高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市普通高中2025屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知等差數(shù)列的公差為3，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為等差數(shù)列的公差為，所以.故選：C.2.已知且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得A項中的和C項中的的值無法確定，對于B，，對于D，．故選：D3.若為方程的兩個不同的根，則（）A.－2i B.2i C.－2 D.2【答案】A【解析】因為，所以．故選：A4.若雙曲線上的點到點的距離為4，則點到點的距離為（）A.14 B.12 C.10 D.8【答案】B【解析】由題意可知，，則，則雙曲線的左、右焦點分別為，因或，且，故．故選：B5.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以.故選：D.6.已知函數(shù)的部分圖象如下，則的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為的圖象關(guān)于軸對稱，所以為偶函數(shù)，排除B，又，排除A，當時，，排除D.故選：C．7.若，且，則的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】因為，所以，當且僅當，即時取等號.故選：B.8.與曲線和圓都相切的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】設(shè)直線與曲線相切于點，則的方程為，即．圓C：，因為與圓相切，所以，所以，令，則，令，得或，進一步得到上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當時，，所以在區(qū)間上分別有1個零點，所以這樣的切線有3條．故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在中，若，點在邊上，點在邊上，且，，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對于，，故正確；對于，因為，所以，故錯誤；對于，因為，所以為邊上的高，的面積為，所以，故錯誤；對于，因為，所以平分，即，又，所以，所以，故正確．故選：.10.在三棱錐中，已知為的中點，則下列說法正確的是（）A.長度的取值范圍是B.直線與平面所成的角為C.若，則，所成的角為D.若，則三棱錐外接球的表面積為【答案】BD【解析】對于A，因為，為的中點，所以，所以，所以，故A錯誤；對于B，由題，易得，又平面，所以平面，所以與平面所成的角為，故B正確；對于C，因為，所以，所以，又因為平面，所以平面，所以，故C錯誤；對于D，如圖，取的中點為F，連接，則，由圖形的對稱性得，三棱錐外接球的球心必在的延長線上，設(shè)，由，分別由勾股定理得，所以，所以外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故D正確．故選：BD.11.如圖，一個圓形倉鼠籠被分為A，B，C，D四個區(qū)域，相鄰區(qū)域之間用通道相連，開始時將一只倉鼠放入?yún)^(qū)域，倉鼠每次隨機選擇一個通道進入相鄰的區(qū)域，設(shè)經(jīng)過次隨機選擇后倉鼠在區(qū)域的概率為，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對于A，因為倉鼠一開始在區(qū)域，經(jīng)過1次選擇后不可能在區(qū)域，所以，故A正確；對于B，記倉鼠經(jīng)過次隨機選擇后在B，C，D區(qū)域的概率分別為，，則有所以，進一步得，因為，所以，所以，所以不成等比數(shù)列，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，因為，所以，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，非空集合，若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意得，又因，所以，解得．故答案為：.13.我們把幾何體的表面積與體積之比稱為“相對積”．已知三棱錐中，分別在棱上，且截面與底面平行，，則三棱錐與三棱錐的相對積之比為______．【答案】【解析】設(shè)三棱錐、三棱錐的體積分別為，表面積分別為，高分別為，因為，所以，，，則，，則三棱錐與三棱錐的相對積之比為．故答案為：14.若過點的直線與拋物線交于B，C兩點，以B，C為切點分別作的兩條切線，則兩條切線的交點的軌跡方程為______．【答案】【解析】設(shè)的方程為，代入中，整理得，設(shè)，則，由題意過點的切線斜率存在且不為0，設(shè)為，聯(lián)立，得，由可得，即，所以切線方程為，同理可得過點的切線方程為.聯(lián)立解得消去，得，所以兩條切線交點的軌跡方程為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.小王參加某機構(gòu)的招聘面試，要從6道簡答題和4道論述題中任意抽取3道進行回答．（1）求小王抽取的3道題中兩種題型都有的概率；（2）每道簡答題答對得10分，每道論述題答對得20分，假設(shè)小王每道題都能答對，記小王答完3道題的總得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）所求概率為.（2）的所有可能取值為，，，，．所以的分布列為X30405060P的數(shù)學(xué)期望.16.如圖，在圓錐中，平面是軸截面，為底面圓周上一點（與不重合），為的中點．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的大?。?）證明：在圓錐中，平面，平面,所以，因為為的中點，，所以，因為，平面，所以平面．（2）解：在平面內(nèi)，過作交于點，分別以直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．因為，所以，由（1）知平面的一個法向量為．又，所以．設(shè)平面的法向量為，則取，則．所以，所以平面與平面的夾角為．17.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點，，且，記．（1）證明：；（2）證明：；（3）記，若，求的值．（1）證明：設(shè)，則．由余弦定理得，所以，所以．（2）證明：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由（1）知，又，所以．（3）解：若，則≌，得，與已知矛盾．若，則，所以化為，即，整理得，即，解得．18.已知橢圓的長軸長為，左、右焦點分別為，直線與交于P，Q兩點，且滿足（為坐標原點），當變化時，面積的最大值為．（1）求的方程；（2）證明：；（3）過點和線段PQ的中點作一條直線與交于R，S兩點，求四邊形PRQS面積的取值范圍．（1）解：設(shè)的半焦距為．依題意得，所以，解得，所以的方程為．（2）證明：設(shè)，由消去得，則，，因為，所以，化簡得，此時成立，證畢．（3）解：設(shè)PQ的中點為，因為直線RS經(jīng)過點和點，所以不妨設(shè)，則．．由，得點的坐標為，又，所以代入的方程得，化簡得，則．所以，即四邊形PRQS面積的取值范圍為．19.已知函數(shù)．（1）當時，，求實數(shù)的取值范圍．（2）若，設(shè)的正零點從小到大依次為．①證明：；②判斷數(shù)列的單調(diào)性，并證明．附：當時，．解：（1）由題意，即對任意恒成立．設(shè)，則，當時，，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，即的取值范圍是．（2）（?。┤?，則在定義域內(nèi)恒成立，所以對任意在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，當時，，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點，所以