大綱考研試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.下列哪個(gè)是奇函數(shù)（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=e^x\)3.極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在4.向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,-1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.0B.1C.2D.35.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的行列式值為（）A.-2B.2C.-1D.16.方程\(x^2-3x+2=0\)的根是（）A.1和2B.-1和-2C.1和-2D.-1和27.曲線(xiàn)\(y=\lnx\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線(xiàn)方程是（）A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=x+1\)D.\(y=-x-1\)8.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(0,1)\)，\(P(X\leq0)\)的值為（）A.0.5B.0C.1D.0.259.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂D.絕對(duì)收斂10.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點(diǎn)是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=0\)D.\(x=2\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是基本初等函數(shù)（）A.\(y=x\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\log_2x\)2.以下哪些向量組線(xiàn)性相關(guān)（）A.\(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec=(0,1)\)B.\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,4)\)C.\(\vec{a}=(1,1,0)\)，\(\vec=(0,1,1)\)，\(\vec{c}=(1,0,1)\)D.\(\vec{a}=(1,-1)\)，\(\vec=(-1,1)\)3.關(guān)于函數(shù)\(y=\cos2x\)，正確的是（）A.周期為\(\pi\)B.是偶函數(shù)C.值域是\([-1,1]\)D.對(duì)稱(chēng)軸是\(x=\frac{k\pi}{2}(k\inZ)\)4.下列積分計(jì)算正確的是（）A.\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.矩陣的運(yùn)算性質(zhì)正確的有（）A.\(A+B=B+A\)B.\((AB)C=A(BC)\)C.\(k(A+B)=kA+kB\)D.\(A(B+C)=AB+AC\)6.直線(xiàn)\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時(shí)為0）的斜率可能是（）A.\(-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）B.不存在（\(B=0\)）C.\(\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.07.以下哪些是離散型隨機(jī)變量（）A.拋骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)B.某時(shí)間段內(nèi)經(jīng)過(guò)路口的車(chē)輛數(shù)C.人的身高D.燈泡的使用壽命8.對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），當(dāng)\(a\gt0\)時(shí)（）A.圖象開(kāi)口向上B.有最小值\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)C.對(duì)稱(chēng)軸是\(x=-\frac{2a}\)D.與\(y\)軸交點(diǎn)在\(y\)軸正半軸9.冪函數(shù)\(y=x^{\alpha}\)（\(\alpha\)為常數(shù)），當(dāng)\(\alpha\gt0\)時(shí)（）A.在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增B.圖象過(guò)點(diǎn)\((1,1)\)C.可能是奇函數(shù)D.可能是偶函數(shù)10.下列關(guān)于數(shù)列極限的說(shuō)法正確的是（）A.若\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B\)，則\(\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=A+B\)B.若\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)，則數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)收斂C.有界數(shù)列一定收斂D.單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列一定收斂三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)的定義域是\((0,+\infty)\)。（）2.若向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行，則\(\vec{a}\times\vec=0\)（向量叉乘）。（）3.方程\(x^2+1=0\)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解。（）4.函數(shù)\(y=\tanx\)的周期是\(\pi\)。（）5.矩陣\(A\)可逆，則\(\vertA\vert\neq0\)（\(\vertA\vert\)為矩陣\(A\)的行列式）。（）6.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)。（）7.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)。（）8.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖象關(guān)于\(x=\mu\)（\(\mu\)為均值）對(duì)稱(chēng)。（）9.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)是絕對(duì)收斂的。（）10.函數(shù)\(y=x^4\)的導(dǎo)數(shù)是\(y'=4x^3\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-6x^2+9x+1\)的單調(diào)區(qū)間。-答案：對(duì)\(y\)求導(dǎo)得\(y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\)。令\(y'\gt0\)，解得\(x\lt1\)或\(x\gt3\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y'\lt0\)，解得\(1\ltx\lt3\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。-答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)；也等價(jià)于\(A\)滿(mǎn)秩；還等價(jià)于\(A\)可通過(guò)初等變換化為單位矩陣等。3.計(jì)算\(\int\frac{1}{x^2+1}dx\)。-答案：根據(jù)常見(jiàn)積分公式，\(\int\frac{1}{x^2+1}dx=\arctanx+C\)，\(C\)為任意常數(shù)。4.已知隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，求\(E(X)\)（期望）。-答案：對(duì)于參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，其概率分布為\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)。\(E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=\lambda\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性及凹凸性。-答案：在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上求導(dǎo)\(y'=-\frac{1}{x^2}\lt0\)，所以在這兩個(gè)區(qū)間均單調(diào)遞減；再求二階導(dǎo)\(y''=\frac{2}{x^3}\)，在\((0,+\infty)\)上\(y''\gt0\)為凹函數(shù)，在\((-\infty,0)\)上\(y''\lt0\)為凸函數(shù)。2.討論線(xiàn)性方程組\(\begin{cases}x+y+z=1\\x+2y+az=2\\2x+3y+(a+1)z=3\end{cases}\)解的情況，\(a\)為參數(shù)。-答案：對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，當(dāng)\(a=1\)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解；當(dāng)\(a\neq1\)時(shí)，方程組有唯一解。3.討論函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：函數(shù)極限可通過(guò)數(shù)