大一解析幾何試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.點(diǎn)\(A(1,2,3)\)到\(x\)軸的距離是（）A.\(\sqrt{13}\)B.\(\sqrt{14}\)C.\(\sqrt{5}\)D.\(\sqrt{10}\)2.向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，\(\vec=(2,1,-1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)=（）A.-3B.-1C.1D.33.直線\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{3}\)的方向向量是（）A.\((2,-1,3)\)B.\((1,-3,0)\)C.\((-2,1,-3)\)D.\((2,1,3)\)4.平面\(2x-y+3z-1=0\)的法向量是（）A.\((2,-1,3)\)B.\((-2,1,-3)\)C.\((2,1,3)\)D.\((1,-2,3)\)5.點(diǎn)\(M(1,2,-1)\)到平面\(x+y-z+1=0\)的距離是（）A.\(\frac{3}{\sqrt{3}}\)B.\(\frac{5}{\sqrt{3}}\)C.\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)D.\(\frac{7}{\sqrt{3}}\)6.已知向量\(\vec{a}=(m,1)\)，\(\vec=(3,-2)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(-\frac{3}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(-\frac{2}{3}\)7.過(guò)點(diǎn)\((1,2,3)\)且平行于向量\(\vec{v}=(1,-1,2)\)的直線方程為（）A.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{2}\)B.\(\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+3}{2}\)C.\(\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-2}\)D.\(\frac{x+1}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+3}{-2}\)8.平面\(x+y+z=0\)與平面\(x-y+z=0\)的夾角為（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{4}\)C.\(\frac{\pi}{3}\)D.\(\frac{\pi}{2}\)9.已知\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(0,0,1)\)，則\(\triangleABC\)的面積為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(\sqrt{2}\)10.向量\(\vec{a}=(1,1,1)\)在向量\(\vec=(1,0,0)\)上的投影為（）A.1B.\(\sqrt{3}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是向量的運(yùn)算（）A.加法B.減法C.數(shù)量積D.向量積2.平面的方程形式有（）A.點(diǎn)法式B.一般式C.截距式D.兩點(diǎn)式3.直線的方程形式有（）A.點(diǎn)向式B.一般式C.兩點(diǎn)式D.參數(shù)式4.向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec=(x,y,z)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則（）A.\(x+2y+3z=0\)B.\(\vec{a}\cdot\vec=0\)C.\(x=2y=3z\)D.\(\vec{a}\times\vec=\vec{0}\)5.下列說(shuō)法正確的是（）A.零向量與任何向量平行B.單位向量的模為1C.兩向量平行，則對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例D.向量的數(shù)量積滿足交換律6.過(guò)點(diǎn)\((1,2,3)\)的平面方程可以是（）A.\(x-1+y-2+z-3=0\)B.\(2(x-1)+3(y-2)+4(z-3)=0\)C.\(x+y+z-6=0\)D.\(x-1=0\)7.直線\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}\)與平面\(x+2y+3z-6=0\)的關(guān)系是（）A.直線在平面內(nèi)B.直線與平面平行C.直線與平面相交D.直線垂直平面8.向量\(\vec{a}=(1,-1,0)\)，\(\vec=(0,1,-1)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec=(1,0,-1)\)B.\(\vec{a}\cdot\vec=-1\)C.\(\vec{a}\times\vec=(1,1,1)\)D.\(|\vec{a}|=\sqrt{2}\)9.下面哪些是解析幾何研究的內(nèi)容（）A.點(diǎn)B.直線C.平面D.二次曲面10.已知點(diǎn)\(A(1,1,1)\)，\(B(2,2,2)\)，則（）A.\(\overrightarrow{AB}=(1,1,1)\)B.\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3}\)C.線段\(AB\)中點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2})\)D.\(\overrightarrow{AB}\)的單位向量為\((\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.向量\(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec=(0,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=1\)。（）2.平面\(2x+3y-z=0\)過(guò)原點(diǎn)。（）3.直線\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{0}\)表示平行于\(yOz\)平面的直線。（）4.若向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)的數(shù)量積為\(0\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)垂直。（）5.點(diǎn)\(P(1,2,3)\)到原點(diǎn)的距離是\(\sqrt{14}\)。（）6.平面\(x+y+1=0\)與平面\(x-y+1=0\)垂直。（）7.向量\(\vec{a}=(1,1,1)\)，\(\vec=(2,2,2)\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行。（）8.直線\(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\)的方向向量為\((1,2,3)\)。（）9.過(guò)空間一點(diǎn)只能作一個(gè)平面與已知直線垂直。（）10.向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)的模為\(\sqrt{14}\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求向量\(\vec{a}=(2,-3,4)\)與\(\vec=(-1,2,-2)\)的夾角余弦值。答案：根據(jù)向量數(shù)量積公式\(\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta\)，先求\(\vec{a}\cdot\vec=2\times(-1)+(-3)\times2+4\times(-2)=-16\)，\(|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{29}\)，\(|\vec|=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2}=3\)，則\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{-16}{3\sqrt{29}}=-\frac{16\sqrt{29}}{87}\)。2.寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)\(P(1,-2,3)\)且法向量為\(\vec{n}=(2,-1,4)\)的平面方程。答案：根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)，這里\(A=2\)，\(B=-1\)，\(C=4\)，\(x_0=1\)，\(y_0=-2\)，\(z_0=3\)，則平面方程為\(2(x-1)-(y+2)+4(z-3)=0\)，即\(2x-y+4z-16=0\)。3.求直線\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{3}\)與平面\(x+2y-z+1=0\)的交點(diǎn)。答案：設(shè)直線上一點(diǎn)\(x=2t+1\)，\(y=-t-3\)，\(z=3t\)，代入平面方程得\((2t+1)+2(-t-3)-3t+1=0\)，解得\(t=-\frac{4}{3}\)，將\(t\)代入直線參數(shù)式得交點(diǎn)為\((-\frac{5}{3},-\frac{5}{3},-4)\)。4.已知向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec=(3,-1,2)\)，求\(\vec{a}\times\vec\)。答案：根據(jù)向量積公式\(\vec{a}\times\vec=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&3\\3&-1&2\end{vmatrix}=\vec{i}(4+3)-\vec{j}(2-9)+\vec{k}(-1-6)=7\vec{i}+7\vec{j}-7\vec{k}=(7,7,-7)\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論向量的數(shù)量積與向量積在實(shí)際應(yīng)用中的區(qū)別與聯(lián)系。答案：區(qū)別：數(shù)量積結(jié)果是標(biāo)量，反映兩向量的投影關(guān)系，用于求功等；向量積結(jié)果是向量，方向垂直于兩向量所在平面，用于求力矩等。聯(lián)系：都基于向量運(yùn)算，在一些物理和幾何問(wèn)題中相互配合，共同解決問(wèn)題，如在剛體運(yùn)動(dòng)分析中都有應(yīng)用。2.闡述平面方程和直線方程的各種形式及適用場(chǎng)景。答案：平面方程：點(diǎn)法式用于已知點(diǎn)和法向量；一般式適用于各種情況；截距式用于與坐標(biāo)軸交點(diǎn)明顯時(shí)。直線方程：點(diǎn)向式用于已知點(diǎn)和方向向量；一般式用于一般情況；兩點(diǎn)式用于已知兩點(diǎn)。根據(jù)題目所給條件的特點(diǎn)選擇合適形式解題。3