第五章相交線與平行線

注意事項：

本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑

色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置

一、選擇題（10小題，每小題3分，共30分）

1.（2022秋?黑龍江哈爾濱?七年級?？茧A段練習(xí)）下列四個圖形中，N1與N2互為內(nèi)錯角的是（）

【答案】c

【分析】根據(jù)內(nèi)錯角的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A.N1與N2不是內(nèi)錯角，不符合題意，選項錯誤；

B.N1與N2不是內(nèi)錯角，不符合題意，選項錯誤；

C.N1與N2是內(nèi)錯角，符合題意，選項正確；

D.N1與/2不是內(nèi)錯角，不符合題意，選項錯誤，

故選C.

【點睛】本題考查了內(nèi)錯角，能根據(jù)內(nèi)錯角的定義正確判斷是解題關(guān)鍵.

2.（2022春?福建龍巖?七年級?？茧A段練習(xí)）直線AB,8相交于點。，若ZAOC+/3QD=60。，則ZAOC=

（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】D

【分析】兩直線相交，對頂角相等，即=已知NAOC+4OD=60。，可求NAOC=30。；

【詳解】解：如圖，ZAOC=NBOD,又因為NAOC+/3QD=60。，所以NAOC=30。.

CB

X

AD

故選D.

【點睛】本題主要考查了對頂角性質(zhì)，掌握對頂角相等是解題關(guān)鍵.

3.（2023秋?河南洛陽?七年級統(tǒng)考期末）如圖，點尸是直線。外的一點，點A、B、C在直線。上，且尸

垂足是8,PALPC,則下列不正確的語句是（）

p

A.線段尸3的長是點尸到直線。的距離

B.PA,PB、PC三條線段中，PB最短

C.線段AC的長是點A到直線PC的距離

D.線段PC的長是點C到直線上4的距離

【答案】C

【分析】利用點到直線的距離的定義、垂線段最短分析判斷即可.

【詳解】解：A.根據(jù)點到直線的距離的定義：即點到這一直線的垂線段的長度.因為尸3，。，垂足是S

故此選項正確，不符合題意；

B.根據(jù)垂線段最短，PBLa,垂足是2,可知此選項正確，不符合題意；

C.線段PA的長是點A到直線PC的距離，故選項正確，符合題意；

D.線段PC的長是點C到直線外的距離.故此選項正確，不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了點到直線的距離的定義，及垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

4.（2023秋?河北保定?七年級統(tǒng)考期末）如圖，。是直線AB上一點，OC為一條射線，射線31平分/AOC,

若/BOC=104。，則等于（）

A.38°B.104°C.142°D.144°

【答案】C

【分析】根據(jù)鄰補角求得/AOC=76。，根據(jù)角平分線的定義，得出NVOC=g/AOC=38。，進而即可求

解.

【詳解】解：：N3OC=104。，

ZAOC=180°-ZBOC=180°-104°=76°,

:射線0河平分NAOC,

ZMOC=-ZAOC=38°,

2

???ZBOM=ZBOC+ZMOC=104°+38°=142°,

故選：c.

【點睛】本題主要考查角平分線定義，鄰補角的定義，掌握角平分線定義，補角的定義是解題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?湖南懷化?八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）下列語句中，命題的個數(shù)為（）

①若兩個角相等，則它們是對頂角；②等腰三角形兩底角相等；

③畫線段AB=4cm；④同角的余角相等；⑤同位角相等；

A.2個；B.3個；C.4個；D.5個；

【答案】C

【分析】根據(jù)命題的概念判斷即可.

【詳解】①若兩個角相等，則它們是對頂角，是假命題；

②等腰三角形兩底角相等，是真命題；

③畫線段AB=4cm,不是命題；

④同角的余角相等，是真命題；

⑤同位角相等，是假命題；

故選：C.

【點睛】此題考查了命題，解題的關(guān)鍵是熟悉命題的概念.

6.（2023秋?山西太原?八年級?？计谀┤鐖D，已知。〃人，則/4中的度數(shù)是（）

A.45°B.60°C.73°D.90°

【答案】C

【分析】如圖，過點C作直線。〃。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到48=28。+45。.

【詳解】解：如圖，過點C作直線c〃a,則4=28。.

又，

c//b，

.-.Z2=45°,

r.ZACD=+N2=28°+45°=73°.

故選：C.

A

28°■a

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì).關(guān)鍵是熟悉兩直線平行，內(nèi)錯角相等的知識點.

7.（2023春?七年級單元測試）某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù).圖①是某品牌共享單

車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中AB,。都與地面/平行，ZBCD=60°,ABAC=54°.當(dāng)

/MAC為（）度時，AM與CB平行.

D.114

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可.

【詳解】解：：A3,。都與地面/平行,

AB//CD,

：.ZBAC+ZACD=180°,

ZBAC+ZACB+ZBCD=180°,

VZBCD=60°,ZBAC=54°,

ZACB^66°,

.?.當(dāng)NM4C=NACB=66。時，AM//CB.

故選：C.

【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

8.（2023春?七年級課時練習(xí)）如圖，大正方形與小正方形的面積之差為S,則圖中陰影部分的面積是（）

A

CBD

A.2SB.SC.-SD.-S

24

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形的特征分析出大正方形與小正方形的面積之差等于長方形HIFG的面積,再通過等底、

等高的三角形面積相等，分析出LACE=以4防，S^ADE=S^AGE,進而推出陰影部分面積為以耳前，找出

S^HEG與長方形HIFG的面積的倍數(shù)關(guān)系即可得到答案.

【詳解】解：如圖，在大正方形A8CH與小正方形E8DF的背景下

二長方形IEBC和長方形ABDG面積相等

/.大正方形與小正方形的面積之差等于長方形HIFG的面積

又,S/XACE=SMHE,S^ADE=^Z\AGE

陰影部分面積為S公小

又,**S4HEG=；長方形的面積=；S

故選：C.

CBD

【點睛】本題考查了正方形的特征和等積轉(zhuǎn)化，學(xué)會等積轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.總結(jié)：等底、等高的三角形面

積相等；等高的三角形，面積比等于底之比；等底的三角形，面積比等于高之比.

9.（2021春?重慶九龍坡?七年級重慶市楊家坪中學(xué)?？计谥校┤鐖D，AB〃CD,點E在CD上，點G,F,

/在A3,8之間，且GE平分/CEF,BI平分NFBH,GF//BI.若NBFE=52。，則NG的度數(shù)為（）.

A.1120B.114°C.116°D.118°

【答案】C

【分析】如圖，過尸作FT〃AW,oi^ZABF=ZBFT=x,由AB〃CD,可設(shè)N7FE=NC斯=2y,設(shè)

ZHBF=2z,而3/平分產(chǎn)，可得ZHBI=NFBI=z,可得z-y=64,由NFB/+/BFG=180。，可得

ZGFE=180°-ZFBI-ZBFE=128°-z,ZG=180°-ZGFE-ZGEF可得答案.

【詳解】解：如圖，過尸作FT〃AH,

???設(shè)ZABF=NBFT=x,

AB//CD,

：.FI\\CD,

：.設(shè)ZTFE=ZCEF=2y,

,:EG平分NCEF,

：.ZCEG=ZFEG=y,

設(shè)ZHBF=2z,而B/平分NHBF,

JZHBI=ZFBI=z,

?:/BFE=52。,

x+2y=52,

由平角的定義可得：x+2z=180,

2z—2y—128,即z—y=64,

'：BI//FG,

AZra/+ZBFG=180°,

???Z.GFE=180?！猌FBI-ZBFE=180?！?2。—z=128。—z,

???NG=18。?！狽GFE—NGEF

=180?！獃—128。+2

=52°+64°

=116°.

故選c.

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，角平分線的定義，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建平行線

是解本題的關(guān)鍵.

10.（2023春?七年級課時練習(xí)）如圖，AB//CD,點、E,尸在直線上（尸在E的右側(cè)），點G在直線

上，EF±FG,垂足為EM為線段EF上的一動點，連接GP,GM,/PGP與/APG的角平分線交與點

Q,且點。在直線AB,CD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①/AEP+/CG/=90。；②NAEF+2NPQG=270。；

③若/MGF=2NCGF,則3NAEF+NMGC=270°；④若/MGF=〃NCGR則/AEF+—!—ZMGC=90°.正

n+1

確的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】①過點尸作切〃Ab利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明；

②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到/3=2/2,NCG且2/1+/3=180。，結(jié)合①的結(jié)論即可證明;

③由已知得到NMGC=3NCGH結(jié)合①的結(jié)論即可證明；

④由已知得到/MGC=(〃+1)NCGR結(jié)合①的結(jié)論即可證明.

【詳解】解：①過點/作如圖：

\'AB//CD,：.AB//FH//CD,

：.ZAEF=ZEFH,ZCGF=ZGFH,

"：EF±FG,即NEFG=NEFH+NGFH=9。。,

：.ZAEF+ZCGF=90°,故①正確；

@'：AB//CD,尸。平分NAPG,G。平分/PGP,

AZAPQ=Z2,ZFGQ=Zlf

：.Z3=ZAPQ+Z2=2Z2,

ZCGF+ZFG2+Zl+Z3=ZCGF+2Zl+Z3=180o,

即2N1=18O02N2NCGH

A2Z2+2Z1=180°ZCGF,

VZPeG=180°(Z2+Zl),

A2ZP2G=360°2(Z2+Z1)=360°(l80°ZCGF)=180°+ZCGF,

；?/4石/+2/尸。6=/人石廠+180。+/。6尸=180。+90。=270。，故②正確；

③?：/MGF=2NCGF,

：./MGC=3/CGF,

：.3ZAEF+ZMGC=3ZAEF+3ZCGF=3(NAEF+ZCGF)=3x90。=270°；

3ZAEF+ZMGC=210°,故③正確；

?*：ZMGF=nZCGF,

：.ZMGC=(n+l)ZCGF即NCG/NMGC,

fn+1

ZAEF+ZCGF=90°,

：.ZAEF+-^-ZMGC=90°,故④正確.

n+1

綜上，①②③④都正確，共4個，

故選：A.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識點，作輔助線求得/AE/+NCGF=90。，是

解此題的關(guān)鍵.

二、填空題（6小題，每小題4分，共24分）

11.（2022春?江西南昌?七年級校考階段練習(xí)）把命題“等角的余角相等”寫成“如果...，那么...”的形式為

【答案】如果兩個角相等，那么這兩個角的余角相等

【分析】命題中的條件是兩個角是等角，放在“如果”的后面，結(jié)論是它們的余角相等，放在“那么”的后面，

即可得到答案.

【詳解】解：把命題“等角的余角相等”寫成“如果...，那么…”的形式為：如果兩個角相等，那么這兩個角

的余角相等，

故答案為：如果兩個角相等，那么這兩個角的余角相等.

【點睛】本題考查了將原命題寫成“如果…那么...”即題設(shè)（條件）與結(jié)論的形式，解決問題的關(guān)鍵是找出

相應(yīng)的題設(shè)和結(jié)論.

12.（2023秋?湖南長沙?九年級湖南師大附中?？计谀c慶是一位特別喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的小朋友，周末這天

他做完作業(yè)，在手機上找了一款數(shù)學(xué)相關(guān)的益智類游戲《推箱子》，要求將圖中編號為①②③的三個箱子

分別推進圖中“回”字的位置.如果慶慶要想一次性通關(guān)，且盡可能讓自己步數(shù)少，應(yīng)該先推（）號箱

子，再推（）號箱子，最后推（）號箱子.

【答案】②①③

【分析】要一次性通關(guān)，先推阻礙其它箱子的箱子，然后推動其它箱子即可.

【詳解】要想使游戲一次性通關(guān)，則三個箱子要把右邊的三個陰影位置占完，且每個箱子只能占一個位置；

觀察三個箱子的位置，發(fā)現(xiàn)②號箱子會阻礙其余兩個箱子的移動，因此要先推動②號箱子，其余兩個箱子

才能推動；然后推動①號箱子，最后推動③號箱子可以使得步數(shù)最少.

故答案為：②，①，③

【點睛】本題考查平移變換，解答本題的關(guān)鍵要明確推箱子游戲的規(guī)則.

13.（2023秋?重慶沙坪壩?七年級校考期末）如圖，直線和直線CZ）相交于點。，OE±AB,垂足為

OF平分NBOD.若NCOE=；NDOF,則NCOE的度數(shù)為.

【分析】設(shè)2COE=x,則NOO尸=2x,根據(jù)角平分線的定義得到N3O產(chǎn)=/￡>,=2x,求出

/3。7=180。一4彳，利用垂直得至【JNEOC+N3OCU9。。，由此得到x+4尤=90。，求出x=18。即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)NCOE=x,則"O尸=2x,

,/OF平分/BOD,

：.ZBOF=ZDOF=2x,

：.ZBOC=180°-4x,

"?OE±AB,

：.ZEOC+ZBOC^90°,

Ax+180°-4x=90°,

解得x=30。，

ZCOE=30°,

故答案為：30°.

【點睛】本題主要考查了垂直的定義，角平分線的定義，鄰補角的性質(zhì)，熟記各知識點是解題的關(guān)鍵.

14.（2023春?七年級單元測試）將一副三角板和一張對邊平行的紙條按如圖方式擺放，兩個三角板的一條

直角邊共線，含45。角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含30。角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊

上，則/I的度數(shù)是_____度.

【分析】過點E作即〃根據(jù)題意得出NAEC=180。-90。=90。，ZBAE=45°,AB〃CD,根據(jù)平行

線的性質(zhì)，得出NEE4=/B4E=45。，求出NC￡F=90。-45。=45。，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出

Nl=180。一NCEF=135°即可.

【詳解】解：過點E作EF〃AB,如圖所示:

CD

GAB

根據(jù)題意可知，乙4￡。=180。-90。=90。，NBAE=45。,AB//CD,

：.AB//EF//CD,

：.NFEA=ZBAE=45。,

：.ZCEF=90°-45°=45°,

'：CD//EF,

：.Z1=180°-ZCEF=135°.

故答案為：135.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì).

15.（2022秋.黑龍江哈爾濱?七年級校考階段練習(xí)）如圖，AB//CD,CF平分NECD,AE±EF,

ZEGA-ZAEC=50°,貝UNF+NA=________度.

【答案】110

【分析】過點￡作腸V〃血，過點尸作利用余角的性質(zhì)NEG4+NCEF=140。，根據(jù)平行線的性

質(zhì)得至I]ZECD=ZAEC=4O,再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到="CD=20。，ZMEF=ZEFH,

將ZA+ZEFC轉(zhuǎn)化為ZAEN+ZMEF+ZCFH,最后根據(jù)平角的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：過點E作肱V〃AB,過點尸作見〃AB,

-,-AB//CD,

:.AB//CD//MN//FH,

QAELEF,

.-.ZAEF=90°,

ZAEC+ZCEF=90°,

-.-ZEGA-ZAEC=50°,

:.ZAEC=ZEGA-50°,

ZEGA-50°+ZCEF=90°,

.\ZEG4+ZCEF=140°,

?：AB//MN,

/./EGA+ZNEF=180°,ZA=ZAEN,

:.ZEGA+ZNEC+NCEF=180。,

:.ZNEC=4O。,

?/MN//CD,

ZECD=ZNEC=40°,

?.?CF平分NECD,

/.ZFCD=-ZECD=20°,

2

?;HF〃CD,

.\ZCFH=ZFCD=20°,

QMN//HF,

:.ZMEF=ZEFH,

ZA+ZEFC=ZAEN+ZEFH+ZCFH=ZAEN+ZMEF+ZCFH,

?/ZAEN+ZMEF=180°-ZAEF=90°,

.\ZA+ZEFC=900+20°=110°,

故答案為：110.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)余角，平角等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，

內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補.

16.（2021秋.黑龍江哈爾濱.七年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考期中）如圖，直線MN與直線AB、CD

分別交于點￡、F,AB//CD,"所與一的角平分線交于點P,EP與CD交于點G,點H是MN上

一點，且G"_LEG,連接PH,K是GH上一點使ZPHK=NHPK,作尸。平分NEPK,交MN于點。，

ZHPQ:ZQFP=3:2f則/現(xiàn)依=.

【分析】根據(jù)AB〃CO,與NEED的角平分線交于點P,可得

ZPEF+ZEFP=^(ZEFD+ZBEF)=90°,即可得/￡8=90。=/￡7/，則有"〃HG,進而可得

ZEHG=ZQFP,NFPH=/PHK,/FPH=NHPK,即有NEPK=/EPF+NFPH+NHPK=90。+2NFPH,

結(jié)合PQ平分NEPK,可得NQPK=g/EPK=45o+NFPH,進而可得NQPH=NQPK—Nm次=45。，問

題隨之得解.

【詳解】9：AB//CD,

：.NBEF+/EFD=180。,

:“跖與一的角平分線交于點P,

11

；?/PEF=—/BEF,/EFP=—/EFD,

22

ZPEF+ZEFP=g(/EFD+/BEF)=90°,

：.ZEPF=90°f

?；GH【EG,

：.ZEGH=90°=ZEPF,

：.FP//HG,

:?/EHG=/QFP,ZFPH=ZPHK,

ZPHK=ZHPK,

:./FPH=/HPK,

：.ZEPK=ZEPF+AFPH+AHPK=90°+2AFPH,

???PQ平分NEPK,

：.ZQPK=|ZEPK=45°+ZFPH,

ZQPH=ZQPK-ZHPK=45°+ZFPH-ZFPH=45°,

,/ZHPQ:ZQFP=3:2,

：.ZQFP=30°,

：.NEHG=NQFP=30。，

故答案為：30°.

【點睛】本題主要考查了角平分線的定義,平行線的判定與性質(zhì)等知識，證明EP〃"G是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題（8小題，共66分）

17.（2023秋?福建莆田?七年級仙游一中?？计谀┤鐖D所示，AB,CD相交于點O,OE平分ZAOD,

ZAOC:ZAOE=4:1,求Z5OZ）,2AOE的度數(shù).

【答案】NBOD=120°,ZAOE=30°.

【分析】根據(jù)角平分線的定義、鄰補角的概念分別求出/AOC=120。，NAOD=60。，根據(jù)對頂角相等、

角平分線的定義計算即可.

【詳解】解：平分4OD，

ZAOE=ZDOE=-ZAOD,

2

ZAOC:ZAOE=4:1,

：.ZAOC:ZAOD=2:1,

ZAOC+ZAOD=180。，

ZAOC=120°,ZAOD=60°,

Z.BOD=ZAOC=120°,

ZAOE=-ZAOD=30°.

2

【點睛】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念、角平分線的定義，正確理解對頂角的性質(zhì)、角平分線的定

義是解題的關(guān)鍵.

18.（2023秋?湖南衡陽?七年級統(tǒng)考期末）如圖是A、8、C三個島的平面圖，C島在A島的北偏東35。方

向，8島在A島的北偏東65。方向，C島在8島的北偏西40。方向.求從C島看A、8兩島的視角—ACB的

度數(shù).

【答案】75。

【分析】過點C作CE〃AD,貝IJ：CE//BF,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，以及NACB=/ACE+/BCE,

進行計算即可.

【詳解】解：由題意，得：ZZMC=35°,NF3c=40。，

作CE〃AD,則CE〃班

/.NECA=ADAC=35°,NECB=ZFBC=40°,

ZACB=NECA+NECB=75°.

【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì).熟練掌握方向角的定義，通過添加輔助線，構(gòu)造平行線，是解題

的關(guān)鍵.

19.（2023秋?福建福州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線A3與8相交于點。，OC平分且

ZAOM=90°,射線ON在N3QM內(nèi)部.

⑴求ZAC?的度數(shù)；

⑵若Z.BOC=5ZNOB,求ZMON的度數(shù).

【答案】⑴ZAOD=135°

⑵/MON=63°

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義求出ZAOC=45。，然后根據(jù)鄰補角的定義求解即可；

(2)由=可求解NNO3=27。，結(jié)合/BOM=90。，利用角的和差可求解NMON的度數(shù).

【詳解】(1)W：VZAOM=90°,OC平分，AOM,

ZAOC=-ZAOM=1x90°=45°,

22

"?ZAOC+ZAOD=180。，

ZAOD=180°-45°=135°,

(2)VZBOC=ZAOD=135°,ZBOC=5ZNOB,

：.ZNOB=2T,

"?ZAOM=9Q°,

：.ZBOM=90°,

：.ZMON=ZBOM-ZNOB=90°-27°=63°.

【點睛】本題考查了對頂角、鄰補角，角平分線的定義，此類題目熟記概念并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

20.(2023秋?江蘇鹽城?七年級?？计谀?如圖，在AABC中，點O,F在邊BC上，點E在邊A3上，點G

在邊AC上，EF與GO的延長線交于點H,Z1=ZB,Z2+Z3=180°.

(D判斷E"與AD的位置關(guān)系，并說明理由.

⑵若4>GC=58°,且/”=N4+10。，求的度數(shù).

【答案】(1)平行，理由見解析

(2)NH=34°

【分析】(1)由同位角相等，兩直線平行可得AB〃G￡>,從而得則可求得NBAT>+N3=180。，

即可證得EH//AD；

(2)由平行線的性質(zhì)可得/2=/A4D,NDGC=NBAC,可得N"4C=58。，再利用平行線的性質(zhì)可求得

NH=NBAD,則可求N4的度數(shù)，從而求4的度數(shù).

【詳解】(1)EH//AD,理由如下：

VZ1=ZB,

???AB//GD,

Z2=ZBAD,

N2+N3=180。，

???NA4O+N3=180。，

:.EH//AD；

(2)由(1)得AB〃GD,

/.Z2=ZBAD,/DGC=/BAC,

VZZ)GC=58°,

???NB4c=58。，

,/EH//AD,

???N2=ZH,

JNH=/BAD,

：.ZS4C=ZBAD+Z4=ZW+Z4=58O,

VZH=Z4+10°,

/.Z4+10°+Z4=58°,

解得：N4=24。，

???NH=34。.

【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系.

21.(2023秋?陜西寶雞?八年級統(tǒng)考期末)問題情境

在綜合與實踐課上，同學(xué)們以“一個含30。的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動如圖1,已知兩

直線Q,b且〃〃b和直角三角形ABC,N3c4=90。，ZBAC=30°,ZABC=60°.

⑴在圖1中，Zl=46°,求N2的度數(shù)；

⑵如圖2,創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線〃向上平移，并把N2的位置改變，發(fā)現(xiàn)N2-N1是一個定值，請寫出這

個定值，并說明理由；

(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3,AC平分4W,此時發(fā)

現(xiàn)N1與N2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出N1與N2的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）44。；

⑵定值為120。；理由見詳解；

⑶4=-2；

【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出23,根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；

（2）過點8作瓦）||。，由此可得180。-/2+/1=60。，進而可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)A3平分可知=54c=60°,過點C作CE||a,貝|/2=/3。后，根據(jù)“,

CE\\a,可知CE||6,^1=^BAM=60°,貝UNEG4=NC4M=30。，進而可知—2=/BCE=60。，則

4=-2.

【詳解】（1）解：如圖標(biāo)出/3,

?2304=90°,

/3=90°—Nl=44°,

'：a\\b,

：./2=/3=44。；

(2)解：定值為：120°,理由如下:

過點8作RD||°,

則/AB￡)=180°--2,

'：a\\b,BD\\a,

：.BD\\b,

：./DBC=/1,

'：/ABC=60°,

180°-/2+/l=60°,

/2—/1=120°；

(3)解：/!=/2,理由如下:

A3平分N54M,

二ZBAM=2ZBAC=60°,

過點C作C￡||a,

N2=NBCE,

*/a\\b,CE\\a,

：.CE\\b,Z\=ZBAM=6Q°,

ZECA=ZCAM=30°,

N2=NBCE=NACB—/ACE=60°,

/=/2.

【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握連續(xù)性的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

22.(2022秋?重慶潼南?七年級統(tǒng)考期末)如圖，點。是直線AB上一點，在直線A3的上方作射線OC,使

ZBOC=30°,將一個直角三角板。OE的直角頂點放在點。處(注：Z￡>OE=90°),且直角三角板。OE始

終保持在直線A3的上方.

⑴如圖1,若直角三角板。OE的一邊在射線上，則/COE的度數(shù)=；

(2汝口圖2,若直角三角板NOOE的邊OE在—3OC的內(nèi)部.當(dāng)OE平分/3OC時，試判斷平分/AOC

嗎？并說明理由.

(3)若ZAOD=4/COE,求NBOE的度數(shù).

【答案】(1)60。

(2)0。平分/AOC,理由見解析

⑶ZBOE的度數(shù)為10°或42°

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的直角可知NCOE=N5O￡-N5OC求解即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)角平分線的定義可以求得NCOE的度數(shù)，進而求出NCOD的度數(shù)，得到NAQD=NCOD最后得

到結(jié)論.

(3)根據(jù)題意分情況討論，再根據(jù)鄰補角，余角互余即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)解：V=30°,/DOE=90。

J/BOE=90。

：.ZCOE=ZBOE-ZBOC=60°

故答案為：60°

(2)解：VZBOC=30°,OE平分NBOC

：.ZCOE=-ZBOC=15°

2

ZDOE=90°

ZCOD=ZDOE-ZCOE=90°-15°=75°

ZAOB=180°

???ZAOD=180°-ZCOD-ZBOC=75°

:./AOD=/COD=Q5。

???OO平分/AOC

(3)解：如圖

第一種情況，當(dāng)。石在/5O。的內(nèi)部時，設(shè)NCOE=x

?；NAOD=4NCOE,ZDOE=90°

：.ZAOD=4x,^COD=90°-x

丁ZBOC=30°

：.ZAOC=180°-ZBOC=180°-30°=150°

J可得方程：4x+90°-x=150°

解得：x=20°

：.^BOE=30°-20°=10°

第二種情況，當(dāng)。￡在/5。。的外部時，設(shè)NCOE=九，則/000=90。+%

???ZAOC=ACOE+ADOE+AAOD

ZBOC=30°

ZAOC=180?！猌.BOC=180?！?0°=150°

"?ZAOD=4/COE,Z.DOE=90°

可得方程：4x+90°+x=150°

解得：x=12°

ZBOE=ZBOC+Z.COE=30°+12°=42°

綜上所述，/BOE的度數(shù)為10?；?2。

【點睛】本題考查了鄰補角，角平分線等相關(guān)知識點，根據(jù)圖形分析出各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

23.(2022春?廣東湛江?七年級校考階段練習(xí))(1)如圖1,點E、尸分別在直線AB、CD上，點P為平面

內(nèi)AB、CD間一點，若ZEPF=ZPEB+ZPFD,證明：AB//CD-

(2)如圖2,AB//CD,點￡在直線A8上，點GG分別在直線CD上，GP平分/EGF,/PEG=NPFG,

請?zhí)骄縉EP尸、/PEG、/DGE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,AB//CD,ZEPF=120°,ZPEG=nZBEG,ZPFK=nZCFK.直線MN交FK、EG分別于

點M、N,若NFMN—/ENM=25°,求"的值.

7

【答案】(1)見解析；(2)ZEPF=2ZPEG-ZDGE+180°,理由見解析；(3)n=-

【分析】(1)過點尸作尸根據(jù)角的和差得到乙叩。=/尸尸。，即可判定AB〃C￡>；

(2)ZEPF=2ZPEG-ZDGE+180°,過點尸作尸則尸T〃AB〃CE>,根據(jù)平行線的性質(zhì)及平角

的定義求解即可;

(3)過點M作M/〃過點、N作NI〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖1,過點尸作尸。〃AS,

圖1

/.NBEP=/EPQ,

?.?ZEPF=ZPEB+ZPFD,/EPF=ZEPQ+ZFPQ,

：.ZPFD=ZFPQ,

：.PQ//CD,

又PQ〃A3,

：.AB//CD；

(2)解：/EPF=2/PEG—ZDGE+18。。,理由如下:

如圖2,過點。作PT〃AB,則PT〃人B〃CD,

設(shè)NFGP=/EGP=x,/PEG=/PFG=y,

?：AB//CD,

：.ZBEG=ZEGFf

PT//AB,

：./EPT=/BEP=/PEG+/BEG=2x+y,

PI//CD,

ZFPT=ZPFG=y,

...ZEPF=ZEPT+FPT=2x+y+y=2x+2y,

,.,x=1x(180°-Zr>GE),

：.ZEPF=(180°-NDGE)+2ZPEG,

即NEPF=2/PEG—ZDGE+180。；

(3)如圖3,過點M作也過點N作NZ〃CD,

圖3

?：AB//CD,

：.MH//AB//NI//CD,ZEPF=ZPEB+ZPFD,

：.ZHMN=ZINM,ZHMF=ZCFK,/BEG=/INE,

設(shè)N5￡G