2025年春九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《相似三角形綜合解答題》考前沖刺訓(xùn)練(附答案)

1.如圖所示，在RtAABC中，乙B=90°,AB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)尸由點(diǎn)/出發(fā)，沿48邊

以lcm/s的速度向點(diǎn)8移動(dòng)；點(diǎn)0由點(diǎn)2出發(fā)，沿BC邊以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng).如果

點(diǎn)尸，0分別從點(diǎn)3同時(shí)出發(fā)，問:

(1)經(jīng)過幾秒后，APBQ的面積等于8cm2?

⑵經(jīng)過幾秒后，PQ=同cm；

⑶經(jīng)過幾秒后，兩個(gè)三角形相似？

2.己知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=久+3與x軸交于點(diǎn)4,與y軸交于點(diǎn)

點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,0),連接BC.

(1)求△4BC的面積；

(2)如果動(dòng)點(diǎn)。在直線BC上，使得4CB0=NC4D,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶如果動(dòng)點(diǎn)P在直線y=久+3上，且AABC與APOB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

3.如圖，在矩形4BCD中，AB<BC,AB=3,E是射線CD上一點(diǎn)，連接BE,BC沿BE折

疊，點(diǎn)C恰好與射線上的點(diǎn)尸重合.

kjnn

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時(shí).

①若BC=5,貝MF的長為

②若力F-DF=3時(shí)，求EF的長；

⑵作N4BF的平分線交射線。4于點(diǎn)M,當(dāng)BC=3MF時(shí)，求DF的長.

4.如圖，已知△ABC內(nèi)接于。。，AB=AC,過圓心。作。DIAC,交4C于點(diǎn)D,交。。于

點(diǎn)E,射線AE交BC的延長線于點(diǎn)F.

⑴求證：乙ACB=2ZC4F；

(2)若。4=5,AB=6,求EF的長;

⑶若直線。D與直線BC交于點(diǎn)G,且BG=CF,求N4BC的度數(shù).

5.在菱形ABC。中，DE垂直于4B,垂足為E,將三角形4DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到三

角形FDG,點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180°).

國②

(1)如圖①，DF過點(diǎn)B,FG的延長線與邊DC交于點(diǎn)H,

①當(dāng)NF=40。時(shí)，a=.

②求證：DB=DH.

(2)如圖②，旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G在2。的延長線上，邊DF與邊BC交于點(diǎn)M,若4。=5,AE=4,

則的長為.

6.已知，如圖1,在回2BCD中，點(diǎn)E是4B中點(diǎn)，連接OE并延長，交CB的延長線于點(diǎn)足

⑵如圖2,點(diǎn)G是邊BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)G不與點(diǎn)8、C重合)，連接力G交OF于點(diǎn)〃,連接HC,

過點(diǎn)/作4KIIHC,交DF于點(diǎn)K.

①求黨的值.

Ln

②當(dāng)點(diǎn)G是邊BC中點(diǎn)時(shí)，恰有=求〃的值.

7.如圖1,等邊△ABC中，4B=4,點(diǎn)0,E分別是4B,BC邊上一點(diǎn)，且BD=2CE,以DE為

邊在直線8C的同側(cè)作等邊△DEF,分別交AC于點(diǎn)G,H.

⑴求證：&BDES&CEH；

(2)如圖2,^DELAB,求CE的長;

（3）如圖3,連接CF,當(dāng)點(diǎn)。為中點(diǎn)時(shí)，求CF的長.

0D,乙4。。=2乙48c.

(2)如圖2,弦4F交CD于點(diǎn)G,若4F=2CE,求證：AG=DG；

⑶如圖3,在（2）的條件下，延長。。交。。于點(diǎn)“，連接4"交CD于點(diǎn)K,若HK=

V13FG,CK=2,求。。的半徑.

9.【問題背景】（1）如圖1,AB||CD,BC與4D交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。的直線分別與力B,CD交于E,F

兩—r-r；點(diǎn)[―，求[、.、證?。篈-E=-BE

【問題探究】（2）如圖2,點(diǎn)E,尸分另IJ是平行四邊形A8CD邊4。，CD上的點(diǎn)，連接AF,BE交

于點(diǎn)M,連接CM并延長交AD于點(diǎn)N.

①如圖3,若平行四邊形28CD為正方形，E,F分別是邊力的中點(diǎn).求證：CF=2AN；

②如圖2,求證：色=張

圖1圖2圖3

10.在四邊形4BCD中，點(diǎn)E為2B的中點(diǎn)，分別連接CE,DE.

(1)如圖1,若乙A=AB,乙ADE=LBEC.

①求證：AE2=AD-BC；

②若DE平分”DC,求證：AAED=乙DCE；

(2)如圖2,若N/MB+NB=90°,ADEC=90°MD=3,BC=1,求CD的長.

11.如圖拋物線y=32_Ax_4與x軸交于4B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)4,B,C的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)P(1,M),Q(l,機(jī)一2)是兩動(dòng)點(diǎn)，分別連接PC,QB,請(qǐng)求出|PC-QB|的最大

值，并求出小的值；

⑶如圖2,NB4C的角平分線交y軸于點(diǎn)D,過。點(diǎn)的直線2與射線4B,AC分別于E,F,當(dāng)直

線1繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，2+2是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

AEAF

12.綜合與實(shí)踐

【經(jīng)典再現(xiàn)】

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教科書69頁14題：如圖1,四邊形48CD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的

中點(diǎn)，乙4EF=90。且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.求證4E=EF.(提示：取力B的

中點(diǎn)“，連接HE.)

(1)請(qǐng)你思考題中的"提示"，這樣添加輔助線的目的是構(gòu)造出，進(jìn)而得到4E=EF.

【類比探究】

(2)如圖2,四邊形ABCD是矩形，且線=幾，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，^AEF=90°,且￡7咬

BC

矩形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求蕓的值(用含n的式子表示)；

EF

【綜合應(yīng)用】

(3)如圖3,P為邊CD上一點(diǎn)，連接力P,PF,在⑵的基礎(chǔ)上，當(dāng)n=|,^PAE=45°,

PF=V^時(shí)，請(qǐng)直接寫出8C的長.

13.小溢同學(xué)在復(fù)習(xí)圓中的垂徑定理時(shí)，進(jìn)行變式、探究與思考：如圖1,。。的直徑CD垂

直弦AB于點(diǎn)E,且CE=8,DE=2.

(1)復(fù)習(xí)回顧：求的長.

⑵探究拓展：如圖2,連接4C,點(diǎn)G是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接力G,延長CG交4B的延長線于點(diǎn)F.

①當(dāng)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AGAF=ZF；

②如圖3,連接。F,BG,當(dāng)ACDF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BG的長.

14.如圖1,正方形4BCD的邊長為4,點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，在CD邊上

任一點(diǎn)F,連接EF,過點(diǎn)E作EG1EF交AB邊于點(diǎn)G,連接GF.

(1)求證：AGBEs&ECF；

(2)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，

①如圖2,試猜想GB,CF,GF的數(shù)量關(guān)系，并證明結(jié)論.

②如圖3,連接4C交GF于點(diǎn)Q,交EF于點(diǎn)P.當(dāng)A4GQ與△CEP相似，求線段4G的長.

15.已知在。。中，力B是。。的直徑，點(diǎn)8為弧CD中點(diǎn)，連接CD交4B于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：AB1CD；

(2)如圖2,在弧4。上有一點(diǎn)G,連接GC、GA,GC,求證：2/4GC+ADGC=180。；

⑶在(2)的條件下，GC交48于點(diǎn)尸，在弧AC上取一點(diǎn)〃，連接HC、HD,使tan/HDC=：,

當(dāng)EF=EC,CD=8,4G=VIU時(shí)，求線段CH的長.

16.已知四邊形ABCD中，E,尸分別是4B、4D邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G.

⑴如圖1,若四邊形力BCD是矩形，且DE1CF,求證：?=?；

DEAD

(2)如圖2,若四邊形2BCD是平行四邊形，乙48。=60。，Z.EGC=120°,AE=2,AB=

3,AD=6,求CF的長；

⑶如圖3,若NB4D=90。，AB=BC,AD=CD,AD=2AB,DE1CF,求生的值.

DE

17.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，AC為O。的直徑，DE，力C于點(diǎn)產(chǎn)交BC于點(diǎn)E.

(1)設(shè)ADBC=a,試用含a的代數(shù)式表示“DE；

⑵如圖2,若BE=3CE,求處的值；

DE

⑶在(2)的條件下，作EQ1BD交BD于Q,若BC=BD,求出黑的值.

18.如圖①，在正方形4BCD中，點(diǎn)N、M分別在邊BC、CD上，連結(jié)2M、2N、MN,NM4V=45°,

將△AMD繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，得到AZBE.

【實(shí)踐探究】

(1)在圖①條件下，若。M=4,BN=6,則MN的長為.

(2)如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊CD、4B上，且BN=DM,點(diǎn)E、F分別在BM、DN上,NEAF=45°,

連接EF，猜想三條線段EF、BE、。尸之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖③，在矩形4BCD中，AB=6,AD=8,點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連結(jié)

AN,已知NM4N=45。，BN=2,求四邊形4NCM的面積.

19.如圖1,直線y=-刀-3與X、y軸分別相交于4、B兩點(diǎn)，拋物線y=a/-2x+c的圖

象經(jīng)過點(diǎn)B,與x軸交于D、E兩點(diǎn)(點(diǎn)。在點(diǎn)E左側(cè))，且頂點(diǎn)C(l,m)也在直線4B上，P為拋

物線上第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)C重合.

(2)如圖2,連接B。、BE,直線。P與BE相交于點(diǎn)尸，若以E、0、F為頂點(diǎn)的三角形與△48。相

似，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

⑶如圖3,點(diǎn)Q也為拋物線一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M.若CP1CQ,點(diǎn)M是否

是一定點(diǎn)？若是，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

20.【綜合與實(shí)踐】

【問題背景】

在平行四邊形4BCD中，E是CD邊上一點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)尸使得CF=CE,連接OF,延長BE交

DF于點(diǎn)G,

【特例感知】

（1）如圖1,若四邊形2BCD是正方形時(shí)，求證：ABCEmADCF；

【深入探究】

（2）如圖2,若四邊形2BCD是菱形，AB=2,當(dāng)G為DF的中點(diǎn)時(shí)，求CE的長；

【拓展提升】

（3）如圖3,若四邊形A8CD是矩形,4B=3,AD=4,點(diǎn)H在BE的延長線上且滿足BE=5EH,

當(dāng)AEF”是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出CE的長.

BB

（備用圖1）（備用圖2）

參考答案

1.(1)解：設(shè)經(jīng)過x秒后，AP8Q的面積等于8cm2,

由題意得］x2%x(6—%)=8,

0%2—6%+8=0,

解得匕=2,&=4,

答：經(jīng)過2秒或4秒后，APBQ的面積等于8cm2.

(2)解：設(shè)經(jīng)過加秒后，PQ=V53cm,而PB=6—BQ=2m,

團(tuán)(6—m)2+(2m)2=(V53),

整理得：5m2-12m-17=0,

0(m+l)(5m—17)=0,

解得：m=—1(不符合題意舍去)，m=y=3.4,

團(tuán)設(shè)經(jīng)過3.4s秒后，PQ=宿cm,

(3)解：設(shè)經(jīng)過y秒后，ABPQ與ABAC相似，

團(tuán)=乙B,

①當(dāng)霽=震時(shí)，ABPQ^ABAC,

D/iDC

即匕=?，

68

解得y=y;

②當(dāng)案=篙時(shí)，△HPQ?△BC4

DCD/i

即匕="，

86

解得y=

答：經(jīng)過守常秒后，兩個(gè)三角形相似.

2.(1)解：國直線y=x+3與％軸交于點(diǎn)4,與y軸交于點(diǎn)B,

令％=0,則y=3,

團(tuán)8(0,3),

回。8=3,

令y=0,則％=—3,

回同(-3,0),

團(tuán)。Z=3,

團(tuán)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1,0),

團(tuán)。C=1,

團(tuán)4c=。4+。。=4,

[?]△ABC的面積=1AC-OB=1x4x3=6；

(2)解：設(shè)直線的解析式為y=TH%+九,

站(0,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)是。0),

國+H=0，解得｛,二￡3

In=3

回直線BC的解析式為y=-3%+3,

乙CBO=AAD,分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)。在久軸上方時(shí)，如圖1,設(shè)4。與y軸交于點(diǎn)E,由題意得/COB=NEOA=90。,

尸oTcx

圖1

又回。A=OB=3,乙CBO=ACAD,

CBO=△EAO(ASA),

回。E=OC=1,

團(tuán)E(0,l),

設(shè)直線ZE的解析式為y=kx+b,

4-nvr°，解得

b=1

回直線/E的解析式為y=1x+1,

聯(lián)立y=—3%+3和y=+1得

fy=—3x+3

(y=]+1，

解得《

y=E

0點(diǎn)D的坐標(biāo)為(|，D；

同理得，￡z（0,-l）,直線49的解析式為y=—1x—1,

聯(lián)立y=—3x+3和y=—|x—1得，

0=-,-1,

ly=—3x+3

（3

x=2-

解得|3,

y=——

V2

回點(diǎn)o的坐標(biāo)為（I，—1!）；

綜上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（K）或（I，—I）；

（3）解：在中，

團(tuán)。Z=0B=3,

^\AB=^JOA2+OB2=3V2,

同理可得BC=y/OC2+0B2=V10,

團(tuán)乙AB。=/-BAO=45°,

團(tuán)PE1y軸，

國乙BPE=90°-45°=45°=/.ABO,

團(tuán)PE=BE,

尸在直線y=%+3上，設(shè)產(chǎn)（與％+3）,

團(tuán)PE=BE=\x\,

回PB=V2|x|,

當(dāng)△ABC7B0P時(shí),

^ABAC

回一二—,

BOBP

畔二品，

回％=±2,

團(tuán)一3VXV0,

取=-2,

團(tuán)P(-2,l)；

當(dāng)△ABC泊“。時(shí)，

^ABAC

0-=—，

BPBO

嚅，

9

以=±-,

-4

0-3<%<0,

回％=一—9,

4

吟，!).

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(—2,1)或

3.(1)解：①由題可知，BF=BC=5,

在RtAABF中，由勾股定理得，

AF=y/BF2-AB2=V25-9=4,

EL4F的長為4；

故答案為：①4；

②由題可知，^BFE=ZC=90°,

^AFB+4DFE=90°,

又???NDFE+NDEF=90。，

???Z-AFB=乙DEF,

Rt△ABF~Rt△DFE，

.AF_AB

''DE~DF1

???AF-DF=AB-DE=3,

??.DE=1,

EF=EC=CD-DE=3-1=2；

(2)解：

①如圖，當(dāng)點(diǎn)F在邊40上時(shí)，過點(diǎn)M作MN1BF于點(diǎn)N,

???BM平分乙ABF,乙4=90°,

??.MN=AM,"=乙BNM=90°.

???Z-AFB=乙MFN,

FMNFBA.

.MN_MF

''AB~BF'

MF1口廠cn

——=一,BF=BC,

BC3

.MN_MF_1

''AB~BF~3

???AB=3,

??.MN=1.

???MN=AM,BM=BM,LA=乙MNB=90°,

Rt△ABM=RtNBM(HL).

??.BN=AB=3.

設(shè)MF=%,貝！JBF=BC=3%.

???FN=3x-3.

在RtaMN尸中，由勾股定理得，

MN2+FN2=MF2,

???1+(3x-3)2=x2.

解得%1=：，%2=1（舍去）.

???BC=3x=—.

4

???矩形中，AD=BC=—.

4

3

??.DF=AD-AM-MF=

2

②

如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在邊延長線上時(shí)，

同①可得AM=MN=^AB=1,BN=AB=3,BC=AD=^.

：.MF=-BC=

34

9

??.AF=-,DF=6.

4

二綜上所述：DF=|或6.

SAB=AC,4ABC=^ACB,。4垂直平分BC,

SAABC=-AA0C,AAHB=4AHe=90°,

2

團(tuán)。。1AC,

團(tuán)AE=CE,乙ADO=90°,

I

團(tuán)乙4OE=-乙4OC,

2

^\Z-AOE—Z-ABC—Z-ACB,

設(shè)NAOE=乙ABC=乙ACB=x,

^BAO=Z.CAO=/-OAC=90°-x,

團(tuán)。A=OE,

I

^OAE=AOEA=90?！?,

2

^CAF=AOAE-Z.OAC=90°-|x-（90°-%）=|x=

團(tuán)4ACB=2zCi4F；

（2）解：連接EC,

團(tuán)=CD=-AC=-AB=3,乙EDC=90°,

22

回。D=y/OA2—AD2-V52-32=4,

團(tuán)OE=OE-OD=5-4=1,

團(tuán)CE=VCD2+DE2=V32+I2=V10,

由（1）得：乙ABH=^AOD,^AHB=AADO=90°,

團(tuán)△ZB”~AAOD,

^AHAB

回一=—,

ADAO

AH6

丁n丁

團(tuán)A”=

團(tuán)=7AB2—AH?=J62一譚了=g,

團(tuán)。Z1BC,

48

團(tuán)BC=2BH=y,

^ACB=2/.CAF,4ACB=^CAF+乙F,

團(tuán)4cz尸=乙F,

團(tuán)4c=FC=6,

團(tuán)BF=^C+FC=y+6=y,

團(tuán)四邊形Z8CE是圓內(nèi)接四邊形，

+/-AEC=180°,

^CEF+AAEC=180°,

團(tuán)48=Z.CEF,

^\Z-EFC=Z-BFA,

0AEFC—△BFA,

^ECEF

團(tuán)——=—,

BABF

回返—空

臼OV---78，

5

回EF=等；

(3)解：①如圖，當(dāng)G在線段BC上時(shí)，連接4G,

團(tuán)乙尸=匕CAF,

設(shè)乙9=Z.CAF=a,

團(tuán)4AC8=ZF+Z.CAF=2a,

團(tuán)48=AC,

團(tuán)乙4BC=Z-ACB=2a,

回。。1AC,0E為。。半徑,

團(tuán)。E垂直平分AC,

團(tuán)4G=CG,

團(tuán)NACG=Z-GAC=2a,

^\Z-AGB=Z.ACG+Z-GAC=4a,

回BG=CF,

^1Z-BGA—Z-BAG—4a,

^ABG+乙AGB+/-BAG=180°,

團(tuán)2a+4a+4a=180°,解得：a=18°,

^ABC=2a=2x18。=36°；

②如圖，當(dāng)G在CB延長線上時(shí),

A

由上可得：AC=CF,

0ZF=zCXF,

設(shè)NF=^CAF=b,

^\Z-ACB=Z-F+Z-CAF=2b,

團(tuán)48=AC,

^\Z-ABC=Z.ACB=2b,

WDLAC,OE為。。半徑，

團(tuán)。E垂直平分4C,

團(tuán)4G=CG,

團(tuán)乙4CG=Z-GAC=2b,

團(tuán)BG=CT,AB=AC,AC=CF,

團(tuán)48=BG,

團(tuán)4AGB=/-BAG,

^1Z-ABC=Z-AGB+Z-BAG=2b,

團(tuán)乙4GB=Z-BAG=b,

^BAC=/LGAC-/-BAG=2b—b=b,

0Z71BC+々ACB+^BAC=180°,

S2b+b+b=180°,解得：b=36°,

0ZXBC=26=2x36°=72°；

綜上可知：乙4BC的度數(shù)為36。或72。.

5.(1)解：①菱形4BCD中，AB=AD,

???Z.ADB=Z.ABD,

???三角形ADE繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到三角形FDG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,

Z-A=Z.F=40°,

1

???乙ADB=j(180°-乙4)=70°,

???a=70°,

故答案為：70。

②三角形FDG是由4DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，

DFG=△DAE,

Z.A=Z.F,AD—FD,

???Z.ADB=Z.CDB,

/.△ADB=AFDH(ASA),

???DB=DH.

⑵在山△ADE中，AD=S,AE=4,

DE=y/AD2-AE2=7s2—42=3,

過點(diǎn)D作。N1BC于點(diǎn)N,

S菱形48co=48-DE=BC-DN,AB=BC,

??.DN=DE=3,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DG=DE=3fGF=AE=4,

???DN—DG,

???FGLAD,AD||BC,

GF_LBC,

令GF交BC于點(diǎn)0,

乙DNC=乙DGF="ON=90°,

二四邊形DNOG是矩形,

.?.NO=DG=3,GO=DN=3

22

在Rt^DNC中，DC=5fDN=3NC=V5-3=4,

；.OC=NC-NO=4-3=1,

FO=GF-GO=1,

???MO||DG

,*,△FOMs'FGD,

.MO_FOB[]M0_1

DGFG34

3

??.MO=

4

Q1Q

BM=BC-CO-MO=5-1--=—,

44

6.(1)證明：???團(tuán)ABC。中，AD\\BCf

Z-A=乙EBF,Z.ADE=乙BFE,

又???點(diǎn)E是中點(diǎn)，

AE=BE,

???LADE三△BFE(AAS)；

(2)①解：如圖，作8NIIHC交ET于N,

0AADE=△BFE,

團(tuán)BF=AD=BC,

^BF1

團(tuán)--=-f

CF2

^BNWHC,

???乙FNB=乙FHC,乙FBN=乙FCH,

???2FNB-AFHC,

「

團(tuán)-B-N=-B-F=一1,

CHCF2

團(tuán)HC=2BN.

由(1)的方法可知，AAEKZABEN,

團(tuán)4K=BN,

^回AK一=1

CH2

②團(tuán)點(diǎn)G是邊中點(diǎn)，

團(tuán)CG=-CF,

4

團(tuán)40ICE,AK\\HC,

回匕ADK=4F,(AKF=LCHD,

^AKD=乙CHF,

0AADKCFH,

「DKAD1

團(tuán)--=--=-j

HFCF2

WK^-FH,

2

^\AD\\FC,

[HAAHDGHF9

「

團(tuán)-D-H=-A-D=一2,

HFGF3

2

⑦DH=5H,

3

「DH|F“4

團(tuán)71=—=i-=

DK蚪3

7.(1)證明：回是等邊三角形，

0ZX==LC=乙DEF=60°,AB=BC=AC=4

^BED+乙BDE=180°一乙B=120°,

^BED+乙DEF+Z.CDH=180°,

^BED+乙CEH=180°-乙DEF=120°,

^\Z.BDE=Z.CEH,

0ABDECEH；

(2)解：團(tuán)OE1=60°,

^BED=30。,BE=2BD,

^\BD=2CE,

團(tuán)設(shè)CE=x,貝=2%,BE=2BD=2x2x=4%,

團(tuán)BC=BE+CE=5%=4,

團(tuán)久=4

0CF=￡

(3)解：當(dāng)點(diǎn)。為AB中點(diǎn)時(shí)，AD=BD=^AB=2,

^IBD=2CE,

SCE=-BD=1,

2

團(tuán)BE=BC-CE=4-1=3,

由(1)可得，ABDE八CEH,

「目口

回B一D二—BE=D—E,即2一=3——=D—E,

CECHEH1CHEH

3

0CH=DE=2EH,

2

如圖所示，過點(diǎn)。作DM1BC于點(diǎn)M,過點(diǎn)“作“N1BC于點(diǎn)N,過點(diǎn)F作FP1于點(diǎn)P,

團(tuán)乙8=(BCA=60°,

國匕BDM=30°,

國BM=^BD=1,DM=>JBD2-BM2=V22-l2=V3,

^1EM=BE-BM=3-1=2f

團(tuán)OE=VDM2+EM2=J(V3)2+22=近=EF=DF,

團(tuán)由DE=2E“，則=

在RtZkCHN中，Z.BCH=60°,CH=I，

13

^CHN=30°,CN=-CH=-

24f

31

團(tuán)EN=CE-CN=1--=-,

44

在RtAEN”中，EH=—,EN

24

回HN=VHE2-EN2=—(I=乎，

團(tuán)"N||FP,

0AEHNEFP,

0—=—=—,DE=EF=?EP=EN+NP—+NP,

FPEFEP4

373V71

團(tuán)」一=券=x-，

FPV711r+NP

0FP=—,NP=

24

111

團(tuán)PC=EC—EN—NP=1-±一±==

442

在Rt△CFP中，CF=7FP2+CP2=+(J?=小.

8.(1)解：如圖1,連接B。，

r

團(tuán)乙人。。=2(ABD,

^AOD=2^ABC,

^Z-ABD=Z-ABC,

團(tuán)4c=AD,

回48為O。的直徑，

EL4B1CD；

(2)解：如圖2,連接a。，OC,OF,

AB1CD,

CD=2CE,

團(tuán)4F=2CE,

BAF=CD,

團(tuán)4F=CD,

^Z.COD=/-AOF,

回OC=OD=OA=OF,

180°-乙4OF

呢。8=乙ODC=^OFA=^OAF

2

^ODC=Z.OAF,

團(tuán)。。=OAf

回N。/。=/-ODA,

^OAD-/.OAF=乙ODA-"DC,

團(tuán)4GAD=NGD4,

團(tuán)4G=DG；

(3)解:如圖3,連接CH,AD,

設(shè)EK=%,貝IJCE=DE=CK+EK=x+2,

0CD=2CE=2%+4,

團(tuán)OK=C。-CK=2%+2,

團(tuán)直徑D”，AB,

^DCH=^DAH=90°,

^GAD=/-GDA,

團(tuán)4GAK=乙GKA,

團(tuán)4G=GK

團(tuán)4G=DG=GK=-DK=x+1,

2

團(tuán)EG=DE-DG=(x+2)-(%+1)=1,

團(tuán)"K=V13EG=V13,AE=yjAG2-EG2=V(x+l)2-l2=Vx24-2x,

團(tuán)CH=y/HK2-CK2=J(V13)2-22=3,

⑦乙HCK=/-AEK=90°,Z.CKH=/AKE,

CKHfEKA,

「CKCH

瞌=布，

0-=y^=,

xVX2+2X

解得X=l，

經(jīng)檢驗(yàn)x=￡是方程的解，

0CD=2x+4=—,

0DW=VCD2+CH2=J償了+32=g,

回。。的半徑[DH=工.

9.(1)證明：EL4F||CD,

[?]△AOE^△DOF,△BOE^△COF,

AE_OEBE_OE

UDF-OF'CF~OF

"EBE

回——二—

DFCF

（2）①證明：延長ZF交BC延長線于點(diǎn)G,

國4。IIBG,

[HAAMN-△GMC,AMNE~AMCB,

厘=吧NE=NM

CGMC'CBMC

^AENE

回--=---

CGCB

團(tuán)CDIIBA,

[?]△GFC-△GAB,

「GCFC

回一=——

BGAB

團(tuán)四邊形ZBCD為正方形，瓦尸分別是邊A。CD的中點(diǎn).

C=5=?AE=CF=^AB,

團(tuán)BC=CG,

回AN=NE==1AE=：1CF,即CF=2AN.

②證明：延長4F交BC延長線于點(diǎn)G,

SAD||BG,

[?]△AMN-△GMC,△MAE-△MGBf

團(tuán)出=竺AE=AM

CGMG'GBMG’

逐=絲①，

CGGBJ

MDIIBA,

GFC~△GAB,

曜若②，

①+②得，"X剪=^x空，即處義剪="

JJCGFCGBGCCGFCGC

"NAECGAE

0-=—X——=——.

CFCGABAB

10.(1)證明：①乙4==N8EC,

0AAEDBCE,

AEAD

回y—=—

BCBE

SE為力B的中點(diǎn)，

EWE=BE,

E^=—,BPXE2=AD-BC；

BCAE

@^AED+乙DEC+乙CEB=180°,^AED+乙ADE+4%=180°,

團(tuán)NA+/.ADE=乙DEC+乙CEB,

^\Z-ADE=Z-BEC,

團(tuán)Z_A=Z-DEC,

團(tuán)DE平分4ADC,

團(tuán)乙4DE=Z.CDE,

團(tuán)NODE+Z.CED+乙DCE=180°,

^\Z-AED=Z.DCE；

(2)解：如圖，過點(diǎn)/作AFIIBC,連接DF,

^\/-FAE=乙B,

團(tuán)4E=BE,Z.AEF=Z-BEC,

回△ZEF=△BEC(ASA),

團(tuán)4F=BC,EF=EC,

^DAB+ZB=90°,

^DAB+Z-BAF=90°,

^DAF=90°,

^DEC=90°,

團(tuán)。F=DC,

在RtZkADF中，AD2+AF2=DF2,

團(tuán)4。=3,BC=1,

團(tuán)4F=1,

團(tuán)CD=DF=V10.

11.(1)解：當(dāng)％=0時(shí)，y=-4,

???。(0,-4),

當(dāng)y=0時(shí)，—X2——X—4=0

J1515

解得：%!=-3,%2=5

???71(-3,0),B(5,0)

將點(diǎn)B向上平移2個(gè)單位至9(5,2),作點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)乃(2,-4),貝UPQ=BB'=

2

SBQ=PB'

作直線B'C'交直線比=1于點(diǎn)P,|PC-BQ\=\PC'-BQ\=\PC-PB'\=\P'B'-P'C'\<

B'C,則IPC-BQI最大值是:BC，的長,

；

?B'G=J(5—2:+(2+4,=3A/5

|PC-QB|的最大值為3逐，

???直線9L的解析式為：y=2x—8,

二當(dāng)x=1時(shí)，y=2xl—8=-6,

.?.m=—6；

(3)2為定值白理由如下：

AEAF15

過點(diǎn)D作DG||X軸，交AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作FT||OA,交射線4D于點(diǎn)7,過點(diǎn)C作CQ||OA,

交射線4。于點(diǎn)Q,

???DG||FT||CQIIOA,

??.△COG?△COZ,△ACQSZGD,

DG_CGDG_AG

OA~AC'CQ-AC9

DGDG_CGAG_

CQOA~ACAC~

11_1

“CQOA~DG

???CQWOA,

Z.Q=Z-QAO,

???乙CAD=Z.OAD,

???乙CAD="，

AC—CQ,

11_1

AC'^OA~DG9

同理可嗚+》1

DG

由（1）得OA=3,OC=4,^AOD=90°,

???AC=y/OA2+OC2=5,

1_11_11_8

QG一AC+OZ-5十3-15’

1?1_1_8

AFAE~DG_

團(tuán)++尚為定值卷.

A匕Ar

12.解：⑴如圖1,

ffll

取4B的中點(diǎn)H連接EH,

回四邊形2BCD是正方形，

0XB=BC,"BE=乙BCD=90°,

回￡是BC的中點(diǎn)，

11

團(tuán)BE=CE=BH=AH=-BC=-AB,

22

國乙AHE=乙ECF=135°,

回乙B=90°,

^Z.BAE+乙AEB=90°,

^AEF=90°,

國匕AEB+乙CEF=90°,

國匕BAE=Z.CEF,

[?]△AHE三△ECFQ4AS),

故答案為：xAHE任ECF：

(2)解：如圖2,

AD

圖2

在ZB上截取B”=CE,連接E”，

回￡時(shí)BC的中點(diǎn)，

團(tuán)BE=CE,

不妨設(shè)BH=BE=CE=1,則=2,

團(tuán)——=H,

BC

^AB—2n,

^\AH=2n-1,

由(1)得：乙BAE=^CEF,AAHE=AECF=135°,

0AAHEECFf

(3)如圖3,

團(tuán)可設(shè)=6%,BC=4%,貝ijBE=CE=2%,

延長EF,APf交于點(diǎn)R,作RH1ZD,交40延長線于H交BC的延長線于G,作FT_LCO于

T,

^AEF=90°,乙PQE=45°,

回△?!￡/?是等腰直角三角形，

團(tuán)4E=ER,

由(1)知：Z.BAE=Z.CEF,

回乙8=Z,G=90°,

[HAABE=△EGR(AAS),

團(tuán)EG=AB=6%,GR=BE=2%,

WH=CG=EG-EC=6x-2x=4x,HR=GH-GR=6x-2x=4%,

團(tuán)CDIIGH,

^APDARH,

團(tuán)^P-D-=-A-D=一1,

HRAH2

SPD=-HR=2x,

2

團(tuán)CP=CD—PD=6x—2x=4%,

由(2)知:.=稱,

CFCE

回也=如=2,

CF2x

回CF=yj2x,

回CT=FT=x,

團(tuán)PT=CP-CT=3x,

2

由PT2+FT2=PF2得，（3x）2+x2=（岔），

回久1=亨，%2=一￥（舍去）,

回BC=4x=2V2.

13.（1）解:連接04如圖1,

圖1

回O。的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E,且CE=8,DE=2,

0CD=CE+DE=10,AE=BE,

回。2=OD=-CD=5,OE=OD-DE=3,

2

在RtA04E中，AE=Vox2-OE2=V52-32=4,

SAB=2AE=8；

（2）解：①證明：連接DG,如圖，

圖2

團(tuán)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，

0CG=BG,

回匕GAF=Z-D,

0O。的直徑co垂直弦于點(diǎn)E,

^CGD=乙CEF=90°,

團(tuán)4F=90°-Z.DCG=乙D,

^\Z-GAF=zF；

②當(dāng)CF=CD=10時(shí)，

在RtACEF中，EF=VCF2-CE2=V102-82=6,

^\BF=EF—BE=2,

^AE=4,CE=8,

團(tuán)AC=V42+82=4V5,

^FGB=180°-乙BGC=/.FAC.

0AFGBFAC,

「BGBFBG2

團(tuán)一=——，即nn一^=一，

ACCF4V510

當(dāng)OF=CD=10時(shí),

圖3

在Rt△DET中，EF=yjDF2-DE2=V102-22=4A/6,

在Rt△CEF中，CF=y/CE2+EF2=^82+(4V6)2=4V10,

團(tuán)BF=EF—BE=4V6—4,

同理△FGB-LFAC,

.BGBFBG4V6-4

aB4—=—,n即nr=—=,

ACCF4V54V10

團(tuán)BG=4V3-2V2.

綜上，BG的長為等或48-2/.

14.(1)解：如圖L團(tuán)正方形4BCD,

回乙8=Z,C=90°,

0ZEFC+乙FEC=90°,

回EG1EF,

^BEG+乙FEC=90°,

^\Z-BEG=Z-EFC,

團(tuán)48=ZC=90°,

[?]△GBEECF；

(2)解：①FG=BG+FC,證明如下：

團(tuán)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

團(tuán)BE=CE=2,

[?]△GBEECF,

「口口

回B一G=—BE,即B一G=—2,

ECFC2FC

團(tuán)BG?FC=4,

回48=Zf=90°,

22222222

0EG=BG+BE=BG+4fEF=FC+EC=FC+4,

團(tuán)EG1EF,

團(tuán)巾=EG2+FE2,

0FG2=BG2+4+FC2+4

=(BG+FC)2-2BG-FC+8

=(BG+")2-2x4+8

=(BG+FC)2,

團(tuán)FG>0fBG+FC>0,

團(tuán)FG=BG+FC.

②解：如圖1,延長FE交的延長線于F，，

團(tuán)點(diǎn)￡是8。的中點(diǎn),

團(tuán)BE=CE=2,

SABWCD,

國斤=Z.CFE,

在^CEF中，

AF'=乙CFE

乙BEF'=Z.CEF,

.BE=CE

BEF'^△CEF(SSA),

^BF'=CF,EF'=EF,

團(tuán)NGEF=90°,

EGFZ=GF,

E1NBGE=乙EGF,

a4c是正方形ZBCD的對(duì)角線,

^BAC=^BCA=45°,

ISA4GQ與ACEP相似；

回①△力GQs△CEP,

El乙4GQ=乙CEP,

ISAGBE—△ECF,

團(tuán)NCEP=乙BGE

回乙4GQ=乙BGE,

^BGE=乙EGF,

團(tuán)N/GQ=乙BGQ=乙FGE,

國乙AGQ+乙BGQ+乙FGE=180°,

國乙BGE=60°,

回/BEG=30°,

在&△BEG中，BE=2,

0GF=2BG,GE2=BG2+BE2,即2(2BG/=BG?+4,解得：BG=竽；

SAG=AB-BG=4--.

3

②△ZGQs△CPE,

團(tuán)N/QG=乙CEP,

團(tuán)4CEP=乙BGE=乙FGE,

回乙AQG=Z.FGE,

團(tuán)EGIIZC,

0ABEG?△BCA,

「BEBG

回一二—，

BCBA

能的

44

?BG=2,

囿4G=AB-BG=2.

綜上，當(dāng)△AGQ與△CEP相似，線段4G的長為2或4一手.

15.(1)證明：國43是。。的直徑，點(diǎn)6為弧CD中點(diǎn)，

^AB1CD；

(2)證明：連接0C,。0,

B

匿4c=AC,

回乙/OC=2/.AGC,

aCD=CD,

團(tuán)4BOC=2乙CGD,

團(tuán)點(diǎn)8為弧中點(diǎn)，，

也乙DOE=2COE,

團(tuán)48。。=(DOE+乙COE=2(COE,

^CGD=乙COE,

⑦乙AOC+乙COE=180°,

B2/.AGC+A.CGD=180°.

(3)解：連接4D,71C,連接DF并延長至點(diǎn)M,使得DM=DG,連接力M,過點(diǎn)G作GK14。

于點(diǎn)K,

A

B

fUAB1CD,

團(tuán)由圓的對(duì)稱性可知41=z2,

團(tuán)4G=AG9

回21=43,

0z2=43,

^DA=DA,

皿DMA=△DGA,

SAM=AG=V10,4GAD=Z.MAD,

^\EF=EC,AB±CD,

0AEFC是等腰直角三角形，

由對(duì)稱性知△DEF也為等腰直角三角形，

團(tuán)乙5=46=47=45°,

WG=DG,

回乙。AG=乙5="AM=45°,

團(tuán)乙OAM=z7,

團(tuán)4M=ZM,

MAFMDA,

lMzMF

團(tuán)1--=---,

MDMA

團(tuán)直徑ZB1CD,

1

^\DE=-CD=4,

2

團(tuán)等腰RtaEDF中，由勾股定理得DF=4魚

團(tuán)--=——4V2+一MF

MFV10

0MF=魚或MF=-5V2(舍),

0DG=DM=4V2+V2=5V2,

在RtZkAGK中，zDXG=45°,

^KG=KA,

回由勾股定理得KG=KA=^-AG=V5,

El在RtADGK中，由勾股定理得DK=A/GD2-GK2=3V5,

「一GK1

0tanz3=-=^==-

1

團(tuán)tan/4=

3

0z4=N3,

ECH=XG=V10.

16.(1)證明：回四邊形ABCD是矩形,

團(tuán)AB=DC,LA=匕CDF=90°,

^DFC+乙DCF=90°,

團(tuán)。E1CF,

^ADE+^LDFC=90°,

^ADE=/-DCF,

0AADEDCF,

^CFDC

0—=—，

DEAD

CFAB

sm-=——；

DEAD

(2)解:作DH1BA交BA的延長線于點(diǎn)H,在4D的延長線上取點(diǎn)M,連接CM,使CM=CF,

如圖，

H

回四邊形4BCD是平行四邊形,

SAD||BC,

^HAD=乙ABC=60°,

團(tuán)4ZD”=90。-60。=30。，

^\AH=^AD=3,DH=3A/3,

團(tuán)E”=AE+/”=2+3=5,

團(tuán)DE=yjDH2+EH2=2713,

團(tuán)CM=CF,

團(tuán)乙M=乙CFD,

回四邊形ZBCO是平行四邊形，

團(tuán)48||CD,AD||BC,

^DAE=ZCDM,Z.CFD=Z.FCB.

^ABC=60°,乙EGC=120°,

^BEG+乙FCB=180°,

^BEG+A.AED=180°,

^AED=乙FCB,

團(tuán)乙AED=乙CFD,

團(tuán)4AED=ZM,

0AADEDCM,

「回C一M=—DC=一3=一i,

DEAD62

0CM==V13,

0CF=CM=V13；

(3)解：連接AC、BD交于點(diǎn)O,如圖,

A

團(tuán)48=BC,AD=CD,BD=BD,

0AABD=△CBD(SSS),

^BCD=^.BAD=90°,乙ABD=乙CBD,

^BD1AC,

團(tuán)NC/F=90°-/-BAO=Z-DBE,

團(tuán)DE1CF,

團(tuán)4C。。=乙CGD=90°,

回乙4CF=乙BDE,

0AACF—△BDE,

^CFAC

回--=--,

DEBD

團(tuán)4BAD=乙BOA=Z-AOD=90°,Z-ADB=Z-OAB=4ODA,

OBAOADBAD,

團(tuán)4。=2ABf

團(tuán)。。=20A=4OB,

設(shè)OB