A.（±5,0）B.（0,±5）C.（±75,0）D.（0,土石）

【答案】D

【解析】

【分析】先確定焦點(diǎn)所在的位置，再求出c即可得解.

22

【詳解】橢圓土+匕=1的焦點(diǎn)在y軸上，

38

c"=8—3=5'所以c=\/5，

所以橢圓工+2L=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±V5）,

38

故選：D.

3.己知甲乙兩人投籃的命中率分別是0.5和0.9,且兩人投籃相互沒有影響，若投進(jìn)一球得2分,

未投進(jìn)得。分，則每人投籃一次，得分相等的概率為（）

A.0.40B.0.45C.0.50D.0.05

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率公式即可求解.

【詳解】若兩人都沒有投進(jìn)，概率片=(1—0.5)。—0.9)=0.05,

若兩人都投進(jìn)，概率6=0.5x0.9=0.45,

則得分相等的概率尸=4+￡=0.05+0.45=0.50.

故答案為：C.

4.己知拋物線C：y2=2px(p>0),點(diǎn)尸為C的焦點(diǎn)，直線，：2x—y+6=0與x軸、y軸分別

交于48兩點(diǎn)，若ZkAEB的面積為12,則。=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線方程求出R坐標(biāo)，利用三角形面積求解即可.

【詳解】如圖，

直線，：2x—y+6=0中，令％=0,可得y=6,令y=。，可得x=—3.

所以A(—3,0),8(0,6),

由拋物線C：丁=2px(p>0)可得/號(hào)0),

所以|A盟=^+3,所以％斗忸。|=3、+3]=12,

解得P=2.

故選：A

5.已知圓Gx1+y2-2x+my+1-0(meR)的面積被直線x+2y+1=0平分，圓

22

C2:(X+2)+(J-3)=16,則圓G與圓的位置關(guān)系是()

A.外離B.相交C.內(nèi)切D.外切

【答案】D

【解析】

【分析】由直線平分圓求出〃?，再判斷兩圓的位置關(guān)系即得.

【詳解】由圓+2x+7ny+l=O(/"eR)面積被直線x+2y+l=0平分，

得圓C的圓心G(l,—耳)在直線x+2y+l=o上，即1—機(jī)+1=0,解得771=2,

因此圓G:(x-廳+(y+l)2=l的圓心G(L—1)，半徑4=1,

而圓。2：(%+2)2+(y—3)2=16的圓心。2(-2,3),半徑々=4,

顯然|和。21=7(-2-1)2+(3+1)2=5=1+4=4+G，所以圓G與圓。2外切.

故選：D

6.己知等比數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為S",且滿足ai=LE,=5S3,則%=()

A.9B.16C.-9D.-16

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件求得等比數(shù)列的公比夕3,進(jìn)而求得％.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4,｝的公比為/q/0,

若<7=1,則%=1,則&=6,S3=3,56*5s3,所以qw1,

1-q1-q1-q1-q

所以l+/=5,/=4,所以%=a4=42=16.

故選：B

7.在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓C與龍軸切于點(diǎn)A(4,0),分別過點(diǎn)M(—5,0)、N(5,0)作圓。

的切線并交于點(diǎn)P（點(diǎn)P不在X軸上），則點(diǎn)尸的軌跡方程為（）

2222

A.--^=l(x>4)B.

169

22X2y2

C.—+Z_=1(X>4)D.一+2L=1(%<—4)

25162516

【答案】A

【解析】

【分析】利用切線長(zhǎng)相等，結(jié)合雙曲線的定義求解.

【詳解】如圖，設(shè)切線尸的切點(diǎn)分別為瓦C,貝產(chǎn)卻=|PC|,阿|N4|=|NCj,

\PM\-\PN\=\MA\-\NA\=9-1=S,

所以P點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)雙曲線的右支（除去與x軸交點(diǎn)）,

22

2a=8,a=4,c=5,則6=斤彳=3,雙曲線方程為=軌跡方程為

22

土%一v匕=1(%>4),

169

故選：A.

8.一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房（如圖），例如：從蜂房A

只能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂房……以此類推，用。〃表示蜜蜂爬到

”號(hào)蜂房的方法數(shù)，則?2020?2022-alo2l=（）

A.1B.-1

C.2D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系以及構(gòu)造法求得正確答案.

【詳解】依題意，4=4.1+4-2（w>3）,囚=1，4=2,%=6+4=3,

當(dāng)〃22時(shí)，anan+2-=an（??+1+an）-a*=anan+x+a；—

=%；+??+i（??-%+i）=。；-4什1%=一—a：）,

aia3-al=-l,所以數(shù)列｛44+2—是首項(xiàng)為T,公比為-1的等比數(shù)列，

X

所以。2020。2022—。2021=（一1）（一1）=L

故選:A

【點(diǎn)睛】本題首先是考查觀察能力，通過觀察題目所給圖象，探究數(shù)列的遞推關(guān)系.其次是根據(jù)遞

推關(guān)系求通項(xiàng)公式，利用的是構(gòu)造函數(shù)法以及等比數(shù)列的定義，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的形

式，從而可利用等比數(shù)列的知識(shí)來對(duì)問題進(jìn)行求解.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的有（）

A.直線y=3x—2在y軸上的截距為2

B.過點(diǎn)M（-3,2）且與直線x+2y—9=。垂直的直線方程是2x—y+8=0

C.兩條平行直線代工-y+1=0與2y/3x-2y+3=0之間的距離為:

D.經(jīng)過點(diǎn)（-1,2）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等直線方程為x+y=l

【答案】BC

【解析】

【分析】結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)所給條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閥=3x-2,令％=0,得到y(tǒng)=—2,所以直線y=3x—2在y軸上的

截距為-2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)橹本€x+2y—9=0的斜率為左=—,，

2

所以過點(diǎn)M(-3,2)且與直線x+2y—9=0垂直的直線方程是y—2=2(x+3),即

2x-y+S=0,故選項(xiàng)B正確，

L3|1_2|

對(duì)于選項(xiàng)C,由2氐—2y+3=0得到J3x—y+—=0,所以兩平行線間的距離I2|_1,

2公布二

故選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)兩坐標(biāo)軸上截距均為。時(shí)，直線方程為y=-2X,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：BC.

10.數(shù)列｛a.｝的前A項(xiàng)和為S,q=l,a“+i=2S"(〃eN*),則有()

1

A.Sn=3"-B.｛S.｝為等比數(shù)列

f1,^=1

C.Q=2?3〃一D.^—\?

〃n〃[2-y-?\n>2

【答案】ABD

【解析】

S],"=1X

【分析】根據(jù)4=求得%，進(jìn)而求得色以及判斷出｛(Sj是等比數(shù)列.

a-IS

【詳解】由題得《x/小，

U=2S?1(〃之2)

兩式相減得4+i=3a。>2),即幺旦=3(〃22),

an

當(dāng)〃=1時(shí)，％=2,/.=2w3,

ax

所以數(shù)列｛an｝從第2項(xiàng)起是等比數(shù)列，所以%=2?3'"(〃22),

Ln=l

所以數(shù)列的通項(xiàng)為

2?3〃-2,n>2

當(dāng)時(shí)，S"=—=3"T；當(dāng)"=1時(shí)，&=%=1符合上式，

2

S

所以S〃=3"T,所以芳=3,所以數(shù)列｛Sj是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.

所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABD

22

11.設(shè)橢圓a1+方=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為用、心，上、下頂點(diǎn)分別為A1、4,點(diǎn)

尸是C上異于A、&的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若。的離心率為則直線p4與P4的斜率之積為-4

B.若尸耳，「心，則罵的面積為^2

C.若C上存在四個(gè)點(diǎn)尸使得則。的離心率的范圍是。，學(xué)

\7

D.若歸國(guó)W26恒成立，則。的離心率的范圍是［,|

【答案】BD

【解析】

3

【分析】A.設(shè)尸（%,%）,kPA/kPA2=--,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.求出APF遙的面積為g|P耳|?|PR\=b2,3所以該選項(xiàng)正確；

C.求出6€（乎,1）,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.若歸月歸2》恒成立，所以0<e、，所以該選項(xiàng)正確.

丫2214

【詳解】解：A.設(shè)所以2+4=1,因?yàn)閑=—=—,:.a=2c,.

aba23

22

所以亡+今=1二3/2+4%2=4".所以

—b

3

22

y0-by0+b_y^-bb--b

-9一____ZL__________3,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤;

4

B.若尸耳，「心，則IP耳|+|「居|=2兄|「昂2+|「8|2=4。2,所以|「耳|.|「居|=2/,則

的面積為，IPF.\-\PF2\=b\所以該選項(xiàng)正確；

C.若。上存在四個(gè)點(diǎn)戶使得p4±PF2,即。上存在四個(gè)點(diǎn)戶使得心的面積為戶，所以

-2c-b>b2,:.c>b,:.c2>a2—c?,:.ee（與,1）>所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.若|尸耳區(qū)2》恒成立,所以4+。122,，/+。2+2或《4/=4（/一,2）,所以

5e2+2e-3<0,/.0<e<-,所以該選項(xiàng)正確.

故選：BD

12.如圖，已知正三棱臺(tái)ABC-A與G的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和6,側(cè)棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸在側(cè)

面BCG及內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且/尸與平面3CG與所成角的正切值為2夜，點(diǎn)。為C4上一

點(diǎn)，且弓0=3西，則下列結(jié)論中正確的有（）

4iG

B.點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為岳

高為生反，底面圓的半徑為丑的圓柱可以放在棱臺(tái)內(nèi)

過點(diǎn)A&Q的平面截該棱臺(tái)內(nèi)最大的球所得的截面面積為苗

【答案】ACD

【解析】

【分析】延長(zhǎng)正三棱臺(tái)側(cè)棱相交于點(diǎn)。，分析可知三棱錐O-ABC為正四面體，對(duì)于A：根據(jù)正

四面體的高以及棱臺(tái)的性質(zhì)分析求解；對(duì)于B：根據(jù)線面夾角可得叱=6，可知點(diǎn)P的軌跡為

等邊△03。的內(nèi)切圓，即可得結(jié)果；對(duì)于C：根據(jù)三棱臺(tái)、圓柱的結(jié)構(gòu)特征分析判斷；對(duì)于D：

利用等體積法求正四面體O-/RC的內(nèi)切球，分析可知該棱臺(tái)內(nèi)最大的球即為正四面體

。一ABC的內(nèi)切球，即可得結(jié)果.

【詳解】延長(zhǎng)正三棱臺(tái)側(cè)棱相交于點(diǎn)。，由題意可知：OA^OB^OC,

在等腰梯形BCG與中，因?yàn)?c=6,BiG=2,BB[=CG=4,則NgBC=/6底=60。.

即△Q3C為等邊三角形，可知三棱錐O—A3C為正四面體，且。4=2.

對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)“為等邊△03。的中心,

由正四面體的性質(zhì)可知：AHJJ則面03C，且AH=』6?-=2-\/6,

即。點(diǎn)到底面ABC的距離為2限，

又因?yàn)椤?=2,BB1=4,所以正三棱臺(tái)ABC-A與G的高為gx2逐=半，故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)锳P與平面3。。|四所成角的正切值為20,

即tanNAPH=9=a5=20,解得

HPHP

且等邊△O3C的內(nèi)切圓半徑廠=也，

可知點(diǎn)尸的軌跡為等邊△03。的內(nèi)切圓，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為26兀，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎馀_(tái)ABC-agG的高生色，且44與G的內(nèi)切圓半徑為93〉心，

336

所以高為生R,底面圓的半徑為丑的圓柱可以放在棱臺(tái)內(nèi)，故c正確；

36

對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)正四面體ABC的內(nèi)切球半徑r,

由等體積法可得：-5^x276=4x-SAABC-r,解得廠=邁.

332

因?yàn)?廠<皿5,則該棱臺(tái)內(nèi)最大的球即為正四面體O—A3c的內(nèi)切球.

3

又因?yàn)楹?3南，CG=4,。。=6,

則。為OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A8,。的平面正好過該內(nèi)切球的球心，

所以截面面積為［半］兀=|兀，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將三棱臺(tái)補(bǔ)成三棱錐，結(jié)合題意分析可知三棱錐O-A3c為正四面體，結(jié)

合正四面體的性質(zhì)分析判斷.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直線0x-y+1=0的傾斜角為.

【答案】y

【解析】

【分析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出.

【詳解】設(shè)直線氐-y+l=0的傾斜角為9.

由直線6％-丁+1=0化為>=若%+1,故tan。=6，

又e?o,句，故e=（,故答案為

【點(diǎn)睛】一般地，如果直線方程的一般式為不+為+。=0（3/0）,那么直線的斜率為左=-2,

且左=tan。，其中。為直線的傾斜角，注意它的范圍是（0,司.

14.己知A(l,l,0),3(0,4,0),C(2,2,2),則向量通在正上的投影向量的坐標(biāo)是.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】=(-1,3,0),AC=(1,1,2),AB-AC=-1+3=2,|AB|=VW,|AC|=V6,

所以向量福在衣上的投影向量的坐標(biāo)是：

ABACAC_2(1,1,2)J112)

1彳?田=花丁二仁虧司?

故答案為:

15.在數(shù)列｛%｝中，囚=5,a“+i=4a“一3,若對(duì)任意的“wN”,左(4—1)22"-5恒成立，則實(shí)

數(shù)上的最小值________________.

【答案】3

64

【解析】

【分析】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用函數(shù)的恒成立問題

和數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果.

Q—1

【詳解】由4+1=4%—3整理得%—1=4(%—1),即4=4,又％-1=4,

an~TY

故數(shù)列｛a“T｝是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，可得=

2幾一5

不等式以%—1)22〃—5,可化為——,

4

令/(〃)=考丁，當(dāng)時(shí)，/(?)<0；

4

當(dāng)心3時(shí)，/5)>0,加+1)-仆)=/一手一了<°，

故當(dāng)〃23時(shí)，/(九)單調(diào)遞減，故/(〃)</(3)=2，

64

綜上，f(jl)工--,

64

11

所以上2——，故化最小值為二.

6464

故答案為：--

64

22

16.把半橢圓：j+#=l(x?O)和圓?。?尤—1)2+丁2=。2(%<0)合成的曲線稱為“曲圓”，

其中點(diǎn)尸(1,0)是半橢圓的右焦點(diǎn)，4,4分別是“曲圓”與X軸的左、右交點(diǎn)，用,為分別是“曲

圓''與y軸的上、下交點(diǎn)，已知/用用2=120°,過點(diǎn)廠的直線與“曲圓”交于P,Q兩點(diǎn)，則半

橢圓方程為(x>0),AAP。的周長(zhǎng)的取值范圍是.

22

【答案】①.?+g=l②.(6網(wǎng)

【解析】

【分析】由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及NgEB2=120°,可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程，從而得到半

橢圓方程；易知A是橢圓的左焦點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)R的直線與曲圓可得P,Q,在直線轉(zhuǎn)動(dòng)

的過程中由尸，。的位置可得三角形的周長(zhǎng)的取值范圍.

【詳解】解：S(x-1)2+/=a2(x<0),令y=0,可得％=1-〃以及4(一1一。,。)，

再由橢圓的方程及題意可得43,0),為(°/)，4(。，—。)，

由46/5=120。，可得2=也，

C

由歹(1,0)可得6=石，

所以Q=2,

22

所以半橢圓及圓弧的方程分別為、+4=1(%>0),(x—1)2+V=4(%<0),

所以A(T，0),AQ,0),B[(0,-病,8式0,回

可得A相當(dāng)于橢圓的左焦點(diǎn)，

△APQ的周長(zhǎng)為PF+PA.+A.Q+QF,

當(dāng)尸從4(不包括4)向與運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA+PF=2a=4,

當(dāng)。在y軸右側(cè)時(shí)，AQ+Q尸=2。=4,所以這時(shí)三角形的周長(zhǎng)為8,

當(dāng)P從當(dāng)向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q在第四象限，則AQ+Q尸=2。=4,旌+/招＜2廠+4耳=2+a=4,

這時(shí)三角形的周長(zhǎng)小于8,

當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)到A時(shí)，Q在4處，不構(gòu)成三角形，三角形的周長(zhǎng)接近2AA=6,

由曲圓的對(duì)稱性可得尸運(yùn)動(dòng)到x軸下方時(shí)，與前面的一樣，

綜上所述，△APQ的周長(zhǎng)的取值范圍為（6,8].

22

故答案為：+=1；（6,8].

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和為S“，4=1,%=4,且滿足

2lgan=lga“+]+lga,-》2,〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若么=（〃+l）（i；24+l）,且數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7需求〃的信

【答案】（1）=2"T（〃WN*）

（2）99

【解析】

【分析】（1）由等式lg%=lg%+i+lg%T（〃22,〃eN*）,得到端=,證明了數(shù)列｛%｝

是等比數(shù)列，求出公比，寫出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式即可；

（2）首先將數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式代入2=（〃+]）（[；a+]）,求出數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式，裂

項(xiàng)相消法求其前〃項(xiàng)和7；=——即可.

100

【小問1詳解】

由21gan=lgan+1+lgtz?_1(n>2,neN*),

得?！?gt;0,Iga：=lg(—)，則an=。"-4+1，

故正項(xiàng)數(shù)列｛%,｝為等比數(shù)列，

由于。］=1,%=4,貝a；—3=4,

則%=2或〃2=-2(舍去)

故公比4=&=/=2,

所以凡=1X2"T=2"T("WN*)；

【小問2詳解】

,1]_j___1_

由(1)得：h,=----------

(“+I)(log24+1)?(?+1)-nn+1

11,1

所以r=1-----1----------1-----1------------=1---------

223nn+1n+1

99199

又TJF，得1一」7=胃，解得〃=99?

n100〃+1100

18.已知圓C的圓心在直線x—2y=0上，且與y軸相切于點(diǎn)(0,1).

(1)求圓。的方程；

(2)若圓C直線/：x—y+〃z=0交于/,6兩點(diǎn),,求0的值.

從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答：

條件①：ZACB=120°；

條件②：|AB|=2G.

【答案】(1)(x—2y+(y—I)?=4

(2)選擇見解析，后-1或—亞—1

【解析】

【分析】(1)設(shè)圓心。(。力)，易知a=2b,由圓C與>軸相切于點(diǎn)(0』)，可求a力以及小寫

出圓C的方程即可.

(2)所給的兩個(gè)條件，均可得C到直線/的距離d=l,結(jié)合點(diǎn)線距離公式即可求加的值.

【小問1詳解】

設(shè)圓心坐標(biāo)為半徑為r.

由圓C的圓心在直線x—2y=。上，知：a=2b.

又?.?圓。與＞軸相切于點(diǎn)(0,1),

0=1,a=2,則r=|a—0]=2.

:.圓C的圓心坐標(biāo)為(2,1),則圓C的方程為(％—2)2+(y—爐=4.

【小問2詳解】

如果選擇條件①：ZACB=120°,M|G4|=|CB|=2,

|2-l+m|

圓心C到直線/的距離d=l,則4==1>解得tn——1或—J5-1-

Vi+T

如果選擇條件②：|AB|=2百，而|G4|=|CB|=2,

|2-1+/7?|

...圓心C到直線/的距離d=l,則1==1,解得m-—1或——1.

VT+T

19.第24屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日至2月20日由北京和張家口聯(lián)合舉辦，

這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，它掀起了中國(guó)人民參與冬季運(yùn)動(dòng)的熱潮.某比賽場(chǎng)館為了

順利完成比賽任務(wù)，招募了100名志愿者，并分成醫(yī)療組和服務(wù)組，根據(jù)他們的年齡分布得到如

圖頻率分布直方圖.

頻率

(1)試估計(jì)100名志愿者的平均年齡及第75百分位數(shù)；

(2)已知醫(yī)療組40人，服務(wù)組60人，如果按分層抽樣的方法從醫(yī)療組和服務(wù)組中共選取5人,

再?gòu)倪@5人中選取3人組成綜合組，求綜合組中至少有1人來自醫(yī)療組的概率.

【答案】(1)平均年齡43.5歲，第75百分位數(shù)為52.5

(2)0.9

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中，所有小矩形面積和為1,可求得a值，根據(jù)頻率分布直方

圖中平均數(shù)的求法，代數(shù)即可得平均值，根據(jù)百分位數(shù)的求法，可得答案.

(2)根據(jù)分層抽樣，可得醫(yī)療組抽取2人，設(shè)為a,b,服務(wù)組抽取3人，設(shè)為4B、C,列出綜

合組所有可能情況，選出滿足題意的情況，代入概率公式，即可得答案.

【小問1詳解】

由題意得(0.015+0.025+a+0.02+0.01)xl0=l,解得。=0.030,

所以100名志愿者的平均年齡為

25x0.015x10+35x0.025x10M5x0.03xl0+55x0.02xl0+65x0.01xl0=43.5歲，

因?yàn)?.015x10+0.025x10+0.03x10=0.7<0.75,

0.015x10+0.025X10+0.03xl0+0.02x10=0.9>0.75,

所以第75百分位數(shù)位于［50,60)內(nèi)，設(shè)第75百分位數(shù)為x,

則0.7+(x—50)x0.02=0.75,解得x=52.5,

所以第75百分位數(shù)52.5

【小問2詳解】

40

醫(yī)療組抽取人數(shù)為5義-------=?人,設(shè)為a,b,則服務(wù)組抽取5-2=3人，設(shè)為4B、C,

40+60

5人中選取3人組成綜合組，情況可能為A),(a,b,8),(a,b,C),(a,A,3),(a,AO,

(a,B,C),也A,B),(b,A,C),也B,C),(AB,C),共10種,

至少有1人來自醫(yī)療組的情況為

(a,b,A),(a,b,A,A,C),(a,B,C),(b,A,B),(b,A,C),(b,B,C),共9種，

9

所以綜合組中至少有1人來自醫(yī)療組的概率P=—=0.9

10

20.已知雙曲線的漸近線方程為y=±gx,經(jīng)過點(diǎn)療).

(1)求雙曲線的方程；

(2)已知直線y=Y3x-2與雙曲線的右支交于46兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)C,使

-3

得宓+礪=加灰求加的值及點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】（1）^i-￡=i

123

（2）777=4,（4石,3）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線設(shè)出方程，代入點(diǎn)即可得解；

（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出點(diǎn)。的坐標(biāo)及〃z.

【小問1詳解】

因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±gx,

2

所以可設(shè)雙曲線的方程為V—[=X,

代入P（2遍,G）可得，3-y=2,解得；l=—3,

所以雙曲線方程為＞2—t=_3,

即雙曲線的方程為：￡—￡=i.

123

【小問2詳解】

設(shè)A（%，%），3a2M，°（尤o，%），

因?yàn)槌?無=相反，則再+々=如0，%+%=加%，

’69

丁=5尸2

由直線與雙曲線方程聯(lián)立可得，＜

22

土-匕=1

1123

消元可得：爐―16氐+84=0，△=（-16月）2—4x84=432〉。,

二%+%=16#）,---X+%=166—4=12,

:.mx0=16^,my0=12,

.=4出

%，解得%=46，%=3，

22u

①一&=1

123—

C^4^/3,3j,m=4-.

21.如圖，在梯形A3CD中，ABI/CD,AD=DC=BC=1,ZABC=60°,四邊形ACFE

為矩形，平面ACFE_L平面ABCD,CF=1.

（1）證明：平面ACKE；

（2）設(shè)點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，平面心LB與平面FCB的夾角為氏求cos。的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理來證得3cl平面ACFE；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得cos。的取值范圍.

【小問1詳解】

在梯形A3CD中，因?yàn)锳3〃C￡>,AO=DC=CB=1,ZABC=60°

所以A8=（lxcos60°）><2+1=2,所以AC?=AB?+8。？一2AB?BC-cos60。=3，

所以Afi2=AC2+BC2,所以8C±AC.

因?yàn)槠矫鍭CEE_L平面ABC。，平面ACEEc平面A3CD=AC,

因?yàn)?Cu平面ABC。，所以平面ACEE.

【小問2詳解】

由（1）可建立分別以直線C4,CB,C尸為x軸，y軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

令尸則。（0,0,0）,4（"0,0）,3（0,1,0）,河（40,1）.

AB=（-A1,O）,W=（2,-l,l）.

設(shè)為=(x,y,z)為平面A