第一章行列式第一節(jié)二階與三階行列式第二節(jié)全排列和對換第三節(jié)n階行列式的定義釋疑解難知識要點習(xí)題課第五節(jié)行列式按行(列)展開第四節(jié)行列式的性質(zhì)第一章行列式在初等數(shù)學(xué)中,我們用代入消元法或加減消元法求解二元和三元線性方程組，可以看出，線性方程組的解完全由未知量的系數(shù)與常數(shù)項所確定．為了更清楚地表達線性方程組的解與未知量的系數(shù)和常數(shù)項的關(guān)系，我們在本章先引入二階和三階行列式的概念，并在二階和三階行列式的基礎(chǔ)上，給出n

階行列式的定義并討論其性質(zhì)，進而把n

階行列式應(yīng)用于解n元線性方程組．主要內(nèi)容n

階行列式的定義、性質(zhì)及其計算．重點內(nèi)容

行列式的計算．行列式是一種常用的數(shù)學(xué)工具，在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用．第一節(jié)二階與三階行列式二階行列式主要內(nèi)容三階行列式舉例在討論n階行列式之前，先簡單回顧一下二階和三一、二階行列式引例1

用消元法解二元線性方程組（１）階行列式．解用加減消元法，可得當(dāng)

a11a22–

a12a21

0

時，求得方程組（１）的解為（２）為了記憶該公式，引入記號并稱之為二階行列式．素或元．第二個下標(biāo)稱為列標(biāo)，表示該元素所在的列，常稱aij為行列式的(i,j)元標(biāo)稱為行標(biāo)，表示該元素所在的行，aij

的兩個下標(biāo)表示該元素在行列式中的位置，第一個下其中aij

稱為行列式的元素，由二階行列式的定義，若記則當(dāng)D0時，方程組注意：Ｄ稱為系數(shù)行列式，Ｄj是用常數(shù)項b1,b2替換Ｄ中的第

j

列(j=1,2).例１求解線性方程組可寫成二階行列式，即有唯一解式中x1，x2的分子也二、三階行列式引例2

用消元法解關(guān)于x,y,z三元線性方程組解為了記憶三元線性方程組的求解公式,可引入三階行列式．三階行列式的定義如下:定義設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表記（4）式稱為數(shù)表（3）所確定的三階行列式.其中每一條實線上的三個元素的乘積帶正號,每一條虛線上的三個元素的乘積帶負號,所得六項的代數(shù)和就是三階行列式的展開式.三階行列式的展開式也可用如下對角線法則得到：例2計算三階行列式三、舉例行列式的定義模型例3求解方程可以證明,當(dāng)三元線性方程組的系數(shù)行列式不等于零時方程組有唯一解,且有類似于二元線性方程組的求解公式,即

xj=Dj/D（j=1,2,3）.現(xiàn)在的問題是,對于

n

元線性方程組,是否也有類似的求解公式.但要討論n元線性方程組,首先要把二階和三階行列式加以推廣,然后引入

n

階行列式的概念.第二節(jié)全排列和對換全排列逆序數(shù)引例主要內(nèi)容對換一、引例引例用1，2，3三個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？在數(shù)學(xué)中，把考察的對象，例如引例中的數(shù)字1，2，3叫做元素.上述問題就是：把三個不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法.二、全排列對于n個不同的元素，也可以提出類似的問題：把n個不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？先給出全排列的定義.定義把

n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列（也簡稱排列）.n個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.由的結(jié)果可知P3=3·2·1=6.為此為了得出計算Pn

的公式，可以仿照討論：從n個元素中任取一個放在第一個位置上，有n種取法；從剩下的n

–1個元素中任取一個放在第二個位置上，有n

–1種取法；這樣繼續(xù)下去，直到最后只剩下一個元素放在第n

個位置上，只有1種取法.于是Pn

=n

?(n–1)?

···

?3?2?1=n!.進行三、排列的逆序數(shù)定義對于n個不同的元素，先規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序（例如n個不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序），于是在這n個元素的任一排列中，當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就說有1個逆序.一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù).1.定義逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列,逆序數(shù)為偶數(shù)的排在一個n階排列中，任何一個數(shù)對不是構(gòu)成逆序就是構(gòu)成順序．如果我們把順序的個數(shù)稱為順序數(shù)，則一個n階排列的順序數(shù)與逆序數(shù)的和為n(n–1)/2.列叫做偶排列．下面來討論計算排列的逆序數(shù)的方法.2.計算方法不失一般性，不妨設(shè)n個元素為1至n這n個自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.設(shè)為這n個自然數(shù)的一個排列，考慮元素pi(i

=1,2,···,n),如果比

pi

大的且排在pi

前面的元素有ti

個，就說pi

這個元素的逆序數(shù)是ti

.全體元素的逆序數(shù)之總和即是這個排列的逆序數(shù).例4求排列的逆序數(shù)．求逆序數(shù)模型四、對換理．把一個排列中某兩個數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動，就得到另一個排列，這樣一個變換稱為一個對換．例如，經(jīng)過1,2對換，排列2431就變成了1432，排列2134就變成了1234．關(guān)于排列的奇偶性，有下面的定定理1對換改變排列的奇偶性．對換模型推論奇排列對換成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列對換成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．

第三節(jié)n階行列式的定義三階行列式的定義主要內(nèi)容n階行列式的定義舉例一、三階行列式的定義為了給出n

階行列式的定義，先來研究三階行列式的結(jié)構(gòu)．三階行列式的定義為正負號外可寫成成標(biāo)準(zhǔn)排列123,而第二個下標(biāo)(列標(biāo))排成p1p2p3,容易看出：(1)上式右邊的每一項都恰是三個元素的乘積，這三個元素位于不同的行、不同的列．因此，任一項除這里第一個下標(biāo)(行標(biāo))排它是1，2，3這三個數(shù)的某個排列．(2)各項的正負號與列標(biāo)的排列對照帶正號的三項列標(biāo)排列：123,231,312(為偶排列)．帶負號的三項列標(biāo)排列：132,213,321

(為奇排列)．故三階行列式可以寫成3!=６種，故上式右端共有６項．這樣的排列共有其中t

為排列p1p2p3的逆序數(shù)，

表示對1，2，3三個的情形，得到n

階行列式的定義．類似地，可以把三階行列式的這一定義推廣到一般數(shù)的所有排列p1p2p3求和．二、n階行列式的定義定義設(shè)有n2個數(shù)，排成

n

行

n

列的數(shù)表號(-1)t，得到形如作出表中位于不同行不同列的n個數(shù)的乘積，并冠以符

an1

an2…ann………...

a21

a22…a2n

a11

a12…a1n的項，其中p1p2

···

pn為自然數(shù)1，2，···，n的一個排列，稱為

n

階行列式，記作有n!項．所有這n!項的代數(shù)和這個排列的逆序數(shù)．由于這樣的排列共有n!個，t為因而共簡記作det(aij)，其中數(shù)aij

為行列式D的（i,j）元.這樣定義的二階、三階行列式與用對角線法則定義的二階、三階行列式顯然是一致的.三、舉例例5證明n

階行列式(其中主、次對角線上的元素是

i，未寫出的元素都是0)例6證明下三角形行列式下面再舉一個例子．為了使同學(xué)們進一步加深對

n

階行列式定義的理解,例7設(shè)有四階行列式問該行列式的展開式是幾次多項式，并求最高冪的系數(shù)．

性質(zhì)1主要內(nèi)容性質(zhì)2性質(zhì)3第四節(jié)行列式的性質(zhì)性質(zhì)4性質(zhì)5性質(zhì)6舉例由n階行列式的定義可知，當(dāng)n較大時，用定義計算行列式運算量很大．需作1920!次乘法，若用每秒運算億萬次的電腦，也要算一千年才行！要解決的一個重要課題．例如，計算一個20階的行列式因此如何有效地計算行列式，這是我們簡化行列式的計算，設(shè)n階行列式為了解決這一問題，需先研究行列式的性質(zhì)．主要介紹行列式的基本性質(zhì)，運用這些性質(zhì)，不僅可以本節(jié)而且對行列式的理論研究也很重要.把

D

中的行與列互換，所得的

n

階行列式記為

DT：稱

DT

為

D

的轉(zhuǎn)置行列式．性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等．由此性質(zhì)可知，行列式中的行與列具有同等的地位,對于行成立的性質(zhì)對于列也同樣成立,所以下面只討論有關(guān)行列式行的性質(zhì)．性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)，行列式變號．交換i,j兩行記為

交換i,j兩列記為

推論

如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列證明

把這兩行互換，有D=

-D，故D=0.式等于零.以提到行列式符號的外面.第i行(或列)乘k,記作ri

k(或ci

k)性質(zhì)3

行列式的某一行(列)中所有元素都乘同一個數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式.推論

行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可則這個行列式等于兩個行列式之和,即性質(zhì)4

行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式等于零.性質(zhì)5

若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和,性質(zhì)6

把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去,行列式不變.例如,以數(shù)k乘第j列加到第i列上(記作ci+kcj),有(i≠j)性質(zhì)2，3，6介紹了行列式關(guān)于行和列的三種運算，交換運算：行交換列交換線性運算：行運算列運算數(shù)乘運算：行運算列運算它們分別記為在本教案中分別稱為交換運算、線性運算、數(shù)乘運算，利用上述三種運算可簡化行列式的計算，特別是利單擊這里開始練習(xí)把行列式化為上三角形行列式,從而得到行列式的值.化為0.用運算ri+krj

(或ci+kcj

)可以把行列式中許多元素計算行列式常用的一種方法就是利用運算ri+krj

請做練習(xí).舉例例8計算解例9計算解例10設(shè)證明D=D1D2.例11計算2n階行列式其中未寫出的元素皆為0.余子式和代數(shù)余子式主要內(nèi)容引理行列式按行(列)展開法則第五節(jié)行列式按行(列)展開三階行列式的幾何意義行列式的計算方法和代數(shù)余子式的概念.一般來說,低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便,于是,自然地考慮用低階行列式來表示高階行列式的問題.本節(jié)我們要解決的問題是：列式降為低階行列式,從而把高階行列式的計算轉(zhuǎn)化為低階行列式的計算.為了解決這個問題，先學(xué)習(xí)余子式如何把高階行一、余子式和代數(shù)余子式Aij叫做元素aij

的代數(shù)余子式．定義

在n階行列式中，把元素aij

所在的第i

行和第

j列劃去后,剩下的元素按它們在原行列式中的相對位置組成的n–1階行列式叫做元素aij的余子式，記作Mij；

Aij=(–1)i+jMij

，記求余子式模型D=aijAij

.二、引理

一個n階行列式,如果其中第i行所有元素除aij

外都為0,那么這行列式等于aij

與它的代數(shù)余子式的乘積,即或

D=a1jA1j+a2jA2j+···

+anjAnj(j=1,2,···

,n).三、行列式按行(列)展開法則定理2

行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+···

+ainAin(i=1,2,···

,n),這個定理叫做行列式按行（列）展開法則.

例任意輸入一個三階或四階行列式，利用行列式按行（列）展開法則計算.三階行列式展開模型四階行列式展開模型例12

行列式稱為n

階范德蒙德(Vandermonde)行列式.證明由還可得下述重要推論.推論

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn=0,i

j,或

a1iA1j+a2iA2j+···+aniAnj=0,i

j.綜合及其推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：或其中仿照上述推論證明中所用的方法，在行列式det(aij)按第i

行展開的展開式中，用b1,b2,···,bn依次代替ai1,ai2,···,ain

，可得類似地，用b1,b2,···,bn

代替det(aij)中的第j

列，可得例13

設(shè)D

的(i,j)元的余子式和代數(shù)余子式依次記作Mij和Aij

，求A11+A12+A13+A14

及M11+M21+M31+M41.1.

直接用定義計算;2.

利用性質(zhì)化為三角形行列式;3.

利用展開式定理降階.

五、行列式的計算方法到現(xiàn)在為止，我們已能計算任意階的行列式．的計算是我們這一章的重點,也是同學(xué)們必須掌握的基本技能.行列式有以下三種計算方法:行列式

行列式的計算在這三種方法中,方法1

主要用于理論分析,很少用來計算具體的行列式,但對于低階行列式(如二階、三階)或有很多零元素的高階行列式,有時也可用此方法來計算;方法2

適用于行列式的階不確定的高階行列式的計算;方法3

主要用于階為已知的高階行列式的計算.計算一個行列式時,應(yīng)根據(jù)實際情況靈活選擇計算方法.下面看幾個例子.當(dāng)然在

下面再舉幾個n

階行列式計算的例子.

例b1

設(shè)證明遞推關(guān)系式

Dn

=

nDn-1-

n-1

n-1Dn-2(n>2).在計算數(shù)學(xué)中常被引用.Dn

是常見的n

階三對角行列式,所證的遞推關(guān)系式例b2

計算n

階行列式例b3

計算n

階行列式釋疑解難

1.計算n元排列的逆序數(shù)常用的方法有哪些?

答常用的方法有:

（1）分別算出排在1,2,···

,n-1,n前面比它大的元素個數(shù)之和,即分別算出1,2,···

,n-1,n這n

個元素的逆序數(shù),這n個元素的逆序數(shù)之和即為所求排列的逆序數(shù).

（2）如果在不要求計算排列的逆序數(shù)而只要求討論排列的奇偶性時，則可以利用對換，將所給排列

p1p2···pn

變成自然排列12···

n,根據(jù)對換次數(shù)的奇偶性來確定所給排列的奇偶性.如排列

523146879,對換1與5,得123546879,再對換4與5,得123456879,再對換7與8,得123456789.共對換

三次,故所給排列為奇排列.

2.行列式有哪些常用公式?

答

常用公式有:

（1）范德蒙德行列式,即（2）三角形行列式,即(上三角形)，(下三角形)，

3.計算行列式的方法有哪些?

答

計算行列式的方法通常有:

（1）依定義計算行列式.

（2）用對角線法計算行列式,它只適用于二階和三階行列式.

（3）利用一些簡單的、已知的行列式來計算行列式．例如，利用三角形行列式；一行（列）全為零的行列式；兩行（列）成比例的行列式；范德蒙德行列式等．

（４）利用行列式的性質(zhì)對行列式進行變形，變成已知的或容易計算的行列式．

（５）利用按行（列）展開的性質(zhì)對行列式進行降階來計算行列式．

（６）用數(shù)學(xué)歸納法計算行列式．

（７）綜合運用上述各種方法來計算行列式．其中（３）、（４）、（５）、（６）、（７）最常用．

４．二階和三階行列式的計算可按對角線法則進行，為什么n（n＞３）階行列式?jīng)]有類似的法則？

答對于四階行列式，如果按對角線法則，那么只能寫出八項，然而依定義，四階行列式共有4！=24項，另外，這樣寫出的項的符號也不一定正確．因此，在計算n（n＞３）階行列式時，不能再用對角線法則．

５．計算行列式時利用行列式的性質(zhì)很重要,試進一步加以說明．

答

計算行列式應(yīng)根據(jù)具體情況具體分析，但總的原則是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式化成簡單的、已知的或容易計算的行列式．下面列舉幾個常用的情況．

（１）將行列式各行（列）分別乘一個數(shù)統(tǒng)統(tǒng)加到某一行（列）上去．比如爪形行列式：

將第i列的(-bi/ai)倍(i

=2,3,···,n)統(tǒng)統(tǒng)加到第１列，得爪形行列式(ai

0,i=2,3,···,n).其中所以

Dn=c1a2···

an.已化為三角形行列式

（2）逐行（列）相加減.比如計算從第n-1行直到第1

行,每一行乘-1加到下一行,得次對角線以下的元素全為零

（3）加邊法.此法大多適用于某一行（列）有一個相同的字母.比如計算添加一行一列,得將第1行的-1倍加到其他各行,得爪形行列式

由爪形行列式的結(jié)果知,當(dāng)m=0

時,

Dn=0

;當(dāng)m

≠0時,

Dn=mn-2(m+a1

+a2

+···+an).

（4）將某一行（列）的倍數(shù)分別加到其他行（列）.這一步驟前面已經(jīng)用過，不再舉例.（5）按某一行（列）展開.比如計算從第2行開始,每行乘-1加到上一行,得按第1列展開,得再從第2行開始,每行乘-1加到上一行,得習(xí)題課1.用定義計算行列式（1）（2）

2.計算四階行列式單擊這里開始解答

3.計算四階行列式單擊這里開始解答

4.計算六階行列式單擊這里開始解答

5.計算四階行列式單擊這里開始解答６.證明：當(dāng)

m

時，＝sin(n+1)

/sin

.７.計算n階行列式知識要點

一、內(nèi)容提要

１.全排列及其逆序數(shù)

2.

n階行列式的定義其中

p1p2···

pn

為自然數(shù)1,2,···,n

的一個排列;t

為這個排列的逆序數(shù);表示對1,2,···,n

的所有排列求和.

n

階行列式

D

也可定義為其中

t

為行標(biāo)排列

p1p2···

pn

的逆序數(shù).

3.對換

4.行列式的性質(zhì)

(1)行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即D=DT.

(2)互換行列式的兩行(列),行列式變號.

(3)如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式等于零.

(4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘同一個數(shù)

k

,等于用數(shù)k乘此行列式.

(5)行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.

(6)行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零.

(7)若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和,則該行列式可拆成兩個行列式之和.

(8)把行列式的某一列(行)的各元素乘同一個數(shù),然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去,行列式的值不變.

5.行列式按行(列)展開

(1)余子式,代數(shù)余子式.

(2)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì):或其中

二、基本要求與重點、難點

基本要求掌握n階行列式的定義、性質(zhì)，掌握計算n

階行列式的基本方法和技巧．

重點

行列式的計算．

難點行列式的定義．第二章矩陣及其運算矩陣是線性代數(shù)的主要研究對象.它在線性代數(shù)與數(shù)方程組的解法及有解的條件.及其運算.秩、可逆矩陣以及矩陣的初等變換、分塊矩陣的概念本章介紹矩陣的概念、矩陣的基本運算、矩陣的陣表達并用有關(guān)理論解決.學(xué)的許多分支中都有重要應(yīng)用,許多實際問題可以用矩最后,利用矩陣的有關(guān)概念與方法討論線性主要內(nèi)容線性方程組幾種常用的特殊矩陣矩陣的應(yīng)用舉例第一節(jié)線性方程組和矩陣矩陣的定義一、線性方程組設(shè)有n個未知數(shù)m個方程的線性方程組其中aij是第i個方程的第j個未知數(shù)的系數(shù)，bi是第i個方程的常數(shù)項，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n，當(dāng)常數(shù)項b1,b2,…,bm不全為零時，線性方程組(1)叫做n元非齊次線性方程組，當(dāng)b1,b2,…,bm全為零時，(1)式成為叫做

n元齊次線性方程組．對于n元齊次線性方程組(2)，x1=x2=…=xn=0一定是它的解，稱之為齊次線性方程組(2)的零解．如果一組不全為零的數(shù)是(2)的解，則它叫做齊次線性方程組(2)的非零解．齊次線性方程組(2)一定有零解，但不一有非零解．例如二元，非齊次二元，非齊次二元，齊次Oxy唯一解Oxy無解Ox1x2無窮多解對于線性方程組需要討論以下問題：(1)

它是否有解？(2)

在有解時它的解是否唯一？(3)

如果有多個解，如何求出它的所有解？對于線性方程組(1)上述諸問題的答案完全取決于它的m

n個系數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)和右端的常數(shù)項b1,b2,…,bm所構(gòu)成的m行n+1列的矩形數(shù)表：這里橫排稱為行，豎排稱為列；而對于齊次線性方程組(2)的相應(yīng)問題的答案也完全取決于它的m

n個系數(shù)aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)所構(gòu)成的m行n列的矩形數(shù)表：定義1

由m

n個數(shù)aij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,

叫做一個

m

n矩陣,

這m

n個數(shù)叫做矩陣的元素,

二、矩陣的定義aij

叫做矩陣A

的第i行第

j列元素.n)排成的m行n列的數(shù)表元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣?yán)纾场粒淳仃?×2矩陣

A＝(aij)m

n

或A=(aij

).稱為復(fù)矩陣．（3）式也可簡記為三、幾種常用的特殊矩陣(1)行矩陣和列矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣(也稱為行向量).如A=(a11，a12，···，a1n).只有一列的矩陣稱為列矩陣(也稱為列向量).如(2)零矩陣若一個矩陣的所有元素都為零，則稱這個矩陣為零行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱為方陣．例如(3)方陣

況下，也可記為Ｏ．矩陣，m

n零矩陣記為Ｏm

n，在不會引起混淆的情稱為n

n

方陣，常稱為n階方陣或

n階矩陣，簡記為主對角線的方陣稱為對角矩陣，如主對角線上的元素不全為零，其余的元素全都為零(4)對角矩陣A=(aij

)n.為n階對角矩陣,其中未標(biāo)記出的元素全為零,即對角矩陣對角矩陣常記為A=diag(a11,a22,···,ann).

例如

aij

=0,i

j,i,

j=1,2,···,

n,(5)單位矩陣主對角線上的元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣,n

階單位矩陣E在矩陣代數(shù)中占有很重要的地位,它的作用與“1”在初等代數(shù)中的作用相似.如EA=AE=A.簡記為E或I.如(6)數(shù)量矩陣主對角線上的元素全相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣.（c為常數(shù)）.n

階數(shù)量矩陣?yán)?7)三角形矩陣主對角線下(上)方的元素全為零的方陣稱為上(下)

上三角形矩陣下三角形矩陣三角形矩陣.例如(8)對稱矩陣與反稱矩陣在方陣A=(aij)n

中,如果aij=aji(i,j=1,2,···,n),則實對稱矩陣反稱矩陣?yán)缇仃?如果aij=-aji

(i,j=1,2,···,n),則稱A為反稱矩陣.稱A為對稱矩陣.如果A還是實矩陣,則稱A為實對稱矩陣A=(aij)m×n

與B=(bij)p×q

如果滿足m=p且與當(dāng)a=3,b=-1,c=4,d=2,e=-5,f=6時,它們相等.則稱矩陣A和矩陣B相等,記為A=B.

例如

aij=bij,

i=1,2,···,m,j=1,2,···,n,如果對應(yīng)元素相等,即定義兩個同型矩陣A=(aij)m×n

與B=(

bij)m×n,

n=q,則稱這兩個矩陣為同型矩陣.

四、矩陣的應(yīng)用舉例矩陣的加法主要內(nèi)容數(shù)與矩陣相乘矩陣的乘法方陣的冪第二節(jié)矩陣的運算矩陣的轉(zhuǎn)置方陣的行列式矩陣乘積的意義1.定義定義2設(shè)A=(aij)m×n與B=(bij)m×n是兩個同型

A-B=A+(-B).顯然有A+(-A)=O.由此可定義矩陣的差為若記-

A=(-aij),則稱-A為矩陣A的負矩陣.B

的和，記為A＋B．矩陣，稱m×n矩陣C=(aij+bij)m×n

為矩陣A

與矩陣

一、矩陣的加法

2.運算規(guī)律

設(shè)A,B,C為同型矩陣,則

(1)

A+B=B+A(加法交換律);

(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法結(jié)合律);(3)

A+O=O+A=A,其中O

與

A是同型矩陣;(4)

A+(–A)=O.

例1設(shè)(1)問三個矩陣中哪些能進行加法運算,并求其和,哪些不能進行加法運算,說明原因;(2)求矩陣C的負矩陣.

1.定義

定義3設(shè)A=(aij)m×n

,

k

是一個數(shù),則稱矩陣為數(shù)k與矩陣A的數(shù)量乘積,簡稱數(shù)乘,記為

kA.

二、數(shù)與矩陣相乘

2.運算規(guī)律設(shè)矩陣A,B為同型矩陣,k,

l為常數(shù)，則(1)

1A=A;(2)

k(lA)=(kl)A;(3)

k(A+B)=kA+kB;(4)(k+l)A=kA+lA.矩陣相加與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.

例2設(shè)且求矩陣X.三、矩陣的乘法1.引例

2.定義

定義4

設(shè)矩陣A=(aij)m×p,B=(bij)p×n,i

=1,2,···,m;j=1,2,···,n,則稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的乘積,記作

注意:

只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣(左矩陣)的列數(shù)等于第二個矩陣(右矩陣)的行數(shù)時,兩個矩陣才能相乘.C=AB.

cij=ai1b1j+ai2b2j

+···+aipbpj

C=(cij)m×n,其中

例3利用下列模型計算兩個矩陣的乘積.

例利用下列模型驗證單位矩陣的性質(zhì).例4已知求AB.例5求矩陣的乘積AB及BA.定義了矩陣的乘法運算后,對于線性方程組若令A(yù)X=b.則上述線性方程組可寫成如下矩陣形式:AX=b.關(guān)于矩陣的乘法運算,需要注意以下幾點:

(1)矩陣的乘法運算不滿足交換律.們相乘的次序.如AB讀作“A左乘B”或“B右乘A”.然都有定義,但AB

BA.所以,在作乘法時,應(yīng)指明它都有定義,它們也不一定相等.陣A和B,AB有定義,但BA就沒有定義.即使AB與BA

AB有定義,BA不一定有定義.中的矩如如AX=b.中AB和BA雖(3)矩陣的乘法不滿足消去律,即如果AB=

但A

C.例如CB,B

O,不一定能推出A=C.

(2)兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣.例如,本節(jié)中A

O,B

O,但BA=O.3.運算規(guī)律(1)

Ok×mAm×p=Ok×p,Am×pOp×n=Om×n;(2)

設(shè)A

是m

×

n

矩陣,Em是m階單位矩陣,En是(5)

k(AB)=(kA)B=A(kB).(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)C=A(BC);(4)

A(B+C)=AB+AC,

EmA=A,AEn=A;n階單位矩陣,則四、方陣的冪如果A是n階方陣,那么,AA有意義,也有意義,因此有下述定義:另外還規(guī)定，Ａ0=E.1.定義稱為

Ａ的m次冪，記為Ａm,即定義

設(shè)A是n階方陣,m

是正整數(shù),m

個Ａ相乘2.運算規(guī)律設(shè)A

為方陣,k,l

為正整數(shù),則A與B,一般來說(AB)k

AkBk.又因矩陣乘法一般不滿足交換律,所以對于兩個

n階方陣

AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.例設(shè)計算A2,A3,An(n>3).例6證明六、矩陣的轉(zhuǎn)置1.定義定義5

把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個新例如矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為矩陣,叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT或A′.轉(zhuǎn)置模型2.運算規(guī)律設(shè)A，B，C，A1，A2，···，Ak是矩陣，且它們的行(A1A2···

Ak)T=AkT···

A2TA1T;(1)(AT)T=A;(2)(B+C)T=BT+CT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;數(shù)與列數(shù)使相應(yīng)的運算有定義，k是數(shù)，則(5)

若A

為n

階方陣,則(Am)T=(AT)m,A

為反稱矩陣的充要條件是AT=-

A.

(6)

A

為對稱矩陣的充要條件是AT=A;m

為正整數(shù);

例7已知求(AB)T

.例8設(shè)A為n×1矩陣,且ATA=1,En為n階單位矩陣,B=En

-2AAT,證明:B為對稱矩陣,且B2=En.七、方陣的行列式1.定義定義6

由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變),叫做方陣A的行列式,記作|A|或detA.2.運算規(guī)律設(shè)A,B為n階方陣,

為數(shù),則有(1)|AT|=|A|;(2)|

A|=

n|A|;(3)|AB|=|A||B|.例9行列式|A|的各個元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下方陣稱為方陣A的伴隨矩陣,試證AA

=A

A=|A|E.第二章矩陣及其運算

第一節(jié)線性方程組和矩陣第二節(jié)矩陣的運算

第三節(jié)逆矩陣第四節(jié)克拉默法則釋疑解難知識要點習(xí)題課第五節(jié)矩陣分塊法逆矩陣的概念主要內(nèi)容矩陣可逆的充要條件可逆矩陣的性質(zhì)舉例第三節(jié)

逆矩陣引例矩陣多項式補充例題一、引例定義7

設(shè)Ａ是n階方陣，若存在n階方陣Ｂ，使得AB＝BA＝E，（1）則稱矩陣A可逆，且稱B是A的逆矩陣，記作B＝A－1．如果不存在滿足（1）的矩陣B，則稱矩陣A是不可逆的．二、逆矩陣的概念現(xiàn)在的問題是：可逆矩陣的逆矩陣是否唯一，如何求逆矩陣？可逆矩陣有什么性質(zhì)？這是本節(jié)要討論的問題．矩陣A滿足什么條件時可逆？三、矩陣可逆的充要條件定理1

如果n階矩陣Ａ可逆，則它的逆矩陣是唯一的．定理２

n

階矩陣Ａ可逆的充要條件是|Ａ|0.果Ａ可逆，則其中Ａ

為矩陣Ａ的伴隨矩陣.如由推論

若AB=E（或BA=E），則B=A-1.可得下述推論：若n階矩陣A的行列式不為零，即|A|

0，則稱A

為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣.明，矩陣A可逆與矩陣Ａ非奇異是等價的概念.定理２不僅給出了矩陣可逆的充要條件，而且給出了求矩陣的逆矩陣的一種方法，稱這種方法為伴隨矩陣法.說四、可逆矩陣的性質(zhì)(2)設(shè)A,B,Ai(i

=1,2,···,m)為n階可逆矩陣,k為非零常數(shù)，則A-1,kA,AB,A1A2···

Am,AT

也都是可逆矩陣，(1)(A-1)-1=A;(3)(AB)-1=B-1A-1,(A1A2···

Am)-1=Am-1···

A2-1A1-1;且

(4)(AT)-1=(A-1)T;(5)(6)(Am)-1=(A-1)m,m

為正整數(shù).例10求二階矩陣的逆矩陣.五、舉例例11用伴隨矩陣法求下列矩陣的逆矩陣：單擊這里開始解答矩陣的求逆模型例12解矩陣方程AXB=C，其中例13設(shè)求An.六、矩陣多項式設(shè)

(x)=a0+a1x+···+amxm為x的m次多項式，A為n階方陣，記

(A)=a0E+a1A+···+am

Am

，

(A)稱為矩陣A的m次多項式.1.定義從而A的多項式可以像數(shù)x的多項式一樣相乘或分解因式.例如(E+A)(2E–A)=2E+A–A2,(E–A)3=E–3A+3A2–A3.因為矩陣Ak、Al

和E都是可交換的，所以矩陣A的兩個多項式

(A)和f

(A)總是可交換的，即總有

(A)f

(A)=f

(A)

(A)，2.性質(zhì)3.計算方法（1）如果A=P

P–1，則Ak=P

k

P–1，從而

(A)=a0E+a1A+···+am

Am

=Pa0EP–1+Pa1

P–1+···+Pam

mP–1=P

(

)P–1.（2）如果

=diag(

1,

2,···,

n)為對角矩陣，則

k=diag(

1k

,

2k

,···,

nk)，從而

(

)=a0E+a1

+···+am

m

例14設(shè)求

(A)=A3+2A2–3A.例b1設(shè)方陣A滿足證明都可逆，并求七、補充例題例b2設(shè)求B.例b3設(shè)n

階方陣A,B,A+B均可逆,證明(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.例b4設(shè)A為

n(n

≥2)階方陣,證明|A

|=|A|n-1.克拉默法則主要內(nèi)容線性方程組有解的條件舉例第四節(jié)克拉默法則法則.在第一章的第一節(jié),我們在引進了二階、三階行列式以后，得到了二元、三元線性方程組的很好記憶的求解公式.定義了n階行列式以后,對于含有n個未知數(shù)n個方程的線性方程組,也有類似的求解公式——克拉默克拉默法則

如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零,即

(1)一、克拉默法則

那么,方程組(1)有唯一解其中Dj

(j=1,2,···

,n)是系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式,即例15解線性方程組解克拉默法則例16設(shè)曲線y=a0+a1x+a2x2+a3x3

通過四點(1,3),(2,4),(3,3),(4,-3)，求系數(shù)a0,a1,a2,a3.時,就不能用克拉默法則求解.通過上述例子,我們看到用克拉默法則求解線性方程組時,要計算n+1個n階行列式,這個計算量是相當(dāng)大的,所以,在具體求解線性方程組時,很少用克拉默法則.另外,當(dāng)方程組中方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)不等在線性方程組理論中的重要地位.了方程組有唯一解的條件,并且給出了方程組的解與方但這并不影響克拉默法則克拉默法則不僅給出程組的系數(shù)和常數(shù)項的關(guān)系.定理1

如果線性方程組克拉默法則可敘述為下面的重要定理.0

,則(1)一定有解,且解是唯一的.二、線性方程組有解的條件定理1的逆否命題為定理1′如果線性方程組(1)無解或有無窮個不同的解,則它的系數(shù)行列式必為零.的系數(shù)行列式D

對于齊次線性方程組(2)有以下定理.

定理2′如果齊次線性方程組(2)有非零解，則它定理2

如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式

D0,則齊次線性方程組(2)沒有非零解.的系數(shù)行列式必為零.例17

討論

為何值時,線性方程組有唯一解,并求出其解.三、舉例例18

問

取何值時,齊次線性方程組有非零解？分塊矩陣的定義主要內(nèi)容分塊矩陣的運算第五節(jié)矩陣分塊法兩種常用的分塊法線性方程組的各種形式對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A,運算時常采用分塊法,使大矩陣的運算化成小矩陣的運算.我們將矩陣A

用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣,每一個小矩陣稱為A的子塊,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.一、分塊矩陣的定義例如將3×4矩陣分成子塊的分法很多,下面舉出三種分塊形式:分法(1)可記為其中即A11,A12,A21,A22為A的子塊,而A形式上成為以這些子塊為元素的分塊矩陣.似寫出,這里從略.分法(2)及(3)的分塊矩陣可類二、分塊矩陣的運算分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相類似,分別說明如下:1.加法運算設(shè)矩陣A與B的行數(shù)相同、列數(shù)相同,采用相同的分塊法,有其中Aij

與Bij的行數(shù)相同、列數(shù)相同,那么

為常數(shù),那么

2.數(shù)乘運算設(shè)

3.分塊矩陣的乘法運算

設(shè)A為m×l矩陣,B為

l×n矩陣,分塊成其中Ai1,Ai2,···,Ait的列數(shù)分別等于B1j,B2j,···,Btj

的行數(shù),那么其中例19設(shè)求AB.4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)則5.分塊對角矩陣設(shè)A為

n階方陣,若A的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊,其余子塊都為零矩陣,且非零子塊都是方陣,即其中Ai

(

i=1,2,···,s)都是方陣,那么稱A為分塊對角矩陣.分塊對角矩陣的性質(zhì):(2)若|Ai|

0(i=1,2,···,s),則|A|

0,且(1)

|A|=|A1||A2|

···

|As|;例20設(shè)求A-1.三、兩種常用的分塊法1.按行分塊對于m

n矩陣A可以進行如下分塊：2.按列分塊對于m

n矩陣A可以進行如下分塊：對于矩陣A=(aij)m

s

與矩陣B=(bij)s

n

的乘積矩陣AB=C=(cij

)m

n

，若把A按行分成m塊，把B按列分成n

塊，便有=(cij)m

n

，以對角矩陣

m

左乘m

n

矩陣A時，把A按行分塊有以對角矩陣

m

左乘A

的結(jié)果是A

的每一行乘以

m中與該行對應(yīng)的對角元.以對角矩陣

n

右乘m

n

矩陣A

時，把A按列分塊有以對角矩陣

n

右乘A

的結(jié)果是A

的每一列乘以

n中與該列對應(yīng)的對角元.例21證明矩陣A=O的充要條件是方陣ATA=O.四、線性方程組的各種形式對于線性方程組記其中A稱為系數(shù)矩陣，x稱為未知向量，b稱為常數(shù)項向量，B稱為增廣矩陣.按分塊矩陣的記法，可記B=(A

b),或B=(A,b)=(a1,a2,…,an,b).利用矩陣的乘法，此方程組可記作Ax=b.(2)方程（2）以向量x為未知元，它的解稱為方程組(1)的解向量.如果把系數(shù)矩陣A按行分成m塊，則線性方程組Ax=b可記作或這就相當(dāng)于把每個方程ai1x1+ai2x2+···+ainxn=bi記作如果把系數(shù)矩陣A按列分成n塊，則與A相乘的x

應(yīng)對應(yīng)地按行分成n塊，從而記作即x1a1+x2a2+···+xnan=b.（4）（2）、（3）、（4）是線性方程組（1）的各種變形.今后，它們與（1）將混同使用而不加區(qū)分，并都稱為線性方程組或線性方程.Ax=b.(2)或x1a1+x2a2+···+xnan=b.（4）釋疑解難答矩陣是線性代數(shù)中最重要的部分,它是線性代數(shù)的有力工具.它是根據(jù)實際需要提出的,大量的問題借助它可以得到解決.譬如,一般線性方程組有解的充要條件是用矩陣的秩表示的;作為解線性方程組基礎(chǔ)的克拉默法則也可以用矩陣運算導(dǎo)出.二次型的研究可以轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的研究;化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,實際上就1.為什么要研究矩陣?是化對稱矩陣為合同對角形與合同標(biāo)準(zhǔn)形;線性變換可以用矩陣來表示,從而把線性變換的研究轉(zhuǎn)化為矩陣的研究.矩陣運算的實質(zhì),是把它當(dāng)做一個“量”來進行運算,因而使得運算得到大大簡化.2.任何兩個矩陣A，B都能進行加(減)和相乘運算嗎?

答不是.(1)只有當(dāng)A,B為同型矩陣時,才能進行加(減)運算.(2)只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣A的列數(shù)與第二個矩陣B的行數(shù)相同時,A與B才能相乘,這時AB才存在.

3.兩個矩陣A，B相乘時,AB=BA嗎?|AB|=|BA|嗎?

答

AB不一定等于BA.若要AB=BA,首先要使AB和BA都存在,此時A，Ｂ應(yīng)為同階方陣.其次矩陣的乘法不滿足交換律.在一般情況下,AB

BA.但對同階方陣A，B,|AB|=|BA|是一定成立的.因為對于數(shù)的運算,交換律是成立的,即

|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.

4.若AB=AC能推出B=C嗎?

答不能.因為矩陣的乘法不滿足消去律.例如則AB=AC,但B

C.

5.非零矩陣相乘時,結(jié)果一定不是零矩陣嗎?

答非零矩陣相乘的結(jié)果可能是零矩陣.例如但又如但

6.設(shè)A與B為n階方陣,問等式

A2

-B2=(A+B)(A-B)成立的充要條件是什么？

答

A2

-

B2=(A+B)(A-B)成立的充要條件是AB=BA.事實上，由于(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故A2

-B2=(A+B)(A-B)當(dāng)且僅當(dāng)BA-AB=O，即AB=BA.7.設(shè)A，B，C是與E同階的方陣,其中E是單位矩陣.若ABC=E，問：BCA=E，ACB=E，CAB=E，BAC=E，CBA=E中哪些總是成立的？哪些卻不一定成立？答由于ABC=E，說明BC是A的逆矩陣，AB是C的逆矩陣，由于任何方陣與其逆矩陣相乘可交換，故總有

BCA=E，CAB=E成立.而其他的等式不一定成立.

8.設(shè)方陣A滿足ax2+bx+c=0(c

0),即有aA2+bA+cE=O.問：A可逆嗎？若可逆求A-1.

答由aA2+bA+cE=O及c

0，可得從而A為可逆方陣，而且9.如果一個方陣的逆矩陣存在，求它的逆矩陣都有些什么方法？

答可以利用伴隨矩陣法，即還可以利用分塊矩陣法求逆；利用解方程組的方法求逆；利用矩陣的初等行變換法求逆等.

10.有沒有不是方陣的矩陣A，B，滿足

AB=E？

答有.例如則11.是否存在n

階方陣A

和B

，能使

AB-BA=E

？

答沒有.設(shè)A=(aij),B=(bij)為任意兩個n

階方陣，則AB主對角線上的元素為它們的和為同樣，BA的主對角線上的元素的和為這說明AB與BA的主對角線上的元素的和相等，從而

AB-BA的主對角線上的元素的和為零.但是，單位矩陣E的主對角線上元素的和為n

0,故對任意的同階方陣A，B，都有AB-BA

E.

12.若A可逆，那么矩陣方程AX=B

是否有唯一解X=A-1B？矩陣方程YA=B

是否有唯一解Y=BA-1？答是的.這是由于A-1的唯一性決定的.

13.矩陣A的伴隨矩陣A

有什么特點？答有兩個特點，一是元素是由aij

的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成；二是A的第

i行的元素

aij的代數(shù)余子式Aij

寫在A

的第

i列，即習(xí)題課

1.

設(shè)計算

2.

設(shè)計算

3.

設(shè)求

4.設(shè)A與B都是冪等矩陣,即A2=A,B2=B,證明A+B是冪等矩陣的充要條件是

AB=BA=O.5.(1)

已知試證:可逆,且求(2)

已知證明可逆(其中x

為任意實數(shù)),并求其逆陣的表達式.(3)

設(shè)

n

階方陣A

與B

滿足證明

6.

設(shè)求A-1.7.

已知

(1)

驗證P-1AP是對角矩陣;(2)

計算

8.

求下列矩陣的逆矩陣:單擊這里開始解答單擊這里開始解答9.

設(shè)A為五階方陣,且(1)求(2)求10.

求解下列各題.

(1)

設(shè)三階行列式A,B滿足關(guān)系式且求B.

(2)

設(shè)有矩陣方程求X.知識要點

一、內(nèi)容提要1.矩陣的概念

(1)矩陣的定義

定義1

由m×n個數(shù)aij(

i=1,···

,m;

j=1,···

,n)排成m行n列的數(shù)表叫做m行n列矩陣,簡稱m×n

矩陣.這m×n個數(shù)叫做矩陣的元素,aij叫做矩陣A的第

i行第j列元素.元素是實數(shù)的矩陣叫做實矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣叫做復(fù)矩陣,(1)式也簡記為A=(aij)m×n或A=(aij),m×n矩陣A也記作Am×n.

(2)方陣、列矩陣、行矩陣對(1)式,當(dāng)m=n時,A稱為

n階方陣.當(dāng)m

=1時,A稱為行矩陣.當(dāng)

n

=1時,A稱為列矩陣.

(3)同型矩陣和相等矩陣兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時,就稱它們是同型矩陣.如果A=(aij)與B=(bij)是同型矩陣,并且它們的對應(yīng)元素相等,即aij=bij(i=1,···,

m;j=1,···,n),那么就稱A與B

相等,記作A=B.(4)零矩陣、單位矩陣元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記作O.主對角線上的元素都是1,其他元素都是0

的

n

階方陣,叫做n階單位矩陣,簡記作E或I.2.矩陣的運算

(1)矩陣運算的定義設(shè)A=(aij)s×n

,B=(bij)t×m為兩個矩陣,當(dāng)s=t,n=m時,它們?yōu)橥途仃?其加法運算定義為

A+B=(aij+bij),A+B稱為A與B的和.當(dāng)n=t時可以作乘法:AB=(cij)s×m,其中(

i=1,2,···,s;j

=1,2,···,m),AB稱為A與B的積.設(shè)k為實數(shù),定義

kA=(kaij),則稱