黑龍江省齊齊哈爾市聯(lián)誼校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．某同學(xué)從2個(gè)田徑項(xiàng)目和4個(gè)球類項(xiàng)目中各選1個(gè)項(xiàng)目參加，則不同的選擇方案共有（

）A．6種 B．8種 C．12種 D．16種2．一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系為，則時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A． B． C． D．3．若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．25．某品牌飲料正在進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，一盒5瓶裝的飲料中有2瓶有獎(jiǎng)，消費(fèi)者從中隨機(jī)取出2瓶，記為其中有獎(jiǎng)的瓶數(shù)，則（

）A． B． C． D．16．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．7．安排甲、乙、丙、丁4位老師到三所學(xué)校工作，要求每所學(xué)校都有人去，每人只能去一所學(xué)校，則甲不去學(xué)校、乙不去學(xué)校工作的分配方案數(shù)為（

）A．12 B．17 C．18 D．208．質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我們在不超過32的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件“這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)”，事件“這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)”，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．關(guān)于的展開式，下列說法正確的是（

）A．展開式共6項(xiàng) B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1C．不含常數(shù)項(xiàng) D．系數(shù)最大項(xiàng)是10．設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：012340.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B．C． D．11．設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若方程有實(shí)數(shù)解，且在的左、右附近，異號(hào)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說法中正確的是（

）A．B．的極小值為C．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍為D．若過點(diǎn)可以作三條直線與的圖象相切，則的取值范圍為三、填空題12．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則.13．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（請(qǐng)用數(shù)字作答）14．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若，且，則不等式的解集為.四、解答題15．已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).（1）求的值；（2）若的最小值為，求的值.16．已知某電器市場由甲、乙、丙三家企業(yè)占有，其中甲廠產(chǎn)品的市場占有率為40％，乙廠產(chǎn)品的市場占有率為36％，丙廠產(chǎn)品的市場占有率為24％，甲、乙、丙三廠產(chǎn)品的合格率分別為，，．（1）現(xiàn)從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，求這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率；（2）現(xiàn)從市場中隨機(jī)購買一臺(tái)該電器，則買到的是合格品的概率為多少？17．已知8件不同的產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)對(duì)這8件產(chǎn)品一一進(jìn)行測試，直至找到所有次品．（1）若恰在第2次測試時(shí)，找到第一件次品，第6次測試時(shí)，找到第二件次品，則共有多少種不同的測試情況？（2）若至多測試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？18．2024年，全國政協(xié)十四屆二次會(huì)議于3月4日下午3時(shí)在北京開幕，3月10日上午閉幕，會(huì)期6天；十四屆全國人大二次會(huì)議于3月5日上午開幕，11日下午閉幕，會(huì)期7天.為調(diào)查居民對(duì)兩會(huì)相關(guān)知識(shí)的了解情況，某小區(qū)開展了兩會(huì)知識(shí)問答活動(dòng)，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動(dòng)的800名居民的得分（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這800名居民得分的平均值；（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）結(jié)合頻率分布直方圖，近似認(rèn)為參與活動(dòng)的小區(qū)居民的得分服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，試估計(jì)得分超過95.8分的居民人數(shù)（結(jié)果精確到個(gè)位）；（3）用頻率估計(jì)概率，任選2名參加活動(dòng)的居民，設(shè)為得分超過80分的居民人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則.19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）求證：.

參考答案1．【答案】B【詳解】不同的選擇方案共有種.故選B2．【答案】B【詳解】因?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)，.故選B.3．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，，所以.故選D.4．【答案】A【詳解】求導(dǎo)得;，令，得，解得.故選A.5．【答案】C【詳解】依題意，X的可能值為，則，因此.故選C6．【答案】A【詳解】由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則，故排除C，D；當(dāng)時(shí)，先遞增，再遞減最后遞增，所以所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)該先大于0，再小于0，最后大于0，排除B.故選:A.7．【答案】B【詳解】第一類：甲、乙分在一組就只能去學(xué)校，則分配方案有：；第二類：甲、乙沒分在一組，則有種分組方法，有甲的那組去學(xué)校，此時(shí)根據(jù)分組分配方案有：種；有甲的那組去學(xué)校，則有乙的那組只能去學(xué)校，此時(shí)根據(jù)分組分配方案只有：種；綜上可得：根據(jù)分類加法原理總的分配方案共有種，故選B.8．【答案】A【分析】運(yùn)用條件概率公式，結(jié)合列舉法求解即可.【詳解】不超過32的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11個(gè)，孿生素?cái)?shù)有3和5，5和7，11和13，17和29，29和31，共5種情況，所以，，所以．故選A.9．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以展開式共7項(xiàng)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，令，得各項(xiàng)系數(shù)之和為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，展開式的通項(xiàng)公式為，，令，得顯然取不到，則不含常數(shù)項(xiàng)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，則，得系數(shù)最大項(xiàng)為：，故D項(xiàng)正確，故選BCD10．【答案】AB【詳解】由，解得.1，故A正確；，，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選AB.11．【答案】BCD【詳解】由，得，則，因?yàn)槭菍?duì)稱中心，結(jié)合題設(shè)中心“拐點(diǎn)”的定義可知，且，解得，A錯(cuò)誤；，則，令，得；令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為，B正確；令，解得或3，函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，由圖1可知，的取值范圍為正確；設(shè)切點(diǎn)為，由，得切線的斜率為，所以切線方程為，即.因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，所以，整理得.由題意可知關(guān)于的方程有3個(gè)不等的根，令，則.令，得；令，得或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，極大值為，所以的大致圖象如圖2所示，由圖象可知當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，過可以作三條直線與圖象相切，D正確.故選BCD.12．【答案】【詳解】易知，解之得或（舍去）.13．【答案】10【詳解】展開式的通項(xiàng)，為了得到常數(shù)項(xiàng)，與相乘的項(xiàng)需滿足，即，與1相乘的項(xiàng)需滿足，即，因此常數(shù)項(xiàng)為.14．【答案】【詳解】令，因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，又，所以，因此不等式等價(jià)于，所以，解得，即不等式的解集為.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由可得.所以.（2）法一：求導(dǎo)得，令，則，所以單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在處取極小值，也是最小值，即，解得.法二：因?yàn)椋叶x域?yàn)?，所以是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，所以所以在單調(diào)遞增，根據(jù)是偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，所以在處取最小值，故，解得.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）記隨機(jī)抽取甲乙丙三家企業(yè)的一件產(chǎn)品，產(chǎn)品合格分別為事件，，，則三個(gè)事件相互獨(dú)立，恰有兩件產(chǎn)品合格為事件D，則．故從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，則這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率是．（2）記事件B為購買的電器合格，記隨機(jī)買一件產(chǎn)品，買到的產(chǎn)品為甲乙丙三個(gè)品牌分別為事件，，，，，，，，，．故在市場中隨機(jī)購買一臺(tái)電器，買到的是合格品的概率為．17．【答案】（1）720（2）26【詳解】（1）第1次測試的是正品，從件正品中選件，有種選擇.第2次測試找到第一件次品，因?yàn)橛屑纹?，所以?次測試的次品有種選擇.第3次到第5次測試的是正品，從剩下的件正品中選件進(jìn)行排列，有種選擇.第6次測試找到第二件次品，此時(shí)只剩下件次品，所以只有種選擇.根據(jù)排列組合的乘法原理，總的測試情況數(shù)為種.（2）測試次就找到所有次品的情況:第1次測試找到一件次品，有種選擇，第2次測試找到另一件次品，有種選擇，所以這種情況共有種測試情況.

測試次找到所有次品的情況:第1次測試找到一件次品，有種選擇，第2次測試找到一件正品，從件正品中選件，有種選擇，第3次測試找到另一件次品，有種選擇，這種情況共有種測試情況.第1次測試找到一件正品，從件正品中選件，有種選擇，第2次測試找到一件次品，有種選擇，第3次測試找到另一件次品，有種選擇，這種情況共有種測試情況.

根據(jù)加法原理，至多測試次就能找到所有次品的測試情況數(shù)為種.18．【答案】（1）（2）18人（3）分布列見解析，1【詳解】（1）由題意得；（2）由（1）得，則，所以，故估計(jì)得分超過95.8分的居民約有18人.（3）用頻率估計(jì)概率，從該小區(qū)任選1名居民，該居民得分超過80分的概率為.所以該小區(qū)任選2名居民互不影響，該問題可看作二項(xiàng)分布.故得分超過80分的居民人數(shù)可能的取值為，且，所以，所以，所以的分布列為012.19．【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，