高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省開(kāi)封市五校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊(cè)第五章，選擇性必修第三冊(cè)第六章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到A，B兩所大學(xué)分別有7，8個(gè)自己感興趣的專業(yè)，若這名同學(xué)只能從這些專業(yè)中選擇1個(gè)，則他不同的選擇種數(shù)為（）A.56 B.15 C.28 D.30【答案】B【解析】不同的選擇種數(shù)為.故選：B.2.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選：A3.據(jù)報(bào)道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組列車全長(zhǎng)236.7米，由9輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個(gè)商務(wù)座、28個(gè)一等座、642個(gè)二等座，最高運(yùn)行時(shí)速達(dá)160千米，全列定額載客676人．假設(shè)“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車開(kāi)出站一段時(shí)間內(nèi)，速度與行駛時(shí)間的關(guān)系為，則當(dāng)時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，故?dāng)時(shí)，，即時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為，故選：B4.中國(guó)體育代表團(tuán)在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)獲得40金27銀24銅共91枚獎(jiǎng)牌，金牌數(shù)與美國(guó)隊(duì)并列排名第一?創(chuàng)造了參加境外奧運(yùn)會(huì)的最佳戰(zhàn)績(jī).巴黎奧運(yùn)會(huì)中國(guó)內(nèi)地奧運(yùn)健兒代表團(tuán)于8月29日至9月2日訪問(wèn)香港?澳門.訪問(wèn)期間，甲?乙?丙3名代表團(tuán)團(tuán)員與4名青少年站成一排拍照留念，若甲?乙?丙互不相鄰，則不同的排法有（）A.2880種 B.1440種 C.720種 D.360種【答案】B【解析】第一步先排4名青少年共有種排法，第二步把甲?乙?丙插在4名青少年中間有種排法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有種排法，故選：B.5.函數(shù)的極小值點(diǎn)為（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值點(diǎn)為0．故選：C6.某5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來(lái)了2位同學(xué)要加入，如果保持原來(lái)5位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（）A.21 B.30 C.42 D.60【答案】C【解析】7位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，共有種排法，如果保持原來(lái)5位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則有種排法.故選：C7.已知函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知的定義域?yàn)?，又，由題意可知上有解，即在上有解，可得，所以．故選：C．8.將7名身高不同的學(xué)生從左往右排成一列，記第名學(xué)生的身高為，當(dāng)時(shí)，由于學(xué)生的身高變化像字母，所以也叫“數(shù)列”，則滿足條件的“數(shù)列”共有（）A.61個(gè) B.65個(gè) C.68個(gè) D.71個(gè)【答案】D【解析】記這7名學(xué)生的身高由低到高分別為數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，因?yàn)槎急却螅灾荒転?，?當(dāng)時(shí)，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，所以有種選法，剩下一個(gè)數(shù)作為，共有個(gè)“數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，剩余兩個(gè)數(shù)排，有種選法，共有個(gè)“數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，，從4，5，6，7中選2個(gè)數(shù)作為有種選法，剩余2個(gè)數(shù)為，共有6個(gè)“數(shù)列”.綜上所述，滿足條件的“數(shù)列”共有個(gè).故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則滿足不等式的的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】AB【解析】因?yàn)椋?，即，又，所以?.故選：AB.10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，令，得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，令，得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，將，兩式相加，得，即，故D正確.故選：AD11.已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（）A.有3個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，C.曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.過(guò)點(diǎn)與曲線相切直線有2條【答案】CD【解析】，則，解得，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，極大值為，所以有1個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；由，得，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C正確；設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，所以切線方程，將點(diǎn)代入切線方程為，整理得，即，解得，或，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)或，因此過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線有2條，D正確．故選：CD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________．【答案】【解析】由，得，所以，解得．故答案為：13.某班組織一次認(rèn)識(shí)大自然的活動(dòng)，有6名同學(xué)參加，其中有3名男生，3名女生，現(xiàn)要從這6名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去采集自然標(biāo)本，則抽取的3名同學(xué)中既有男生又有女生的抽取方法共有______種．【答案】18【解析】抽取的3名同學(xué)中既有男生又有女生包含2種情況：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生.所以滿足要求的抽取方法共有（種）.故答案為：1814.設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，當(dāng)關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，稱是一組對(duì)稱點(diǎn)．若恰有3組對(duì)稱點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】，設(shè)，則，所以，，所以，因?yàn)榕c的圖象若恰有3組對(duì)稱點(diǎn)，所以有三組解，可得即有三個(gè)解，令，即函數(shù)與的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處切線的方程；（2）求函數(shù)的極值．解：（1）由，得，因?yàn)椋?，所以曲線在點(diǎn)處切線的方程為，即．（2）令，得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：300單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減又，所以函數(shù)的極小值為，極大值為13．16.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64.（1）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解：（1）由題意可得，解得，所以該二項(xiàng)式，則通項(xiàng)公式為：．令，解得，所以該二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．（2）因?yàn)椋字赫归_(kāi)式第四項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，即,所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).17.已知等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，即，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，則，聯(lián)立方程，解得或，且，則，可知公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得：，所以.18.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知圓，過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線，若與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的面積的最大值．解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，易知點(diǎn)的坐標(biāo)為或，若點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，則直線的方程為，聯(lián)立可得，不妨取點(diǎn)、，此時(shí)，；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，易知圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相切，則，可得，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，，且，因此，面積的最大值為.19.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），函數(shù)的極值點(diǎn)為0．（1）求的值；（2）證明：對(duì)；（3）已知數(shù)列的前項(xiàng)和,證明:．解：（1）由，得，因?yàn)楹瘮?shù)的極