2025北京重點校初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編

分式方程

一、填空題

1.（2025北京懷柔初二上期末）我國明代《永樂大典》記載“綾羅尺價”問題：“今有綾、羅共三丈，各值

錢八百九十六文，只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文.問綾、羅尺價各幾何？”其大意為：“現(xiàn)在有綾布和

羅布長共3丈（1丈=10尺，）已知綾布和羅布分別出售均能收入896文，每尺綾布和每尺羅布一共需要

120文.問綾布有多少尺，羅布有多少尺？”設(shè)綾布有x尺，則可得方程為.

53

2.（2025北京朝陽初二上期末）方程------的解為_________.

yy-2

3.（2025北京二中初二上期末）關(guān)于*的方程=-羋7=1的解為正整數(shù)，整數(shù)機的值為一.

x+1x-1

31

4.（2025北京海淀初二上期末）方程一^二上的解為.

5.（2025北京西城初二上期末）一輛汽車從A地途經(jīng)B地開往C地，它在這兩個路段的行駛情況如下表

所示.已知這輛汽車從A地到8地行駛的時間比從8地到C地行駛的時間多0.2h,那么可列出關(guān)于n的方

程為______

路段路程（km）平均速度（km/h）

A地一2地401.25v

B地一C地16V

6.（2025北京通州初二上期末）方程「二+工=0的解為______.

2x-6x

7.（2025北京燕山初二上期末）方程二二+工=0的解為________.

2x+3x

二、解答題

1

8.（2025北京東城初二上期末）已知+2）2_“2（〃是正整數(shù)），相叫作”的平方差倒數(shù).例如

4=4叫作3的平方差倒數(shù).

（1）4的平方差倒數(shù)是；

2,

（2）m=-是w的平方差倒數(shù)，求機的值；

62-〃

1

（3）已知加=,_2與2_3口-2"+12）是某一正整數(shù)的平方差倒數(shù)（。力是正整數(shù)），求的最小值.

9.（2025北京平谷初二上期末）2024年，平谷區(qū)教委穩(wěn)步推進陽光樂跑行動，幫助學(xué)生在體育鍛煉中增

強體質(zhì)、享受樂趣、健全人格、錘煉意志，厚植愛國主義情懷，培養(yǎng)全面發(fā)展的新時代好少年，形成平谷

區(qū)中小學(xué)生樂跑新風(fēng)尚.某校八年級學(xué)生小明通過一個學(xué)期的樂跑活動，跑步速度每分鐘提升了60米，

樂跑活動后跑2000米所用時間與樂跑活動前跑1600米所用時間相同.請你用學(xué)過的知識計算一下小明同

學(xué)樂跑活動后的跑步速度.

10.（2025北京東城初二上期末）列分式方程解應(yīng)用題：

2024年7月27日，北京中軸線申遺成功.中軸線南起永定門，北至鐘鼓樓.某班級兩個小組分別在永定

門和鐘鼓樓參觀之后，他們同時出發(fā)到故宮集合.第一小組從永定門騎行至故宮，行程約6.4km,第二小

組從鐘鼓樓步行至故宮，行程約3.7km.已知騎行的速度是步行速度的2倍，第一小組比第二小組提前6

分鐘到達，求第二小組步行的速度是每小時多少千米.

申遺成用

4X

11.（2025北京東城初二上期末）解分式方程：『】=1+不匚.

x-2x2-x

21

12.（2025北京懷柔初二上期末）解分式方程：-——-=0.

xx+3

13.（2025北京門頭溝初二上期末）解分式方程：-+1=^-.

xx+4

14.（2025北京門頭溝初二上期末）列方程解應(yīng)用題：

《步輦圖》是唐朝畫家閻立本的作品，是中國十大傳世名畫之一.如圖是小李所畫的一幅長方形的局部臨

摹作品，裝裱前作品長為3.6m,寬為2.4m,將其四周裝裱上邊襯后，整幅作品長與寬的比是4:3,且四

周邊襯的寬度相等，求邊襯的寬度.

山村

I-1fim?I

15.（2□025北京延慶初二上期末）解分式方程：

⑴上+1=工；

x+12x+2

小、14x2

（2）-------F~-=------

x+2尤—4x一2

16.（2025北京朝陽初二上期末）某地積極利用農(nóng)業(yè)技術(shù)創(chuàng)新，改良玉米品種，提高品種適應(yīng)性和抗病

性，玉米平均每畝增產(chǎn)25%,原來總產(chǎn)量60噸的一塊土地，現(xiàn)在少種20畝，總產(chǎn)量仍可達到60噸，原

來和現(xiàn)在玉米的平均每畝產(chǎn)量各是多少噸？

X6

17.（2025北京石景山初二上期末）解分式方程：-^-+-=1.

x-3x

18.（2025北京二中初二上期末）列分式方程解應(yīng)用題：

為更好地開展黨史教育，激發(fā)中學(xué)生愛黨愛國的深厚情感，我校組織初二年級同學(xué)參觀中國共產(chǎn)黨歷史展

覽館，師生統(tǒng)一坐大巴車前往，從我校到展覽館計劃行駛12千米，活動當(dāng)天由于天氣原因，下雨造成道

2

路濕滑，大巴車平均行駛速度降為原計劃的］,途中又遇到交通管制，臨時改變了行車路線，最終全程行

駛了18千米，比計劃行駛時間多用20分鐘.請問原計劃大巴車平均每小時行駛多少千米？

無一

19.（2025北京二中初二上期末）解方程：^3+1=1--.

x-22-x

20.（2025北京燕山初二上期末）列方程解應(yīng)用題.

為貫徹落實健康第一的指導(dǎo)思想，促進學(xué)生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣.某校第一批為各班

用400元購進跳繩，接著又用450元購進第二批跳繩，已知第二批跳繩數(shù)是第一批跳繩數(shù)的1.5倍，且第

二批每根跳繩進價比第一批的進價少5元，求第二批跳繩每根的進價是多少.

r-l3

21.（2025北京石景山初二上期末）解分式方程：二」+—=1.

22.（2025北京海淀初二上期末）秋天是北京四季中最美的季節(jié)，深秋的北京香山更是景美如畫，金代詩

人周昂在《香山》中用詩句“山林朝市兩茫然，紅葉黃花白一川”描繪了香山紅葉與黃花交相輝映的自然美

景.小明和小亮都是登山愛好者.金秋十月，兩人相約去香山爬山賞景，挑戰(zhàn)香爐峰.小明沿北線步道上

山，小亮沿南線步道上山，北線步道長度為1500m,南線步道長度為2950m.兩人分別從各自步道起點

同時出發(fā)，小明比小亮每小時少走200m,結(jié)果小明和小亮到達各自步道終點所用的時間之比是3:5,求兩

人走完各自步道全程分別用了多少小時.

42x

23.（2025北京西城初二上期末）解方程：--+-^=-1.

x-22-x

24.（2025北京大興初二上期末）解方程：-3+1=x-^-.

xx-2

25.（2025北京大興初二上期末）列方程解決實際問題：

2024年12月2日，中央廣播電視總臺《2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會》發(fā)布官方吉祥物形象“巳（si）升升”，祝

福全球華人在新的一年如意康寧，好事連連.2025蛇年春晚吉祥物的設(shè)計是從中華傳統(tǒng)文化中尋找的靈

感，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨態(tài)可掬，又富有古意.

某商店銷售A,8兩款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的單價比2款吉祥物的單價高20元.若顧客花

800元購買A款吉祥物的數(shù)量與花600元購買8款吉祥物的數(shù)量相同，則A,8兩款吉祥物的單價分別是

多少元？

26.（2025北京延慶初二上期末）某中學(xué)組織學(xué)生到離家20歷”的郊區(qū)體驗農(nóng)耕勞動，一部分學(xué)生騎自行車

前往，另一部分學(xué)生在騎自行車的學(xué)生出發(fā)50分鐘后乘汽車前往，結(jié)果騎自行車的學(xué)生與乘汽車的學(xué)生

同時到達郊區(qū)，已知汽車速度是自行車速度的3倍，求自行車的速度

27.（2025北京通州初二上期末）鄉(xiāng)村振興，交通先行.近年以來，某市高質(zhì)量推進“四好”農(nóng)村公路建

設(shè)，著力打通農(nóng)村交通基礎(chǔ)設(shè)施.某村準(zhǔn)備修一條5400米長的道路，在修建600米后，由于采用新的修

建技術(shù)，這樣每天修建長度是原來的2倍，結(jié)果共用15天完成了全部任務(wù)，求原來每天修建道路多少

米.

28.（2025北京石景山初二上期末）列方程解應(yīng)用題.

某工程隊承擔(dān)了750米長的道路改造任務(wù)，工程隊在施工完210米道路后，引進了新設(shè)備，每天的工作效

率比原來提高了20%,結(jié)果共用22天完成了任務(wù).求引進新設(shè)備前工程隊每天改造道路多少米？

V-L14

29.（2025北京平谷初二上期末）解方程：---^-=1.

x-1x-1

參考答案

1,紗+衛(wèi)=120

x30—x

【分析】本題主要考查了由實際問題中抽象出分式方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.綾布

有x尺，則羅布有（30-x）尺，然后根據(jù)綾布和羅布分別全部出售后均能收入896文；綾布和羅布各出售一

尺共收入120文列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)綾布有x尺，則羅布有3x10-x=（3。-x）尺,

896896…

由題意得:——+--------=120,

x30-x

之-=

故答案為:120.

x30-x

2.y=5

【分析】本題考查解分式方程，先去分母把分式方程化為整式方程，然后再解答，最后進行檢驗即可.

【詳解】解："一~三=。,

y丁一2

去分母，得5（y-2）-3y=0,

去括號，得5y-l。-3y=。,

合并同類項并移項，得2y=10,

系數(shù)化為1,得：y=5,

檢驗：當(dāng)y=5,y(y-2)H0,

=5是原分式方程的解.

故答案為：y=5.

3.-3或-2

【分析】本題考查了分式方程的解，先解方程可彳“白，再結(jié)合關(guān)于X的方程一含=1的解為

正整數(shù)，再進一步求解并檢驗即可.

x-3mx

【詳解】解:=1,

x+lX2-1

去分母得：（％-3）（尤—1）—/加=》2—1,

,,%2—4x+3—nix=%2—1

移項合并得：（加+4）尤=4,

當(dāng)加力T時,

4

解得：-右'

由方程的解是正整數(shù)，得到X為正整數(shù),

即m+4=1或m+4=2或m+4=4,

解得：機=—3或機=—2或機=0.

x1,"一1,

「?根w0,

?、機二-3或加=—2,

故答案為：-3或-2.

4.x=2

【分析】根據(jù)解分式方程的基本步驟解答即可.

本題考查了解分式方程，熟練掌握解方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵，特別是注意驗根.

【詳解】解：;二上

x+4x

方程兩邊同乘x(x+4),去分母得3x=x+4,

移項，合并同類項，得2x=4,

系數(shù)化為1,得尤=2,

檢驗：當(dāng)x=2時，x(x+4)w。,

???x=2是原分式方程的根，

故答案為：x=2.

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，利用汽車從A地到2地行駛的時間比從B地到C地行駛的時間多

0.2h,列出分式方程，即可解答，正確找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

40

【詳解】解：汽車從A土也到2地行駛的時間為百〃,

汽車從2地到C地行駛的時間為3/I,

V

根據(jù)題意可得號-『。2,

40

故答案為:--=0.2

1.25vV

6.x=2

【分析】本題主要考查了解分式方程，

根據(jù)去分母，移項，合并同類項，系數(shù)化為1,最后檢驗即可.

【詳解】解：-^-+-=0,

2x-6x

兩邊都乘以x(2x-6),得x+2x-6=0,

移項，合并同類項，得3x=6,

系數(shù)化為1,得x=2.

經(jīng)檢驗，x=2是原方程的解.

故答案為：x=2.

7.x=-l

【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關(guān)鍵.

先去分母，轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，注意要檢驗是否有增根.

【詳解】解：—^-+-=0

2x+3x

x+2x+3=0,

解得：x=-l,

經(jīng)檢驗：％=-1是原方程的解,

所以，原方程的解為x=-l,

故答案為：x=-l.

8.(1)—

20

⑶8

【分析】本題主要考查了對平方差倒數(shù)的理解，完全平方公式的應(yīng)用、分式方程的實際應(yīng)用，熟練掌握相

關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

1

（1）根據(jù)根一左一r（〃是正整數(shù)），相叫作〃的平方差倒數(shù)，直接求解，即可解題；

（幾+2）—n

2

（2）根據(jù)一是〃的平方差倒數(shù)”結(jié)合平方差倒數(shù)概念建立分式方程求解，即可解題;

（3）利用因式分解化簡求解即可.

1_1_1

【詳解】（）解:

1(4+2)2-42-62-42-20

二4的平方差倒數(shù)是

故答案為：丸；

,21

（2）解：由題易得，方=（T，

62-n（n+2）-n

.2_1

62-n4〃+4

即8〃+8=62—〃,

解得n=6,

經(jīng)檢驗，〃=6是該方程的解,

2_1

此時m=--------；

62-n62-6-28

1

(3)解：*(Q_2b)2-3伊-2"+12)

________1_______

ci~+2ab+6--36

1

—(0+6)2-62，

(a+b)2-62=(n+2)2-712,

:.(a+b)2=4(〃+10),

a,6,〃為正整數(shù),

，”可取的最小值為6,

a+6的最小值為8.

9.300米

【分析】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)小明樂跑活動后每分鐘跑x米，則小明樂跑活動前每

分鐘跑(x-60)米，列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)小明樂跑活動后每分鐘跑x米，則小明樂跑活動前每分鐘跑(％-60)米,

2000_1600

根據(jù)題意，得:

xx-60

解得：％=300,

經(jīng)檢驗，x=300是原方程的解，且符合實際問題的意義，

答：小明樂跑活動后每分鐘跑300米.

10.第二小組的步行速度是每小時5千米

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系、正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)第二小組的步行速度是每小時x千米，則第一小組的騎行速度是每小時2x千米，根據(jù)第一小組比第二小

組提前6分鐘到達，列出分式方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)第二小組的步行速度是每小時x千米，則第一小組的騎行速度是每小時2無千米，

3.76.46

依題意得:--=---1--

x2x60

解得：x=5,

經(jīng)檢驗，尤=5是原方程的解，且符合題意.

答：第二小組的步行速度是每小時5千米.

11.x=-2

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵.

將原方程去分母后化為整式方程，解得尤的值后進行檢驗即可.

【詳解】解：原方程去分母得：4=*2一2元-1，

整理得：-2x=4,

解得：x=-2,

檢驗：當(dāng)％=—2時，Y—2%。0,

故原方程的解為％=-2.

12.x=-6

【分析】本題考查解分式方程，利用去分母將原方程化為整式方程，解得工的值后進行檢驗即可.

【詳解】解：原方程去分母得：2x+6-x=0,

解得：x=-6,

檢驗：當(dāng)了=-6時，x(x+3)w。，

故原方程的解為x=-6.

13.x=—2.

【分析】本題考查了解分式方程，先將分式方程兩邊同時乘以x(x+4)化為一元一次方程，再解一元一次

方程，最后檢驗即可，熟練掌握解分式方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：-+1=^-,

xx+4

4x

—,x(<x+4)++4)=-----x^x+4)

xx+4

4(x+4)+x(x+4)=x2

4x+16+x2+4x=x2

8x=—16

x——2,

檢驗：當(dāng)x=-2時，X(X+4)A0,

x=-2是原方程的解，

；?原方程的解是x=-2.

14.邊襯的寬度為0.6m

【分析】本題考查運用分式方程解決實際問題，熟練掌握比的意義，列方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)邊襯的寬度為?皿，表示出裝裱后的長和寬，根據(jù)“整幅圖畫長與寬的比是4:3”即可列出方程，求解并檢

驗即可.

【詳解】解：設(shè)邊襯的寬度為加.依題意，得券f=

2.4+2x3

解得x=0.6.

經(jīng)檢驗，x=0.6是原方程的解，且符合題意.

答：邊襯的寬度為0.6m.

15.(l)x=-

4

(2)原方程無解

【分析】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵；

(1)方程兩邊同時乘以2(x+l),然后再進行求解方程即可；

(2)方程兩邊同時乘以(x+2)(x-2),然后再進行求解方程即可

【詳解】(1)解：方程兩邊同時乘以2(%+1),得，

2x+2(x+l)=5,

2%+2%+2=5,

2x+2x=5-2,

4九=3,

3

"一"

3

檢驗：當(dāng)x時，方程左右兩邊相等.

4

3

所以原分式方程的解為1=一.

4

(2)解：方程兩邊同時乘以(1+2乂%-2),得:

x-2+4x=2(x+2),

x—2+4x—2x+4,

3x=6,

x=2；

檢驗：當(dāng)x=2時，最簡公分母(x+2)(x-2)=0,原方程中的分式無意義；

所以原方程無解.

16.原來玉米的平均每畝產(chǎn)量是0.6噸，現(xiàn)在玉米的平均每畝產(chǎn)量是0.75噸

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用.讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列

出方程是解題關(guān)鍵.

設(shè)原來玉米的平均每畝產(chǎn)量是x噸，由種植玉米地的面積=這塊地的總產(chǎn)量+平均每公頃產(chǎn)量，根據(jù)現(xiàn)在

少種20畝列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)原來玉米的平均每畝產(chǎn)量是尤噸，

6060”

根據(jù)題意，得二聲尹+2°，

解得：x=0.6.

經(jīng)檢驗，x=0.6是原分式方程的解，且符合題意.

(1+25%)%=0.75.

答：原來玉米的平均每畝產(chǎn)量是0.6噸，現(xiàn)在玉米的平均每畝產(chǎn)量是0.75噸.

17.x=2

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵.先去分母把分式方程化為整式方

程，然后再解答，最后進行檢驗即可.

【詳解】解：原方程去分母，得f+6(x-3)=x(x-3),

解得：尤=2,

檢驗：當(dāng)x=2時，x(x—3)HO,

.?.天=2是原分式方程的解.

18.原計劃大巴車平均每小時行駛45千米.

【分析】本題考查分式方程解決實際應(yīng)用問題，設(shè)原計劃大巴車平均每小時行駛無千米，則實際平均每小

2

時行駛(x千米，根據(jù)時間關(guān)系列方程求解即可得到答案；

【詳解】解：設(shè)原計劃大巴車平均每小時行駛x千米，則

18121

——=F—

%3，

3

解得：x=45,

經(jīng)檢驗符合題意；

答：原計劃大巴車平均每小時行駛45千米.

19.無解

【分析】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法.根據(jù)去分母、合并同類項，化系數(shù)

為1,即可求解.

無一31

【詳解】解：三十『三

x—3+x—2=—1

2x-5=-l

2x=4

x=2

經(jīng)檢驗，x=2是原方程的增根,

該方程無解.

20.第二批跳繩每根的進價是15元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用.關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系：第二批進的數(shù)量=第一批進的數(shù)量xl.5列方

程.

設(shè)第一批體育用品每件的進價是x元，則第一批進的數(shù)量是：=件，第二批進的數(shù)量是：二三件，再根

XX+J

據(jù)等量關(guān)系：第二批進的數(shù)量=第一批進的數(shù)量xL5可得方程.

【詳解】解：設(shè)第二批跳繩每根的進價是x元.

根據(jù)題意，得1.5、嬰=里.

x+5x

解之，得x=15.

經(jīng)檢驗，x=15是所列方程的解，并且符合實際問題的意義.

答：第二批跳繩每根的進價是15元.

21.尤=1

【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵.

先去分母化為整式方程，再進行去括號合并，最終進行檢驗即可.

X-]3

【詳解】解：—+^-=1,

xx+2

x—13

------%(%+2)+--------x(x+2)=lRx+2),

xx+2

(x—1)(X+2)+3%=%(X+2),

f+%—2+3x=犬+2%,

2x=2,

■X=],

經(jīng)檢驗％=1是原方程的解，

二原方程的解是X=l.

22.小明走完步道全程用了1.35小時，小亮走完步道全程用了2.25小時

【分析】本題主要考查分式的運用，理解數(shù)量關(guān)系，掌握分式解實際問題的方法是解題的關(guān)鍵.

設(shè)小明走完步道全程用了3x小時，則小亮走完步道全程用了5%小時，由此列式求解即可.

【詳解】解：設(shè)小明走完步道全程用了3尤小時，則小亮走完步道全程用了5x小時，

^-1500=200

可列方程:

5x3x

化簡得：--—=20,

XX

59-50=20%,

解得：x=0.45,

檢驗：％=0.45時，3九wO且5xw0

二?原分式方程的解為x=0.45,

??.3%=1.35,5光=2.25

答：小明走完步道全程用了1.35小時，小亮走完步道全程用了2.25小時.

23.分式方程無解

【分析】本題主要考查解分式方程，按照解分式方程的步驟進行解答即可，關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化思想”，把分

式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，最后一定注意要驗根.

42無

【詳解】解：三—

42x1

——I,

x—2x—2

4—2%=2-x

-+x=2—4,

x=2,

經(jīng)檢驗，x=2為原分式方程的增根，故原分式方程無解.

24.x=6

【分析】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法是解答此題的關(guān)鍵.

先去分母，方程兩邊同乘以X(X-2),將分式方程化為整式方程，求解即可；

【詳解】解：-3+1=x^-

xx-2

3(x-2)+x(x-2)=x2

3X—6+X2—2X=X2

x=6

檢驗：當(dāng)x=6時，x(x-2)^0,

所以原分式方程的解為x=6.

25.每個5款吉祥物的售價為60元，每個A款吉祥物的售價為80元

【分析】本題考查了分式方程實際應(yīng)用問題，根據(jù)題意找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

設(shè)一個B款吉祥物的售價為x元，則一個