電大實(shí)變函數(shù)試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{3,4,5\}\)，則\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2\}\)B.\(\{3\}\)C.\(\{4,5\}\)D.\(\{1,2,3,4,5\}\)2.若\(E\)是\(\mathbb{R}^n\)中的可測集，則（）A.\(m(E)\lt0\)B.\(m(E)\)可能不存在C.\(m(E)\geq0\)D.\(m(E)=+\infty\)3.函數(shù)列\(zhòng)(\{f_n(x)\}\)依測度收斂于\(f(x)\)，則（）A.一定幾乎處處收斂B.不一定幾乎處處收斂C.一定一致收斂D.一定有界4.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上黎曼可積，則（）A.\(f(x)\)一定勒貝格可積B.\(f(x)\)不一定勒貝格可積C.\(f(x)\)勒貝格積分與黎曼積分一定相等D.\(f(x)\)無界5.設(shè)\(E_1,E_2\)是可測集，則\(m(E_1\cupE_2)=(\)\)A.\(m(E_1)+m(E_2)\)B.\(m(E_1)+m(E_2)-m(E_1\capE_2)\)C.\(m(E_1)-m(E_2)\)D.\(m(E_2)-m(E_1)\)6.若\(f(x)\)在可測集\(E\)上有界可測，則（）A.\(f(x)\)在\(E\)上勒貝格可積B.\(f(x)\)在\(E\)上不可積C.\(f(x)\)的積分值為\(0\)D.\(f(x)\)幾乎處處為\(0\)7.設(shè)\(A_n=\left[0,1+\frac{1}{n}\right]\)，\(n=1,2,\cdots\)，則\(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=(\)\)A.\([0,1]\)B.\([0,1)\)C.\((0,1]\)D.\((0,1)\)8.下面哪個(gè)不是可測函數(shù)的性質(zhì)（）A.連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù)B.可測函數(shù)的和是可測函數(shù)C.可測函數(shù)的極限是可測函數(shù)D.有界函數(shù)一定可測9.設(shè)\(f(x)\)在\(E\)上非負(fù)可測，則\(\int_Ef(x)dm\geq0\)，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)（）A.\(f(x)=0\)B.\(f(x)\)幾乎處處為\(0\)C.\(E\)測度為\(0\)D.以上都不對10.實(shí)變函數(shù)研究的空間是（）A.歐幾里得空間B.拓?fù)淇臻gC.巴拿赫空間D.希爾伯特空間多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些集合運(yùn)算性質(zhì)正確（）A.\(A\cupB=B\cupA\)B.\(A\capB=B\capA\)C.\((A\cupB)^c=A^c\capB^c\)D.\((A\capB)^c=A^c\cupB^c\)2.關(guān)于可測集，下列說法正確的是（）A.開集是可測集B.閉集是可測集C.可數(shù)個(gè)可測集的并是可測集D.可數(shù)個(gè)可測集的交是可測集3.函數(shù)列\(zhòng)(\{f_n(x)\}\)幾乎處處收斂于\(f(x)\)的等價(jià)條件有（）A.存在零測集\(Z\)，在\(E-Z\)上\(f_n(x)\)收斂于\(f(x)\)B.對任意\(\epsilon\gt0\)，\(\lim_{n\to\infty}m(\{x\inE:|f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon\})=0\)C.存在子列\(zhòng)(\{f_{n_k}(x)\}\)幾乎處處收斂于\(f(x)\)D.積分\(\lim_{n\to\infty}\int_E|f_n(x)-f(x)|dm=0\)4.勒貝格可積函數(shù)具有以下哪些性質(zhì)（）A.絕對值可積B.線性組合可積C.乘積可積D.與有界可測函數(shù)乘積可積5.以下哪些函數(shù)是可測函數(shù)（）A.連續(xù)函數(shù)B.單調(diào)函數(shù)C.簡單函數(shù)D.狄利克雷函數(shù)6.關(guān)于集合的基數(shù)，下列說法正確的是（）A.自然數(shù)集與整數(shù)集基數(shù)相同B.實(shí)數(shù)集與自然數(shù)集基數(shù)不同C.有理數(shù)集與自然數(shù)集基數(shù)相同D.無理數(shù)集與實(shí)數(shù)集基數(shù)相同7.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上勒貝格可積，則（）A.\(|f(x)|\)在\([a,b]\)上勒貝格可積B.\(f^2(x)\)在\([a,b]\)上勒貝格可積C.\(\frac{1}{f(x)}\)（\(f(x)\neq0\)）在\([a,b]\)上勒貝格可積D.\(cf(x)\)（\(c\)為常數(shù)）在\([a,b]\)上勒貝格可積8.可測函數(shù)列\(zhòng)(\{f_n(x)\}\)依測度收斂的性質(zhì)有（）A.若\(f_n(x)\)依測度收斂于\(f(x)\)，\(g_n(x)\)依測度收斂于\(g(x)\)，則\(f_n(x)+g_n(x)\)依測度收斂于\(f(x)+g(x)\)B.若\(f_n(x)\)依測度收斂于\(f(x)\)，\(c\)為常數(shù)，則\(cf_n(x)\)依測度收斂于\(cf(x)\)C.依測度收斂具有唯一性D.若\(f_n(x)\)依測度收斂于\(f(x)\)，則存在子列幾乎處處收斂于\(f(x)\)9.下列關(guān)于測度的說法正確的是（）A.零測集的子集是零測集B.可數(shù)個(gè)零測集的并是零測集C.可測集的測度一定大于零D.測度具有單調(diào)性10.設(shè)\(E\)是可測集，\(f(x)\)在\(E\)上可測，若\(\int_Ef(x)dm=0\)，則（）A.\(f(x)\)在\(E\)上幾乎處處為\(0\)B.存在\(E\)的子集\(E_0\)，\(m(E_0)=0\)，在\(E-E_0\)上\(f(x)=0\)C.不能確定\(f(x)\)幾乎處處為\(0\)D.若\(f(x)\)非負(fù)，則\(f(x)\)幾乎處處為\(0\)判斷題（每題2分，共10題）1.任意多個(gè)開集的交一定是開集。（）2.若函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上黎曼可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上幾乎處處連續(xù)。（）3.可測集的補(bǔ)集一定是可測集。（）4.函數(shù)列\(zhòng)(\{f_n(x)\}\)幾乎處處收斂一定能推出依測度收斂。（）5.若\(f(x)\)在可測集\(E\)上勒貝格可積，則\(f(x)\)在\(E\)上有界。（）6.零測集上的函數(shù)一定勒貝格可積。（）7.兩個(gè)可測函數(shù)的商一定是可測函數(shù)（分母不為\(0\)）。（）8.集合\(A\)的基數(shù)小于集合\(B\)的基數(shù)，集合\(B\)的基數(shù)小于集合\(C\)的基數(shù)，則集合\(A\)的基數(shù)小于集合\(C\)的基數(shù)。（）9.若\(f(x)\)在\(E\)上可測，\(E_1\subsetE\)是可測子集，則\(f(x)\)在\(E_1\)上可測。（）10.勒貝格積分一定比黎曼積分優(yōu)越。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述可測函數(shù)的定義。答案：設(shè)\(f(x)\)是定義在可測集\(E\subset\mathbb{R}^n\)上的實(shí)值函數(shù)，若對于任意實(shí)數(shù)\(a\)，集合\(\{x\inE:f(x)\gta\}\)是可測集，則稱\(f(x)\)是\(E\)上的可測函數(shù)。2.說明勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系。答案：黎曼可積函數(shù)一定勒貝格可積，且積分值相等。但勒貝格可積函數(shù)不一定黎曼可積。勒貝格積分拓寬了可積函數(shù)的范圍，處理一些復(fù)雜函數(shù)更有效。3.什么是幾乎處處相等的函數(shù)？答案：設(shè)\(f(x)\)與\(g(x)\)定義在可測集\(E\)上，若存在\(E\)的零測子集\(Z\)，使得在\(E-Z\)上\(f(x)=g(x)\)，則稱\(f(x)\)與\(g(x)\)在\(E\)上幾乎處處相等。4.簡述集合的外測度定義。答案：設(shè)\(E\subset\mathbb{R}^n\)，\(E\)的外測度\(m^(E)\)是一切包含\(E\)的可數(shù)個(gè)開區(qū)間覆蓋的體積和的下確界，即\(m^(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}|I_i|:E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}I_i,I_i為開區(qū)間\right\}\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)列依測度收斂和幾乎處處收斂的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：依測度收斂的函數(shù)列，存在子列幾乎處處收斂。幾乎處處收斂在一定條件下（如\(E\)測度有限）可推出依測度收斂。區(qū)別：依測度收斂不要求函數(shù)列在每一點(diǎn)都趨近，幾乎處處收斂強(qiáng)調(diào)在除去一個(gè)零測集外點(diǎn)點(diǎn)收斂。2.談?wù)剬?shí)變函數(shù)中測度理論的重要性。答案：測度理論是實(shí)變函數(shù)基礎(chǔ)。它定義了集合的“長度”“面積”等概念，為積分理論奠定基礎(chǔ)。通過測度可區(qū)分不同集合性質(zhì)，判斷函數(shù)可積性，使積分研究更深入全面，是理解和研究實(shí)變函數(shù)各種問題的關(guān)鍵工具。3.舉例說明可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系。答案：連續(xù)函數(shù)一定是可測函數(shù)，如\(y=x\)在\(\mathbb{R}\)上連續(xù)且可測。但可測函數(shù)不一定連續(xù)，狄利克雷函數(shù)在\(\mathbb{R}\)上可測卻處處不連續(xù)。說明可測函數(shù)范圍更廣，連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù)的一部分特殊情況。4.討論勒貝格積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用。答案：勒貝格積分在概率論、信號處理等領(lǐng)域有應(yīng)用。在概率論中用于計(jì)算隨機(jī)變量的期望等數(shù)字特征；在信號處理里處理非連續(xù)、復(fù)雜信號，能更準(zhǔn)確描述信號能量等，比黎曼積分處理實(shí)際問題更具優(yōu)勢