第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年山西省太原市中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．（3分）通達(dá)橋位于汾河之上，主橋面中心標(biāo)志高于基準(zhǔn)面787.5米，主墩樁基礎(chǔ)低于基準(zhǔn)面52米．若高于基準(zhǔn)面787.5米記作+787.5米（）A．+52米 B．﹣52米 C．+787.5米 D．﹣787.5米2．（3分）我國(guó)青少年科普已從“知識(shí)普及”向“創(chuàng)新能力培養(yǎng)”轉(zhuǎn)型．下面有關(guān)科普的圖標(biāo)，其文字上方的圖案既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．科普基地 B．全國(guó)青少年科學(xué)節(jié) C．全國(guó)科普日 D．全國(guó)青少年科學(xué)創(chuàng)作活動(dòng)3．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）今年以來(lái)，水利部聚焦國(guó)家水網(wǎng)建設(shè)，第一季度新開(kāi)工的重大項(xiàng)目（）A．437.3×108 B．43.73×1010 C．4.373×1011 D．4.373×10105．（3分）2025年1月15日，中國(guó)郵政發(fā)行《中國(guó)核工業(yè)創(chuàng)建七十周年》紀(jì)念郵票1套3枚，郵票圖案名稱(chēng)分別為“核鑄利器”“核能先鋒”“核惠民生”．將3枚郵票背面朝上放置桌面（郵柔背面光全相同），不放回，再隨機(jī)抽取1枚（）A． B． C． D．6．（3分）如圖是一塊太陽(yáng)能電池板，其表層是用于減少反射的光伏玻璃，太陽(yáng)光線AB射向光伏玻璃，反射光線為BC，折射光線BD在太陽(yáng)能電池板表面的點(diǎn)D處發(fā)生反射現(xiàn)象，形成光線EF．已知BC∥EF，MN∥PQ．若∠FEN＝61°，則∠CBD的度數(shù)為（）A．72° B．108° C．119° D．133°7．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．168．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，其中A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，AB＝4，AC＝8（）A． B． C． D．49．（3分）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，書(shū)中記載了這樣一個(gè)題目：今有木，不知長(zhǎng)短，余繩四尺五寸；屈繩量之，木長(zhǎng)幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺，長(zhǎng)木還剩余1尺，問(wèn)長(zhǎng)木長(zhǎng)多少尺？這個(gè)問(wèn)題可用方程，則方程中的x表示（）A．長(zhǎng)木的長(zhǎng) B．長(zhǎng)木一半的長(zhǎng) C．繩子的長(zhǎng) D．繩子對(duì)折后的長(zhǎng)10．（3分）如圖，線段AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，BC，以點(diǎn)C為圓心，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）A．2π+8 B．2π+4 C． D．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）將答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置．11．（3分）計(jì)算：（a+3）（a﹣3）的結(jié)果是．12．（3分）2025年4月在北京亦莊，全球首場(chǎng)人形機(jī)器人半程馬拉松震撼上演．如圖是本次馬拉松的宣傳LOGO，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，﹣1），（1，﹣2），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．13．（3分）中國(guó)宴席中的擺盤(pán)藝術(shù)體現(xiàn)傳統(tǒng)美學(xué)原則，如圖1，將六個(gè)全等的正五邊形陶瓷盤(pán)按照如圖1的方式擺放，具有美好的寓意，若將其抽象成如圖2的圖形°．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)（3，﹣2），則△ABC的面積為．15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)且CD＝2BD，連接AD，分別交線段AB，AD，F(xiàn)，G．則線段FG的長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算步驟）16．（10分）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)．17．（7分）如圖1，是一張矩形紙片ABCD，沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊該紙片，展開(kāi)后折痕交邊BC于點(diǎn)E，連接EF．（1）判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）在圖1中，作∠AEC的平分線交AD于點(diǎn)G，得到圖2．若AB＝3，則線段DG的長(zhǎng)為．18．（9分）2025年4月15日是第十個(gè)全民國(guó)家安全教育日，學(xué)校組織“國(guó)家安全?青春挺膺”主題演講比賽，引導(dǎo)青年學(xué)生提升國(guó)家安全意識(shí)和素養(yǎng)，初賽有20名選手參加，組委會(huì)對(duì)兩個(gè)階段的選手成績(jī)進(jìn)行整理信息1：20名選手初賽成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分成5組：70≤x＜75，75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95）：信息2：初賽成績(jī)?cè)诘谌M（80≤x＜85）的選手成績(jī)?nèi)缦拢?380818184818181．信息3：決賽過(guò)程中，由5位教師評(píng)委給每位選手打分（百分制），總分排名前3名選手的成績(jī)?nèi)绫恚哼x手得分平均數(shù)方差評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5甲939092939292乙919292929291.80.16丙90949094923.2根據(jù)上述信息回答下列問(wèn)題：（1）初賽20名選手成績(jī)的中位數(shù)為分；（2）組委會(huì)規(guī)定初賽選手中成績(jī)靠前的一半選手進(jìn)入決賽，若選手成績(jī)并列且不能確定其是否進(jìn)入決賽時(shí)，組委會(huì)對(duì)其加試一題，小文的成績(jī)?yōu)?1分，小穎的成績(jī)?yōu)?5分；（3）決賽的排名規(guī)則是：計(jì)算5位教師評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)和方差，平均數(shù)較大的選手排名靠前；若平均數(shù)相同，給甲、乙、丙三位選手排出名次，并說(shuō)明理由．19．（9分）“太空育種”是種子被宇航員帶入太空，經(jīng)歷一段太空環(huán)境后，再返回地球進(jìn)行培育的育種方法，經(jīng)太空育種后的鮮花花期更長(zhǎng)、花朵更鮮艷、價(jià)格也較高，我國(guó)培育成功的太空育種鮮花“延丹1號(hào)”山丹丹單價(jià)為29元/盆（1）為美化環(huán)境，公園計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)這兩種太空育種鮮花共200盆，若購(gòu)買(mǎi)這兩種鮮花的總價(jià)為9300元；（2）若公園購(gòu)買(mǎi)這兩種太空育種鮮花的預(yù)算資金只有8000元，所需購(gòu)買(mǎi)兩種鮮花的總數(shù)仍為200盆，則最多可購(gòu)買(mǎi)“太空玫瑰”多少盆？20．（7分）綜合與實(shí)踐隨著學(xué)校對(duì)高效、智能、綠色的教學(xué)環(huán)境構(gòu)建需求的日益增長(zhǎng)，LED顯示屏逐漸以其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)點(diǎn)亮校園的多個(gè)角落．在學(xué)校改造升級(jí)工程中，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)新安裝了一塊大型LED顯示屏．如圖，MN表示水平地面，AB⊥MN于點(diǎn)C，測(cè)量方案及相關(guān)數(shù)據(jù)如下：第一步：在操場(chǎng)地面上的點(diǎn)D處，用測(cè)角儀測(cè)得LED顯示屏的底部點(diǎn)B的仰角∠BDC＝24°；第二步：沿DC方向走到點(diǎn)E處，用測(cè)角儀測(cè)得顯示屏的頂部點(diǎn)A的仰角∠AEC＝58°；第三步：用皮尺測(cè)得DE＝2米，點(diǎn)E到AB正下方點(diǎn)C之間的距離即CE＝4.2米．（圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)）根據(jù)上述測(cè)量方案和數(shù)據(jù)計(jì)算LED顯示屏的寬AB．（結(jié)果精到0.1米，參考數(shù)據(jù)sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）21．（7分）閱讀與思考請(qǐng)仔細(xì)閱讀下面的材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．點(diǎn)和直線的等距圓在學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)知識(shí)后，老師給出了“等距圓”的定義：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)且和這條直線相切的圓稱(chēng)為該點(diǎn)和這條直線關(guān)于切點(diǎn)的等距圓．概念理解：如圖1，已知點(diǎn)B是直線l外一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則⊙O為點(diǎn)B和直線l關(guān)于點(diǎn)A的等距圓．對(duì)等距圓圓心的位置分析如下：在圖1的基礎(chǔ)上連接OA，OB，得到圖2．∵⊙O為點(diǎn)B和直線l關(guān)于點(diǎn)A的等距圓，∴⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，∴①，∴點(diǎn)O在過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線上，∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴OA＝OB，∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上．（依據(jù)：②）任務(wù)：（1）分析論證：補(bǔ)全上述分析過(guò)程中空缺的部分：①；②；（2）問(wèn)題解決：如圖3，已知直線m上一點(diǎn)C和直線m外一點(diǎn)D，求作：點(diǎn)D和直線m關(guān)于點(diǎn)C的等距圓⊙O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（3）聯(lián)系拓廣：如圖4，已知直線l和直線l外一點(diǎn)E，EF⊥l于點(diǎn)F①求作⊙P和直線l上一點(diǎn)M，使⊙P是點(diǎn)E和直線l關(guān)于點(diǎn)M的等距圓，點(diǎn)M在點(diǎn)F左側(cè)（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）②若⊙Q是點(diǎn)E和直線l關(guān)于直線l上另一點(diǎn)N的等距圓，點(diǎn)N在點(diǎn)F右側(cè)，且⊙Q的半徑為3d．22．（13分）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景：小吊瓜又叫禮品瓜，采用“吊掛”“嫁接”等技術(shù)，瓜蔓向上生長(zhǎng)，因其玲瓏的外觀，甜美的口感成為水果市場(chǎng)新寵．研學(xué)小組的同學(xué)走進(jìn)某種植基地，B兩個(gè)品種小吊瓜前15天的銷(xiāo)售情況進(jìn)行調(diào)查．?dāng)?shù)據(jù)收集：信息1：A品種小吊瓜第x天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y（元）與x的函數(shù)關(guān)系可近似地用如圖坐標(biāo)系中的拋物線刻畫(huà)，該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，2000）（12，2640），其中1≤x≤15且x為整數(shù)．信息2：B品種小吊瓜每千克的銷(xiāo)售成本為2元．信息3：B品種小吊瓜的銷(xiāo)售單價(jià)及銷(xiāo)售量與上市時(shí)間的關(guān)系如表：上市時(shí)間第1天第2天第3天第4天第5天…第x天銷(xiāo)售單價(jià)（元/千克）3028262422…32﹣2x銷(xiāo)售量（千克）708090100110…（注：其中1≤x≤15且x為整數(shù)）．建立模型：（1）求A品種小吊瓜第x天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）按照信息3表格呈現(xiàn)的規(guī)律，B品種小吊瓜第x天的銷(xiāo)售量用含x的代數(shù)式表示為千克；B品種小吊瓜第x天的銷(xiāo)售利潤(rùn)z（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；問(wèn)題解決：（3）①求上市第幾天時(shí)，A，B兩種小吊瓜當(dāng)天的銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？②當(dāng)A，B兩種小吊瓜日銷(xiāo)售利潤(rùn)都隨天數(shù)x的增大而增大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的上市時(shí)間（第x天）

2025年山西省太原市中考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案BACD．ADCBCD一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．（3分）通達(dá)橋位于汾河之上，主橋面中心標(biāo)志高于基準(zhǔn)面787.5米，主墩樁基礎(chǔ)低于基準(zhǔn)面52米．若高于基準(zhǔn)面787.5米記作+787.5米（）A．+52米 B．﹣52米 C．+787.5米 D．﹣787.5米【解答】解：高于基準(zhǔn)面787.5米記作+787.5米，則低于基準(zhǔn)面52米記作﹣52米，故選：B．2．（3分）我國(guó)青少年科普已從“知識(shí)普及”向“創(chuàng)新能力培養(yǎng)”轉(zhuǎn)型．下面有關(guān)科普的圖標(biāo)，其文字上方的圖案既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．科普基地 B．全國(guó)青少年科學(xué)節(jié) C．全國(guó)科普日 D．全國(guó)青少年科學(xué)創(chuàng)作活動(dòng)【解答】解：A．圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；B．圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；C．圖形既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；D．圖形既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意．故選：A．3．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：+＝+2，故A錯(cuò)誤；﹣＝2﹣＝，不符合題意；×2＝8，符合題意；÷＝，故D錯(cuò)誤；故選：C．4．（3分）今年以來(lái)，水利部聚焦國(guó)家水網(wǎng)建設(shè)，第一季度新開(kāi)工的重大項(xiàng)目（）A．437.3×108 B．43.73×1010 C．4.373×1011 D．4.373×1010【解答】解：437.3億＝43730000000＝4.373×1010．故選：D．5．（3分）2025年1月15日，中國(guó)郵政發(fā)行《中國(guó)核工業(yè)創(chuàng)建七十周年》紀(jì)念郵票1套3枚，郵票圖案名稱(chēng)分別為“核鑄利器”“核能先鋒”“核惠民生”．將3枚郵票背面朝上放置桌面（郵柔背面光全相同），不放回，再隨機(jī)抽取1枚（）A． B． C． D．【解答】解：將這3枚郵票分別記為A，B，C，列表如下：ABCA（A，B）（A，C）B（B，A）（B，C）C（C，A）（C，B）共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次抽到的郵票中恰好有7枚是“核鑄利器”的結(jié)果有：（A，（A，（B，（C，共4種，∴兩次抽到的郵票中恰好有1枚是“核鑄利器”的概率為．故選：A．6．（3分）如圖是一塊太陽(yáng)能電池板，其表層是用于減少反射的光伏玻璃，太陽(yáng)光線AB射向光伏玻璃，反射光線為BC，折射光線BD在太陽(yáng)能電池板表面的點(diǎn)D處發(fā)生反射現(xiàn)象，形成光線EF．已知BC∥EF，MN∥PQ．若∠FEN＝61°，則∠CBD的度數(shù)為（）A．72° B．108° C．119° D．133°【解答】解：∵BC∥EF，MN∥PQ，∠BDP＝72°，∴∠CBE＝∠FEN＝61°，∠DBE＝∠BDP＝72°，∴∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝133°，故選：D．7．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝6有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝（﹣4）2﹣3c＝0，解得c＝4．故選：C．8．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，其中A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，AB＝4，AC＝8（）A． B． C． D．4【解答】解：如圖，連接AD，∵AB＝4，AC＝8，∴BC＝＝4，∵將△ABC沿BC的方向平移得到△DEF，∴AB＝DE且AB∥DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD＝BE，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AD＝BE＝，故選：B．9．（3分）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，書(shū)中記載了這樣一個(gè)題目：今有木，不知長(zhǎng)短，余繩四尺五寸；屈繩量之，木長(zhǎng)幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺，長(zhǎng)木還剩余1尺，問(wèn)長(zhǎng)木長(zhǎng)多少尺？這個(gè)問(wèn)題可用方程，則方程中的x表示（）A．長(zhǎng)木的長(zhǎng) B．長(zhǎng)木一半的長(zhǎng) C．繩子的長(zhǎng) D．繩子對(duì)折后的長(zhǎng)【解答】解：若x表示長(zhǎng)木的長(zhǎng)，則繩子的長(zhǎng)為（x+4.5）尺，根據(jù)題意，得x﹣，經(jīng)整理，得x﹣2.25﹣，∴方程中的x不表示長(zhǎng)木的長(zhǎng)，∴A不符合題意；若x表示長(zhǎng)木一半的長(zhǎng)，則繩子的長(zhǎng)為（2x+4.5）尺，根據(jù)題意，得2x﹣，經(jīng)整理，得2x﹣6.25﹣x＝1，∴方程中的x不表示長(zhǎng)木一半的長(zhǎng)，∴B不符合題意；若x表示繩子的長(zhǎng)，則長(zhǎng)木的長(zhǎng)為（x﹣4.3）尺，根據(jù)題意，得x﹣4.5﹣，∴方程中的x表示繩子的長(zhǎng)，∴C符合題意；若x表示繩子對(duì)折后的長(zhǎng)，則長(zhǎng)木的長(zhǎng)為（2x﹣3.5）尺，根據(jù)題意，得2x﹣7.5﹣x＝1，∴方程中x不表示繩子對(duì)折后的長(zhǎng)，∴D不符合題意．故選：C．10．（3分）如圖，線段AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，BC，以點(diǎn)C為圓心，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）A．2π+8 B．2π+4 C． D．【解答】解：由題知，∵以點(diǎn)C為圓心的圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B，∴CA＝CB．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∵⊙O的半徑為2，∴AB＝4，∴AC＝BC＝，∴陰影部分的周長(zhǎng)為：＝．故選：D．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）將答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置．11．（3分）計(jì)算：（a+3）（a﹣3）的結(jié)果是a2﹣9．【解答】解：（a+3）（a﹣3）＝a3﹣32＝a3﹣9．故答案為：a2﹣8．12．（3分）2025年4月在北京亦莊，全球首場(chǎng)人形機(jī)器人半程馬拉松震撼上演．如圖是本次馬拉松的宣傳LOGO，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，﹣1），（1，﹣2），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．【解答】解：如圖，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），故答案為：（6，0）．13．（3分）中國(guó)宴席中的擺盤(pán)藝術(shù)體現(xiàn)傳統(tǒng)美學(xué)原則，如圖1，將六個(gè)全等的正五邊形陶瓷盤(pán)按照如圖1的方式擺放，具有美好的寓意，若將其抽象成如圖2的圖形36°．【解答】解：∵正五邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為×（5﹣2）×180°＝108°，∴∠1＝360°﹣8×108°＝36°．故答案為：36．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)（3，﹣2），則△ABC的面積為48．【解答】解：∵反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，∴D（﹣3，3），設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴B（﹣9，6），∴BC＝3+2＝8，AC＝4+3＝12，∴S△ABC＝AC?BC＝．故答案為：48．15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)且CD＝2BD，連接AD，分別交線段AB，AD，F(xiàn)，G．則線段FG的長(zhǎng)為．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接DG，過(guò)點(diǎn)F作FP∥BC，F(xiàn)P的延長(zhǎng)線交MG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q 在△ABC中，AB＝AC＝10，∴BH＝CH＝BC＝2，在Rt△ACH中，由勾股定理得：AH＝＝，∴sinC＝＝＝，cosC＝＝＝，∵CD＝2BD，∴BC＝BD+CD＝7BD＝12，∴BD＝4，∴CD＝2BD＝8，設(shè)GC＝a，則AG＝AC﹣GC＝10﹣a，∵EG是線段AD的垂直平分線，∴AF＝DF，DG＝AG＝10﹣a，∵FP∥BC，∴FP是△ADC的中位線，∴FP＝CD＝6，AP＝PC＝，在Rt△GCM中，sinC＝＝＝，∴GM＝GC＝GC＝，∴DM＝CD﹣CM＝，在Rt△GDM中，由勾股定理得：DG7＝GM2+DM2，∴，解得：a＝，∴AG＝10﹣a＝，∴PG＝AG﹣AP＝＝，∵FP∥BC，GM⊥BC，∴∠GPQ＝∠C，GM⊥FP，∴sin∠GPQ＝，cos∠GPQ＝，在Rt△GPQ中，sin∠GPQ＝＝＝，∴GQ＝PG＝＝PG＝＝，∴FQ＝FP+FQ＝＝，在Rt△FQG中，由勾股定理得：FG＝＝＝．故答案為：．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算步驟）16．（10分）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)．【解答】解：（1）原式＝﹣6﹣（﹣3）+4＝﹣6+3+2＝5；（2）原式＝?＝?＝．17．（7分）如圖1，是一張矩形紙片ABCD，沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊該紙片，展開(kāi)后折痕交邊BC于點(diǎn)E，連接EF．（1）判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）在圖1中，作∠AEC的平分線交AD于點(diǎn)G，得到圖2．若AB＝3，則線段DG的長(zhǎng)為5﹣3．【解答】解：（1）四邊形ABEF是正方形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAF＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE＝，∴∠BEA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴AB＝BE，∴AB＝BE＝FE＝AF，∴四邊形ABEF是菱形，又∵∠B＝90°，∴四邊形ABEF是正方形；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)G分別作GM⊥EC于點(diǎn)M，∵EG平分∠AEC，∴GM＝GN，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝2，又∵GM⊥EC，∴四邊形CDGM是矩形，∴GM＝CD＝3，BC＝AD＝5，∴GN＝8，∵四邊形ABEF是正方形，∴AB＝BE＝EF＝3，∠AFE＝90°，∵∠B＝90°，∴AE＝＝3，∵S△AEG＝AE?GN＝，∴AG＝＝＝3，∴DG＝AD﹣AG＝5﹣3，故答案為：5﹣3．18．（9分）2025年4月15日是第十個(gè)全民國(guó)家安全教育日，學(xué)校組織“國(guó)家安全?青春挺膺”主題演講比賽，引導(dǎo)青年學(xué)生提升國(guó)家安全意識(shí)和素養(yǎng)，初賽有20名選手參加，組委會(huì)對(duì)兩個(gè)階段的選手成績(jī)進(jìn)行整理信息1：20名選手初賽成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分成5組：70≤x＜75，75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95）：信息2：初賽成績(jī)?cè)诘谌M（80≤x＜85）的選手成績(jī)?nèi)缦拢?380818184818181．信息3：決賽過(guò)程中，由5位教師評(píng)委給每位選手打分（百分制），總分排名前3名選手的成績(jī)?nèi)绫恚哼x手得分平均數(shù)方差評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5甲939092939292乙919292929291.80.16丙90949094923.2根據(jù)上述信息回答下列問(wèn)題：（1）初賽20名選手成績(jī)的中位數(shù)為81分；（2）組委會(huì)規(guī)定初賽選手中成績(jī)靠前的一半選手進(jìn)入決賽，若選手成績(jī)并列且不能確定其是否進(jìn)入決賽時(shí)，組委會(huì)對(duì)其加試一題，小文的成績(jī)?yōu)?1分，小穎的成績(jī)?yōu)?5分；（3）決賽的排名規(guī)則是：計(jì)算5位教師評(píng)委評(píng)分的平均數(shù)和方差，平均數(shù)較大的選手排名靠前；若平均數(shù)相同，給甲、乙、丙三位選手排出名次，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）初賽20名選手成績(jī)中第一組有3人，第二組有4人，初賽成績(jī)?cè)诘谌M（80≤x＜85）的選手成績(jī)從小到大排列為：80，81，81，81，84，第10和11個(gè)數(shù)據(jù)是第三組的第5個(gè)和第4個(gè)數(shù)據(jù)，即81，∴初賽20名選手成績(jī)的中位數(shù)為＝81，故答案為：81；（2）因?yàn)槌踬?0名選手成績(jī)的中位數(shù)為81，組委會(huì)對(duì)其加試一題，加試前，而81分的同學(xué)有6名，小穎的成績(jī)?yōu)?5分，大于中位數(shù)，∴小文不一定進(jìn)入決賽，小穎一定能進(jìn)入決賽；（3）甲的方差為[（93﹣92）8×2+（92﹣92）2×3+（90﹣92）2]＝1.3，丙的平均數(shù)為（90×8+94×2+92）＝92，甲的方差為1.7，丙的平均數(shù)為92，甲的方差較小，∴第一名為甲，第二名為丙．19．（9分）“太空育種”是種子被宇航員帶入太空，經(jīng)歷一段太空環(huán)境后，再返回地球進(jìn)行培育的育種方法，經(jīng)太空育種后的鮮花花期更長(zhǎng)、花朵更鮮艷、價(jià)格也較高，我國(guó)培育成功的太空育種鮮花“延丹1號(hào)”山丹丹單價(jià)為29元/盆（1）為美化環(huán)境，公園計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)這兩種太空育種鮮花共200盆，若購(gòu)買(mǎi)這兩種鮮花的總價(jià)為9300元；（2）若公園購(gòu)買(mǎi)這兩種太空育種鮮花的預(yù)算資金只有8000元，所需購(gòu)買(mǎi)兩種鮮花的總數(shù)仍為200盆，則最多可購(gòu)買(mǎi)“太空玫瑰”多少盆？【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)x盆“延丹1號(hào)”山丹丹，則購(gòu)買(mǎi)（200﹣x）盆“太空玫魂”，根據(jù)題意得：29x+99（200﹣x）＝9300，解得：x＝150，∴200﹣x＝200﹣150＝50（盆）．答：購(gòu)買(mǎi)150盆“延丹1號(hào)”山丹丹，50盆“太空玫魂”；（2）設(shè)可購(gòu)買(mǎi)y盆“太空玫瑰”，則購(gòu)買(mǎi)（200﹣y）盆“延丹4號(hào)”山丹丹，根據(jù)題意得：29（200﹣y）+99y≤8000，解得：y≤，又∵y為正整數(shù)，∴y的最大值為31．答：最多可購(gòu)買(mǎi)“太空玫瑰”31盆．20．（7分）綜合與實(shí)踐隨著學(xué)校對(duì)高效、智能、綠色的教學(xué)環(huán)境構(gòu)建需求的日益增長(zhǎng)，LED顯示屏逐漸以其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)點(diǎn)亮校園的多個(gè)角落．在學(xué)校改造升級(jí)工程中，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)新安裝了一塊大型LED顯示屏．如圖，MN表示水平地面，AB⊥MN于點(diǎn)C，測(cè)量方案及相關(guān)數(shù)據(jù)如下：第一步：在操場(chǎng)地面上的點(diǎn)D處，用測(cè)角儀測(cè)得LED顯示屏的底部點(diǎn)B的仰角∠BDC＝24°；第二步：沿DC方向走到點(diǎn)E處，用測(cè)角儀測(cè)得顯示屏的頂部點(diǎn)A的仰角∠AEC＝58°；第三步：用皮尺測(cè)得DE＝2米，點(diǎn)E到AB正下方點(diǎn)C之間的距離即CE＝4.2米．（圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)）根據(jù)上述測(cè)量方案和數(shù)據(jù)計(jì)算LED顯示屏的寬AB．（結(jié)果精到0.1米，參考數(shù)據(jù)sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【解答】解：∵DE＝2米，CE＝4.2米，∴CD＝DE+CE＝6.2（米）．在Rt△DBC中，∵tan∠BDC＝，∴BC＝tan∠BDC?DC＝tan24°?8.2≈0.45×3.2＝2.79（米）．在Rt△AEC中，∵tan∠AEC＝，∴AC＝tan∠AEC?CE＝tan58°?5.2≈1.2×4.2＝7.72（米）．∴AB＝AC﹣BC＝6.72﹣2.79＝4.93≈3.9（米）．答：LED顯示屏的寬AB約為8.9米．21．（7分）閱讀與思考請(qǐng)仔細(xì)閱讀下面的材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．點(diǎn)和直線的等距圓在學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)知識(shí)后，老師給出了“等距圓”的定義：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)且和這條直線相切的圓稱(chēng)為該點(diǎn)和這條直線關(guān)于切點(diǎn)的等距圓．概念理解：如圖1，已知點(diǎn)B是直線l外一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則⊙O為點(diǎn)B和直線l關(guān)于點(diǎn)A的等距圓．對(duì)等距圓圓心的位置分析如下：在圖1的基礎(chǔ)上連接OA，OB，得到圖2．∵⊙O為點(diǎn)B和直線l關(guān)于點(diǎn)A的等距圓，∴⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，∴①OA⊥l，∴點(diǎn)O在過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線上，∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴OA＝OB，∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上．（依據(jù)：②到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）任務(wù)：（1）分析論證：補(bǔ)全上述分析過(guò)程中空缺的部分：①OA⊥l；②到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；（2）問(wèn)題解決：如圖3，已知直線m上一點(diǎn)C和直線m外一點(diǎn)D，求作：點(diǎn)D和直線m關(guān)于點(diǎn)C的等距圓⊙O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（3）聯(lián)系拓廣：如圖4，已知直線l和直線l外一點(diǎn)E，EF⊥l于點(diǎn)F①求作⊙P和直線l上一點(diǎn)M，使⊙P是點(diǎn)E和直線l關(guān)于點(diǎn)M的等距圓，點(diǎn)M在點(diǎn)F左側(cè)（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）②若⊙Q是點(diǎn)E和直線l關(guān)于直線l上另一點(diǎn)N的等距圓，點(diǎn)N在點(diǎn)F右側(cè)，且⊙Q的半徑為3d（+1）d．【解答】解：（1）∵⊙O為點(diǎn)B和直線l關(guān)于點(diǎn)A的等距圓，∴⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，∴①OA⊥l，∴點(diǎn)O在過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線上，∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴OA＝OB，∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上．（依據(jù)：②到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）．故答案為：①OA⊥l；②到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥m，2．連接CD，F(xiàn)G交CE于點(diǎn)O，3．以點(diǎn)O為圓心，如圖，則⊙O為所作的點(diǎn)D和直線m關(guān)于點(diǎn)C的等距圓；（3）①6．過(guò)點(diǎn)E作ED⊥EF，2．以點(diǎn)E為圓心，交直線DE的點(diǎn)E的左側(cè)于點(diǎn)P，3．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥l于點(diǎn)M，8．以點(diǎn)P為圓心，如圖，則⊙P，點(diǎn)M為所求作．②畫(huà)出符合題意的示意圖如下：⊙Q是點(diǎn)E和直線l關(guān)于直線l上另一點(diǎn)N的等距圓，點(diǎn)N在點(diǎn)F右側(cè)，由題意得：QE＝QN＝3d，QN⊥l于點(diǎn)N，PE⊥EF，∵PE＝EF，∴四邊形PEFM為正方形，∴PM＝EF＝MF＝EF＝d，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥QN于點(diǎn)G，∴四邊形EFNG為矩形，∴GN＝EF＝d，EG＝FN．∴QG＝QN﹣GN＝2d，∴FN＝EG＝＝d，∴MN＝MF+FN＝（+1）d．故答案為：（+1）d．22．（13分）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景：小吊瓜又叫禮品瓜，采用“吊掛”“嫁接”等技術(shù)，瓜蔓向上生長(zhǎng)，因其玲瓏的外觀，甜美的口感成為水果市場(chǎng)新寵．研學(xué)小組的同學(xué)走進(jìn)某種植基地，B兩個(gè)品種小吊瓜前15天的銷(xiāo)售情況進(jìn)行調(diào)查．?dāng)?shù)據(jù)收集：信息1：A品種小吊瓜第x天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y（元）與x的函數(shù)關(guān)