黑龍江省齊齊哈爾市聯(lián)誼校2024?2025學年高二下學期4月期中考試數(shù)學試題一、單選題1．某同學從2個田徑項目和4個球類項目中各選1個項目參加，則不同的選擇方案共有（

）A．6種 B．8種 C．12種 D．16種2．一質(zhì)點做直線運動，其運動的位移（單位：）與時間（單位：）的關系為，則時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．3．若的展開式中二項式系數(shù)和為128，則（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．25．某品牌飲料正在進行有獎促銷活動，一盒5瓶裝的飲料中有2瓶有獎，消費者從中隨機取出2瓶，記為其中有獎的瓶數(shù)，則（

）A． B． C． D．16．設函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．7．安排甲、乙、丙、丁4位老師到三所學校工作，要求每所學校都有人去，每人只能去一所學校，則甲不去學校、乙不去學校工作的分配方案數(shù)為（

）A．12 B．17 C．18 D．208．質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù)．數(shù)學上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我們在不超過32的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件“這兩個數(shù)都是素數(shù)”，事件“這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)”，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．關于的展開式，下列說法正確的是（

）A．展開式共6項 B．各項系數(shù)之和為1C．不含常數(shù)項 D．系數(shù)最大項是10．設離散型隨機變量的分布列為：012340.40.10.20.2若離散型隨機變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B．C． D．11．設是的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù).若方程有實數(shù)解，且在的左、右附近，異號，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的是（

）A．B．的極小值為C．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍為D．若過點可以作三條直線與的圖象相切，則的取值范圍為三、填空題12．已知隨機變量服從兩點分布，且，則.13．的展開式中的常數(shù)項為.（請用數(shù)字作答）14．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，若，且，則不等式的解集為.四、解答題15．已知函數(shù)是的導函數(shù).（1）求的值；（2）若的最小值為，求的值.16．已知某電器市場由甲、乙、丙三家企業(yè)占有，其中甲廠產(chǎn)品的市場占有率為40％，乙廠產(chǎn)品的市場占有率為36％，丙廠產(chǎn)品的市場占有率為24％，甲、乙、丙三廠產(chǎn)品的合格率分別為，，．（1）現(xiàn)從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，求這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率；（2）現(xiàn)從市場中隨機購買一臺該電器，則買到的是合格品的概率為多少？17．已知8件不同的產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)對這8件產(chǎn)品一一進行測試，直至找到所有次品．（1）若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第6次測試時，找到第二件次品，則共有多少種不同的測試情況？（2）若至多測試3次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？18．2024年，全國政協(xié)十四屆二次會議于3月4日下午3時在北京開幕，3月10日上午閉幕，會期6天；十四屆全國人大二次會議于3月5日上午開幕，11日下午閉幕，會期7天.為調(diào)查居民對兩會相關知識的了解情況，某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動的800名居民的得分（滿分100分）進行了統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這800名居民得分的平均值；（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值作代表）（2）結(jié)合頻率分布直方圖，近似認為參與活動的小區(qū)居民的得分服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，試估計得分超過95.8分的居民人數(shù)（結(jié)果精確到個位）；（3）用頻率估計概率，任選2名參加活動的居民，設為得分超過80分的居民人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則.19．已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）求證：.

參考答案1．【答案】B【詳解】不同的選擇方案共有種.故選B2．【答案】B【詳解】因為，則，所以當時，.故選B.3．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，，所以.故選D.4．【答案】A【詳解】求導得;，令，得，解得.故選A.5．【答案】C【詳解】依題意，X的可能值為，則，因此.故選C6．【答案】A【詳解】由的圖象可知，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，則，故排除C，D；當時，先遞增，再遞減最后遞增，所以所對應的導數(shù)值應該先大于0，再小于0，最后大于0，排除B.故選:A.7．【答案】B【詳解】第一類：甲、乙分在一組就只能去學校，則分配方案有：；第二類：甲、乙沒分在一組，則有種分組方法，有甲的那組去學校，此時根據(jù)分組分配方案有：種；有甲的那組去學校，則有乙的那組只能去學校，此時根據(jù)分組分配方案只有：種；綜上可得：根據(jù)分類加法原理總的分配方案共有種，故選B.8．【答案】A【分析】運用條件概率公式，結(jié)合列舉法求解即可.【詳解】不超過32的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11個，孿生素數(shù)有3和5，5和7，11和13，17和29，29和31，共5種情況，所以，，所以．故選A.9．【答案】BCD【詳解】對于A項，因為，所以展開式共7項，故A項錯誤；對于B項，令，得各項系數(shù)之和為，故B項正確；對于C項，展開式的通項公式為，，令，得顯然取不到，則不含常數(shù)項，故C項正確；對于D項，設第項的系數(shù)最大，則，解得，則，得系數(shù)最大項為：，故D項正確，故選BCD10．【答案】AB【詳解】由，解得.1，故A正確；，，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選AB.11．【答案】BCD【詳解】由，得，則，因為是對稱中心，結(jié)合題設中心“拐點”的定義可知，且，解得，A錯誤；，則，令，得；令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為，B正確；令，解得或3，函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，由圖1可知，的取值范圍為正確；設切點為，由，得切線的斜率為，所以切線方程為，即.因為切線經(jīng)過點，所以，整理得.由題意可知關于的方程有3個不等的根，令，則.令，得；令，得或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，極大值為，所以的大致圖象如圖2所示，由圖象可知當時，直線與的圖象有3個交點，即當時，過可以作三條直線與圖象相切，D正確.故選BCD.12．【答案】【詳解】易知，解之得或（舍去）.13．【答案】10【詳解】展開式的通項，為了得到常數(shù)項，與相乘的項需滿足，即，與1相乘的項需滿足，即，因此常數(shù)項為.14．【答案】【詳解】令，因為，所以，即在上單調(diào)遞增，又，所以，因此不等式等價于，所以，解得，即不等式的解集為.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由可得.所以.（2）法一：求導得，令，則，所以單調(diào)遞增，且，所以當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以在處取極小值，也是最小值，即，解得.法二：因為，且定義域為，所以是偶函數(shù)，當時，，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，所以所以在單調(diào)遞增，根據(jù)是偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，所以在處取最小值，故，解得.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）記隨機抽取甲乙丙三家企業(yè)的一件產(chǎn)品，產(chǎn)品合格分別為事件，，，則三個事件相互獨立，恰有兩件產(chǎn)品合格為事件D，則．故從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，則這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率是．（2）記事件B為購買的電器合格，記隨機買一件產(chǎn)品，買到的產(chǎn)品為甲乙丙三個品牌分別為事件，，，，，，，，，．故在市場中隨機購買一臺電器，買到的是合格品的概率為．17．【答案】（1）720（2）26【詳解】（1）第1次測試的是正品，從件正品中選件，有種選擇.第2次測試找到第一件次品，因為有件次品，所以第2次測試的次品有種選擇.第3次到第5次測試的是正品，從剩下的件正品中選件進行排列，有種選擇.第6次測試找到第二件次品，此時只剩下件次品，所以只有種選擇.根據(jù)排列組合的乘法原理，總的測試情況數(shù)為種.（2）測試次就找到所有次品的情況:第1次測試找到一件次品，有種選擇，第2次測試找到另一件次品，有種選擇，所以這種情況共有種測試情況.

測試次找到所有次品的情況:第1次測試找到一件次品，有種選擇，第2次測試找到一件正品，從件正品中選件，有種選擇，第3次測試找到另一件次品，有種選擇，這種情況共有種測試情況.第1次測試找到一件正品，從件正品中選件，有種選擇，第2次測試找到一件次品，有種選擇，第3次測試找到另一件次品，有種選擇，這種情況共有種測試情況.

根據(jù)加法原理，至多測試次就能找到所有次品的測試情況數(shù)為種.18．【答案】（1）（2）18人（3）分布列見解析，1【詳解】（1）由題意得；（2）由（1）得，則，所以，故估計得分超過95.8分的居民約有18人.（3）用頻率估計概率，從該小區(qū)任選1名居民，該居民得分超過80分的概率為.所以該小區(qū)任選2名居民互不影響，該問題可看作二項分布.故得分超過80分的居民人數(shù)可能的取值為，且，所以，所以，所以的分布列為012.19．【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【詳解】（1）當時，，，