2025年中考數學二輪復習：二次函數與線段周長綜合壓軸題提分刷題練習題

1.如圖，已知拋物線與X軸交于A(L0)和8(-5,0)兩點，與y軸交于點C直線y=-3x+3過拋物

線的頂點P.

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)若直線X=皿-5<m<0)與拋物線交于點E,與直線BC交于點F.

①當所取得最大值時，求m的值和EF的最大值；

②當△歷C是等腰三角形時，求點E的坐標.

2.如圖，在平面直角坐標系中，經過點4(4,0)的直線與丁軸交于點3(0,4).經過原點。的

拋物線>=-/+法+c交直線AS于點A,C,拋物線的頂點為D

備用圖

(1)求拋物線的表達式；

(2)”是線段AB上一點,雙是拋物線上一點，MN平行于y軸且交x軸于點E,當:EN=1:2時，

求點M的坐標；

(3)P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內一點.是否存在以點A,C,P,Q為頂點的四

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邊形是矩形？若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

3.如圖.拋物線丁=加+法+3(。彳0)與x軸交于A(3,0),D兩點，與，軸交于點8,拋物線的對

稱軸：直線x=l與x軸交于點C.

⑴求該拋物線的解析式；

PF

⑵若點P是直線上方的拋物線上的動點，連接上交A3于點E,如圖1,當差的值最大時，

DE

求點尸的坐標及的P矍F最大值；

DE

(3)若點M為對稱軸右側拋物線上一點，且“在x軸上方，N為平面內一動點，是否存在點

P，M,N,使得以ARM,N為頂點的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不

存在，請說明理由.

4.如圖，已知拋物線y=/+bx+c與x軸相交于A(-1,0),3(m,0)兩點，與＞軸相交于點C(0,-3),

拋物線的頂點為。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若尸是直線BC下方拋物線上任意一點，過點尸作軸于點打，與3c交于點M,求線段

長度的最大值.

⑶若點E在x軸上，且NECB=NCBD,直接寫出點E的坐標.

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5.已知拋物線y=-2f+4x+6與x軸相交于a、B兩點，與>軸相交于點C,點。為頂點.

⑵如圖1,點尸為拋物線對稱軸(直線/)上的動點，求當點尸在什么位置時，|PB-PC|取得最

值？最值是多少？

(3)如圖2,在第一象限內，拋物線上有一動點河交3c于點E,求黑的最大值.

OE

6.如圖，已知拋物線丁=加+版_4與％軸分別交于點24(2,0),3(-4,0),與y軸交于點C,點。

是拋物線上一點.

(1)求拋物線的解析式：

(2)若點Q在直線BC下方的拋物線上，過點。作“，x軸于點D,交直線BC于點E,作QF±BC

于點當座=2跖時，求點。的坐標.

7.如圖，在平面直角坐標系中，△AOC繞原點。逆時針旋轉90。得到WOB,其中OA=1,OC=3.

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⑴若二次函數經過A、B、C三點，求該二次函數的解析式;

(2)在(1)條件下，在二次函數的對稱軸/上是否存在一點P,使得P4+PC最??？若點P存在,

求出點尸坐標；若點P不存在，請說明理由.

8.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=與X軸交于A,8兩點，與y軸交于點C,

連接AC,BC,且8（-2,0）,AB=6.

(1)求拋物線的函數表達式;

(2)如圖1,點尸為直線AC下方拋物線上一動點，過尸作如LAC交AC于點O,過戶作PGLx軸

交x軸于點G、交AC于點E,點M為直線PG上一動點，當△由周長最大時，求。M+冬M

的最小值及此時點”的坐標;

(3)如圖2,將拋物線y=/2-X-4沿射線BC方向平移26個單位，得到新拋物線口點/是新

拋物線y'上一點，點。為點8關于y軸的對稱點，當//℃=45。時，請直接寫出所有符合條件

的尸點的坐標.

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9.在平面直角坐標系中，已知拋物線》=加+法+3與x軸交于點A(-3,0),川1,0)兩點，與y軸

交于點C,點尸是拋物線上的一個動點.

圖1備用圖

(1)求拋物線的解析式；

⑵當點P在直線AC上方的拋物線上時，連接取交AC于點。，如圖1,當黑的值最大時，求

Do

點P的坐標及黑的最大值；

L)D

⑶過點P作x軸的垂線交直線AC于點連結PC,將△尸CAf沿直線PC翻折，當點M的對應

點M'恰好落在y軸上時，求點〃的坐標.

10.在平面直角坐標系內，拋物線y=-Y+bx+c與X軸的交點分別為A(TO)、3(3,0),如圖.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)當自變量x滿足p-34xWp+2時，對應的函數值y的最大值為-5,求p的值.

⑶動點。在第一象限的拋物線上.動點E在第四象限的拋物線上，如圖，連結AD、AE,分

別與丁軸交于點只G點.且點。、E在運動過程中。尸、OG總是滿足。/=白，探究直線DE

17Gr

能否經過某個定點，若能，請求出該定點的坐標；若不能，請說明理由.

11.如圖，二次函數丫=加+版+4的圖象過點A(3,0)和3(-1,0),與y軸交于點C.

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(1)求該二次函數的解析式；

(2)若在該二次函數的對稱軸上有一點使"W+CM的長度最短，求出”的坐標.

12.如圖，已知拋物線y=-/+6x+c與一直線相交于A。，。)、C(-2,3)兩點，與1軸交于點N,其

頂點為。.

(1)求拋物線及直線AC的函數關系式；

(2)在對稱軸上是否存在一點使AAW的周長最小.若存在，請求出“點的坐標和"WM周

長的最小值；若不存在，請說明理由.

13.如圖，拋物線『-f+bx+c與無軸交于點4(-1,0),3(5,0)兩點，直線>=-片+3與丁軸交于

點C,與x軸交于點D點尸是第一象限內拋物線上一動點，過點P作P/Fx軸于點孔交直

線CD于點E.設點P的橫坐標為

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⑴求拋物線的解析式；

⑵寫出線段CE的長（用含有機的代數式表示）；

（3）若PE=5E尸,求機的值；

（4）在y軸正半軸上是否存在點G,使C、E、P、G為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出相

應的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線丫=辦2+法+3（0片0）交》軸于點4、3,交y軸于點C.其

中，OA=6拋物線的對稱軸是直線X=6.

圖1圖2

（1）求拋物線的表達式；

（2）8平分NOC3交x軸于D點P是直線2C上方拋物線上的一動點，過點P作尸交直

線C3于點E,交直線8于點H點V、N是x軸上兩個動點，MN=2^3（般在N的左側），連

接CM、PN,當線段PF取最大值時，求尸N+M2V+CM的最小值；

⑶如圖2,連接AC,將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經過點C,且與直線BC相

交于另一點H.點。為新拋物線上的一個動點.當/QCW=ZACO,直接寫出所有符合條件的

點Q的坐標.

15.如圖，已知拋物線［=-/+法+c與x軸交于A（-LO）,3（5,0）兩點（點A在點6的左側），與

y軸交于點c.

（1）求拋物線的解析式;

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⑵點。是第一象限內拋物線上的一個動點（不與點8、C重合），過點。作小軸于點P,

交直線BC于點E.

①求線段DE的最大值；

②連接直線3c把VB/m的面積分成兩部分，若，皿：“詼=3:2,請求出點。的坐標.

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參考答案

1.⑴>=一%2-4x+5

⑵①當，〃=-|時，所取最大值微，②(-4,5)或(&-5,-2+6⑹或(-3,8)

【分析】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法，等腰三角形，勾股定理等知識，解題

的關鍵是分類討論思想的應用.

(1)由拋物線與x軸交于41,0)和8(-5,0)兩點，得拋物線對稱軸為直線X=F=-2,即可得拋

物線頂點為(-2,9),設拋物線函數解析式為y=a(x+2＞+9,將A(l,0)代入可得q=T,故拋物線

函數解析式為＞=-(*+2)2+9=-/-以+5；

(2)①求出C(0,5),得直線3c解析式為y=x+5,故E(m,-/-4機+5),F(m,m+5),得

525

EF=-m2-4m+5-(m+5)=-(m+—)2+—；

②根據二次函數性質可得答案；

③由機+5),F(m,m+5),C(0,5),得石尸=(機？+5根)2,EC2=m2+(m2+4m)2,FC2=2m1;分

三種情況列方程可解得答案.

【詳解】(1)解：?.,拋物線與x軸交于41.0)和2(-5,0)兩點，

二拋物線對稱軸為直線x=—=-2,

在y=-3x+3中，令》=—2得＞=9,

二拋物線頂點為(-2,9),

設拋物線函數解析式為y=a(x+2)z+9,

將A(l,0)代入得:

0=9々+9,

解得。=-1,

二拋物線函數解析式為y=-(x+2)2+9=-x2-4x+5；

(2)解：①如圖：

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在y=-Y-4x+5中，令x=0得y=5,

C(0,5),

設直線2C解析式為>=履+6,

0=-5k+b

將8(-5,0),CQ5)代入得

5=b

k=l

解得

b=59

二.直線5c解析式為y=尤+5,

設旦孫->-4加+5),則F(m,m+5),

525

/.EF=-m2-4m+5—(m+5)=-m2—5m=-(m+—)2+—,

595

二當m=-|時，M取最大值?，

②設￡(九-/-4加+5),則尸(見加+5),C(0,5),

/.EF2=(m2+5m)2,EC2=m2+(m2+4m)2,FC2=2m2;

若EF=EC,貝！J(m2+5m)2=m2+(m2+4m)2,

解得根=0(E與。重合，舍去)或加=-4,

??E(T,5)；

若EF-FC,貝!](m2+5m)2=2m2,

解得加=。(舍去)或加=0-5或加=-四-5(不符合題意，舍去),

.?.￡(行-5,-2+6夜),；

若EC=FC,貝(J蘇+(根2+4相>=2fH2,

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解得機=0(舍去)或加=-3或M=-5(不符合題意，舍去),

，E(-3,8)；

綜上所述，E的坐標為(-4,5)或(0-5,-2+60)或(-3,8).

2.(l)y=-x2+4x

⑶(5,1)或(+2)或或七旦W'

\7\7

【分析】(1)利用待定系數法求出拋物線的解析式；

(2)求出直線A3的表達式為y=f+4,設+4)(04機工4),則+.),E(〃z,0),

分情況表示出MN,EN,結合MN:EN=1:2,列方程求出％,即可求解；

(3)畫出圖形，分AC是四邊形的邊和AC是四邊形的對角線，進行討論，利用勾股定理，相

似三角形的判定與性質，函數圖像的交點，平移等知識點進行解答即可得出答案.

【詳解】(1)解：,拋物線、=-1+6尤+(:過原點。，

二.c=0,

將A(4,0)代入拋物線y=-x2+笈中，得一4?+46=0,

解得：6=4,

???拋物線的表達式為y=-丁+?；

(2)解：設直線A3的解析式為>=區(qū)+。，

將A(4,0),B(0,4)代入得:

[4k+a=0

\0+a=49

直線AB的解析式為y=T+4,

設—+4),其中0W/W4.

當“在"點上方時，MN=t2-5t+4,EN=-r+4t.

'：MN:EN=1:2,

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EN=2MN.

**?+41=2(/—5/+4),

解得：4=；/=4(不合題意，舍去);

當〃在N點下方時，MN=-t2+5t-4.

**?—產+4%=2(—/+5/—4),

解得：，3=2/4=4(不合題意，舍去).

???滿足條件的點M的坐標有兩個(耳,5),(2,2).

(3)解：存在，滿足條件的點Q的坐標有4個.

如圖，若AC是四邊形的邊，

當x=2時，y=-2+4=2,

???拋物線y=-爐+4x的對稱軸與直線AB相交于點次(2,2),￡>(2,4),

y=-x+4

聯立

y——x2+4x

—/r(x=l,、fx=4&,

解得：\2或(n(舍去)，

[y=3[y=0

.-.C(l,3),

過點C,A分別作直線AB的垂線交拋物線于點兒2,

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QC(1,3),O(2,4),R(2,2),

:.CD=s/2,CR=y/2,RD=2,

Q(四)?+(五下=22,

:.CD2+CR2=DR2,

:.ZDCR=90°,

???點片與點。重合.

當*〃AQt,CPX=AQ,時，四邊形ACqQ是矩形.

?.?C(l,3)向右平移1個單位，向上平移1個單位得到片(2,4).

A(4,0)向右平移1個單位，向上平移1個單位得到。(5,1),

此時直線CPX的解析式為y=尤+2.

,/直線6A與2平行且過點44,0),

，直線6A的解析式為N=x-4.

,點p2是直線y=X-4與拋物線y=-x2+4x的交點,

?9AA

??一廠+4x=x-4,

解得：X]=-1,X2=4(舍去).

?■■^(-1,-5),

當AC〃鳥&，AC=￡2時，四邊形ACQ?鳥是矩形，

?.?4(4,0)向左平移3個單位，向上平移3個單位得到C(L3).

鳥(-1,-5)向左平移3個單位，向上平移3個單位得到。2(-4,-2).

如圖，若AC是四邊形的對角線，

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當乙4月。=90。時.過點鳥作學/，犬軸，垂足為〃，過點C作垂足為K.

可得NRKC=AAHP3/P3CK=NA8H,

:NP3CK^NAP3H,

P3KAH

…藪一麗’

設Pg,-/+4。，

.一〃+4%-3_4-t

-t-1-〃+4]'

???點尸不與點AC重合，

「./w1和，w4,

—3%+1=0,

_3+岔_3-A/5

也=二一，

??.如圖，滿足條件的點P有兩個.

當C乙〃A03，CA=AQ3時，四邊形A4C03是矩形.

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...月三萼,與5向左平移泊個單位，向下平移上5個單位得到Qi,3).

I22J22

.?.A(4,0)向向平移個單位，向下平移士更個單位得到。/上婆,不

22I22J

當C1〃AQ,CA=AQ4時，四邊形A《CQ是矩形.

...R［三5三勺向右平移士抬個單位，向上平移1±占個單位得到.

I22J22

.?.44,0)向右平移三立個單位，向上平移二6個單位得到。(呼.

綜上，滿足條件的點。的坐標為(5」)或(T-)2或［上空,=5］或［￥，葉普.

【點睛】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，本題主要涉及了待定系數法求函數的解析式,

勾股定理，矩形的性質，相似三角形的判定與性質，點的平移等知識，根據題意畫出符合條件

的圖形，進行分類討論是解題的關鍵.

3.(1)y=—九?+2x+3

⑵當的值最大時，點P的坐標為信孝，黑最大值為最

DE<24)DE16

(3)不存在，理由見解析

【分析】本題考查二次函數綜合，涉及待定系數法求解析式，相似三角形的判定與性質，正方

形的性質等知識點；

(1)根據拋物線廣加+區(qū)+3(叱0)與x軸交于A(3,0),對稱軸：直線尤=1,列方程組求解即

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可；

(2)先求出直線A3解析式為產-尤+3,過。作DGLx軸交直線A3于G,過P作軸交直

PFPH/、

線AB于H,貝得至UAPEHSADEG,貝1］赤=而，再求出DG=4,設P?,一-+2加+3),

PFPH

則8(7”,-加+3),PH=f?+3相，代入定=后計算求最大值即可；

(3)過A作APJLx軸，由0A=03=3得到？R4O?BAF45?,根據給定的條件發(fā)現NB4M在

NB4F=45。內部，即？45?,但是由以ARM,N為頂點的四邊形為正方形，得到必

定是等腰直角三角形，/尸&〃=45?；?0。，與？PAM45?矛盾，據此得到不存在以ARM,N為

頂點的四邊形為正方形.

【詳解】(1)解：,??拋物線產加+樂+3(”0)與x軸交于4(3,0),對稱軸：直線x=l,

0=9。+3b+3

-A=1

、2a

CI=-1

解得

b=2

???該拋物線的解析式為y=T，2x+3；

(2)解：令尤=0,則y=—X?+2x+3=3,令y=。，貝|y=—尤~+2x+3=0,解得占=3,%=—1,

.?.8(0,3),￡>(-1,0),

設直線AB解析式為》=履+3,

把A(3,0)代入得0=3左+3,解得左=-1,

直線解析式為y=-x+3,

過。作。G_Lx軸交直線A8于G,過P作尸"，龍軸交直線AB于"，則DG〃尸”,

APEHSIJJEG,

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.PEPH

**DE-DG?

當％=_1時，y=r+3=4,

DG=4,

設尸（見一療+2根+3）,則H（m,-m+3）,

/.PH=m2+2m+3）—（—m+3）=—m2+3m,

?PEPH一/+3機\(3丫9

??==----=—m—H,

DEDG4412)16

二當時，裝=3最大，此時尸后力

???當4I的值最大時，點p的坐標為佶馬，最大值為2;

DE124JDE16

(3)解：不存在，理由如下：

過A作AFLx軸,

V5(0,3),4(3,0),

OA=OB=3,

???NBAO=45。，

NBA尸=45。，

???點P是直線A3上方的拋物線上的動點，點M為對稱軸右側拋物線上一點，且M在x軸上方,

ZPAM^EZBAF^45°內部，

:PAM45?,

假設存在以AP，/，N為頂點的四邊形為正方形，

???△弘〃必定是等腰直角三角形，

/PAM=45?；?0。，與？R4"45?矛盾，

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???假設不成立，

.?.不存在以A,P,/,N為頂點的四邊形為正方形.

4.(1)J=X2-2X-3

⑵：

(3)[|，。]或(6,0)

【分析】(1)將分TO),C(0,-3)代入廠/+法+。求解即可；

(2)根據BC的解析式和拋物線的解析式，設網用無2—3),則”(x,x-3),表示P"的長，根

據二次函數的最值可得的最大值即可；

(3)如圖1,連接CE',CE交BD于■點、T.然后分點￡在點8的左側和右側兩種情況解答

即可.

【詳解】(1)解：把洋TO),C(0,-3)代入拋物線y=d+O+c中

l—b+c=0

得:

c=-3

b=-2

解得:

c=-3

???拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

(2)解：VJ=X2-2X-3,

2

當y=0時，x-2x-3=0>

解得：x=3或-I,

3(3,0)；

設的解析式為：y^kx+t,

,.?3(3,0),C(0,-3),

J3左+/=0

?(=—3，

解得:[:二3，

第10頁共44頁

???3C的解析式為：y=x-3,

設P^x,x2—2x—3),

則〃(工1-3),

...PM=

3Q

當x=7時，PM有最大值為了.

24

（3）解：如圖1,連接82CE,CE，交BD于點、T.

=(X-1)2-4,

???頂點。(LT),

設瓦）所在直線的解析式為：y=k（x-3）,

將。（1,T）代入函數解析式得一2左=T,

解得k=2,

故8。所在直線的解析式為：y=2x-6,

NECB=NCBD,

：.CE//BD,

設CE所在直線的解析式為：y=2x+p,

將C點坐標代入函數解析式，得。=-3,

故CE所在直線的解析式為：y=2x-3,

3

當y=0時，x=~,

即點E的坐標為1（，。），

當點E在點B的右側時，

VB（3,0）,C（0,-3）,。（1）,

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.-.CB2=32+32=18,CD2=l2+（4-3）2=2,BD2=（3-l）2+42=20,

:.CB-+CD1=BD2,

...ABCD是直角三角形，

8。是斜邊，

,?NECB=NCBD,

：.ZTCD=ZTDC,

：.CT=BT=DT,

.?.T為的中點，

I.CE經過3。的中點7(2,-2),

直線CT的解析式為k;x-3,

，點E'的坐標是(6,。).

???綜上所述，點E的坐標是||,。］或(6,0).

【點睛】本題主要考查了用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式、二次函數的性質、勾

股定理等知識點，掌握分類討論和數形結合的思想是解題的關鍵.

5.(1)A(-l,0),B(3,0),C(0,6),Z)(l,8)

⑵點尸的坐標為卜寸，|PB-PC|取得最小值0;點尸的坐標為。，12)時，|PB-PC|取得最大值

國

(3)1

【分析】(1)用配方法求頂點坐標，用交點法求交點坐標即可；

(2)根據題意，當PB=PC時，阿-PC|的值最小，且為0；根據PA-PCWAC,得當P,A,C三

點共線時，必-尸。取得最大值，最大值為AC的長，解答即可.

(3)不妨設M(m,-2m2+4〃?+6),過點〃作MG〃交x軸于點G,設直線BC的解析式為y=px+6,

確定直線2C的解析式為y=-2x+6,用機表示直線MG的解析式，利用平行線分線段成比例定

理，構造二次函數，利用二次函數的最值解答即可.

【詳解】(1)解：Vy=-2x2+4x+6=-2(x-l)2+8,

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???頂點坐標為。（1,8）；

?.?當X=O時，y=6,

C（o,6）,

*.*當y=。時，y=-2x2+4x+6=-2（x-l）2+8=0,

解得玉=3,x2=-1,

A（-LO）,3（3,0）；

故答案為：A（-l,0）,B（3,0）,C（0,6）,D（l,8）.

（2）解：根據題意，得當依=PC時，的值最小，且為0,

設P（Lm），

故（I-。）?+（7/2—6）2=（1-3）2+（m—0）-,

解得加=?，

故點時，的值最小，且為0;

：產在對稱軸上，且點A,點3是對稱點，

/.PA=PB,

：.\PB-PC\=\PA-PC\,

PA-PC<AC,

???當P,A,C三點共線時，尸A-尸C取得最大值，最大值為AC的長,

??AC-V12+62=^37，

設直線AC的解析式為y=丘+6,

故-左+6=0,

解得k=6,

???直線AC的解析式為y=6尤+6,

二.x=l時，>=6x1+6=12,

故點尸（U2）時，-3-尸。的值最大，且為亞.

第13頁共44頁

丁八

(3)解：?拋物線的解析式為y=-2/+4x+6,不妨設M(兀-2療+4加+6),

過點M作MG〃BC交無軸于點G,

設直線2C的解析式為y=px+6,

故3〃+6=0,

解得。=-2,

直線BC的解析式為y=-2x+6,

設直線MG的解析式為V=-2x+q,

-2m2+4m+6=-2m+q,

解得q=_2m2+6m+6,

???直線加6的解析式為,=_21+（_2療+6瓶+6）,

當y=。時，-2%+（-2/+6機+6）=0,

解得％=-“+3加+3,

/.G（—根?+3根+3,0）,

/.GB=（—機2+3m+3）-3=—m2+3m,

?/MG//BC,

.MEGB

??麗—茄'

第14頁共44頁

拋物線開口向下，函數有最大值，

且當小時，篝有最大值，且為I

【點睛】本題考查了拋物線的頂點坐標，與坐標軸的交點坐標，待定系數法求解析式，平行線

分線段成比例定理，勾股定理，三角形三邊關系定理的應用，構造二次函數求最值，熟練掌握

性質和定理是解題的關鍵.

6.⑴y=；無2+x-4

⑵。(-2T)

【分析】本題主要考查了二次函數的綜合題，涉及待定系數法求二次函數解析式，線段問題等

知識.

(1)利用待定系數法求二次函數解析式即可.

(2)先求出C(O,T),再得出OB=OC,結合已知條件分別得出△瓦汨AQKE為等腰直角三角形，

利用待定系數法求出直線的解析式，設點E(x,r-4),則點。(X,；X2+X_4),進而由等腰直

角三角形的性質可得出EQ=-g尤2-2彳=應跖，==應(x+4),根據5E=2EF得出關于x

的一元二次方程，求解即可得出答案，并選擇點Q在直線下方的拋物線上的點即可.

【詳解】(1)解：由已知可設:y=a(x+4)(x-2)=a(f+2x-8),

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則-8a=-4,得：a=1

進而有》=2a=l

所以拋物線的解析式為：y=-4

(2)解：由(1)知：y=^x2+x-4,

當％=0時，y=-4,

???C(0T),

OB=OC,

.\ZBCO=ZOBC=45°,

.,./BED=/QEF=45。,

?：QFLBC,

??.NQFE=90。，

.-.ZEQF=ZQEF=45°,

,-.EF=QF,

設直線BC的解析式為：y=ax+b,

r」-4a+b=0

則，

的/=-4

解得:m

???3C的解析式為：y=-x-4,

設點E(x，-x-4),則點Q[X,；/+X-4],

貝[jEQ=—x—[l/+x—4)=——%2—2尤=\[^EF,

而成=同。=&(x+4),

-：BE=2EF,

即A/2(x+4)=A/2^——x2—2x],

解得：x=-4(舍去)或-2,

即點。(-2,Y)；

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7.（1）y=%2-2x-3

（2）存在，P（l,-2）

【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合的思想進行求

解，是解題的關鍵：

（1）根據旋轉的性質，得到OB=OC=3,進而求出AB,C的坐標，兩點式設出函數解析式，待

定系數法求出函數解析式即可；

（2）根據對稱性得到=進而得到當點尸在線段上時，P4+PC最小，進行求解即可.

【詳解】（1）解：：△AOC繞原點0逆時針旋轉90°得至I」ADOB,OA=1,OC=3

OB=OC=3,

：.A（-l,0）,B（3,0）,C（0,-3）,

設二次函數的解析式為：y=a（x+D（x-3）,把C（0,-3）代入解析式，得：

-3=?（0+1）（0-3）,解得：?=1,

y=（x+1）（x_3）=Y_2x_3；

（2）,:y=x2-2x-3,

對稱軸為直線x=-*l,

二?A,2關于對稱軸對稱，點尸在對稱軸上，

/.PA=PB,

：.PA+PC=PB+PC2BC,

???當點尸在線段BC上時，PA+PC最小，

B（3,O）,C（O,-3）,

???設直線2C的解析式為y=履-3,把3（3,0）代入解析式，得：k=l,

，y=x-3,

???當％=1時，y=l-3=-2,

：.P（l,-2）.

1

8.(l)y=-x92-x-4

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（2）372,M（2,-2）

⑶尸］比智，上譬］或P（26-6有+6）

【分析】（1）根據鞏一2,0）,AB=6,得4（4,0）,代入y=g/+bx+c,解方程組得即得y=一牝

（2）證明ADPE是等腰直角三角形,設尸「,：/-X-j,求出直線AC表達式y=X-4,得E（x,x-4）,

PE=-g（x-2）2+2當x=2時，尸￡最大時，ADE尸周長最大，此時P（2,T）,E（2,-2）,得PE=2,

DE=叵,連接并延長OE到H,使EH=OE=夜，連接/JM,得OE=20,OH=3y/2,根據

MO+MH>OH,得OM+*PM最小值為3及，M（2,-2）；

（3）由軸對稱知，Q（2,0）,結合C（0,-4）得BC=Jo^+oc?=2右，由y=-x-4=g（尤-1）2-4.5

平移，得y'=g（x-3）2-8.5,過點C作CPLCQ,交直線尸。于點P,過尸作PN,y軸于點N,則

ZPCQ=90°,證明"=CQ,ZPNC=ZCOQ=90°,ZCPN=ZQCO,得&CPN冬AQCO（AAS）,可

得P（Y,-2）,求出直線P2解析式y=$_g,聯立得g（x-3）2-8.5=+-|解得：1-卅,

得彳9|叵，上普）；當R在C。右下側時同理得尸（4,-6）,直線PQ解析式為y=-3x+6,聯

立得：（X-3）2-8.5=-3彳+6。解得尤=2有，得P（2布「6布+6）.

【詳解】（1）解：,??拋物線+c與x軸交于A,8兩點，B（-2,0）,AB=6,

A（4,0）,

,J8+4Z?+c=0

\2-2b+c=Q，

b=—l

解得

c二一4'

/.y=—x2-x-4;

2，

（2）解：由（1）可知，A（4,0）,C（0,T）,

Q4=OC=4,

ZOAC=ZOCA=45°f

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VPDLAC,PG_Lx軸，

：.PG//y^

：.ZPEC=ZOCA=45°,

???△DPE是等腰直角三角形，

設尸卜;—-x-j,直線AC表達式為丫=依+”,

解味二，

y=x-4,

.,.當x=2時，PE最大時，ADEP周長最大，

此時尸（2,Y）,￡（2,-2）,

/.PE=2,

DE=—PE=^1,

2

連接并延長OE到H,

使EH=DE=近,連接

則點H與點。關于直線PE對稱，

OE=6+2<=2夜,

.*?OH=3五,

"：MO+MH>OH,

I.當點M與點E重合時，OM+昱PM=OE+EH=OH=3近,值最小,

2

OM+孝最小值為3五，

.\M（2,-2）；

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OQ=OB=2,,

'：0C=4,

?*-BC=y/OB2+OC2=2A/5，

???拋物線y=-4沿射線BC方向平移26個單位，

，拋物線y=r一4是向右平移2個單位，再向下平移4個單位,

11

29

?.?y=—x-x-4=—^x-iy-4.59

2

y=l（x-3）-8.5,

過點。作C尸，Q2,交直線尸。于點P,過尸作軸于點N,

貝（JN尸CQ=90。，

?.?ZC0F=45°,

ZCPQ=90°-ZCQF=45°,

.?.CP=CQ9

/PNC=ZCOQ=90°,

ZPCN+ZCPN=/PCN+ZQCO=90°,

ZCPN=ZQCO,

△CPN%QCO（AAS）,

：.PN=CO=4,CN=QO=29

當尸在直線CQ左上側時，

???ON=OC-CN=2,

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/.P（-4,-2）,

設直線尸。解析式為^=如+”,

,12m+n=0

則M々上

[-4m+n=—2

1

m=—

3

解得2,

n=—

[3

._12

??y=~x—,

33

聯立得g（x-3）2—8.5=

解得：QI屈或一1。+4師（舍去），

33

.（10-4V104-4質）

當R在直線CQ右下側時，

同理得「（4,-6）,直線尸。解析式為丁=-3尤+6,

19

聯立得-（x-3）-8.5=-3x+6o

解得了=2百或X=-2A/?（舍去），

【點睛】本題考查了二次函數綜合.熟練掌握待定系數法求二次函數和一次函數解析式，二次

第21頁共44頁

函數與一次函數圖象和性質，三角形周長產生的二次函數的最值問題，軸對稱性質，二次函數

的平移性質，全等三角形的判定和性質，是解題的關鍵.

9.⑴該拋物線的解析式為y=r2-2x+3；

(2)點p的坐標為卜;寫，兼的最大值為3

I/UD10

(3)點”的坐標為(&-3,后)或卜夜-3,-0)

【分析】本題考查二次函數的綜合應用，相似三角形的判定和性質，正確的求出函數解析式,

利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵：

(1)待定系數法求出函數解析式；

(2)過點P作PEIIx軸交直線AC于點E,設產伍,-產-2f+3),進而表示出點E的坐標，證明

△EPI3AABD,列出比例式，將胃PD轉化為二次函數求最值即可；

(3)設尸(”-/_2加+3),則/(祖,祖+3),根據折疊的性質，平行線的性質，推出=

進行求解即可.

【詳解】(1)解：：拋物線>=加+云+3與x軸交于點A(TO),3(1,0)兩點

儼-36+3=0

[々+6+3=0

Cl=-1

解得:

6=-2'

該拋物線的解析式為y=-f-2x+3；

(2)當尤=0時，y=3

/.C(0,3)

設直線AC的解析式為>=丘+〃，把A,C兩點代入解析式得:

[-3k+n=0k=\

，解得:

[n=3n-3

*,?直線AC的解析式為y=x+3,

過點尸作軸交直線AC于點E,如圖，設尸產-2f+3),

?.”可回軸，

???點E的縱坐標為_產->+3

第22頁共44頁

則-/-2/+3=%+3

??x=—/—2t,

E—2t,—產—2二+3),

??PE=—t2—2t—t=—t2—3t9

VA(-3,0),3(1,0),

/.AB=1-(-3)=4

軸，

/.AEPD^AABD

.PDPE

??麗―IP

???當仁-1■時，鬟的值最大，最大值為白,

2D610

此時點尸的坐標為

(3)如圖,設尸(八->-2加+3),則Af(m,斐+3)

/.PM=|m+3—^-m2—2m+3)|=|m2+3m|,CM={m2+/=^2|m|,

?二△尸。/沿直線PC翻折，M的對應點為點“，落在y軸上，而加〃丁軸

,PMPCM',PM=PMr,CM=CM',ZPCM=ZPCMr

：.ZPCMr=ZMPC

：.ZPCM=ZMPC,

：.PM=CM9

/.|m2+3m|=帆

第23頁共44頁

當/+3m=V5m時，解得：叫=。(舍去)，m2=72-3,

此時點

當/+3%=-五加時，解得：叫=。(舍去)，e=-血-3,

綜上，點”的坐標為(3-3,0)或「五-3,

10.(1)y=—爐+2x+3

⑵7或T

⑶經過定點(3,-2)

【分析】本題考查了二次函數綜合應用、二次函數的圖象與性質、函數解析式，熟練掌握一次

函數和二次函數的圖象與性質，學會數形結合的思想方法解決函數問題是解題的關鍵.

(1)代入點A(TO),磯3,0)到拋物線>=一/+法+°,再利用待定系數法求解即可；

(2)根據二次函數的性質可得圖象開口方向向下，對稱軸為直線x=l,頂點為。,4),再分3

種情況①l<P-3VxVp+2；②p-3VxVp+2<l；③p_3W”p+2討論，結合對應的函數值y的

最大值為-5,分別求出p的值即可；

(3)設點。(孤-川+2祖+3)、E(n,-??2+2n+3),利用一次函數的解析式求出。尸=3-%同理可

得OG-3,由。尸=”可得加-3(m+〃)=-ll,再設直線DE的解析式為了=依+。，聯立拋物

(JCJ

線表達式可得Y+(k-2)x+a-3=0,利用根與系數的關系可得〃?+九=2-左，代入機、

〃的關系式可得。=-3左-2,即可求出定點的坐標.

【詳解】(1)解：???拋物線>=-/+法+c經過點A(T,O),8(3,0),

第24頁共44頁

—1—b+c=0

一9+3b+c=0

，拋物線的函數表達式為y=-￡+2x+3；

（2）解：*.*y=-x2+2x+3=-（x-l）2+4,

函數圖象開口方向向下，對稱軸為直線x=l,頂點為（L4）,

.,.當x<l時，y隨x增大而增大，當x>l時，y隨x增大而減小，

①若x>l時，即l<p-3WxVp+2,即p>4,

當x=p-3時，y取最大值-5,

可得：—5=—（/?—3—1）+4,即=9,

解得：P=7或。=1（舍去）；

②若x<l,BPp-3<x<p+2<l,即〃<一1

當了=”+2時，y取最大值-5,

可得：-5=-（p+2-l）-+4,即（0+1）-=9,

解得。=-4或p=3（舍去）；

③若x=l時，則2-3WlWp+2,BP-1<^<4,此時y的最大值為4,

???不符合題意，舍去；

綜上，p的值為7或T.

（3）解：設點。（加,-m+2加+3）、?+2〃+3）,

設直線AD的表達式為>=匕尤+4,

—k[+%=0

代入點A（T。）、+2加+3）得:

k1m+%=—m2+2m+3

a=-（777-3）

解得:

...直線AD的表達式為：y=-（rn-3）x+（3-m）,

?,?代入尤=0得,y=3—根,gpF（0,3-m）,

第25頁共44頁

OF=3—m,

同理可得：OG=n-3,

0F=——2,

OG

：.OFOG=-（m-3）（n-3）=2,

/.-zm+3（m+M）-9=2,

整理得：加i-3（m+幾）=-11①，

設直線DE的解析式為y=kx+a9

當日+。=一爐+2x+3時，

BPf+（左—2）%+a—3=0,

??,交點橫坐標用、〃為方程的兩個實數根，

：?m+n=2—k,m-n=a—3,

代入①得：—3）-3（2—左）二一11,

整理得：a=-3k-2,

y=kx+a=kx—3k—2=k（^x—3^—2,

???當x=3時，>=-2,

???直線DE過定點（3,-2）.

IL⑴二次函數的關系式為y=-不2+|工+4

⑵小I]

【分析】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法、“將軍飲馬”模型.

48

（1）用待定系數法即得二次函數的關系式為y=\f+|x+4；

（2）由y=-gx2+|x+4=_*xT）2+g,得拋物線的對稱軸是直線x=l,與y軸交點C（0,4）,

根據點3關于直線x=l的對稱點是A,可知AC與對稱軸的交點即為點使"W+CM的長度

最短,用待定系數法得直線AC的解析式為y