第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編三角恒等變換一、單選題1．（2025北京東城高三上期末）下列函數(shù)中，使既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2025北京西城高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．3．（2025北京昌平高三上期末）已知函數(shù)的最小正周期為，，且函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024北京通州高三上期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角和的頂點(diǎn)都與原點(diǎn)重合，始邊都與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn).若，則（

）A． B． C． D．5．（2023北京東城高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊位于第一象限，且與單位圓交于點(diǎn)，軸，垂足為.若的面積為，則（

）A． B． C． D．6．（2023北京石景山高三上期末）已知函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．最小正周期為，且作上為增函數(shù)D．的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象二、填空題7．（2024北京東城高三上期末）已知函數(shù)，若，則的一個(gè)取值為．三、解答題8．（2025北京海淀高三上期末）已知函數(shù).(1)求曲線的兩條對(duì)稱軸之間距離的最小值；(2)若在區(qū)間上的最大值為，求的值.9．（2025北京房山高三上期末）已知函數(shù)，，且的最小值為.(1)求的值；(2)設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及相應(yīng)自變量的值.10．（2024北京西城高三上期末）已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為．(1)求的值及的最小正周期；(2)若對(duì)恒成立，求的最大值和的最小值．11．（2024北京朝陽(yáng)高三上期末）已知函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn).(1)求的值及的最小正周期；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求正數(shù)的最大值.12．（2024北京通州高三上期末）已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，且，求的值.13．（2024北京石景山高三上期末）設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值；(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；條件②：時(shí)，的值域是；條件③：是的一條對(duì)稱軸．14．（2024北京房山高三上期末）已知函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(1)求的值；(2)設(shè)，若在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.15．（2023北京順義高三上期末）已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為．(1)求A和函數(shù)的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．16．（2023北京一六六中高三上期末）在中，，，點(diǎn)在邊上，，.（1）求；（2）求的面積.

參考答案1．B【分析】先求得，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等知識(shí)來(lái)確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，，由于，所以是偶函數(shù)，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，符合題意，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，所以不是奇函數(shù)，不合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，該函數(shù)是奇函數(shù)，但不單調(diào)，不符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值，再結(jié)合二倍角公式，即可求解.【詳解】由條件可知，,所以，，所以.故選：A3．B【分析】整體代換法求得函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，結(jié)合題設(shè)條件，得出，進(jìn)而求得的最小值．【詳解】由題意，函數(shù)，又因?yàn)樽钚≌芷跒椋?，所以令，解得則函數(shù)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為，又因?yàn)?，函?shù)關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)在上單調(diào)，所以，當(dāng)時(shí)，，即的最小值為.故選：B.4．C【分析】由題意并根據(jù)可得，由三角函數(shù)定義知，然后應(yīng)用差角余弦公式計(jì)算求值即可.【詳解】由題意，設(shè)，由已知A的坐標(biāo)并結(jié)合三角函數(shù)的定義得，則.故選：C5．D【分析】由三角函數(shù)的定義結(jié)合三角形面積列出方程，再由倍角公式求出答案.【詳解】由三角函數(shù)的定義可知：，故，故，解得：.故選：D6．C【分析】利用輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱性、最小正周期公式、單調(diào)性、奇偶性逐一判斷即可.【詳解】，對(duì)于A，因?yàn)?，所以不是函?shù)圖象的對(duì)稱軸，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以點(diǎn)不是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的最小正周期為，當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)增，所以C正確；把的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，沒(méi)有奇偶性，所以D錯(cuò)誤，故選：C7．（答案不唯一）【分析】利用和角的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，求出即可求解.【詳解】，，即，解得，，，.的一個(gè)取值為.故答案為：（答案不唯一）.8．(1)；(2).【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程即可.（2）分析函數(shù)在的性質(zhì)，確定最大值點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)值求出.【詳解】（1）函數(shù)由，解得所以曲線的兩條對(duì)稱軸之間的距離最小值為．（2）當(dāng)時(shí)，，由在區(qū)間上的最大值為，得，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，因此，，解得，所以的值是.9．(1)(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值【分析】（1）根據(jù)題意可得出函數(shù)的最小正周期，即可求得的值；（2）由可求出的取值范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值及其對(duì)應(yīng)的值.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，，且的最小值為.所以，函數(shù)的最小正周期為，則.（2）由（1）知，，則，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，即.10．(1)，最小正周期為(2)的最大值是；的最小值是1【分析】（1）現(xiàn)有條件求出值的解析式，再運(yùn)用降冪公式和輔助角公式將其化成正弦型函數(shù)，即可求得的最小正周期；（2）先由給定區(qū)間求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，求得其值域，分析函數(shù)取最值時(shí)自變量的值，即可求出的最大值和的最小值.【詳解】（1）由題設(shè)，化簡(jiǎn)得解得．故則的最小正周期為；（2）由，可得．故得，即．當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．由對(duì)恒成立，可得，且．即的最大值是，的最小值是1．11．(1)，(2)【分析】（1）利用函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)求得，然后利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，利用周期公式求解周期；（2）先利用換元法求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，利用子集關(guān)系建立不等式求解即可.【詳解】（1）由得.所以.所以的最小正周期為.（2）由（），得（）.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且，此時(shí)，所以，故的最大值為.12．(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）由二倍角公式以及兩角和與差化簡(jiǎn)可得，再求最小正周期和單調(diào)區(qū)間即可；（2）由得，則的值可求.【詳解】（1）因?yàn)椋?所以的最小正周期.令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?因?yàn)?，所?所以.所以.所以的值為.13．(1)(2)選②或③，【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)，即可求解；（2）選①，由可判斷；選②，由題意，，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得周期，即可得；選③，由題意，得，又是的一條對(duì)稱軸，所以，由此可解得.【詳解】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．?）選①，∵，∴函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不合題意；選②，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，的值域是，所以，.此時(shí)，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得，故．

因?yàn)椋?選③，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，解得．

因?yàn)槭堑囊粭l對(duì)稱軸，所以.所以，即，解得.由，可知.14．(1)(2)【分析】（1）求出平移后所得函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性，結(jié)合的取值范圍可求得的值；（2）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，由可得，結(jié)合題意可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】（1）解：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)，由題意可知，函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得，又因?yàn)?，則.（2）解：由（1）可知，，則，因?yàn)?，則，由，可得，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．(1)；(2)【分析】（1）解方程即可求，然后把函數(shù)降冪，輔助角公式后再求周期.（2）若恒成立，即求.【詳解】（1）的一個(gè)零點(diǎn)為，即，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）當(dāng)時(shí)有最大值，即.