高數(shù)大二試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的定義域是（）A.\(x>-1\)B.\(x\geq-1\)C.\(x<-1\)D.\(x\leq-1\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(x^2\)B.\(3x^2\)C.\(3x\)D.\(x^3\)4.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^3+C\)D.\(2x^3+C\)5.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.不是駐點(diǎn)6.曲線\(y=e^x\)在點(diǎn)\((0,1)\)處的切線方程為（）A.\(y=x+1\)B.\(y=x-1\)C.\(y=-x+1\)D.\(y=-x-1\)7.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂B.發(fā)散C.條件收斂D.絕對(duì)收斂8.設(shè)\(f(x)\)是可導(dǎo)函數(shù)，則\((\intf^\prime(x)dx)^\prime=\)（）A.\(f(x)\)B.\(f^\prime(x)\)C.\(f(x)+C\)D.\(f^\prime(x)+C\)9.已知\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)=\)（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x^2\)D.\(2x+C\)10.若\(z=xy\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)（）A.\(x\)B.\(y\)C.\(xy\)D.\(1\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)3.下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的有（）A.\(y=x^2-1\)，\(x\in[-1,1]\)B.\(y=|x|\)，\(x\in[-1,1]\)C.\(y=\frac{1}{x^2}\)，\(x\in[-1,1]\)D.\(y=x(x-1)\)，\(x\in[0,1]\)4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)B.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)C.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)D.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e-1\)5.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微的充分條件有（）A.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處連續(xù)B.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在C.\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.\(\Deltaz-f_x(x_0,y_0)\Deltax-f_y(x_0,y_0)\Deltay=o(\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2})\)7.下列方程表示的曲面是旋轉(zhuǎn)曲面的有（）A.\(x^2+y^2+z^2=1\)B.\(x^2+y^2-z=0\)C.\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{16}=1\)D.\(x^2-y^2-z^2=1\)8.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則（）A.\(\int_{a}^f(x)dx\)存在B.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^f(t)dt\)C.\(\fracgzx1ph3{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)9.若\(z=f(u,v)\)，\(u=x+y\)，\(v=x-y\)，則（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=f_u+f_v\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=f_u-f_v\)C.\(\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=f_{uu}+2f_{uv}+f_{vv}\)D.\(\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=f_{uu}-2f_{uv}+f_{vv}\)10.下列曲線積分與路徑無關(guān)的條件有（）A.\(P_y=Q_x\)在單連通區(qū)域內(nèi)處處成立B.\(\oint_{L}Pdx+Qdy=0\)，\(L\)為任意閉曲線C.存在函數(shù)\(u(x,y)\)，使得\(du=Pdx+Qdy\)D.\(P\)和\(Q\)在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域是\(x\geq1\)且\(x\neq2\)。（）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)。（）4.\(\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{0}f(x)dx\)。（）5.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。（）6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點(diǎn)一定可微。（）7.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）8.曲線\(y=\frac{1}{x}\)的漸近線有\(zhòng)(x=0\)和\(y=0\)。（）9.若\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=2x\)。（）10.向量場(chǎng)\(\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}\)，若\(P_y=Q_x\)，則\(\vec{F}\)是保守場(chǎng)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的極值。-答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)和\(x=2\)。\(y^{\prime\prime}=6x-6\)，\(y^{\prime\prime}(0)=-6<0\)，所以\(x=0\)時(shí)，\(y\)有極大值\(5\)；\(y^{\prime\prime}(2)=6>0\)，\(x=2\)時(shí)，\(y\)有極小值\(1\)。2.計(jì)算\(\intx\cosxdx\)。-答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)，則\(du=dx\)，\(v=\sinx\)。\(\intx\cosxdx=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C\)。3.求函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在條件\(x+y=1\)下的極值。-答案：由\(x+y=1\)得\(y=1-x\)，代入\(z\)得\(z=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1\)。求導(dǎo)\(z^\prime=4x-2\)，令\(z^\prime=0\)，得\(x=\frac{1}{2}\)，\(y=\frac{1}{2}\)，此時(shí)\(z\)有極小值\(\frac{1}{2}\)。4.判定級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}\)的斂散性。-答案：用比值審斂法，\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{\frac{n}{3^n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n}=\frac{1}{3}<1\)，所以級(jí)數(shù)收斂。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的間斷點(diǎn)類型。-答案：函數(shù)間斷點(diǎn)為\(x=\pm1\)。\(\lim\limits_{x\to\pm1}\frac{1}{x^2-1}=\infty\)，所以\(x=\pm1\)都是無窮間斷點(diǎn)，屬于第二類間斷點(diǎn)。2.討論多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系。-答案：可微則偏導(dǎo)數(shù)存在且函數(shù)連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微，也不一定連續(xù)；函數(shù)連續(xù)不一定偏導(dǎo)數(shù)存在，更不一定可微。偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件。3.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。-答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式將二者相連。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，定積分是數(shù)值。不定積分關(guān)注函數(shù)的全體原函數(shù)，定