第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（人教B版）一、單選題1．（2023北京昌平高三上期末）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.斜率為的直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)（在軸的兩側(cè)）.若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．2．（2023北京石景山高三上期末）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，若，則p的值為（

）A． B．1 C．2 D．3二、填空題3．（2025北京一六六中高三上期末）直線與雙曲線的右支只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為.4．（2024北京東城高三上期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是；直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則.5．（2023北京東城高三上期末）經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小關(guān)系為.（填“＞”“＜”或“＝”）三、解答題6．（2025北京昌平高三上期末）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段（不包括兩端點(diǎn)）上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線，分別交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.7．（2025北京房山高三上期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，一條直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線為，為直線與直線的交點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若，直線是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說(shuō)明理由.8．（2025北京通州高三上期末）已知橢圓，以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.(1)求橢圓的方程及離心率；(2)斜率存在且不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn).在軸上是否存在定點(diǎn)，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.9．（2025北京西城高三上期末）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)，的面積為2.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.若四邊形為正方形，求的值.10．（2025北京東城高三上期末）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，且焦距為2，為第一象限內(nèi)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為，的直線分別與交于點(diǎn)，（均異于點(diǎn)），直線與軸交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．(1)求的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．11．（2025北京朝陽(yáng)高三上期末）已知橢圓的離心率為，右頂點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)原點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．已知點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．12．（2024北京豐臺(tái)高三上期末）已知橢圓．(1)求橢圓的離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)直線與橢圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，不過(guò)原點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．記直線的斜率為，直線的斜率為，求的值．13．（2024北京順義高三上期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），直線，分別與軸交于點(diǎn)M，N，求的值．14．（2024北京石景山高三上期末）已知橢圓，離心率為，短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．求證：為直角三角形．15．（2024北京朝陽(yáng)高三上期末）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，原點(diǎn)到直線的距離為，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別與直線交于點(diǎn).判斷點(diǎn)是否為線段的中點(diǎn)，說(shuō)明理由.16．（2024北京昌平高三上期末）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（均不與點(diǎn)重合），若以線段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，求的值．17．（2024北京西城高三上期末）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）.設(shè)的中點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).若恰為的中點(diǎn)，求直線的方程.18．（2024北京東城高三上期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左?右頂點(diǎn)分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱，分別為線段的中點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn).證明：三點(diǎn)共線.19．（2024北京海淀高三上期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，焦距為.(1)求橢圓的方程，并求其短軸長(zhǎng)；(2)過(guò)點(diǎn)且不與軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，其中為原點(diǎn).設(shè)直線的斜率為，求的最大值.20．（2024北京房山高三上期末）設(shè)橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，已知，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若的面積是面積的4倍，求直線的方程.21．（2024北京大興高三上期末）已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，焦點(diǎn)在軸上，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn).求證：與的面積之比為定值.22．（2024北京一六六中高三上期末）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．23．（2023北京通州高三上期末）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓上不同于的一點(diǎn)，直線，與直線分別交于點(diǎn).試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.24．（2023北京海淀高三上期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)和.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).若，求直線的方程.25．（2023北京西城高三上期末）如圖，已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線交橢圓E于兩點(diǎn)A，B，的中點(diǎn)為M．設(shè)O為原點(diǎn)，射線交橢圓E于點(diǎn)C．當(dāng)與的面積相等時(shí)，求k的值．26．（2023北京豐臺(tái)高三上期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B為橢圓E的右頂點(diǎn)．記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．27．（2023北京房山高三上期末）已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為8.(1)求橢圓的方程；(2)直線：與橢圓分別相交于兩點(diǎn)，直線，分別與軸交于點(diǎn)，.試問(wèn)是否存在直線，使得線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如果存在，寫出一條滿足條件的直線的方程，并證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案1．B【分析】根據(jù)直線的斜率以及求得，從而求得拋物線的方程.【詳解】直線的斜率為，傾斜角為，過(guò)作，垂足為，連接，由于，所以三角形是等邊三角形，所以，由于，所以，所以拋物線方程為.故選：B2．B【分析】設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用拋物線定義結(jié)合已知求出，再借助斜率坐標(biāo)公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)，拋物線的準(zhǔn)線為：，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，則，又，解得.故選：B3．【分析】直線過(guò)定點(diǎn),作出直線與雙曲線的圖象,通過(guò)圖象即可求解.【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，直線與雙曲線圖象如圖所示，

又雙曲線的兩條漸近線為，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以由圖可知，，故答案為：4．【分析】由已知可判斷雙曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，可知，，表示漸近線方程即可；由可求的值，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到距離.【詳解】由雙曲線：知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且，，即，，所以雙曲線的漸近線方程為；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以.故答案為：；.5．【分析】設(shè)，求出直線的方程，與準(zhǔn)線方程聯(lián)立可得.設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，從而可求與的關(guān)系，即與的關(guān)系.【詳解】設(shè)，則直線的方程為，令，可得.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以，即.所以，即.故答案為:.6．(1)(2)證明見解析【分析】（1）依題意知，結(jié)合求出，即可得橢圓方程；（2）首先表示出直線方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，再表示出直線，的方程、求得坐標(biāo)，并分別將直線，與直線聯(lián)立求得，通過(guò)化簡(jiǎn)證明，得到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得證.【詳解】（1）∵橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴解得.∴橢圓的方程為.（2）過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線方程為.由得..

設(shè)，則.

直線，

直線，在直線方程中，令，得.直線.由得.同理得.所以，即點(diǎn)為線段中點(diǎn).所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.7．(1)(2)是，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的等式組，求出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）對(duì)直線的位置進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為可得出參數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)直線的方程，即可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，則，解得，因此，橢圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)、，則，當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，可得，當(dāng)時(shí)，由韋達(dá)定理可得，整理可得，可得，此時(shí)，，則，所以，直線的方程為，即，此時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線軸時(shí)，則線段的方程為，此時(shí)點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則直線為軸，此時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)；當(dāng)直線軸時(shí)，此時(shí)點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則，不合乎題意.綜上所述，直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.8．(1)；(2)存在，或【分析】(1)由題可知，進(jìn)而得到橢圓方程和離心率；(2)假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，原問(wèn)題等價(jià)于滿足，表示直線、的方程，可表示出，，據(jù)此計(jì)算可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)橐詸E圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，即，，故橢圓的方程：，，故離心率；（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，使得，當(dāng)時(shí)，所以，設(shè)，，所以滿足，設(shè)，，由題意可知直線斜率存在且不為0，故,,直線的方程為，所以當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以．同理可得，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，在橢圓上，即，，，所以或，故在軸上存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．9．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，離心率（為橢圓半焦距），三角形面積公式，再結(jié)合橢圓中來(lái)確定橢圓方程.（2）先求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)來(lái)求解的值.【詳解】（1）已知，，，則的面積，解得.因?yàn)殡x心率，，所以.又因?yàn)?，，，所?所以橢圓的方程為.（2）將直線與橢圓聯(lián)立得.根據(jù)韋達(dá)定理，，.計(jì)算，從而得到線段中點(diǎn)坐標(biāo)為.

然后求線段垂直平分線方程：垂直平分線的斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式可得垂直平分線方程為，進(jìn)而得到點(diǎn).

最后根據(jù)四邊形為正方形時(shí)：則展開得進(jìn)一步化簡(jiǎn)為將，代入得，，整理得，解得.10．(1)；(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.【分析】（1）借助頂點(diǎn)及焦距計(jì)算即可得；（2）設(shè)，、，則可表示出直線與，分別聯(lián)立曲線后計(jì)算可用、表示、坐標(biāo)，則可求出直線并得到，再借助點(diǎn)坐標(biāo)得到直線方程，即可得，則可由計(jì)算點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可得，，則，故；（2）設(shè)，則有，設(shè)、，則、，聯(lián)立，有，則，故，則，即，聯(lián)立，有，則，故，則，即，則，令，則，又，則，令，則，則，則或，即或，解得或，即或或或，因?yàn)椋?所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.11．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系求參數(shù)，即可得方程；（2）設(shè)點(diǎn)，進(jìn)而可得，聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求出坐標(biāo)，同理得坐標(biāo)，進(jìn)而寫出直線，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，則，且．直線，即．由，得．所以，則．所以．所以．同理．依題意，所以．所以直線的方程為，整理得．所以直線過(guò)定點(diǎn)．12．(1)離心率為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓方程直接求出離心率與焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)直線與橢圓相切求出坐標(biāo)并得到，法一：設(shè)直線的方程為，由韋達(dá)定理求出證得結(jié)論．法二：記，由點(diǎn)差法求可證得結(jié)論．【詳解】（1）由題意得，解得．所以橢圓E的離心率為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．（2）由消去y并整理得：

①其判別式得，化簡(jiǎn)為．此時(shí)方程①可化為，解得，(由條件知異號(hào))．記，則，所以，即點(diǎn)．所以O(shè)P的斜率．法一：因?yàn)?，所以可設(shè)直線的方程為．由消去y并整理得：．當(dāng)其判別式大于零時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)，則．因?yàn)镃是A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為．所以直線BC的斜率．所以．法二：記，因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以．因?yàn)?，所以直線AB的斜率為，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，．兩式相減得：．所以，即，所以．所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將P視為與橢圓相交弦中點(diǎn)，由中點(diǎn)弦定理得，設(shè)中點(diǎn)為M，由中點(diǎn)弦定理得，由得，故.13．(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)，把點(diǎn)代入，即可求出橢圓方程．（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，，計(jì)算直線的斜率與直線的斜率的和，即可根據(jù)對(duì)稱求解.【詳解】（1）由于，設(shè)所求橢圓方程為，把點(diǎn)代入，得，，橢圓方程為．（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，設(shè)，，，，所以,直線直線斜率為，直線直線斜率為，則所以，，即直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，故直線與直線關(guān)于對(duì)稱，因此．故【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.14．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可計(jì)算出、、，即可得方程；（2）設(shè)出直線的斜率、、的坐標(biāo)，由軸，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線的方程，聯(lián)立曲線，即可得、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，作出的中點(diǎn)，由，從而得到，可得，即可得證.【詳解】（1）由題意知，解得,所以橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，交橢圓于，，由題意知，所以，直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，所以，因?yàn)樵谥校?，所以．所以，即，所以為直角三角?15．(1)(2)是，理由見解析【分析】（1）利用點(diǎn)到直線距離和三角形面積構(gòu)造方程組可解得，可得橢圓的方程為；（2）設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立并設(shè)，，求出直線和的方程，解得和，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可證明，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題可知.因?yàn)榈拿娣e為，所以.因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以.所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，理由如下：由題知直線的斜率存在，如下圖所示：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，即.聯(lián)立，整理得.由，得.設(shè)，，則.直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo).直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo).要證點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，只需證明，即.因?yàn)?，即，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.16．(1)；(2).【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)及設(shè)直線方程，利用結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可知，又離心率為，即橢圓方程為：；（2）設(shè)直線，，則，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，所以，聯(lián)立直線與橢圓，所以，則，由，，整理得或，易知時(shí)不符題意，所以.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，求得，進(jìn)而求得的方程.（2）根據(jù)直線與軸是否重合進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用根與系數(shù)關(guān)系來(lái)確定直線的方程.【詳解】（1）依題意，解得，所以橢圓的方程為.（2）若直線與軸重合，則與原點(diǎn)重合，符合題意，此時(shí)直線的方程為.若直線與軸不重合，設(shè)其方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，則.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，整理得，解得，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不符合題意，舍去.綜上所述，直線的方程為.18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得，結(jié)合平方關(guān)系即可得解.（2）由題意不妨設(shè)，則，將直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得點(diǎn)坐標(biāo)，要證三點(diǎn)共線，只需證明即可，在化簡(jiǎn)時(shí)注意利用，由此即可順利得證.【詳解】（1）由題意，所以，所以橢圓的方程為.（2）由題意不妨設(shè)，其中，即，則，且直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，消去并化簡(jiǎn)整理得，由韋達(dá)定理有，所以，，即點(diǎn)，而，，所以三點(diǎn)共線.19．(1)，4(2)【分析】（1）由題意根據(jù)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦距以及平方關(guān)系列方程即可求解.（2）不妨設(shè)直線的方程為，，，則.聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，由韋達(dá)定理得，聯(lián)立直線與直線的方程得點(diǎn)的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)的坐標(biāo)，由斜率公式以及韋達(dá)定理可得斜率的表達(dá)式（只含有參數(shù)），對(duì)分類討論即可求解.【詳解】（1）由題意知，.所以，.所以橢圓的方程為，其短軸長(zhǎng)為4.（2）設(shè)直線的方程為，，，則.由，得.所以.由得直線的方程為.由得.因?yàn)?，所以?所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以.所以直線的斜率.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.20．(1)(2)【分析】（1）由題意計(jì)算即可得；（2）設(shè)出直線，聯(lián)立曲線，得到、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，結(jié)合面積公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）由，，解得，，故，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則、、，由題意可得直線斜率存在且不為，設(shè)，令，則，故，聯(lián)立，消去得，即，故或，由，故，則，又，即，即，若，則，即，即，即，則，若，則，即，不符，故舍去，即，故，即直線的方程為.21．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)得到，根據(jù)離心率得到，則得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，求出兩直線方程，得到面積表達(dá)式，化積為和，代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）由題意得，，則，則，則橢圓的方程為.（2）顯然當(dāng)直線的斜率為0和不存在時(shí)，不合題意，則可設(shè)直線的方程為，，，則聯(lián)立橢圓方程有，化簡(jiǎn)得，則，解得或，則，，，，，則，則直線的方程為，令，則，，則直線的方程為，令，則，則，，因?yàn)椋瑒t同號(hào)，則.22．(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)椋瑒t直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．23．(1)(2)以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，.【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率列方程組求解即可；（2）設(shè)，由題意可得，，設(shè)定點(diǎn)為，利用即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，解得，所以求橢圓的方程為.（2）設(shè)，由（1）可知，斜率存在且不為0，依題意可知的直線方程為，的直線方程為，令，可得，，假設(shè)以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，不妨設(shè)定點(diǎn)為，依題意可知，，所以，，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，令，可得，解得，，所以以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，.【點(diǎn)睛】判斷以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)時(shí)，常用向量法，根據(jù)向量數(shù)量積為0，代入相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)化簡(jiǎn)后即可得到結(jié)論.24．(1)(2)或【分析】（1）兩個(gè)點(diǎn)代入解方程即可.(2)斜率不存在單獨(dú)算出是否成立；斜率存在時(shí)把設(shè)出來(lái)與橢圓聯(lián)立，韋達(dá)定理求出兩根之和與兩根之積用斜率來(lái)表示，然后用兩個(gè)根表示，化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】（1）