北京市房山區(qū)2024-2025學年高二下學期診斷檢測一數(shù)學

檢測試題

試卷共4頁，共150分.考試時間90分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

一、選擇題：（每小題5分，共50分）

1.數(shù)列百，3,岳,亞，…，則庖是這個數(shù)列的第（）

A.8項B.7項C.6項D.5項

【正確答案】C

【分析】根據(jù)已知中數(shù)列的前若干項，我們可以歸納總結(jié)出數(shù)列的通項公式，進而構(gòu)造關(guān)于〃的

方程，解方程得到答案.

【詳解】解：數(shù)列百，3,而，收，…，

可化為：數(shù)列道，、歷，JF，亞，…，

則數(shù)列的通項公式為：%=,

當%=N6n-3=^33時，貝！I6〃-3=33,

解得：〃=6,

故莊是這個數(shù)列的第6項.

故選：C.

本題考查的知識點是數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的通項公式，其中根據(jù)已知歸納總結(jié)出數(shù)列的通項

公式，是解答的關(guān)鍵.

2.設數(shù)列｛%｝的前〃項和為S.=〃2一〃，則氏的值為（）

A.14B.15C.48D.63

【正確答案】A

【分析】

利用公式an=Sn->2,?eN*）進行求解即可.

【詳解】由于數(shù)歹四%｝的前〃項和5“=/一〃，

所以風=56,邑=42,

所以的=.S8-57=14.

故選：A

3.已知函數(shù)/(x)=ax3_3Y+2x—1,且/'(1)=2,則。=()

A.-1B.2C.1D.0

【正確答案】B

【分析】求導后，代入x=l即可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】f'(x)=3ax2-6x+2,f'(l)=3a-4=2,解得.a=2

故選：B.

4.若等比數(shù)列｛%｝滿足％+%=5,且公比2,則%+。5=

A.10B.13C.20D.25

【正確答案】C

【詳解】試題分析：方法一：根據(jù)觀察，數(shù)列可以為1,2,4,8,16,?…，即%=2力，那么

4+%=4+16=20.

方法二：對于%+%=。網(wǎng)?+a§q2=4(q+%),又%+%=5,則/+%=4x5=20.

方法三：對于％+生=/+//=%+4/=5,解方程可得，4=1,那么通項％=2"T,可知

%=4,(z5=16,貝!］。3+。5=20.

故選C.

考點：1等比數(shù)列的基本性質(zhì);2等比數(shù)列的通項公式.

5.下列求導運算正確的是

A.(In2)'=0B.(cosx)'=sinx

C.(e~xy=e~xD.(/)，=_卜6

【正確答案】A

【分析】根據(jù)導數(shù)的運算公式，即可作出判定，即可求解.

【詳解】由題意，常數(shù)的導數(shù)為0,可得（In2）'=0是正確的，所以A是正確的；

根據(jù)導數(shù)的運算公式，可得（cosx）'=—sinx,（x-5），=-5x-6-所以B、C、D

是錯誤的，故選A.

本題主要考查了導數(shù)的運算，其中解答中熟記導數(shù)的運算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與

運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，前〃項積為北，已知出=-4,%=一1，則（）

A.S,,有最小值，％有最小值B.S“有最大值，北有最大值

C.S“有最小值，7；有最大值D.S0有最大值，北有最小值

【正確答案】C

【分析】根據(jù)已知條件求得%”,進而求得%,結(jié)合數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)確定正確選項.

q+d=—4

【詳解】依題意<=>%=-7,4=3=>%=3〃-10,

%+2d=

由%V0解得n<-^-,〃￡N*，

所以等差數(shù)列｛4｝的前〃項和S”滿足：S3最小，無最大值.

%=—7,a2=—4,a3=—l,tz4=2,a5=5,...

Tx=-7,7；=28,刀=-28,7；=-56,……

所以“23時：T<0,且為遞減數(shù)列.

故北有最大值28,沒有最小值.

故選：C

7.已知曲線y=/（x）在（5,/（5））處的切線方程是y=—x+5,則/（5）與/'（5）分別為（）

A.5,-1B.-1,5C.-1,0D.0,-1

【正確答案】D

【分析】利用導數(shù)的幾何意義得到f(5)等于直線的斜率-1,由切點橫坐標為5,

得到縱坐標即f(5).

【詳解】由題意得f(5)=-5+5=0,f(5)=-1.

故選D.

本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，數(shù)列也｝為等比數(shù)列，則下列不等式一定成立的是()

A.4+"V4+4B.-b、V仇一b?

C.q%>a2a3D.axa4<a2a3

【正確答案】D

【分析】對選項A,令bn即可檢驗；對選項B,令〃=2"即可檢驗；對選項C,令%=〃

即可檢驗；對選項D,設出等差數(shù)列的首項和公比，然后作差即可.

(1丫T111

【詳解】若句=-"，則4=1也=-彳B=：也=-$

I2J24o

71

可得：4+為=^〉8+4=—1，故選項A錯誤；

若b”=2",則4=2也=4也=8也=16

可得："―4=14〉a一4=4,故選項B錯誤;

若a“=〃，貝！J%=1,4=2,%=3,%=4

可得：q%=4<a2a3=6，故選項C錯誤；

不妨設｛4｝的首項為外,公差為d,則有：

ara4=%(q+3d)=aj+34儲

a2a3=(q+d)(q+2])=]:+2/+3*

2

則有：a2a3-ara4=2d>0,故選項D正確

故選：D

9.設｛4｝是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“｛4｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)No,當“〉N0時,

%〉0”的()

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【分析】設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則d/0,利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合充分條件、必要

條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】設等差數(shù)列｛為｝的公差為d,則dwO,記［可為不超過尤的最大整數(shù).

若｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則d>0，

若為NO,則當“22時，>?1>0；若/<0,則a”=%+(〃—l)d,

由=%—>0可得〃〉1一幺，取￡=1--+1,則當"〉N。時，%〉0,

d_d_

所以，“｛4｝是遞增數(shù)列”="存在正整數(shù)No,當“〉N0時，%>0"；

若存在正整數(shù)No，當“〉時，an>Q,取左wN*且左〉No，軟>0,

假設d<0,令％,=%+(〃—k)d<0可得”>左一％,且k-">k,

dd

當〃〉k.+1時，%<0,與題設矛盾，假設不成立，則d〉0,即數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列.

所以，“｛4｝是遞增數(shù)列”U“存在正整數(shù)No,當〃〉No時，見〉0”.

所以，“｛4｝是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)No,當〃〉N0時，見〉0”的充分必要條件.

故選：C.

10.已知函數(shù)/(x)滿足/(1)=一1,/'。)=2,則函數(shù)y=在x=l處的瞬時變化率為

e

()

1133

A.B.—C.-D.-

eeee

【正確答案】C

【分析】根據(jù)導數(shù)的概念和運算法則，求導后代入x=l即可.

【詳解】?-/=/'(.)，尸―/3-尸=/'(x)-/(x),

Je八2%+2ecX+1

y=叢?在x=1處的瞬時變化率為⑴7⑴=2—(J)=A.

*e1+1e2e2

故選：C.

二、填空題(每小題5分，共30分)

11.在等差數(shù)列｛2｝中，已知4+%=6，則該數(shù)列前5項和艮=

【正確答案】15

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合前〃項和的公式求解即可

【詳解】：%+%=4+%=6，.?.S5=5("I；"5)=W=]5.

故15

1+Ax1

12.已知函數(shù)/(x)=/+x,則/=；lim^()~/()=.

-°Ax

【正確答案】①.0②.3

【分析】根據(jù)解析式和導數(shù)的定義直接求解即可.

2

【詳解】.-./[/(-1)]=/(0)=0+0=0;

/(1+(1+Ax)2+1+Ax-2.、

lim-----------=hm-----------------=lim(Ax+3)=3-

Ax—>0\xAx—>0\xAx—>0'/

故0；3.

13.我國古代的數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問

次日織幾問？其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織

布的尺數(shù)是.

【正確答案】—

【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項即可得解.

【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設其首項為%,公比為2,

則&(1-25)=5,解得/=3

1-231

所以第二天織布的尺數(shù)為%=2x2=".

■3131

故答案為

31

14.已知｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，且為,出，%成等比數(shù)列?則該等比數(shù)列的公比為.

【正確答案】2

【分析】設4=%,因％,a2>%成等比數(shù)列，貝!1(q=%(q+3d),據(jù)此可

得答案.

【詳解】設%=%+(〃-l)d,則。2=%+d,a4=aA+3d,

又％,a2,%成等比數(shù)列，則(/+d)~=%(q+34)=>屋=,又dwO,

a、2d一

則4=d,則公比為==一7=2.

aAa

故2

15.無窮數(shù)列｛4｝的前n項和記為J.若｛%｝是遞增數(shù)列，而｛3｝是遞減數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的通

項公式可以為—.

【正確答案】

a?=~-(答案不唯一).

n

【分析】根據(jù)｛sj是遞減數(shù)列，可以考慮該數(shù)列各項均為負數(shù)，再根據(jù)｛%｝是遞增數(shù)列，可以聯(lián)

想到在(0,+8)上是遞增的函數(shù)，進而構(gòu)造出數(shù)列.

【詳解】因為｛s“｝是遞減數(shù)列，可以考慮%<0,而｛4｝是遞增數(shù)列，可以構(gòu)造%=-

n

故?！ǘ?（答案不唯一）.

n

16.過原點作曲線y=lnx的切線，則切點坐標為,切線方程為.

【正確答案】①.（e,1）②.x?ey=O

【分析】

設切點坐標為：（玉）,%）,求導y=工，根據(jù)切線過原點，由切線的斜率左=3='求解.

【詳解】設切點坐標為：

因為y=lnx,

所以V——，

x

因為切線過原點，

所以切線的斜率為：k=^=—,

%%

解得X。=e,—1,

所以切點坐標為：（Q1）,

切線方程為：y=—x,即x-ey=O,

e

故x-ey=O.

三、解答題（共70分.要求有必要的解題步驟）

17.已知函數(shù)/（x）=x」nx.

（1）求這個函數(shù)的導數(shù)；

（2）求曲線y=/（x）在點（1,/。））處的切線方程.

【正確答案】（1）/f（x）=lnx+l

（2）x-j-l=0

【分析】（1）由導數(shù)乘法公式可得答案;

(2)由題可得切線斜率，然后利用點斜式可得答案

【小問1詳解】

/'(X)=x'4nx+x(lnx)=Inx+1；

【小問2詳解】

由(1),/'。)=1，又/。)=0，

則切線方程滿足y_/(l)=/'(l)(x_l)nx—y—l=O.

18.已知等差數(shù)列｛%｝滿足生=9，a3+a9=22.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)等比數(shù)列抄/的前〃項和為j，且4=%,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中任

選擇兩個作為已知條件，求滿足$,<2025的〃的最大值.條件①：b3=ai+a2.條件②：53=7；

條件③也+i>“

【正確答案】(1)an=2n-l

(2)10

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)和通項公式直接推導求解即可；

(2)若選①②，根據(jù)等比數(shù)列通項公式和邑可求得公比9；若選①③，根據(jù)等比數(shù)列通項公式

和單調(diào)性可求得公比q；若選②③，根據(jù)與和等比數(shù)列單調(diào)性可求得公比q；根據(jù)b\和q可得Sn,

結(jié)合｛8｝單調(diào)性可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

。3+。9=2。6=22,。6=11，/.d=&—。5=2,

.e.an=a5+(〃-5"=9+2(〃-5)二2〃一1.

【小問2詳解】

由⑴知：4=%=i,設等比數(shù)列也｝的公比為q

若選①②：,.，&=q+%=1+3=4,/.S3=4+%+/=5+4=7,/.b2=2,

.q4=2.eAj"I"y1

Y42'..S"^Z^=K=2T'

??.｛、｝為遞增數(shù)列，510=1024-1=1023,5U=2048-1=2047,

滿足S,<2025的n的最大值為10；

若選①③：,.?人3=。1+。2=1+3=4,請=4,

771C乙(1—9〃)1-2”

又bn+\>b“，：.q>\，：.q=2，：.sH==r

n1—q1-2

??.｛、｝為遞增數(shù)列，510=1024-1=1023,Su=2048—1=2047,

滿足Sn<2025的n的最大值為10；

若選②③：?.?S3=Z?]+Z?2+a=l+q+q2=7,g=2或q=-3,

77C乙(1一9〃)1一2〃

又bQb",：.q=2,：.s=△----L=-----=2"—1，

"1—q1-2

??.｛、｝為遞增數(shù)列，510=1024-1=1023,5U=2048-1=2047,

.??滿足S?<2025的〃的最大值為10.

19.已知數(shù)列｛%｝滿足q=0,2%+i-0,-a“+i=1(〃eN*),

(1)計算出，/，為，并推測｛4｝的通項公式；

(2)證明你所得到的結(jié)論.

【正確答案】(1)%=—，%=一，。4=一；an=---(〃CN*)

234nv'

(2)證明見解析.

【分析】(1)由遞推公式計算4，的，%，即可推測通項公式;

(2)利用數(shù)學歸納法可完成證明.

【小問1詳解】

由題，2a2-qq=1n2a2=1n%=5；

324=3

2a3—a?.CI3—1=>5Q3=1=>〃3=§；2a4—,(z4=1=>—ct4=l=>ct4—.

H—1

則推測%=——〃￡N

n

【小問2詳解】

,n-1

證n明二----

n

當〃=1時，結(jié)論顯然成立;

假設”=kkeN*）成立，則為=匕,

s左一1）i左+1k

貝ij2a-a-a=1^n2---a=1n-—a=1na=

Mkk+lVkJk+lkk+lk+l4+1

即〃=左（左￡、1*）成立時，〃二女+1也成立，又〃=1時，結(jié)論成立，

則結(jié)論對所有正整數(shù)均成立，則％=——（〃eN*）.

n'

20.在數(shù)列｛%｝中q=1,?！?1=24+〃—1,〃eN*.

（1）證明：數(shù)列｛4+〃｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛2｝的通項公式%；

（3）求數(shù)列｛%｝的前〃項和公式S,.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）a“=2"-n

」+1）

（3）S=2"1-2—-'--L

n2

【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式和等比數(shù)列定義直接證明即可;

（2）根據(jù)等比數(shù)列通項公式可求得%+〃，進而得到與；

（3）采用分組求和法，結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

an+l+(〃+l)=2an+n-l+n+l=2an+2〃=2(a“+〃)，又％+1=2,

???數(shù)列｛%+〃｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

nn

由(1)得：a?+n=2x2-'=2,:.an=T-n.

【小問3詳解】

由(2)

得心“二(21+22+23+~+2")_(1+2+3+—+/)=2(：—；

=2向.2/("+1)

2

21.設｛%｝和也｝是兩個等差數(shù)列，記g=min｛4+%〃也+4〃，…也+%〃｝("=1，2,3,

其中minUi，%,…,七｝表示為，馬,…演這s個數(shù)中最小的數(shù).

(1)若bn=n,求證：｛qj不是等差數(shù)列；

(2)若g=2,bn=n,證明：｛cj是等差數(shù)列；

(3)證明：或者對任意實數(shù)M,存在正整數(shù)m,當〃2加時，^-<M或者存在正整數(shù)m,使

n

得5,Cm+1,C,"+2，…是等差數(shù)列.

【正確答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析；(3)證明見解析；

【分析】(1)把%=-〃也=〃代入即可求得。1，。2，。3,即可證明｛%｝不是等差數(shù)列；

(2)在(1)的啟發(fā)下，證明當〃22時，(d+]+〃以)=1>0,所以為+怎〃關(guān)于

左eN*單調(diào)遞增.所以％=min｛4+axn,b2+a2n,---,bn+ann]=b｛+aAn=l+2z?,從而得證；

(3)首先求｛g｝的通項公式，分4〉°，4=0,4<。三種情況討論證明.

【小問1詳解】

,?*ctn——bn—nf..Q]——1,a2=—2,。3——3,b]—1?Z?2=2,a—3,

C]=min{1_1x1}=0,c2=min1l-lx2,2-2x2}=-2,c2-cx=-2,

Cj=min{1