第1頁/共1頁2023-2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編立體幾何初步章節(jié)綜合一、單選題1．（2025北京東城高三一模）祈年殿（圖1）是北京市的標志性建筑之一?距今已有600多年歷史.殿內(nèi)部有垂直于地面的28根木柱，分三圈環(huán)形均勻排列.內(nèi)圈有4根約為19米的龍井柱，寓意一年四季；中圈有12根約為13米的金柱，代表十二個月；外圈有12根約為6米的檐柱，象征十二個時辰.已知由一根龍井柱和兩根金柱形成的幾何體（圖2）中，米，，則平面與平面所成角的正切值約為（

）

A． B． C． D．2．（2025北京房山高三一模）如圖，將棱長為2的正方體六個面的中心連線，可得到八面體，為棱上一點，則下列四個結(jié)論中錯誤的是（

）A．平面B．八面體的體積為C．的最小值為D．點到平面的距離為3．（2025北京海淀高三一模）已知紙的長寬比約為．現(xiàn)將一張紙卷成一個圓柱的側(cè)面（無重疊部分）．當該圓柱的高等于紙的長時，設(shè)其體積為，軸截面的面積為；當該圓柱的高等于紙的寬時，設(shè)其體積為，軸截面的面積為，則（

）A．， B．，C．， D．，4．（2025北京西城高三一模）設(shè)直線平面，平面平面直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2025北京門頭溝高三一模）某紀念塔的一部分建筑結(jié)構(gòu)可抽象為三棱錐，，底面是等腰直角三角形，，頂點到底面的距離為3，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．6．（2025北京豐臺高三一模）如圖，正方體的棱長為2，為的中點，為線段上的動點，給出下列四個結(jié)論：①存在唯一的點，使得，，，四點共面；②的最小值為；③存在點，使得；④有且僅有一個點，使得平面截正方體所得截面的面積為.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2025北京平谷高三一模）冰淇淋蛋筒是大家常見的一種食物，有種冰淇淋蛋筒可以看作是由半徑為10cm，圓心角為的扇形蛋卷坯卷成的圓錐，假設(shè)高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒內(nèi)部的奶油體積相等，則該種冰淇淋中奶油的總體積約為（

）（忽略蛋筒厚度）A． B．C． D．8．（2025北京延慶高三一模）已知正方體的棱長為1，若在該正方體的棱上有點M，滿足，則點M的個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．89．（2024北京海淀高三一模）設(shè)是兩個不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2024北京東城高三一模）如圖1，正三角形與以為直徑的半圓拼在一起，是弧的中點，為的中心.現(xiàn)將沿翻折為，記的中心為，如圖2.設(shè)直線與平面所成的角為，則的最大值為（

）

A． B． C． D．11．（2024北京東城高三一模）《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一年級計劃實踐這種方法，為同學(xué)們準備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為，高為.首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學(xué)制作四片瓦，全年級共500人，需要準備的粘土量（不計損耗）與下列哪個數(shù)字最接近.（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．12．（2024北京門頭溝高三一模）如圖，正方體中，點為線段上的動點，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）（1）三棱錐的體積為定值；（2）直線與平面所成的角的大小不變；（3）直線與所成的角的大小不變，（4）．A．1 B．2 C．3 D．413．（2024北京豐臺高三一模）正月十五元宵節(jié)，中國民間有觀賞花燈的習俗．在2024年元宵節(jié)，小明制作了一個“半正多面體”形狀的花燈（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為2．關(guān)于該半正多面體的四個結(jié)論：①棱長為；②兩條棱所在直線異面時，這兩條異面直線所成角的大小是60°；③表面積為；④外接球的體積為．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④14．（2023北京順義高三一模）在正方體中，點，分別是棱和線段上的動點，則滿足與垂直的直線（

）A．有且僅有1條 B．有且僅有2條 C．有且僅有3條 D．有無數(shù)條15．（2023北京朝陽高三一模）在長方體中，與平面相交于點M，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．二、填空題16．（2025北京西城高三一模）端午節(jié)又名端陽節(jié)、粽子節(jié)等，它是中國首個入選世界非遺的節(jié)日．從形狀來分，端午節(jié)吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形狀可以近似看成一個四面體，如圖所示．設(shè)棱的長為，其余的棱長均為，則該四角粽的表面積為，內(nèi)含食物的體積為．（粽葉的厚度忽略不計）17．（2023北京延慶高三一模）四面體的三條棱兩兩垂直，，，為四面體外一點，給出下列命題：①不存在點，使四面體三個面是直角三角形；②存在點，使四面體是正三棱錐；③存在無數(shù)個點，使點在四面體的外接球面上；④存在點，使與垂直且相等，且.其中真命題的序號是.18．（2023北京門頭溝高三一模）在正方體中，棱長為，已知點、分別是線段、上的動點（不含端點）.①與垂直；②直線與直線不可能平行；③二面角不可能為定值；④則的最小值是.其中所有正確結(jié)論的序號是.19．（2023北京平谷高三一模）如圖，矩形ABCD中，，M為BC的中點，將沿直線AM翻折，構(gòu)成四棱錐，N為的中點，則在翻折過程中，①對于任意一個位置總有平面；②存在某個位置，使得；③存在某個位置，使得；④四棱錐的體積最大值為．上面說法中所有正確的序號是．三、解答題20．（2025北京通州高三一模）如圖1，將邊長為2的正六邊形沿翻折，使平面與平面垂直，如圖2.點M在線段上，平面.

(1)證明：M為線段中點；(2)求二面角的余弦值.21．（2024北京門頭溝高三一模）如圖，在四棱錐中，平面，，為棱的中點．(1)求證：//平面；(2)當時，求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案1．B【分析】若平面平面，是的中點，連接，從而得到是平面與平面所成角的平面角，即為所求角，結(jié)合已知求其正切值.【詳解】若平面平面，則平面與平面所成角，即為平面與平面所成角，由題意有，即是等腰三角形，腰長約為8米，，易知，若是的中點，連接，則，且平面，由平面，則，都在平面內(nèi)，所以平面，則是平面與平面所成角的平面角，其中，，則.

故選：B2．D【分析】依據(jù)線面平行判定定理，棱錐體積公式，等體積法求點到面的距離等知識對選項逐一判斷即可.【詳解】在正方體中，連接可知相交于點，且被互相平分，故四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面，故A正確；因為正方體棱長為2，所以四邊形是正方形且，面,，所以八面體的體積等于棱錐體積的2倍，而棱錐體積等于，故八面體的體積為，B正確；因為為棱上一點，將和展開成一個平面，由題和均為正三角形，且邊長為，由三角形兩邊之和大于第三邊知最小值為，在中由余弦定理可知，故C正確；對于D選項：設(shè)點到平面的距離為,由等體積法知：，故錯誤.故選：D.3．B【分析】分析兩種不同狀態(tài)下圓柱的體積和軸截面面積，即可選擇和判斷.【詳解】不妨設(shè)紙的長寬分別為；當圓柱的高等于紙的長時，也即圓柱高為時，設(shè)其底面圓半徑為，則，解得，故，此時矩形軸截面的兩條邊長分別為，故；當圓柱的高等于紙的寬時，也即圓柱高為時，設(shè)其底面圓半徑為，則，解得，故，此時矩形軸截面的兩條邊長分別為，故；綜上所述，，.故選：B.4．A【分析】根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)及充分、必要條件的定義判斷即可.【詳解】已知直線平面，平面平面直線，若，由平面，則；若，此時得不到，直線可能與平面斜交，如下圖：所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．C【分析】根據(jù)三棱錐體積公式首先求得三棱錐的體積，再換底表示三棱錐的體積，即可求得點點到平面的距離.【詳解】因為，且底面是等腰直角三角形，，所以點在平面上的射影為邊的中點，在直角三角形中，由勾股定理得,所以,又因為底面是等腰直角三角形，，;設(shè)點到平面的距離為，則,所以.故選：C6．B【分析】對于結(jié)論①，作出經(jīng)過點，，的截面即可判斷；對于結(jié)論②，由分析可得，即可判斷；對于結(jié)論③，作出經(jīng)過點且與直線垂直的平面，判斷平面與是否有交點即可判斷；對于結(jié)論④，分析點與點重合時與點從上靠近點的三等分點向點運動時兩種情況的截面面積的變化情況即可判斷.【詳解】對于結(jié)論①，取中點為，連接，，，，因為正方體，為的中點，所以，所以，，，四點共面，如圖確定的平面與線段有且僅有一個交點，故結(jié)論①正確；對于結(jié)論②，因為，求的最小值，即求的最小值，因為正方體，所以，，，四點共面，所以與會相交于一點，設(shè)為，此時，因為，所以的最小值為錯誤，故結(jié)論②錯誤；對于結(jié)論③，取，中點分別為，，連接，設(shè)交于點，若平面，在平面中，易知，所以，所以，所以，所以，又因為平面，平面，所以，，平面，平面，所以平面，因為平面，平面，

所以.所以存在點，使得，故結(jié)論③正確.對于結(jié)論④，當點與點重合時，截面為矩形，截面面積為，當點為上靠近點的三等分點時，取中點為，連接，，，，，，此時四邊形即為平面截正方體所得截面，證明如下：已知平面，求證點為上靠近點的三等分點，因為，所以，所以點為上靠近點的三等分點，得證.又因為，且，，所以四邊形為等腰梯形，面積為，所以當點為上靠近點的三等分點時，截面面積為，當點趨近于點時，截面面積趨近于3，因為，，點從上靠近點的三等分點向點運動時，截面面積的變化是連續(xù)的，所以點從上靠近點的三等分點向點運動時存在某點，使得截面面積為，故線段上至少存在兩個點使得截面面積為，故結(jié)論④不正確故選：B.7．D【分析】由扇形弧長，求得底面半徑及高，再由圓錐體積公式即可求解；【詳解】設(shè)圓錐底面面積為，由題意可知，所以，設(shè)圓錐得高為，則，所以圓錐的體積為：，所以該種冰淇淋中奶油的總體積約為，故選：D8．C【分析】結(jié)合點M在正方體的棱上，可分點M在棱和棱上，在棱，棱，棱，棱上兩類討論即可【詳解】因為，所以點M不在棱，棱上，所以當點M在棱上時，設(shè)，連，在中，，由余弦定理可得，，即，可解得，所以在棱上存在滿足題意的一個點M；由對稱性可知在棱，棱，棱上各存在一個點M；因為，所以點M不在平面內(nèi).所以當點M在棱上時，設(shè)，連，在直角三角形中，，所以，即，可解得，所以在棱上存在滿足題意的一個點M；由對稱性可知在棱上也存在一個點M；綜上可知滿足題意的點M共6個.故選：C.9．A【分析】通過面面平行的性質(zhì)判斷充分性，通過列舉例子判斷必要性.【詳解】，且，所以，又，所以，充分性滿足，如圖：滿足，，但不成立，故必要性不滿足，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.

10．C【分析】找出點軌跡后，再借助線面垂直的性質(zhì)得到直線在平面的投影，結(jié)合正弦函數(shù)定義計算即可得.【詳解】取中點，連接，，由三角形為正三角形，故在線段上，且，即，則在以為原點，為半徑的圓上，由題意可得，，、平面，，故平面，又平面，故直線在平面的投影為直線，即，則當與該圓相切，即時，有.故選：C.

11．B【分析】結(jié)合圓柱體積公式求出四片瓦的體積，再求需準備的粘土量.【詳解】由條件可得四片瓦的體積（）所以500名學(xué)生，每人制作4片瓦共需粘土的體積為（），又，所以共需粘土的體積為約為，故選：B.12．C【分析】由已知可得面，可得上任意一點到平面的距離相等，即可判斷（1）；點P在直線上運動時，直線與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等，即可判斷（2）；根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，再由線面垂直的性質(zhì)即可判斷（3）；由線面垂直的判定定理可證平面，即可判斷（4）【詳解】對于（1），因為，面，面，所以面，所以上任意一點到平面的距離相等，又，所以三棱錐的體積不變，故正確；對于（2），點P在直線上運動時，直線AB與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等，故錯誤；對于（3），設(shè)，則，又面，所以，又，所以平面,又平面，所以，所以點P在直線上運動時，直線與直線所成的角的大小不變，故正確；對于（4），因為為正方體，則平面，且平面，則，又，且，平面，所以平面，且平面，所以，又平面，且平面，所以，又，且，平面，所以平面，且平面，所以，又，平面，所以平面，且平面，所以，故正確；故選：C13．B【分析】注意到棱長總是一個等腰直角三角形的斜邊，即可通過直角邊的長度判斷①正確；可以找到一對位于正方形相對的面上的兩條垂直且異面的棱，得到②錯誤；根據(jù)該幾何體每種面（正三角形和正方形）各自的數(shù)量和面積，可以計算出該幾何體的表面積，從而判斷出③正確；直接證明正方形的中心到該幾何體每個頂點的距離都相等，并計算出距離，即可求出外接球的體積，得到④錯誤.這就得到全部正確的結(jié)論是①③，從而選B.【詳解】如圖所示：該幾何體的每條棱都是的一個等腰直角三角形的斜邊，且該等腰直角三角形的直角邊長度為正方體邊長的一半，故該等腰直角三角形的直角邊長度為1，從而該幾何體的每條棱的長度都是，①正確；若為該幾何體位于正方體的一組相對的面上的兩個平行的棱，為該幾何體位于正方體的同一個面的兩條棱，則，平行于，異面，所以異面，，這意味著存在一對異面的棱所成角是直角，②錯誤；該幾何體一共有14個面，其中6個是正方形，8個是正三角形，邊長均為，故每個正方形的面積都是，每個正三角形的面積都是，故表面積為，③正確；設(shè)正方體的中心為，由于對該幾何體的任意一個頂點都是正方體的某條邊的中點，故到該幾何體的任意一個頂點的距離都是正方體邊長的倍，即.這意味著以為球心，半徑為的球是該幾何體的外接球，從而外接球的體積，④錯誤.從而全部正確的結(jié)論是①③.故選：B.14．D【分析】過點作，垂足為，連接，當，高度一樣，即時，一定有，進而求解.【詳解】過點作，垂足為，連接，當，高度一樣，即時，一定有，理由如下：在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，且平面，所以，即.所以當，高度一樣，即時，一定有，此時滿足條件的直線有無數(shù)條.故選：D.15．C【分析】根據(jù)平面交線的性質(zhì)可知，又平行線分線段成比例即可得出正確答案，對于ABD可根據(jù)長方體說明不一定成立.【詳解】如圖，連接，交于，連接，，在長方體中，平面與平面的交線為,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C正確.對于A，因為長方體中與不一定垂直，故推不出，故A錯誤；對于B，因為長方體中與不一定相等，故推不出，故B錯誤；對于D，由B知，不能推出與垂直，而是中線，所以推不出，故D錯誤.故選：C16．【分析】根據(jù)棱錐的表面積公式和體積公式，結(jié)合線面垂直的判定定理、三角形的余弦定理，面積公式求解.【詳解】,所以為銳角，所以，該四角粽的表面積，取中點為，連接，則,所以,即，且，平面，所以平面，內(nèi)含食物的體積為.故答案為：；.17．②③④.【分析】對于①，可構(gòu)造四棱錐與四面體一樣進行判定；對于②，使，此時存在點D，使，使四面體是正三棱錐；對于③，四面體的外接球的球心為P，半徑為為r，只需，可判定真假；對于④，取，，此時滿足CD與AB垂直并且相等.【詳解】如圖所示：對于①，∵四面體的三條棱兩兩垂直，，，∴，．當四棱錐與四面體一樣時，即取，，四面體的三條棱、、兩兩垂直，此時點D，使四面體有三個面是直角三角形，故①不正確；對于②，由①知，，使，此時存在點D，使，則四面體是正三棱錐，故②正確；對于③，四面體的外接球的球心為P，半徑為為r，只需即可，∴存在無數(shù)個點D，使點O在四面體的外接球面上，故③正確；對于④，由，，取，，AB的中點為E，則有，，平面，，平面，平面，，即存在點，使與垂直且相等，且，故④正確.故答案為∶②③④【點睛】思路點睛：本題考查空間幾何圖形有構(gòu)造法，圍繞線面垂直的判定與性質(zhì)定理、直三棱錐的結(jié)構(gòu)特征、長方體與外接球的性質(zhì)、特殊的四面體性質(zhì)，需要較強的空間想象能力、推理能力，運用好數(shù)形結(jié)合的思想是關(guān)鍵.18．①④【分析】證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可判斷①；取、分別為、的中點，利用中位線的性質(zhì)以及平行線的傳遞性可判斷②；利用二面角的定義可判斷③；將和延展至同一平面，分析可知當時，取最小值，根據(jù)三角形邊與角的關(guān)系可求得的最小值，可判斷④.【詳解】對于①，因為，則、、、四點共面，因為四邊形為正方形，則，因為平面，平面，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，①對；對于②，當、分別為、的中點時，，又因為，此時，②錯；對于③，因為、，平面即為平面，平面即為平面，所以，二面角即為二面角，而二面角為定值，故二面角為定值，③錯；對于④，因為平面，平面，則，同理可得，因為，同理可得，，將和延展至同一平面，如下圖所示：在中，，，因為，，，所以，，所以，，故，所以，，當時，取最小值，且最小值為，④對.故答案為：①④.19