§2-9線性諧振子知識點教學目標線性諧振子的能級線性諧振子能量本征函數(shù)記住線性諧振子能級公式和概率分布規(guī)律。對比量子諧振子與經(jīng)典諧振子能量取值和概率分布的差別。牢記線性諧振子波函數(shù)遞推公式。

本節(jié)內(nèi)容1引例2線性諧振子本征問題3討論1引例2線性諧振子本征問題3討論線性諧振子是物理學中常見且有用的模型。舉例穩(wěn)定平衡點附近的微振動都是簡諧振動雙原子分子的振動晶體結(jié)構(gòu)中原子和離子的振動核振動輻射場是線性諧振子的集合雙原子分子中兩原子間的勢能是兩原子間距離的函數(shù)，其形狀如圖所示。即1引例2線性諧振子本征問題3討論把勢能函數(shù)在穩(wěn)定平衡點做展開令令忽略高階無窮小1引例2線性諧振子本征問題3討論能量本征方程通過量綱分析，簡化方程量綱分析：和的量綱是一致的，兩邊同乘以，可以使方程變成無量綱的形式簡化方程：令，則方程變?yōu)?引例2線性諧振子本征問題3討論求解方程漸進解：令，則一般解：有限性要求將代入方程，得厄密方程求解厄密方程1引例2線性諧振子本征問題3討論在穩(wěn)定平衡點附近利用級數(shù)方法求解厄密方程（參閱曾謹嚴《量子力學

教程》附錄A3）

有限級數(shù)必須有限項線性諧振子的能級特點1引例2線性諧振子本征問題3討論的最高次冪為n。滿足遞推關(guān)系（參閱梁昆淼《數(shù)學物理方法》）最高次數(shù)項系數(shù)為2n。例如厄密多項式前幾個本征函數(shù)1引例2線性諧振子本征問題3討論線性諧振子能量本征函數(shù)歸一化常數(shù)

滿足遞推關(guān)系（利用厄密多項式遞推關(guān)系）1引例2線性諧振子本征問題3討論能級能量量子化，且能級等間距存在零點能（基態(tài)能量、量子效應）能量本征函數(shù)波函數(shù)滿足正交歸一化條件波函數(shù)有確定的宇稱1引例2線性諧振子本征問題3討論概率分布經(jīng)典力學粒子從-A運動到A的過程中，在dx處的概率為概率密度：振幅：令，則它是粒子偏離平衡位置的最大距離。1引例2線性諧振子本征問題3討論量子力學概率密度：

但隨著量子數(shù)的增加，諧振子的位置概率分布將逐漸趨于經(jīng)典分布。與經(jīng)典力學不同。例如基

態(tài)，粒子出現(xiàn)在x=0處概

率最大，與經(jīng)典相反。1引例2線性諧振子本征問題3討論例如基態(tài)，粒子在經(jīng)典禁區(qū)出現(xiàn)的概率這是純量子效應，且在基態(tài)表現(xiàn)得最為

突出。微觀粒子可以出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū)。ABC提交8-1線性諧振子存在零點能是因為計算有誤。是一種純粹的量子效應，經(jīng)典力學無法解釋?？梢杂媒?jīng)典力學做出解釋。單選題1分§2-10勢壘貫穿知識點教學目標勢壘貫穿概念透射系數(shù)和反射系數(shù)共振透射學會計算粒子在遇到簡單一維勢壘時的透射系數(shù)和反射系數(shù)。知道共振透射和隧道效應的含義。比較勢壘貫穿與經(jīng)典理論的區(qū)別。本節(jié)內(nèi)容1問題引入2求解方程1問題引入2求解方程散射問題問題提出體系的勢能在無限遠處有限（取為零）波函數(shù)在無限遠處不為零體系的能量可取任意值，即組成連續(xù)譜已知勢場和粒子能量，求波函數(shù)勢場經(jīng)典力學：E>U0粒子可以越過勢壘；E<U0粒子被勢壘反射，不能通過量子力學：？1問題引入2求解方程薛定諤方程時的情況令，則1問題引入2求解方程Ⅰ區(qū)：有入射波和反射波；Ⅲ區(qū)：只有透射波，無反射波，以上三式都乘以，得右行波（入射波）左行波（反射波）右行波左行波右行波（透射波）1問題引入2求解方程波函數(shù)連續(xù)性1問題引入2求解方程計算概率流密度矢量入射波反射波透射波若k1

=

k2，即U0

=0，則D

=

1，R

=

0，即不存在勢壘。1問題引入2求解方程透射系數(shù)反射系數(shù)即入射粒子一部分貫穿勢壘到另一區(qū)域，另一部分被勢壘反射回去。

這一結(jié)論正好滿足粒子數(shù)守恒定律。說明方勢壘的透射1問題引入2求解方程若sink2a

=0，有D

=1，此時即如果入射粒子的能量剛好滿足該式，粒子可以透射過去，即勢壘變成

透明的了。即如果入射粒子的能量剛好滿足上式，粒子可以透射過去，稱為共振透射。1問題引入2求解方程方勢阱的透射與共振若sink3a

=0，有D

=1，此時1問題引入2求解方程時的情況令，則k2

=ik4，只要將前面計算中的k2換成ik4，結(jié)論仍然成立。透射系數(shù)說明方勢壘的透射系數(shù)即時，粒子仍有可能穿過勢壘。1問題引入2求解方程若能量E很小，且勢壘寬度a不太小，有透射系數(shù)而k1和k4同數(shù)量級，且

，則常數(shù)~11問題引入2求解方程勢壘為任意形狀采用微元法勢壘貫穿（隧道效應）隧道效應是由微觀粒子的波動性引起的，是純粹的量子效應，經(jīng)典物理無法解釋。1982年，賓尼和羅雷爾利用電子的隧道效應制成掃描隧道顯微鏡。當粒子的能量小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象，稱為勢壘貫穿。1問題引入2求解方程掃描隧道顯微鏡(STM)賓尼羅雷爾用STM移動氙原子排出的“IBM”圖案用掃描隧道顯微鏡拍攝到的圖像1問題引入2求解方程實例：α衰變，即α粒子從放射性核中逸出如圖所示，核半徑為R。由于核力的作用，粒子在核內(nèi)的勢能很低。在核邊界上有一個因庫侖力而產(chǎn)生的勢壘。對核，這一庫侖勢壘高達35MeV，而核在衰變過程中放出的α粒子