第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元綜合測試卷

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.若函數(shù)在x=l處的導(dǎo)數(shù)為2,則媽/0+及-川）=（）

A.2B.1C.yD.6

【答案】B

【解析】由函數(shù)f（x）在x=l處的導(dǎo)數(shù)為2,得/⑴=2,

福zr/(1+Ax)-/(1)1/(1+Ax)-/(1)L，小?

所以hm-------------=—hm-------------=—/(1)=1,

-2Ax2-Ax2

故選：B

2.已知函數(shù)/(X)=?,g(x)=2co&x,則()

A.(x)=。,g'(%)=-2sinxB.(x)=2t,g'(x)=-2sinx

C./r(x)=O,g'(x)=2sinxD.fr(x)=2t,g'(%)=2sinx

【答案】A

【解析】由題意，r(x)=O,g[x)=-2sinx,

故選：A.

3.2022年2月，第24屆冬季奧林匹克運動會在北京隆重舉行，中國代表團獲得了9金4銀2銅的優(yōu)異成

績，彰顯了我國體育強國的底蘊和綜合國力.設(shè)某高山滑雪運動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的路程/（單位：m）

與時間，（單位：s）之間的關(guān)系為/（。=2/+耳/,則當，=3s時，該運動員的滑雪速度為（）

A.7.5m/sB.13.5m/sC.16.5m/sD.22.5m/s

【答案】B

【解析】由題意，/'（r）=4r+a＞故當f=3s時，該運動員的滑雪速度為/'⑶=4x3+[3=13.5.

故選：B

4.函數(shù)的定義域為開區(qū)間（。,6）,導(dǎo)函數(shù)/'（X）在（。力）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間（。㈤

內(nèi)有極小值點（）

【答案】A

【解析】由導(dǎo)函數(shù)尸(x)在區(qū)間(。,6)內(nèi)的圖象可知，函數(shù)/(力在(。,6)內(nèi)的圖象與x軸有四個公共點，

在從左到右第一個交點處導(dǎo)數(shù)左正右負，它是極大值點；在從左到右第二個交點處導(dǎo)數(shù)左負右正，它是極

小值點；在從左到右第三個交點處導(dǎo)數(shù)左正右正，它不是極值點；在從左到右第四個交點處導(dǎo)數(shù)左正右負，

它是極大值點.所以函數(shù)/'(X)在開區(qū)間(。,6)內(nèi)的極小值點有1個.

故選：A.

2

5.函數(shù)y=cos2x-Inx+yjx+1的J圖像可能是()

A.1

\:4A,

\X

C.1D./

【答案】D

【解析】因為丫=/(尤)=??2￥」11卜+4￥2+1)定義域為區(qū)，

又/(x)+/(t)=cos2xIn(x+J%2+1)+cos(-2x)-ln卜％++1j=cos2x-ln(x2+l-x2)=0,

所以yFos&Jnk+JxAl)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱

，故排除A、B,

cos2x+_23+6+1)sin2x=

-21n(x+v^2+l)sin2x,

X+G+]V77T7771

于是得廣(0)=1,即函數(shù)/(x)圖象在原點處切線斜率大于0,顯然選項C不滿足，D滿足,

故選：D

6.設(shè)定義在［0,+句上的函數(shù)/(x)wO恒成立，其導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若/(力-"+1)/(力皿彳+1)<0,則(

A.2/(1)>/(3)>0B.2/(1)</(3)<0

C.2/(3)>/(1)>0D.2/(3)</(1)<0

【答案】B

【解析】由題意，在［0,+“)上的函數(shù)，(X)HO恒成立，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=^p則/X+111——，

0［0,+8)上與-f(x)ln(x+1)="x)(x+l)］；(x)ln(x+l)<0,即g，⑺<0,

團g(x)在［0,+動上單調(diào)遞減，而g(0)=0,故0>g(l)>g(3)

團0>電^>上土=蟲絲，可得2/⑴</(3)<0.

/(D/⑶〃3)」何小

故選：B

7.給定函數(shù)/(x)=(x-l)e)則下列結(jié)論不正確的是()

A.函數(shù)f(x)有兩個零點B.函數(shù)f(x)在。,包)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)〃x)的最小值是TD.當a=-l或“20時，方程〃力=。有1個解

【答案】A

【解析】因為/(x)=(x-l)e"所以析(力=*,

由掰^)>0,得尤>0,所以〃x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

由/'(力<0,得比<0,所以/(%)在(-8,0)單調(diào)遞減,

又因為x<0，"x)=(x-l)eX<0恒成立，/(1)=0,/(0)=-1,結(jié)合單調(diào)性可知，大致圖像如下:

對于A選項，由圖像知，函數(shù)只有一個零點，故A錯誤；

對于B選項，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,+S）,而（L+＜?）U（0,+＜?）,所以函數(shù)/（x）在（1,+8）上單調(diào)遞增，故

B正確；

對于C選項，函數(shù)的最小值是=故C正確；

對于D選項，由圖像可知，當。=-1或時，方程/（司=。有1個解，故D正確.

故選：A.

8.若。＜玉＜%4。都有尤21n玉-xjn尤2＜玉-工2成立，則。的最大值為（）

A.-B.1C.eD.2e

【答案】B

1+In%,1+In.1+Inx,、—Inx

【解析】原不等式可轉(zhuǎn)化為----L＜------令——則:（無）=一，

玉％2XX

當xe（O,l）時，f\x）＞Q,則/（x）單調(diào)遞增；當x?l,+s）時，r（x）＜0,則單調(diào)遞減.

由于0＜占44都有了（占）＜/（%）,

所以函數(shù)〃尤）在（。,同上單調(diào)遞增，

所以,

所以。的最大值為1.

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.游人游玩的湖邊常設(shè)有如圖所示的護欄柱與柱之間是一條均勻懸鏈.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條（粗

細與質(zhì)量分布）均勻、柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.如果建立適當?shù)钠矫?/p>

直角坐標系，那么懸鏈線可以表示為函數(shù)=3產(chǎn)+/,其中。＞0,則下列關(guān)于懸鏈線函數(shù)〃元）的

性質(zhì)判斷中，正確的有（）.

A./(x)為偶函數(shù)

B.〃x)為奇函數(shù)

C.的最小值為a

D.的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+巧

【答案】ACD

(XXA

【解析】函數(shù)“X)的定義域為R,且==〃尤)，尤)為偶函數(shù)，故A正確，B錯誤;

>0'>0,^f(x)>^x2y[e^e^=a>

當且僅當「一?。粫r取等號，即x=0時取等號，故C正確；

，2尤、

2

當x>0時，0a>O,0eT_i>o>回力"),。，

回/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：ACD.

10.已知函數(shù)y=的導(dǎo)函數(shù)y=_f(x)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.x=c時，/'(x)取得極大值B.x=d時，/(x)取得最小值

C./(?)</(&)</(c)D./(e)</(rf)</(c)

【答案】ACD

【解析】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，在(a,c)上單增，則〃a)<〃6)<〃c),C正確；在(c,e)上單減,

則D正確；

由于顯然““不是最小值，B錯誤；又〃x)在(a,c)上單增，(c,e)上單減，則x=c時，/⑴

取得極大值，A正確.

故選：ACD.

11.下列命題中是真命題有()

A.若尸(%)=0,則/是函數(shù)的極值點

B.函數(shù)y=T(x)的切線與函數(shù)可以有兩個公共點

C.若函數(shù)〃%)=*-1113-2在區(qū)間(后上+D(丘N)上有零點，貝心的值為0或3

D.若函數(shù)〃x)的導(dǎo)數(shù)/(x)VI,且/⑴=2,則不等式〃x)>x+l的解集是(F1)

【答案】BD

【解析】A：例如〃x)=x3在尤=0處導(dǎo)數(shù)廣(0)=0,但當x<o時，函數(shù)“X)單調(diào)遞增，當x>0時，函數(shù)“X)

也單調(diào)遞增，故。不是函數(shù)/(尤)的極值點，故A選項錯誤；

B：例如〃x)=sinx,xe[0,3句，在點的切線y=l與有兩個交點，故正確；

C：函數(shù)/(x)=x—Inx—2在區(qū)間(后(+1)(%eN)上有零點,故/㈤必+1)<0,則

(k-tok-2)(k+1-ln(Z:+1)-2)<0,明顯b0,代入％=3,得(l-ln3)(2-ln4)>0,不符合零點存在定理,

故C錯誤；

D：令g(x)=/(x)—x—1,則有/(x)=1(x)—l<0,g(l)=/(l)-l-l=0,故g(x)>0的解集是(F,l),

故〃x)>x+l的解集是(-孫1),正確；

故選：BD.

12.已知函數(shù)/(x)=xcosx—x—sinx,貝|()

A.〃x)在卜兀，可上單調(diào)遞增

B.〃x)在［-兀，兀］上單調(diào)遞減

C.在［-2兀,2可上有2個極值點

D.在［-2兀,2兀］上有4個極值點

【答案】BD

【解析】e［-27t,2?i］,f(-J:)=-A-CO&X+X+sinx=-f(x),所以〃x)為奇函數(shù),

,

對于A,/(x)=cosx-xsinx-l-costr=-Asinx-l,

當xe［O,可時,xsinx>0,所以廣(x)<0,即在［0,可上單調(diào)遞減，

因為/'(X)為奇函數(shù)，所以/(X)在［-兀，0］上單調(diào)遞減，故A錯誤，B正確;

/,(x)=-xsinx-l,-^-g(x)=-xsinx(xe[-27i,27i]),g(-x)=-xsinx=g(%),

所以g(x)為偶函數(shù)，g'(尤)=—(sinx+xcosx),

當xe0,1-時，sinx>0,xco&x>0,所以g〈x)4O,g(無)單調(diào)遞減,

因為g(x)為偶函數(shù)，所以當xe-pO時，g(x)單調(diào)遞增,

當xe-兀廠］時，sinx>0,xcosx>0,所以g，(x)4O,g(無)單調(diào)遞減,

因為g(x)為偶函數(shù)，所以當無epTT時，g(x)單調(diào)遞增，

當xeJi,—時，sinx<0,xcosx<0,所以g，(x)NO,g(元)單調(diào)遞增,

因為g(x)為偶函數(shù)，所以當XC時，g(x)單調(diào)遞減,

當xw-2n,~—時,sinX<0,xcosx<0,所以g〈x)20,g(x)單調(diào)遞增,

因為g(x)為偶函數(shù)，所以當尤e另，2兀時，g(x)單調(diào)遞減,

g(2兀)=-2兀sin2兀=0

g(兀)=-7isin7i=0,y=-ysin7=-pg(0)=-OsinO=0,

\乙J乙乙乙

g(-2K)=-27isin(-27i)=0,

g(-7t)=-Tisirni=0,兀

2

所以g(x)的圖象為

如圖

圖象與X軸有四個交點，從左往右依次設(shè)為不々,無3，匕，

當2兀,不)時/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當彳丸占,多)時/<x)>。，〃x)單調(diào)遞增,

當彳€(%2，演)時/''(x)<。，/(尤)單調(diào)遞減,

當)?玉,%)時/(x)>0,/(X)單調(diào)遞增,

當x?%，2兀)時r(x)<0，〃X)單調(diào)遞減,

所以/■(%)在占,3,w，%處有四個極值，故D正確，C錯誤.

故選：BD.

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知〃x)=x(x+lnx),則“無)在尤=1處的切線方程是.

【答案】y=3x-2

【解析】已知當x=l時"1)=1,

由/'(x)=(x+lnx)+x，+[,得廣⑴=3

根據(jù)點斜式可得：y—l=3(x—l)ny=3x—2

故答案為：y=3x-2

14.已知函數(shù)〃尤)的定義域為R,它的導(dǎo)函數(shù)1(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=〃x)+l的極值點有

【解析】由題意可知y=/(x)+l,y'=f'(x)

由圖象可知，當x<0時，/,(%)>0,y>0,y=〃x)+l遞增；

當0<x<2時，r(x)<0,y'<0,y=F(x)+l遞減，

當x>2時，r(x)>0,y>0,y=〃尤)+1遞增；

故尤=0,x=2為函數(shù)的極值點，

故答案為：2

15.若點P是曲線上任意一點，貝IJ點P至U直線y=x-3的最小距離為.

【答案】0

【解析】由已知，設(shè)點。(%,%)曲線y=%2-lnx-1」二一點，則有%=/2-1叫-1,

因為y=%2_1nx一1,所以y，=2%—L所以川個)=2%0,

X%。

所以曲線y=f-In%-1在。(%,%)處的切線斜率為％=2%-，,

工0

22

則曲線y=尤2-lux-1在Q(x,%)處的切線方程為y-(X-lnx-l)=(2x--)(x-x),即y=(2x--)x-%-lnx.

0oo0%o00x。00

要求得曲線y=Y_lnx-l上任意一點，到直線y=x-3的最小距離即找到曲線上距離直線最近的點，即

k^2x0--=l,解得%=1或(舍去)，

此時，以點。(1,。)為切點，曲線的切線方程為：y=x-i,

此時，切點。(L0)為曲線上距離直線>=》-3最近的點，即點p與點。重合,

最小距離為直線，=無-3與直線y=x-l之間的距離，設(shè)最小距離為d,

所以d=尸一(一到二夜

故答案為：0.

16.已知函數(shù)〃x)=cos尤-一二,/(X)為Ax)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是

①當xe(-l,0)時，/(x)<0；

②函數(shù)/'(X)在,1,5上只有一個零點；

③函數(shù)“X)在上存在極小值點.

【答案】2

【解析】①當九￡(-1,。)時，cosx<l,-^―>1,

X+1

所以"x)=cosx一士<0,故①正確;

11

②/'(X)=-sinx+令p(x)=一sinx+

(X+l)2'(X+l)2'

2

則p'(x)=_cos%_

(X+l)3'

因為曰-1目，所以p(x)<0,所以/(X)單調(diào)遞減,

因為…>0,咱…目<。，

根據(jù)零點存在定理可得，3x0ek|l使得/'(%)=0,

所以函數(shù)/（X）在卜1，TJ上只有一個零點，故②正確；

③因為函數(shù)/‘（X）在‘吟）上單調(diào)遞減，且只有一個零點七的母，

所以當XW（-1,毛）時，r（無）＞0,當xe［xo，T時，（（無）＜0,

所以Ax）在（-l,x0）上單調(diào)遞增，在、。胃］上單調(diào)遞減，

所以為為Ax）在，I,1）上的唯一極大值點，故③錯誤，

所以正確的個數(shù)為2.

故答案為：2

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.（10分）

已知函數(shù)〃尤）=lnx,g（x）=tanx.

⑴求曲線y=g（x）在匕遙二］處切線的方程；

（2）若直線/過坐標原點且與曲線y=f（x）相切，求直線/的方程.

7.2

cosx+sin-x

2g

cos~X,所以

2尤-y+1-—=0

切線方程為:,整理得'2

（2）/（力=山"，所以‘⑺一了，設(shè)切點坐標為（%，1n%）k=—

,所以切線斜率為不

則切線方程為：y-lnXo=L（x-x。），又因為切線過原點，所以將（0,0）代入切線方程得Tn毛=▲?（-%）,

解得x0=e,所以切線方程為：y-l=-（x-e）,整理得x-ey=0.

e

18.（12分）

新冠肺炎疫情期間，某企業(yè)生產(chǎn)的口罩能全部售出，每月生產(chǎn)x萬件（每件5個口罩）的利潤函數(shù)為

。（同=3（單位：萬元）.（注：每間結(jié)果精確到小數(shù)點后兩位.參考數(shù)據(jù)e2=7.39,

e

12—Inx,x7

e3x20.09)

⑴當每月生產(chǎn)5萬件口罩時，利潤約為多少萬元?

（2）當月產(chǎn)量約為多少萬件時，生產(chǎn)的口罩所獲月利潤最大？

120

"5）=一一x5?+4x5-5=—=6.67

【解析】（1）當》=5時，33，故當每月生產(chǎn)5萬件口罩時，利潤約為6.67萬元

12

—x+4%—5,0<x<7,

（2）因為利潤函數(shù)為P（x）=j3

12—lux----，龍27

11?

故當0<%<7,夕。）=-§/+4彳一5=-§（%—6丫+7,此時當》=6,0。）?13；［=7.

P3［「33_

當了27時,p（x）=12-hix----,p'（x）=-一+==一丁，當7<x<e3,>0,止匕時p（x）單調(diào)遞增,當

XXXX

X>e3,pr（x）<0,此時P（x）單調(diào)遞減，

故當尤=e3。20.09時，p(x^=12-lne3--=12-3-1=8

?'/IllaXeS

綜上，當x=20.09時，所獲月利潤最大.

19.(12分)

已知函數(shù)/(x)=x2+aInx.

⑴當a=—2,求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)g（x）=/（尤）+—在［2,4］上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

X

【解析】（1）函數(shù)〃尤）的定義域為（Q+00）,

當a=—2時，產(chǎn)(X)=2「=2(XT)(X+1),

XX

當無變化時，（⑺，“X）的變化情況如下:

X(0,1)1(1,+co)

-0+

“X)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

團極小值是/⑴=1,無極大值

2(%)=+6ZInXH—％)—2xT............-

⑵I，x,x>0,6V7Xx2,

回函數(shù)g(x)在［2,4］上是單調(diào)增函數(shù)，

團g'(尤”0在［2,4］上恒成立，即a2：-2/在［2,可恒成立，

29

令h(x)=——2x2,/(%)=--一4%<0在［2,4］上恒成立，

xx

皿(X)在［2,4］單調(diào)遞減,

0/z(%)max=/?(2)=-7,0(?>-7

所以，實數(shù)。的取值范圍是［-7,包)

20.(12分)

已知函數(shù)/(x)=e*(依2-x+1).

⑴求曲線y=/(x)在點(。"(。))處的切線的方程；

(2)若函數(shù)，(無)在x=0處取得極大值，求a的取值范圍.

【解析】(1)由/(6=e*(--x+1)可得(⑺=e—ax?-x+i+2ax-l)=e,lax?+2辦-尤)，

所以左=/'(0)=0,/(0)=1,

故曲線y=/(尤)在點(0J(0))處的切線的方程、=1；

(2)由(1)可得/■'(>)=xe*(ax+2a_1)

當a=0時，/'(X)=-xex,

當x<0時，r(x)>0,〃無)單調(diào)遞增；當x>0時，f'M<0,f(x)單調(diào)遞減；

所以此時/(X)在x=0處取得極大值，滿足題意；

1-2/7

當awO時，令/'(%)=xe"(ax+2Q-l)=0,解得％〔=0,x=----

2a

下面對，進行分類討論

①當a=g時，r(x)=1xV>0,f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值點，舍去；

②當時，

當x〈寧或x>0時，尸(犬)>0,f(x)單調(diào)遞增；當一<x<0時，/(x)<0,單調(diào)遞減,

此時f(x)在x=0處取得極小值，故舍去；

③當。＜0時，

當x＜寧或x＞0時，_f（x）＜0,“X）單調(diào)遞減；當?。紉＜0時，/（x）＞0,/（X）單調(diào)遞增,

此時〃x）在x=0處取得極大值，滿足題意；

④當0＜。＜；時，

當天＜0或無＞7^時，/（無）＞0,/（X）單調(diào)遞增；當0＜x＜L券時，/,（x）＜0,7?（》）單調(diào)遞減,

此時f（x）在x=0處取得極大值，滿足題意；

綜上：。的取值范圍為（-8,g）

21.（12分）

已知函數(shù)/（x）=-x3+加-4,其中a為實常數(shù).

⑴當"=3時，求曲線y=〃x）在點。，/⑴）處的切線方程；

（2）討論〃尤）的單調(diào)性；

⑶若存在%?0,+8）,使得不等式/'（無。）＞0成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】（1）/（尤）=一爐+3/-4,/（尤）=-3龍？+6x,

所以〃1）=一2"'（1）=3,

所以切線方程為丫一（一2）=3（尤-l）,y=3x-5.

（2）〃力的定義域為區(qū)，/'（%）=-3/+2辦=-3{1一：0）,

當a＜0時，“X）在區(qū)間（-鞏|4，（0,+8）j’（司＜0"（外遞減；

在區(qū)間怦,0）,/（無）＞0,〃.遞增.

當a=0時，/（x）＜0,/（x）在R上遞減.

當a＞0時，f（%）在區(qū)間（一8,0）,（|'。,+8）J（x）＜0,/（x）遞減;

在區(qū)間，?,/（同＞0"（月遞增.

（3）由（2）知:

當aVO時，/（%）在（。,+8）上遞減，/（x）</（O）=-4<O,