第1頁/共1頁2023-2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編平面向量的運(yùn)算一、單選題1．（2025北京平谷高三一模）已知是平面內(nèi)兩個非零向量，，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024北京門頭溝高三一模）在中，，，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023北京朝陽高三一模）如圖，圓為的外接圓，，，為邊的中點(diǎn)，則（

）

A．26 B．13 C．10 D．54．（2023北京延慶高三一模）為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則等于（

）A． B． C． D．5．（2023北京順義高三一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，則（

）A．0 B．C． D．二、填空題6．（2025北京東城高三一模）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則；.

7．（2024北京房山高三一模）如圖．已知矩形中，，，分別是，的中點(diǎn)，則．

8．（2023北京門頭溝高三一模）在邊長為的正三角形中，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，則.9．（2023北京豐臺高三一模）已知正方形的邊長為，則．三、未知10．（2023北京門頭溝高三一模）已知非零向量，，則“與共線”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件

參考答案1．D【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，結(jié)合向量平行定理，即可判斷.【詳解】若，，所以，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時故“”是“”的不充分條件，因?yàn)?，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時取到等號，則恒成立，故，但兩個向量間的系數(shù)不確定，不能推出“”；綜上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D2．B【分析】將兩邊平方，即可得到，再由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，即，所?故選：B3．B【分析】由中點(diǎn)關(guān)系可得，利用為的外接圓的圓心，可得，同理可得，即可得出結(jié)論．【詳解】由于是邊的中點(diǎn)，可得，是的外接圓的圓心，，同理可得，．故選：B4．B【分析】利用向量的夾角公式可得，進(jìn)而確定.【詳解】由已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則，，所以，又，所以，故選：B.5．B【分析】利用向量的線性加減法法則運(yùn)算與數(shù)量積公式運(yùn)算即可求解.【詳解】\故選：B.6．【分析】根據(jù)網(wǎng)格寫出向量的模，再平移向量求出與的夾角的余弦值，應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求解即可.【詳解】平移向量與共起點(diǎn)，易看出的夾角為，；，，，的夾角的余弦值，的夾角為，.故答案為：；.7．【分析】用、作為一組基底表示出，，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】依題意，，所以.故答案為：8．【分析】將用、表示，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)闉檫吷系闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，，所以?故答案為：.9．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及數(shù)量積的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，所以，，，所以.故答案為：10．B【分析】取為方向相反的單位向量，得到不充分，根據(jù)得到，得到必要性，得到答案.【詳解】若與共線，取為方向相反的單位向量