2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)與線段周長(zhǎng)綜合壓軸題提分刷題練習(xí)題

1.如圖，已知拋物線與X軸交于A(L0)和8(-5,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C直線y=-3x+3過拋物

線的頂點(diǎn)P.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若直線X=皿-5<m<0)與拋物線交于點(diǎn)E,與直線BC交于點(diǎn)F.

①當(dāng)所取得最大值時(shí)，求m的值和EF的最大值；

②當(dāng)△歷C是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)4(4,0)的直線與丁軸交于點(diǎn)3(0,4).經(jīng)過原點(diǎn)。的

拋物線>=-/+法+c交直線AS于點(diǎn)A,C,拋物線的頂點(diǎn)為D

備用圖

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)”是線段AB上一點(diǎn),雙是拋物線上一點(diǎn)，MN平行于y軸且交x軸于點(diǎn)E,當(dāng):EN=1:2時(shí)，

求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).是否存在以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四

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邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.如圖.拋物線丁=加+法+3(。彳0)與x軸交于A(3,0),D兩點(diǎn)，與，軸交于點(diǎn)8,拋物線的對(duì)

稱軸：直線x=l與x軸交于點(diǎn)C.

⑴求該拋物線的解析式；

PF

⑵若點(diǎn)P是直線上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接上交A3于點(diǎn)E,如圖1,當(dāng)差的值最大時(shí)，

DE

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及的P矍F最大值；

DE

(3)若點(diǎn)M為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且“在x軸上方，N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)

P，M,N,使得以ARM,N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

4.如圖，已知拋物線y=/+bx+c與x軸相交于A(-1,0),3(m,0)兩點(diǎn)，與＞軸相交于點(diǎn)C(0,-3),

拋物線的頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若尸是直線BC下方拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)打，與3c交于點(diǎn)M,求線段

長(zhǎng)度的最大值.

⑶若點(diǎn)E在x軸上，且NECB=NCBD,直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

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5.已知拋物線y=-2f+4x+6與x軸相交于a、B兩點(diǎn)，與>軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為頂點(diǎn).

⑵如圖1,點(diǎn)尸為拋物線對(duì)稱軸(直線/)上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)點(diǎn)尸在什么位置時(shí)，|PB-PC|取得最

值？最值是多少？

(3)如圖2,在第一象限內(nèi)，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)河交3c于點(diǎn)E,求黑的最大值.

OE

6.如圖，已知拋物線丁=加+版_4與％軸分別交于點(diǎn)24(2,0),3(-4,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。

是拋物線上一點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式：

(2)若點(diǎn)Q在直線BC下方的拋物線上，過點(diǎn)。作“，x軸于點(diǎn)D,交直線BC于點(diǎn)E,作QF±BC

于點(diǎn)當(dāng)座=2跖時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOC繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到WOB,其中OA=1,OC=3.

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⑴若二次函數(shù)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，求該二次函數(shù)的解析式;

(2)在(1)條件下，在二次函數(shù)的對(duì)稱軸/上是否存在一點(diǎn)P,使得P4+PC最??？若點(diǎn)P存在,

求出點(diǎn)尸坐標(biāo)；若點(diǎn)P不存在，請(qǐng)說明理由.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=與X軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

連接AC,BC,且8（-2,0）,AB=6.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)如圖1,點(diǎn)尸為直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過尸作如LAC交AC于點(diǎn)O,過戶作PGLx軸

交x軸于點(diǎn)G、交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)M為直線PG上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△由周長(zhǎng)最大時(shí)，求。M+冬M

的最小值及此時(shí)點(diǎn)”的坐標(biāo);

(3)如圖2,將拋物線y=/2-X-4沿射線BC方向平移26個(gè)單位，得到新拋物線口點(diǎn)/是新

拋物線y'上一點(diǎn)，點(diǎn)。為點(diǎn)8關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)//℃=45。時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有符合條件

的尸點(diǎn)的坐標(biāo).

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9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線》=加+法+3與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),川1,0)兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

圖1備用圖

(1)求拋物線的解析式；

⑵當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方的拋物線上時(shí)，連接取交AC于點(diǎn)。，如圖1,當(dāng)黑的值最大時(shí)，求

Do

點(diǎn)P的坐標(biāo)及黑的最大值；

L)D

⑶過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)連結(jié)PC,將△尸CAf沿直線PC翻折，當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)M'恰好落在y軸上時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

10.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y=-Y+bx+c與X軸的交點(diǎn)分別為A(TO)、3(3,0),如圖.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)自變量x滿足p-34xWp+2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為-5,求p的值.

⑶動(dòng)點(diǎn)。在第一象限的拋物線上.動(dòng)點(diǎn)E在第四象限的拋物線上，如圖，連結(jié)AD、AE,分

別與丁軸交于點(diǎn)只G點(diǎn).且點(diǎn)。、E在運(yùn)動(dòng)過程中。尸、OG總是滿足。/=白，探究直線DE

17Gr

能否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)，若能，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.

11.如圖，二次函數(shù)丫=加+版+4的圖象過點(diǎn)A(3,0)和3(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C.

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(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)若在該二次函數(shù)的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)使"W+CM的長(zhǎng)度最短，求出”的坐標(biāo).

12.如圖，已知拋物線y=-/+6x+c與一直線相交于A。，。)、C(-2,3)兩點(diǎn)，與1軸交于點(diǎn)N,其

頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使AAW的周長(zhǎng)最小.若存在，請(qǐng)求出“點(diǎn)的坐標(biāo)和"WM周

長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

13.如圖，拋物線『-f+bx+c與無軸交于點(diǎn)4(-1,0),3(5,0)兩點(diǎn)，直線>=-片+3與丁軸交于

點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作P/Fx軸于點(diǎn)孔交直

線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

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⑴求拋物線的解析式；

⑵寫出線段CE的長(zhǎng)（用含有機(jī)的代數(shù)式表示）；

（3）若PE=5E尸,求機(jī)的值；

（4）在y軸正半軸上是否存在點(diǎn)G,使C、E、P、G為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出相

應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

14.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=辦2+法+3（0片0）交》軸于點(diǎn)4、3,交y軸于點(diǎn)C.其

中，OA=6拋物線的對(duì)稱軸是直線X=6.

圖1圖2

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）8平分NOC3交x軸于D點(diǎn)P是直線2C上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸交直

線C3于點(diǎn)E,交直線8于點(diǎn)H點(diǎn)V、N是x軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN=2^3（般在N的左側(cè)），連

接CM、PN,當(dāng)線段PF取最大值時(shí)，求尸N+M2V+CM的最小值；

⑶如圖2,連接AC,將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)C,且與直線BC相

交于另一點(diǎn)H.點(diǎn)。為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)/QCW=ZACO,直接寫出所有符合條件的

點(diǎn)Q的坐標(biāo).

15.如圖，已知拋物線［=-/+法+c與x軸交于A（-LO）,3（5,0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)6的左側(cè)），與

y軸交于點(diǎn)c.

（1）求拋物線的解析式;

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⑵點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合），過點(diǎn)。作小軸于點(diǎn)P,

交直線BC于點(diǎn)E.

①求線段DE的最大值；

②連接直線3c把VB/m的面積分成兩部分，若，皿：“詼=3:2,請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

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參考答案

1.⑴>=一%2-4x+5

⑵①當(dāng)，〃=-|時(shí)，所取最大值微，②(-4,5)或(&-5,-2+6⑹或(-3,8)

【分析】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，等腰三角形，勾股定理等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用.

(1)由拋物線與x軸交于41,0)和8(-5,0)兩點(diǎn)，得拋物線對(duì)稱軸為直線X=F=-2,即可得拋

物線頂點(diǎn)為(-2,9),設(shè)拋物線函數(shù)解析式為y=a(x+2＞+9,將A(l,0)代入可得q=T,故拋物線

函數(shù)解析式為＞=-(*+2)2+9=-/-以+5；

(2)①求出C(0,5),得直線3c解析式為y=x+5,故E(m,-/-4機(jī)+5),F(m,m+5),得

525

EF=-m2-4m+5-(m+5)=-(m+—)2+—；

②根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；

③由機(jī)+5),F(m,m+5),C(0,5),得石尸=(機(jī)？+5根)2,EC2=m2+(m2+4m)2,FC2=2m1;分

三種情況列方程可解得答案.

【詳解】(1)解：?.,拋物線與x軸交于41.0)和2(-5,0)兩點(diǎn)，

二拋物線對(duì)稱軸為直線x=—=-2,

在y=-3x+3中，令》=—2得＞=9,

二拋物線頂點(diǎn)為(-2,9),

設(shè)拋物線函數(shù)解析式為y=a(x+2)z+9,

將A(l,0)代入得:

0=9々+9,

解得。=-1,

二拋物線函數(shù)解析式為y=-(x+2)2+9=-x2-4x+5；

(2)解：①如圖：

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在y=-Y-4x+5中，令x=0得y=5,

C(0,5),

設(shè)直線2C解析式為>=履+6,

0=-5k+b

將8(-5,0),CQ5)代入得

5=b

k=l

解得

b=59

二.直線5c解析式為y=尤+5,

設(shè)旦孫->-4加+5),則F(m,m+5),

525

/.EF=-m2-4m+5—(m+5)=-m2—5m=-(m+—)2+—,

595

二當(dāng)m=-|時(shí)，M取最大值?，

②設(shè)￡(九-/-4加+5),則尸(見加+5),C(0,5),

/.EF2=(m2+5m)2,EC2=m2+(m2+4m)2,FC2=2m2;

若EF=EC,貝！J(m2+5m)2=m2+(m2+4m)2,

解得根=0(E與。重合，舍去)或加=-4,

??E(T,5)；

若EF-FC,貝!](m2+5m)2=2m2,

解得加=。(舍去)或加=0-5或加=-四-5(不符合題意，舍去),

.?.￡(行-5,-2+6夜),；

若EC=FC,貝(J蘇+(根2+4相>=2fH2,

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解得機(jī)=0(舍去)或加=-3或M=-5(不符合題意，舍去),

，E(-3,8)；

綜上所述，E的坐標(biāo)為(-4,5)或(0-5,-2+60)或(-3,8).

2.(l)y=-x2+4x

⑶(5,1)或(+2)或或七旦W'

\7\7

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

(2)求出直線A3的表達(dá)式為y=f+4,設(shè)+4)(04機(jī)工4),則+.),E(〃z,0),

分情況表示出MN,EN,結(jié)合MN:EN=1:2,列方程求出％,即可求解；

(3)畫出圖形，分AC是四邊形的邊和AC是四邊形的對(duì)角線，進(jìn)行討論，利用勾股定理，相

似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)圖像的交點(diǎn)，平移等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答即可得出答案.

【詳解】(1)解：,拋物線、=-1+6尤+(:過原點(diǎn)。，

二.c=0,

將A(4,0)代入拋物線y=-x2+笈中，得一4?+46=0,

解得：6=4,

???拋物線的表達(dá)式為y=-丁+?；

(2)解：設(shè)直線A3的解析式為>=區(qū)+。，

將A(4,0),B(0,4)代入得:

[4k+a=0

\0+a=49

直線AB的解析式為y=T+4,

設(shè)—+4),其中0W/W4.

當(dāng)“在"點(diǎn)上方時(shí)，MN=t2-5t+4,EN=-r+4t.

'：MN:EN=1:2,

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EN=2MN.

**?+41=2(/—5/+4),

解得：4=；/=4(不合題意，舍去);

當(dāng)〃在N點(diǎn)下方時(shí)，MN=-t2+5t-4.

**?—產(chǎn)+4%=2(—/+5/—4),

解得：，3=2/4=4(不合題意，舍去).

???滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有兩個(gè)(耳,5),(2,2).

(3)解：存在，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)有4個(gè).

如圖，若AC是四邊形的邊，

當(dāng)x=2時(shí)，y=-2+4=2,

???拋物線y=-爐+4x的對(duì)稱軸與直線AB相交于點(diǎn)次(2,2),￡>(2,4),

y=-x+4

聯(lián)立

y——x2+4x

—/r(x=l,、fx=4&,

解得：\2或(n(舍去)，

[y=3[y=0

.-.C(l,3),

過點(diǎn)C,A分別作直線AB的垂線交拋物線于點(diǎn)兒2,

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QC(1,3),O(2,4),R(2,2),

:.CD=s/2,CR=y/2,RD=2,

Q(四)?+(五下=22,

:.CD2+CR2=DR2,

:.ZDCR=90°,

???點(diǎn)片與點(diǎn)。重合.

當(dāng)*〃AQt,CPX=AQ,時(shí)，四邊形ACqQ是矩形.

?.?C(l,3)向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到片(2,4).

A(4,0)向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到。(5,1),

此時(shí)直線CPX的解析式為y=尤+2.

,/直線6A與2平行且過點(diǎn)44,0),

，直線6A的解析式為N=x-4.

,點(diǎn)p2是直線y=X-4與拋物線y=-x2+4x的交點(diǎn),

?9AA

??一廠+4x=x-4,

解得：X]=-1,X2=4(舍去).

?■■^(-1,-5),

當(dāng)AC〃鳥&，AC=￡2時(shí)，四邊形ACQ?鳥是矩形，

?.?4(4,0)向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到C(L3).

鳥(-1,-5)向左平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到。2(-4,-2).

如圖，若AC是四邊形的對(duì)角線，

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當(dāng)乙4月。=90。時(shí).過點(diǎn)鳥作學(xué)/，犬軸，垂足為〃，過點(diǎn)C作垂足為K.

可得NRKC=AAHP3/P3CK=NA8H,

:NP3CK^NAP3H,

P3KAH

…藪一麗’

設(shè)Pg,-/+4。，

.一〃+4%-3_4-t

-t-1-〃+4]'

???點(diǎn)尸不與點(diǎn)AC重合，

「./w1和，w4,

—3%+1=0,

_3+岔_3-A/5

也=二一，

??.如圖，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè).

當(dāng)C乙〃A03，CA=AQ3時(shí)，四邊形A4C03是矩形.

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...月三萼,與5向左平移泊個(gè)單位，向下平移上5個(gè)單位得到Qi,3).

I22J22

.?.A(4,0)向向平移個(gè)單位，向下平移士更個(gè)單位得到。/上婆,不

22I22J

當(dāng)C1〃AQ,CA=AQ4時(shí)，四邊形A《CQ是矩形.

...R［三5三勺向右平移士抬個(gè)單位，向上平移1±占個(gè)單位得到.

I22J22

.?.44,0)向右平移三立個(gè)單位，向上平移二6個(gè)單位得到。(呼.

綜上，滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)為(5」)或(T-)2或［上空,=5］或［￥，葉普.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題主要涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,

勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的平移等知識(shí)，根據(jù)題意畫出符合條件

的圖形，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

3.(1)y=—九?+2x+3

⑵當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為信孝，黑最大值為最

DE<24)DE16

(3)不存在，理由見解析

【分析】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方

形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；

(1)根據(jù)拋物線廣加+區(qū)+3(叱0)與x軸交于A(3,0),對(duì)稱軸：直線尤=1,列方程組求解即

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可；

(2)先求出直線A3解析式為產(chǎn)-尤+3,過。作DGLx軸交直線A3于G,過P作軸交直

PFPH/、

線AB于H,貝得至UAPEHSADEG,貝1］赤=而，再求出DG=4,設(shè)P?,一-+2加+3),

PFPH

則8(7”,-加+3),PH=f?+3相，代入定=后計(jì)算求最大值即可；

(3)過A作APJLx軸，由0A=03=3得到？R4O?BAF45?,根據(jù)給定的條件發(fā)現(xiàn)NB4M在

NB4F=45。內(nèi)部，即？45?,但是由以ARM,N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，得到必

定是等腰直角三角形，/尸&〃=45?；?0。，與？PAM45?矛盾，據(jù)此得到不存在以ARM,N為

頂點(diǎn)的四邊形為正方形.

【詳解】(1)解：,??拋物線產(chǎn)加+樂+3(”0)與x軸交于4(3,0),對(duì)稱軸：直線x=l,

0=9。+3b+3

-A=1

、2a

CI=-1

解得

b=2

???該拋物線的解析式為y=T，2x+3；

(2)解：令尤=0,則y=—X?+2x+3=3,令y=。，貝|y=—尤~+2x+3=0,解得占=3,%=—1,

.?.8(0,3),￡>(-1,0),

設(shè)直線AB解析式為》=履+3,

把A(3,0)代入得0=3左+3,解得左=-1,

直線解析式為y=-x+3,

過。作。G_Lx軸交直線A8于G,過P作尸"，龍軸交直線AB于"，則DG〃尸”,

APEHSIJJEG,

第8頁(yè)共44頁(yè)

.PEPH

**DE-DG?

當(dāng)％=_1時(shí)，y=r+3=4,

DG=4,

設(shè)尸（見一療+2根+3）,則H（m,-m+3）,

/.PH=m2+2m+3）—（—m+3）=—m2+3m,

?PEPH一/+3機(jī)\(3丫9

??==----=—m—H,

DEDG4412)16

二當(dāng)時(shí)，裝=3最大，此時(shí)尸后力

???當(dāng)4I的值最大時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為佶馬，最大值為2;

DE124JDE16

(3)解：不存在，理由如下：

過A作AFLx軸,

V5(0,3),4(3,0),

OA=OB=3,

???NBAO=45。，

NBA尸=45。，

???點(diǎn)P是直線A3上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且M在x軸上方,

ZPAM^EZBAF^45°內(nèi)部，

:PAM45?,

假設(shè)存在以AP，/，N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，

???△弘〃必定是等腰直角三角形，

/PAM=45?；?0。，與？R4"45?矛盾，

第9頁(yè)共44頁(yè)

???假設(shè)不成立，

.?.不存在以A,P,/,N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形.

4.(1)J=X2-2X-3

⑵：

(3)[|，。]或(6,0)

【分析】(1)將分TO),C(0,-3)代入廠/+法+。求解即可；

(2)根據(jù)BC的解析式和拋物線的解析式，設(shè)網(wǎng)用無2—3),則”(x,x-3),表示P"的長(zhǎng)，根

據(jù)二次函數(shù)的最值可得的最大值即可；

(3)如圖1,連接CE',CE交BD于■點(diǎn)、T.然后分點(diǎn)￡在點(diǎn)8的左側(cè)和右側(cè)兩種情況解答

即可.

【詳解】(1)解：把洋TO),C(0,-3)代入拋物線y=d+O+c中

l—b+c=0

得:

c=-3

b=-2

解得:

c=-3

???拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

(2)解：VJ=X2-2X-3,

2

當(dāng)y=0時(shí)，x-2x-3=0>

解得：x=3或-I,

3(3,0)；

設(shè)的解析式為：y^kx+t,

,.?3(3,0),C(0,-3),

J3左+/=0

?(=—3，

解得:[:二3，

第10頁(yè)共44頁(yè)

???3C的解析式為：y=x-3,

設(shè)P^x,x2—2x—3),

則〃(工1-3),

...PM=

3Q

當(dāng)x=7時(shí)，PM有最大值為了.

24

（3）解：如圖1,連接82CE,CE，交BD于點(diǎn)、T.

=(X-1)2-4,

???頂點(diǎn)。(LT),

設(shè)瓦）所在直線的解析式為：y=k（x-3）,

將。（1,T）代入函數(shù)解析式得一2左=T,

解得k=2,

故8。所在直線的解析式為：y=2x-6,

NECB=NCBD,

：.CE//BD,

設(shè)CE所在直線的解析式為：y=2x+p,

將C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得。=-3,

故CE所在直線的解析式為：y=2x-3,

3

當(dāng)y=0時(shí)，x=~,

即點(diǎn)E的坐標(biāo)為1（，。），

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，

VB（3,0）,C（0,-3）,。（1）,

第11頁(yè)共44頁(yè)

.-.CB2=32+32=18,CD2=l2+（4-3）2=2,BD2=（3-l）2+42=20,

:.CB-+CD1=BD2,

...ABCD是直角三角形，

8。是斜邊，

,?NECB=NCBD,

：.ZTCD=ZTDC,

：.CT=BT=DT,

.?.T為的中點(diǎn)，

I.CE經(jīng)過3。的中點(diǎn)7(2,-2),

直線CT的解析式為k;x-3,

，點(diǎn)E'的坐標(biāo)是(6,。).

???綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)是||,。］或(6,0).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾

股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

5.(1)A(-l,0),B(3,0),C(0,6),Z)(l,8)

⑵點(diǎn)尸的坐標(biāo)為卜寸，|PB-PC|取得最小值0;點(diǎn)尸的坐標(biāo)為。，12)時(shí)，|PB-PC|取得最大值

國(guó)

(3)1

【分析】(1)用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)，用交點(diǎn)法求交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(2)根據(jù)題意，當(dāng)PB=PC時(shí)，阿-PC|的值最小，且為0；根據(jù)PA-PCWAC,得當(dāng)P,A,C三

點(diǎn)共線時(shí)，必-尸。取得最大值，最大值為AC的長(zhǎng)，解答即可.

(3)不妨設(shè)M(m,-2m2+4〃?+6),過點(diǎn)〃作MG〃交x軸于點(diǎn)G,設(shè)直線BC的解析式為y=px+6,

確定直線2C的解析式為y=-2x+6,用機(jī)表示直線MG的解析式，利用平行線分線段成比例定

理，構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值解答即可.

【詳解】(1)解：Vy=-2x2+4x+6=-2(x-l)2+8,

第12頁(yè)共44頁(yè)

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為。（1,8）；

?.?當(dāng)X=O時(shí)，y=6,

C（o,6）,

*.*當(dāng)y=。時(shí)，y=-2x2+4x+6=-2（x-l）2+8=0,

解得玉=3,x2=-1,

A（-LO）,3（3,0）；

故答案為：A（-l,0）,B（3,0）,C（0,6）,D（l,8）.

（2）解：根據(jù)題意，得當(dāng)依=PC時(shí)，的值最小，且為0,

設(shè)P（Lm），

故（I-。）?+（7/2—6）2=（1-3）2+（m—0）-,

解得加=?，

故點(diǎn)時(shí)，的值最小，且為0;

：產(chǎn)在對(duì)稱軸上，且點(diǎn)A,點(diǎn)3是對(duì)稱點(diǎn)，

/.PA=PB,

：.\PB-PC\=\PA-PC\,

PA-PC<AC,

???當(dāng)P,A,C三點(diǎn)共線時(shí)，尸A-尸C取得最大值，最大值為AC的長(zhǎng),

??AC-V12+62=^37，

設(shè)直線AC的解析式為y=丘+6,

故-左+6=0,

解得k=6,

???直線AC的解析式為y=6尤+6,

二.x=l時(shí)，>=6x1+6=12,

故點(diǎn)尸（U2）時(shí)，-3-尸。的值最大，且為亞.

第13頁(yè)共44頁(yè)

丁八

(3)解：?拋物線的解析式為y=-2/+4x+6,不妨設(shè)M(兀-2療+4加+6),

過點(diǎn)M作MG〃BC交無軸于點(diǎn)G,

設(shè)直線2C的解析式為y=px+6,

故3〃+6=0,

解得。=-2,

直線BC的解析式為y=-2x+6,

設(shè)直線MG的解析式為V=-2x+q,

-2m2+4m+6=-2m+q,

解得q=_2m2+6m+6,

???直線加6的解析式為,=_21+（_2療+6瓶+6）,

當(dāng)y=。時(shí)，-2%+（-2/+6機(jī)+6）=0,

解得％=-“+3加+3,

/.G（—根?+3根+3,0）,

/.GB=（—機(jī)2+3m+3）-3=—m2+3m,

?/MG//BC,

.MEGB

??麗—茄'

第14頁(yè)共44頁(yè)

拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，

且當(dāng)小時(shí)，篝有最大值，且為I

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式，平行線

分線段成比例定理，勾股定理，三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，熟練掌握

性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

6.⑴y=；無2+x-4

⑵。(-2T)

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段問題等

知識(shí).

(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可.

(2)先求出C(O,T),再得出OB=OC,結(jié)合已知條件分別得出△瓦汨AQKE為等腰直角三角形，

利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)E(x,r-4),則點(diǎn)。(X,；X2+X_4),進(jìn)而由等腰直

角三角形的性質(zhì)可得出EQ=-g尤2-2彳=應(yīng)跖，==應(yīng)(x+4),根據(jù)5E=2EF得出關(guān)于x

的一元二次方程，求解即可得出答案，并選擇點(diǎn)Q在直線下方的拋物線上的點(diǎn)即可.

【詳解】(1)解：由已知可設(shè):y=a(x+4)(x-2)=a(f+2x-8),

第15頁(yè)共44頁(yè)

則-8a=-4,得：a=1

進(jìn)而有》=2a=l

所以拋物線的解析式為：y=-4

(2)解：由(1)知：y=^x2+x-4,

當(dāng)％=0時(shí)，y=-4,

???C(0T),

OB=OC,

.\ZBCO=ZOBC=45°,

.,./BED=/QEF=45。,

?：QFLBC,

??.NQFE=90。，

.-.ZEQF=ZQEF=45°,

,-.EF=QF,

設(shè)直線BC的解析式為：y=ax+b,

r」-4a+b=0

則，

的/=-4

解得:m

???3C的解析式為：y=-x-4,

設(shè)點(diǎn)E(x，-x-4),則點(diǎn)Q[X,；/+X-4],

貝[jEQ=—x—[l/+x—4)=——%2—2尤=\[^EF,

而成=同。=&(x+4),

-：BE=2EF,

即A/2(x+4)=A/2^——x2—2x],

解得：x=-4(舍去)或-2,

即點(diǎn)。(-2,Y)；

第16頁(yè)共44頁(yè)

7.（1）y=%2-2x-3

（2）存在，P（l,-2）

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求

解，是解題的關(guān)鍵：

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到OB=OC=3,進(jìn)而求出AB,C的坐標(biāo)，兩點(diǎn)式設(shè)出函數(shù)解析式，待

定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)對(duì)稱性得到=進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，P4+PC最小，進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：：△AOC繞原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至I」ADOB,OA=1,OC=3

OB=OC=3,

：.A（-l,0）,B（3,0）,C（0,-3）,

設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+D（x-3）,把C（0,-3）代入解析式，得：

-3=?（0+1）（0-3）,解得：?=1,

y=（x+1）（x_3）=Y_2x_3；

（2）,:y=x2-2x-3,

對(duì)稱軸為直線x=-*l,

二?A,2關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)尸在對(duì)稱軸上，

/.PA=PB,

：.PA+PC=PB+PC2BC,

???當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC上時(shí)，PA+PC最小，

B（3,O）,C（O,-3）,

???設(shè)直線2C的解析式為y=履-3,把3（3,0）代入解析式，得：k=l,

，y=x-3,

???當(dāng)％=1時(shí)，y=l-3=-2,

：.P（l,-2）.

1

8.(l)y=-x92-x-4

第17頁(yè)共44頁(yè)

（2）372,M（2,-2）

⑶尸］比智，上譬］或P（26-6有+6）

【分析】（1）根據(jù)鞏一2,0）,AB=6,得4（4,0）,代入y=g/+bx+c,解方程組得即得y=一牝

（2）證明ADPE是等腰直角三角形,設(shè)尸「,：/-X-j,求出直線AC表達(dá)式y(tǒng)=X-4,得E（x,x-4）,

PE=-g（x-2）2+2當(dāng)x=2時(shí)，尸￡最大時(shí)，ADE尸周長(zhǎng)最大，此時(shí)P（2,T）,E（2,-2）,得PE=2,

DE=叵,連接并延長(zhǎng)OE到H,使EH=OE=夜，連接/JM,得OE=20,OH=3y/2,根據(jù)

MO+MH>OH,得OM+*PM最小值為3及，M（2,-2）；

（3）由軸對(duì)稱知，Q（2,0）,結(jié)合C（0,-4）得BC=Jo^+oc?=2右，由y=-x-4=g（尤-1）2-4.5

平移，得y'=g（x-3）2-8.5,過點(diǎn)C作CPLCQ,交直線尸。于點(diǎn)P,過尸作PN,y軸于點(diǎn)N,則

ZPCQ=90°,證明"=CQ,ZPNC=ZCOQ=90°,ZCPN=ZQCO,得&CPN冬AQCO（AAS）,可

得P（Y,-2）,求出直線P2解析式y(tǒng)=$_g,聯(lián)立得g（x-3）2-8.5=+-|解得：1-卅,

得彳9|叵，上普）；當(dāng)R在C。右下側(cè)時(shí)同理得尸（4,-6）,直線PQ解析式為y=-3x+6,聯(lián)

立得：（X-3）2-8.5=-3彳+6。解得尤=2有，得P（2布「6布+6）.

【詳解】（1）解：,??拋物線+c與x軸交于A,8兩點(diǎn)，B（-2,0）,AB=6,

A（4,0）,

,J8+4Z?+c=0

\2-2b+c=Q，

b=—l

解得

c二一4'

/.y=—x2-x-4;

2，

（2）解：由（1）可知，A（4,0）,C（0,T）,

Q4=OC=4,

ZOAC=ZOCA=45°f

第18頁(yè)共44頁(yè)

VPDLAC,PG_Lx軸，

：.PG//y^

：.ZPEC=ZOCA=45°,

???△DPE是等腰直角三角形，

設(shè)尸卜;—-x-j,直線AC表達(dá)式為丫=依+”,

解味二，

y=x-4,

.,.當(dāng)x=2時(shí)，PE最大時(shí)，ADEP周長(zhǎng)最大，

此時(shí)尸（2,Y）,￡（2,-2）,

/.PE=2,

DE=—PE=^1,

2

連接并延長(zhǎng)OE到H,

使EH=DE=近,連接

則點(diǎn)H與點(diǎn)。關(guān)于直線PE對(duì)稱，

OE=6+2<=2夜,

.*?OH=3五,

"：MO+MH>OH,

I.當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)，OM+昱PM=OE+EH=OH=3近,值最小,

2

OM+孝最小值為3五，

.\M（2,-2）；

第19頁(yè)共44頁(yè)

OQ=OB=2,,

'：0C=4,

?*-BC=y/OB2+OC2=2A/5，

???拋物線y=-4沿射線BC方向平移26個(gè)單位，

，拋物線y=r一4是向右平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位,

11

29

?.?y=—x-x-4=—^x-iy-4.59

2

y=l（x-3）-8.5,

過點(diǎn)。作C尸，Q2,交直線尸。于點(diǎn)P,過尸作軸于點(diǎn)N,

貝（JN尸CQ=90。，

?.?ZC0F=45°,

ZCPQ=90°-ZCQF=45°,

.?.CP=CQ9

/PNC=ZCOQ=90°,

ZPCN+ZCPN=/PCN+ZQCO=90°,

ZCPN=ZQCO,

△CPN%QCO（AAS）,

：.PN=CO=4,CN=QO=29

當(dāng)尸在直線CQ左上側(cè)時(shí)，

???ON=OC-CN=2,

第20頁(yè)共44頁(yè)

/.P（-4,-2）,

設(shè)直線尸。解析式為^=如+”,

,12m+n=0

則M々上

[-4m+n=—2

1

m=—

3

解得2,

n=—

[3

._12

??y=~x—,

33

聯(lián)立得g（x-3）2—8.5=

解得：QI屈或一1。+4師（舍去），

33

.（10-4V104-4質(zhì)）

當(dāng)R在直線CQ右下側(cè)時(shí)，

同理得「（4,-6）,直線尸。解析式為丁=-3尤+6,

19

聯(lián)立得-（x-3）-8.5=-3x+6o

解得了=2百或X=-2A/?（舍去），

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合.熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式，二次

第21頁(yè)共44頁(yè)

函數(shù)與一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)產(chǎn)生的二次函數(shù)的最值問題，軸對(duì)稱性質(zhì)，二次函數(shù)

的平移性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

9.⑴該拋物線的解析式為y=r2-2x+3；

(2)點(diǎn)p的坐標(biāo)為卜;寫，兼的最大值為3

I/UD10

(3)點(diǎn)”的坐標(biāo)為(&-3,后)或卜夜-3,-0)

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式,

利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：

(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；

(2)過點(diǎn)P作PEIIx軸交直線AC于點(diǎn)E,設(shè)產(chǎn)伍,-產(chǎn)-2f+3),進(jìn)而表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，證明

△EPI3AABD,列出比例式，將胃PD轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；

(3)設(shè)尸(”-/_2加+3),則/(祖,祖+3),根據(jù)折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，推出=

進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：：拋物線>=加+云+3與x軸交于點(diǎn)A(TO),3(1,0)兩點(diǎn)

儼-36+3=0

[々+6+3=0

Cl=-1

解得:

6=-2'

該拋物線的解析式為y=-f-2x+3；

(2)當(dāng)尤=0時(shí)，y=3

/.C(0,3)

設(shè)直線AC的解析式為>=丘+〃，把A,C兩點(diǎn)代入解析式得:

[-3k+n=0k=\

，解得:

[n=3n-3

*,?直線AC的解析式為y=x+3,

過點(diǎn)尸作軸交直線AC于點(diǎn)E,如圖，設(shè)尸產(chǎn)-2f+3),

?.”可回軸，

???點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為_產(chǎn)->+3

第22頁(yè)共44頁(yè)

則-/-2/+3=%+3

??x=—/—2t,

E—2t,—產(chǎn)—2二+3),

??PE=—t2—2t—t=—t2—3t9

VA(-3,0),3(1,0),

/.AB=1-(-3)=4

軸，

/.AEPD^AABD

.PDPE

??麗―IP

???當(dāng)仁-1■時(shí)，鬟的值最大，最大值為白,

2D610

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

(3)如圖,設(shè)尸(八->-2加+3),則Af(m,斐+3)

/.PM=|m+3—^-m2—2m+3)|=|m2+3m|,CM={m2+/=^2|m|,

?二△尸。/沿直線PC翻折，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)“，落在y軸上，而加〃丁軸

,PMPCM',PM=PMr,CM=CM',ZPCM=ZPCMr

：.ZPCMr=ZMPC

：.ZPCM=ZMPC,

：.PM=CM9

/.|m2+3m|=帆

第23頁(yè)共44頁(yè)

當(dāng)/+3m=V5m時(shí)，解得：叫=。(舍去)，m2=72-3,

此時(shí)點(diǎn)

當(dāng)/+3%=-五加時(shí)，解得：叫=。(舍去)，e=-血-3,

綜上，點(diǎn)”的坐標(biāo)為(3-3,0)或「五-3,

10.(1)y=—爐+2x+3

⑵7或T

⑶經(jīng)過定點(diǎn)(3,-2)

【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)解析式，熟練掌握一次

函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法解決函數(shù)問題是解題的關(guān)鍵.

(1)代入點(diǎn)A(TO),磯3,0)到拋物線>=一/+法+°,再利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得圖象開口方向向下，對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)為。,4),再分3

種情況①l<P-3VxVp+2；②p-3VxVp+2<l；③p_3W”p+2討論，結(jié)合對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的

最大值為-5,分別求出p的值即可；

(3)設(shè)點(diǎn)。(孤-川+2祖+3)、E(n,-??2+2n+3),利用一次函數(shù)的解析式求出。尸=3-%同理可

得OG-3,由。尸=”可得加-3(m+〃)=-ll,再設(shè)直線DE的解析式為了=依+。，聯(lián)立拋物

(JCJ

線表達(dá)式可得Y+(k-2)x+a-3=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得〃?+九=2-左，代入機(jī)、

〃的關(guān)系式可得。=-3左-2,即可求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：???拋物線>=-/+法+c經(jīng)過點(diǎn)A(T,O),8(3,0),

第24頁(yè)共44頁(yè)

—1—b+c=0

一9+3b+c=0

，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-￡+2x+3；

（2）解：*.*y=-x2+2x+3=-（x-l）2+4,

函數(shù)圖象開口方向向下，對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)為（L4）,

.,.當(dāng)x<l時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)x>l時(shí)，y隨x增大而減小，

①若x>l時(shí)，即l<p-3WxVp+2,即p>4,

當(dāng)x=p-3時(shí)，y取最大值-5,

可得：—5=—（/?—3—1）+4,即=9,

解得：P=7或。=1（舍去）；

②若x<l,BPp-3<x<p+2<l,即〃<一1

當(dāng)了=”+2時(shí)，y取最大值-5,

可得：-5=-（p+2-l）-+4,即（0+1）-=9,

解得。=-4或p=3（舍去）；

③若x=l時(shí)，則2-3WlWp+2,BP-1<^<4,此時(shí)y的最大值為4,

???不符合題意，舍去；

綜上，p的值為7或T.

（3）解：設(shè)點(diǎn)。（加,-m+2加+3）、?+2〃+3）,

設(shè)直線AD的表達(dá)式為>=匕尤+4,

—k[+%=0

代入點(diǎn)A（T。）、+2加+3）得:

k1m+%=—m2+2m+3

a=-（777-3）

解得:

...直線AD的表達(dá)式為：y=-（rn-3）x+（3-m）,

?,?代入尤=0得,y=3—根,gpF（0,3-m）,

第25頁(yè)共44頁(yè)

OF=3—m,

同理可得：OG=n-3,

0F=——2,

OG

：.OFOG=-（m-3）（n-3）=2,

/.-zm+3（m+M）-9=2,

整理得：加i-3（m+幾）=-11①，

設(shè)直線DE的解析式為y=kx+a9

當(dāng)日+。=一爐+2x+3時(shí)，

BPf+（左—2）%+a—3=0,

??,交點(diǎn)橫坐標(biāo)用、〃為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

：?m+n=2—k,m-n=a—3,

代入①得：—3）-3（2—左）二一11,

整理得：a=-3k-2,

y=kx+a=kx—3k—2=k（^x—3^—2,

???當(dāng)x=3時(shí)，>=-2,

???直線DE過定點(diǎn)（3,-2）.

IL⑴二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-不2+|工+4

⑵小I]

【分析】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、“將軍飲馬”模型.

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（1）用待定系數(shù)法即得二次函數(shù)的關(guān)系式為y=\f+|x+4；

（2）由y=-gx2+|x+4=_*xT）2+g,得拋物線的對(duì)稱軸是直線x=l,與y軸交點(diǎn)C（0,4）,

根據(jù)點(diǎn)3關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)是A,可知AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)使"W+CM的長(zhǎng)度

最短,用待定系數(shù)法得直線AC的解析式為y