高中向量測試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)等于（）A.\((4,6)\)B.\((-2,-2)\)C.\((2,2)\)D.\((3,6)\)2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,m)\)，\(\overrightarrow=(-1,2)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.\(-4\)B.\(4\)C.\(1\)D.\(-1\)3.向量\(\overrightarrow{a}\)的模\(\vert\overrightarrow{a}\vert=3\)，向量\(\overrightarrow\)的模\(\vert\overrightarrow\vert=4\)，且\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=6\)，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角的余弦值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{5}\)4.若\(\overrightarrow{AB}=(1,3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(4,7)\)，則\(\overrightarrow{BC}\)等于（）A.\((3,4)\)B.\((-3,-4)\)C.\((5,10)\)D.\((-5,-10)\)5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x,1)\)，\(\overrightarrow=(1,-2)\)，且\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(x\)的值為（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)6.向量\(\overrightarrow{a}=(3,-4)\)，則與\(\overrightarrow{a}\)同向的單位向量是（）A.\((\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)B.\((-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)C.\((\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)D.\((-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)7.若\(\overrightarrow{OA}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{OB}=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{AB}\)的坐標(biāo)是（）A.\((2,2)\)B.\((-2,-2)\)C.\((4,6)\)D.\((-4,-6)\)8.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow=(-1,2)\)，則\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow\)等于（）A.\((5,4)\)B.\((3,1)\)C.\((5,8)\)D.\((3,7)\)9.向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角為\(60^{\circ}\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert=2\)，\(\vert\overrightarrow\vert=1\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)等于（）A.\(1\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(2\)10.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,\lambda)\)，\(\overrightarrow=(\lambda,4)\)，且\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)反向，則\(\lambda\)的值為（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(\pm2\)D.\(0\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于向量的說法正確的是（）A.零向量與任意向量平行B.向量的模一定是非負(fù)實數(shù)C.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，\(\overrightarrow\parallel\overrightarrow{c}\)，則\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{c}\)D.相等向量一定是平行向量2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-1,1)\)，則（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(0,3)\)B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(2,1)\)C.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\)D.\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{5}\)3.若向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則下列能使\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)的是（）A.\(x_1x_2+y_1y_2=0\)B.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)C.\(x_1y_2-x_2y_1=0\)D.\(\vert\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\vert=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\)4.以下向量運算正確的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow{a}\)B.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow+\overrightarrow{c})\)C.\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow\)D.\((\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}\)5.已知\(\overrightarrow{a}=(3,-1)\)，\(\overrightarrow=(1,2)\)，則（）A.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\)B.與\(\overrightarrow{a}\)同向的單位向量為\((\frac{3}{\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}})\)C.\(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow\)上的投影向量為\(\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{\vert\overrightarrow\vert^2}\overrightarrow\)D.\(\vert\overrightarrow{a}-\overrightarrow\vert=\sqrt{13}\)6.對于向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)，\(\overrightarrow{c}\)，下列命題正確的是（）A.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\)，且\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\)，則\(\overrightarrow=\overrightarrow{c}\)B.\((\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}(\overrightarrow\cdot\overrightarrow{c})\)C.\(\vert\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\vert\leqslant\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\)D.\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert\leqslant\vert\overrightarrow{a}\vert+\vert\overrightarrow\vert\)7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x,1)\)，\(\overrightarrow=(2,y)\)，且\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則（）A.\(2x+y=0\)B.\(x\)與\(y\)滿足一定關(guān)系C.若\(x=1\)，則\(y=-2\)D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)8.以下向量中，模為\(\sqrt{5}\)的有（）A.\((1,2)\)B.\((-1,2)\)C.\((2,1)\)D.\((-2,-1)\)9.若向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)滿足\(\vert\overrightarrow{a}\vert=2\)，\(\vert\overrightarrow\vert=3\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=3\)，則（）A.\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角為\(60^{\circ}\)B.\(\cos\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow\rangle=\frac{1}{2}\)C.\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角的正弦值為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\vert\overrightarrow{a}-\overrightarrow\vert=\sqrt{7}\)10.已知\(\overrightarrow{OA}=(1,3)\)，\(\overrightarrow{OB}=(2,-1)\)，\(\overrightarrow{OC}=(m+1,m-2)\)，若點\(A\)、\(B\)、\(C\)能構(gòu)成三角形，則\(m\)的值可以是（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(1\)D.\(0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.單位向量都相等。（）2.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）3.向量\(\overrightarrow{a}\)與\(-\overrightarrow{a}\)的模相等。（）4.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則存在唯一實數(shù)\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow\)。（）5.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}\)。（）6.若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2-y_1y_2\)。（）7.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律。（）8.若\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\vert\overrightarrow\vert\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow\)。（）9.零向量沒有方向。（）10.若\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角為鈍角，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow<0\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow=(3,4)\)，求\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow\)的坐標(biāo)。答案：\(2\overrightarrow{a}=(2,-4)\)，\(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(2-3,-4-4)=(-1,-8)\)。2.已知向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角為\(120^{\circ}\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert=2\)，\(\vert\overrightarrow\vert=3\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)。答案：根據(jù)向量數(shù)量積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\cos\theta\)，\(\theta=120^{\circ}\)，\(\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=2\times3\times(-\frac{1}{2})=-3\)。3.已知\(\overrightarrow{AB}=(2,3)\)，\(A(1,2)\)，求點\(B\)的坐標(biāo)。答案：設(shè)\(B(x,y)\)，\(\overrightarrow{AB}=(x-1,y-2)\)，已知\(\overrightarrow{AB}=(2,3)\)，則\(\begin{cases}x-1=2\\y-2=3\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}\)，所以\(B(3,5)\)。4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(m,1)\)，\(\overrightarrow=(1,-2)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，求\(m\)的值。答案：因為\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\times(-2)-1\times1=0\)，即\(-2m-1=0\)，解得\(m=-\frac{1}{2}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論向量在物理中的應(yīng)用，舉例說明。答案：在物理中，向量應(yīng)用廣泛。如力是向量，求多個力的合力就是向量加法運算。位移也是向量，計算物體在不同方向位移后的總位移要用向量合成。速度同樣是向量，分析物體運動軌跡時會用到向量知識。2.探討如何利用向量證明幾何問題，以平行四邊形為例。答案：設(shè)平行四邊形\(ABCD\)，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)，說明對邊平行且相等。利用向量加法，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\)，通過向量運算和性質(zhì)可證明平行四邊形邊與邊、對角線之間的關(guān)系。3.說一說向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。答案：向量\(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow\)上的投影為\(\vert\overrightarrow{a}\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\ove