第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編曲線與方程（人教B版）一、單選題1．（2025北京西城高三上期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，且.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，則（

）A．是平行四邊形，且周長(zhǎng)為B．是平行四邊形，且周長(zhǎng)為C．是等腰梯形，且周長(zhǎng)為D．是等腰梯形，且周長(zhǎng)為2．（2023北京通州高三上期末）設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值、最小值分別為（

）A．最大值，最小值 B．最大值，最小值1C．最大值2，最小值 D．最大值2，最小值1二、填空題3．（2025北京海淀高三上期末）已知曲線.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于直線對(duì)稱；②曲線上恰好有個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均是整數(shù)的點(diǎn)）；③曲線上存在一點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離小于；④曲線所圍成區(qū)域的面積大于.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.4．（2025北京豐臺(tái)高三上期末）已知曲線（、為常數(shù)），給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②當(dāng)時(shí)，曲線恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)；③設(shè)、為曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則存在，，使得有最大值；④記曲線在第一象限的部分與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為，則對(duì)任意，存在，使得.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.5．（2024北京豐臺(tái)高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的和為4．記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線過(guò)原點(diǎn)；②曲線是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；③曲線恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④曲線圍成區(qū)域的面積大于．則所有正確結(jié)論的序號(hào)是．6．（2023北京高三上期末）曲線上存在四個(gè)點(diǎn)滿足四邊形是正方形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．

參考答案1．D【分析】分別取的中點(diǎn)，先分別在面、面上確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡、，進(jìn)而得到是過(guò)點(diǎn)的平面與正方體各表面的交線（梯形），再通過(guò)計(jì)算確定是等腰梯形及其周長(zhǎng).【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，則∥∥，∴四點(diǎn)共面若為面上的動(dòng)點(diǎn)，由正方體易得，平面平面，且平面平面，要使，則只需，此時(shí)的軌跡為線段；若為面上的動(dòng)點(diǎn)，由正方體易得，平面平面，且平面平面，要使，則只需，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，易證，故此時(shí)的軌跡為線段；所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線為過(guò)點(diǎn)的平面與正方體各表面的交線，即梯形.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以.所以曲線為等腰梯形，且周長(zhǎng)為.故選：D.2．B【分析】由題設(shè)明確點(diǎn)到原點(diǎn)距離為，結(jié)合曲線方程，利用基本不等式可得的最小值和最大值，即可得答案.【詳解】由題意知點(diǎn)到原點(diǎn)距離為，由于點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小，最小值為1；又因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為，故選：B3．②④【分析】根據(jù)曲線方程分析曲線的性質(zhì)，有曲線為封閉曲線，過(guò)點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，畫出曲線大致圖形，結(jié)合圓、四邊形在曲線內(nèi)部判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由，則且，易知曲線為封閉曲線，所以，易得，故，時(shí)；時(shí)；時(shí)，故曲線過(guò)點(diǎn)，顯然不關(guān)于直線對(duì)稱，①錯(cuò)；對(duì)于曲線上任意點(diǎn)，其關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，則，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，綜上，曲線的大致圖形如下圖示，顯然曲線上恰好有個(gè)整點(diǎn)，②對(duì)；由圓過(guò)點(diǎn)，故圓上點(diǎn)均在曲線上或內(nèi)，所以曲線上不存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離小于，③錯(cuò)；如圖中，四邊形在曲線內(nèi)部，故曲線所圍成區(qū)域的面積大于，④對(duì).故答案為：②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)曲線方程分析出曲線的相關(guān)性質(zhì)，并畫出大致圖形為關(guān)鍵.4．①②④【分析】利用曲線的對(duì)稱性可判斷①；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)曲線方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷②；將曲線的方程視為關(guān)于的二次方程，利用判別式求出的范圍后可判斷斷③；化簡(jiǎn)方程得可判斷曲線在線段上方，數(shù)形結(jié)合可判斷④.【詳解】對(duì)于①，在曲線上任取一點(diǎn)，則，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，即點(diǎn)在曲線上，所以，曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，①對(duì)；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，則，曲線的方程為，由，解得或，所以，當(dāng)時(shí)，曲線恒過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)、，②對(duì)；對(duì)于③，當(dāng)，時(shí)，將曲線的方程視為關(guān)于的二次方程，則，故，故或，故無(wú)最值.對(duì)于④，當(dāng)，時(shí)，由題設(shè)可得，當(dāng)時(shí)，，即曲線在第一象限的部分在直線的上方，如圖，則，④對(duì).故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是求出曲線方程，后運(yùn)用性質(zhì)，如對(duì)稱性，面積借助放縮成三角形即可求解.5．①③④【分析】根據(jù)題目整理方程，分段整理函數(shù)，畫出圖象，可得答案.【詳解】設(shè)，則，到直線l的距離，由題意可知，，，，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，，.可作圖如下：由圖可知：曲線W過(guò)原點(diǎn)，且是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故①正確，②錯(cuò)誤；曲線經(jīng)過(guò)4個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有其它整點(diǎn)，故③正確；由，，，四邊形的面積，，，多邊形的面積曲線W圍成區(qū)