第5章三角函數(shù)章末重難點歸納總結(jié)

“角的分類一

任意角與瓠度制口［」扇步的瓠昧與面積

］三角函數(shù)在直角三角和單位圓的雙|

三角函數(shù)值的正負判斷

L三角函數(shù)的定義

」弦的齊次

同角三角函數(shù)［|弦的加減我

三

角

函

數(shù)

重點一扇形的弧長與面積

重點二三角函數(shù)的定義

重點三三角的數(shù)值的正負判斷

三角函數(shù)

重難點四同角三角函數(shù)

重難點五誘導(dǎo)公式及恒等變化

重難點六三角函數(shù)的性質(zhì)

j-------------------------------------------------------

重點一扇形的弧長與面積

【例1-1](2021?江蘇?高一專題練習(xí))已知扇形的周長為10cm,面積為4cm"則該扇形圓心角的弧度數(shù)為

()

A.—B.—C.}D.；或8

4422

【答案】C

【解析】設(shè)扇形的弧長為/,半徑為小則2尸+/=10,

???S扇形=:〃=4,則g(l。-2r)r=4,解得：〃=4或r=l,

21

當(dāng)丁=4時，1=2,a=—=—,

42

當(dāng)廠=1時，1=8,a=8>2?,故舍去，

扇形的圓心角的弧度數(shù)是3.故選:C.

【例1-2](2023?全國?專題練習(xí))已知扇形的圓心角是a,半徑是,，弧長為/.

(1)若戊=100。/=2,求扇形的面積;

(2)若扇形的周長為20,求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數(shù).

■人人-〉.1OTT

【答案]⑴,

⑵最大值為25；a=2

a=100°=100x—=—S=-/r=-ar2=-x—x4=—

【解析】⑴因為1809,所以扇形的面積為22299.

(2)由題意可知：，+2廠=20,即/=20-2廠，

119

所以扇形的面積為5=/〃=5（20-24廠=-（一5）一+25,

當(dāng)r=5時，扇形面積的最大值為25,

此時/=20-2x5=10,?=-=—=2

r5

【一隅三反】

1.（2022?四川）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，初紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子,

如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB,其中ZAOB=120。，OA=3OC=3,則扇面（曲邊四邊形A3DC）的

面積是______

圖1圖2

【答案】y

17TT

【解析】由題意可得，扇形A08的面積是:XTX32=3TI,

扇形COD的面積是/X萬~xE=§兀.

則扇面（曲邊四邊形A5DC）的面積是3兀-：兀=?.

故答案為：

2.（2022.安徽?亳州二中高一期末）屏風(fēng)文化在我國源遠流長，可追溯到漢代某屏風(fēng)工藝廠設(shè)計了一款造型

優(yōu)美的扇環(huán)形屏風(fēng)，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為3.6m,內(nèi)環(huán)弧長為1.2m,徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為

1.2m,則該扇環(huán)形屏風(fēng)的面積為m2.

【答案】2.88

【解析】設(shè)扇形的圓心角為。，內(nèi)環(huán)半徑為nn,外環(huán)半徑為Em,則R-r=L2m,

由題意可知a，r=1.2m,crR=3.6m,所以a（R+r）=4.8m,

所以該扇環(huán)形屏風(fēng)的面積為：

S=|ar（7?2-r2）=1a（7?+r）（7?-r）=1x4.8xl.2=2.88m2.

故答案為：2.88.

3.（2021.陜西榆林）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田（由圓弧和其所對

弦所圍成）面積的計算公式：弧田面積=；（弦x矢+矢2）.公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于圓弧的

最高點到弦的距離.如圖，弧田是由圓弧AB和其所對弦A2圍成的圖形，若弧田的弧AB長為與，弧所在

的圓的半徑為4,則利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計算出來的面積與實際面積之差為.

O

【答案】8^/3+2——

【解析】設(shè)圓弧A8所對圓心角的弧度為a，由題可知ax4=?,解得a=g.

故扇形的面積為[x"義4=鳥，三角形A03的面積為《xsin=x42=4G故弧田實際的面積為

23323

作ODLA5分別交AB,A8于點。，C,則AB=4>/LOD=2,

所以利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計算出來的面積為:x（4括x2+2]=4/+2,

貝|]所求差值為（46+2）_]^|^_4\/§]=86+2-^^.

故答案為：8A+2——.

4.(2022?全國?高一課時練習(xí))已知一扇形的圓心角為。(a>0),周長為C,面積為S,所在圓的半徑為a.

(1)若。=90。，r=10cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；

(2)若C=6cm,S=2cm2,求。的值.

【答案】(1)5%(cm),257r—50(cm2)；(2)a=4或a=l.

【解析】(1)設(shè)弧長為/,弓形面積為M，

7T

貝*=90。=—,r=10,

2

=gxl0=5%(cm)

S.=S-S=-x5^-xlO--xlOxlO=25^--5O(cm2

1A221

'2r+l=6

(2)由已知得1,0,解得

—lr-2

[2

a=4或cr=1

重點二三角函數(shù)的定義

【例2-1](2022?全國?高三專題練習(xí))如果角a的終邊過點P(2sin60。,-2cos60。)，貝|cosa=()

A.--B.1C.D.B

2222

【答案】D

【解析】由題可得P(相,-1),因為r=7^1=2所以cosa=2=g.故選：D

r2

【例2-2](2022?江西省銅鼓中學(xué))已知角。的終邊經(jīng)過點服(加,3-m)，且tan9=；,貝心力=()

A.2B.1C.2D.-

22

【答案】C

【解析】由題意tan6=^-=-,解得〃?=2.故選：C.

m2

【一隅三反】

1.(2022?全國?高一課時練習(xí))已知尸(-2,y)是角。終邊上一點，且sin。=當(dāng)，則V的值是()

A20n20「4取n4取

A.-----------D.--------C.-------------U.----------

551717

【答案】D

【解析】因為尸(-2?)是角。終邊上一點，sin6=￥>0,故點尸(-2,y)位于第二象限，

y272

所以y〉osin6=

J(-2)2+J"I"

整理得：17y、32,因為y>0,所以丫=差1.故選：D.

3

2（2022?重慶）角。的終邊經(jīng)過點4）,且cosa=-5，則tana的值為.

4

【答案】

3

【解析】由題意角。的終邊經(jīng)過點尸（九4）,且cosa=-y,可知初<0,

m34.4

則cosa=—==一￡,解得小=—3,所以tana=17,故答案為：一；

｛信+16533

3.（2023?全國?專題練習(xí)）已知角a的終邊經(jīng)過點尸（-%,-6）,且cosa=_R,貝L+—1—

13sincrtana

【答案】42

5

【解析】因為角a的終邊經(jīng)過點P（-x,-6）,且cosa=-\,所以8sa=

13，

解得戶沁=一,

因為點尸的縱坐標(biāo)為-6,且cosa=-1<0,所以角a的終邊落在第三象限，所以尤=g,即尸［-［，-6

匚匚7.12y12匚口、［1113s92

所以sina=——,tana=—=—,所以—---1-----------.故答案為:

13x5sin<7tana3

重點三三角函數(shù)值的正負

【例3-1］（2022.全國?高一課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若角。的頂點在原點，始邊在光軸的非負半軸

上，終邊在第二象限，則下列三角函數(shù)中值大于零的是（）

71

A.sinI+-|-B.cosOCH----C.tan(7i+a)D.cos(兀+a)

2

【答案】D

【解析】由已知得a是第二象限角，所以c+g是第三象限角，兀+。是第四象限角，

2

所以sin（a+5）<0,cos^（z+^<0,tan（7i+cz）<0,COS（TT+C）>0,故選:D.

【例3-2】（2023?全國?專題練習(xí)）已知角0在第二象限，且sinmu-sinD，則角|■在（）

A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

（2左TTH,2k7l+7T）,左WZ—G（左TTH,k兀H）

【解析】???角。是第二象限角，."e2,242,丘Z,

00000

...角彳在第一或第三象限，：sin=u-sin展，，sin彳<0,.?.角彳在第三象限.故選：C.

22222

【一隅三反】

1.（2022?全國?高一課時練習(xí)）已知a為第二象限角，則（）

A.sina<0B.tana>0C.cos<z<0D.sintzcostz>0

【答案】C

【解析】因為a為第二象限角，所以$也￡>0,<：0$￡<。,1311￡<0,故ABD錯誤，C正確.故選：C

2.（2022?全國?高一課時練習(xí)）已知sin6<0且tan6<0,貝UO是（）

A.第一象限的角B.第二象限的角

C.第三象限的角D.第四象限的角

【答案】D

【解析】sin6<0,則。是第三、四象限的角tan，<0,則。是第二、四象限的角

.??8是第四象限的角故選：D.

3.（2022?全國?高一課時練習(xí)）（多選）已知點尸（sind-cosatan。）在第一象限，則在［0,2詞內(nèi)。的取值范圍

【答案】AB

【解析】因為點跳山夕-出0儂門⑶在第一象限,

|sin^-cos^>0

所以tan"。,即。位于第一象限或者第三象限且，且滿足皿心凡

所以，當(dāng)。位于第一象限時，。《李口時，sin6>cos。；

當(dāng)6位于第三象限時，。?（鞏今］時，sin6>cos，.故選：AB

重難點四同角三角函數(shù)

【例4T】（2022?成都）已知cosa=g,且a為第四象限角，則sine=（）

A一述B.+逑

33

C.土克D.受

33

【答案】A

【解析】Q。為第四象限，sina<0，sina=-Jl-cos2a=一2后,故選：A

3

【例4-2］（2022?遼寧實驗中學(xué)）已知tana=3,則Zsi/a+sinacosa-3cos2a的值為（）

917

A.-B.18C.—D.15

510

【答案】A

了々力士匚x.2.c22sin2<z+sin6zcos<z-3cos2a2tan2<z+tancr-3

1用牛析】2sina+acosa-3cosa=-------------------------》-----------=----------5------------

sina+cosatana+1

9

代入tana=3可算得原式的值為:故選：A

【例4-3]（2023?云南）已知。￡（。,兀），且sina+cosa=g,給出下列結(jié)論：

①、<。<兀；（2）sincifcostz=~~~;③cosa=g；④cosa—sin。=一：.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②④B.②③④

C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】V?G（0,7I）,sina+cosa=',等式兩邊平方得（sina+cos。）？=l+2sinacosa=*,

12

解得sinacosa=—石，故②正確；

1271

V6zG（0,7t）,sincrcos6Z=-----<0,.\—<a<7icosa<0,故①正確，③錯誤；

252f

兀1249

由一<。<?？芍?，costr-sincr<0，且（coso-sin。）？=1-2sinacosa=1—2x（-----）=一,

7

解得cos。—sin。=—不，故④正確，故選：A

【一隅三反】

1.（2023?廣東）己知coscr-3sina=0,則雙區(qū)二吧區(qū)的值為（）

cos。+sin。

545

A.—B.—C.-D.

454

【答案】C

■AR..「1~一2cosa—sin。2—tan。35….

【解析】因cos。一3sma=。，貝!jtana=7，所以--------:---=--------=---f=：.故選：C

3cosa+sma1+tancr]+，4

3

2.（2022?遼寧?沈陽二十中一模）（多選）己知6?0,兀），sind+cos，=g,貝ij（）

A嗚T3

-8B.cos0=——

5

37

C.tan3=—D.sin^-cos^=—

45

【答案】ABD

ii

【解析】因為sine+cos6=—①，所以（sing+cos夕）9=sin2^+2sin^cos^+cos20=—,所以

525

2sin<9cos<9=-!|.又?！辏?,兀），所以sin6〉0,所以cos8<0,即。小m，兀，故A正

/X?49743

確.（sinS-cos。）=l-2sin^cos^=一，所以sin6-cose=—②，故D正確.由①②，得sind=-,cos6=——,

v725555

故B正確.tane="sin：0=-三4，故C錯誤.

cost/3

故選：ABD.

3.（2022?安徽）已知a￡[0,27r）,cosa+3sina=\^U,則tana=.

【答案】3

【解析】因為（cosa+3sina）2=10,所以cos2a+6sinacosc+9sin26z=10,

h石cos2a+6sinacosa+9sin2l+6tancr+9tan2cr

因22=,m見lZ=]U,

cosa+sinal+tana

所以tana=3.故答案為:3

4.（2020?河南信陽?高一期中）如果sinx+cosx=g,且OVXVTI,那么tan尤的值是

【答案】.4

【解析】由sinx+cosx=[,得cosx=（-sinx

代入sin?%+cos?x=l整理得：25sin2x-5sinx-l2=0

43

（5sinx-4）（5sin%+3）=0,?.sinx=—^sinx=--

55

4

X0<x<TU,.\sinx>0,/.sinx=—,

I3flsinx44

/.cosx=——sinx=一一,貝|tanx=------=——.故答案為：——.

55cosx33

重難點五誘導(dǎo)公式及恒等變化

【例5”】（2022.湖北黃岡）（多選）下列各式中，值為6的是（）

l+tan15°

1-tan15°

C.cosl5?！狦sinl5。D.16sin10°cos20°cos30°cos40°

【答案】ABD

(n15]、1

221+cos—1+cos——

【解析】對于A,2fcos^|-cos1j冗5%

=2______6______6_=cos----cos——

2266

7

=+=y/3，故A正確;

22

1+tan15°_tan45°+tan15°

對于B,=tan(45。+15。)=tan600=y/3故B正確;

1-tan15°1-tan45°tan15°

1/o

對于Ccos150-石sin15°=2—cosl5°------sinl5°

(22)

=2sin30°cos15°—cos30°sin15°)=2sin(30°—15°)=2sinl5°=2sin(45°—30°)

=2(sin45°cos30°-cos450sin300)=2^^-當(dāng)44\=鼻旦,故C錯誤；

)

對于D,16sin10°cos200cos30°cos400

二16x；卜in30°+sin(-10°)Jcos30°cos40°

=8sin30°cos30°cos40°-8sin10°cos30°cos40°

=8x^-cos400-8x^sin40。+sin(-20。)]cos40。

=2A/3COS40°-4sin400cos40°+4sin20°cos400=2百cos40?！?sin80。+4x；卜in60°+sin(-20°)J

=2V3cos40°-2sin800+A/3-2sin20°=273cos40°-4sin50°cos30°+有

二2百(cos40。一sin50。)+百=2百(cos40。一cos40。)+百=百，故D正確；

故選：ABD.

【例5-2](2022?廣東深圳?高三階段練習(xí))已知。為第一象限角，cos(c+l(r)=：,則tan(17(T-a)=()

A.-2V2B.2A/2C.-72D.72

【答案】A

【解析】由a為第一象限角，cos(?+10j=1,得sin(a+l(T)=Jl-cos2(a+l(T)=￥，故

tan(a+10°)=—^-------1=20,故tan(170。-a)=tan[180°-(cr+10。)]=-tan(c+10°)=-2A/2.

故選：A.

【例5-3](2022.吉林)已知sin|a+f=%貝ijsin(2a+g1=()

15

BCD.

-t-I16

【答案】D

更

【解析】因為sin

8

所以sin(2a+^J=sin(2a+S+'15

16

故選：D

1.(2022.遼寧實驗中學(xué))(多選)下列等式成立的是()

A.—sin40°+^-cos40°=sin70°B."0"——1=1

22sin20°

C.sinl00sin50ocos20o=1D.tan67.5°-tan22.5°=2

o

【答案】BCD

【解析】對于A：1sin40°+cos40c=sin(400+60°)=sin1000=sin80°sin700,故A錯誤;

對于氏2sin?55。一1=-si10。=0s(90。+20。)=1,故R正確；

sin20°sin20°sin20°sin20°

對于C：sinl00sin500cos20°=sinl00cos40°cos20°

sinl00cos10°cos40°cos20

cos10°

—sin20°cos40°cos20°

2

cos10°

—sin40°cos40°

4

cos10°

—sin80°—cos10°.

故正確;

=8=8」C

cos10°cos10°8

因為tan67.5°-tan22.5°=tan(45°+22.5°)-tan(45°-22.5°)

tan450+tan22.5°tan45°-tan22.5°

1-tan45°-tan22.5°1+tan45tan22.5

1+tan22.5°1-tan22.5°

1-tan22.5°1+tan22.5°

=(1+tan225)一(「tan225)=4tan22.5。=2tan45。=2，故D正確;

1-tan222.5°1-tan222.5°

故選：BCD

2.（貴州省2023屆高三上學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（文）試題）若cos卜+?）

【答案】-g

故答案為：

3.(2022?重慶)已知sin［(z+弓］=不，IJIlJsin=

【答案】1

【解析］cos(2a+^)=l-2sin2fa+^=l-2x^=--^

JkJ乙D4J

jrTTjr9717

而sin(2a+—)=-cos(2a+-+—)=-cos(2ad----)=—.

662325

故答案為：（

重難點六三角函數(shù)性質(zhì)

【例6】（2022?陜西）己知函數(shù)/（x）=；sinx+石cos?、-#.則關(guān)于/⑶說法錯誤的是（）

冗

A./（X）的圖象向右平移5邛個單位長度后所得的函數(shù)為y=-cosx

6

B.f（x）的圖象與g（x）=sin（x+g）的圖象關(guān)于y軸對稱

jr7TT

C./⑴的單調(diào)遞減區(qū)間為2k7t+-,2k7t+—伏eZ）

60

D.，（九）在[0,旬上有3個零點，則實數(shù)。的取值范圍是"，坐

【答案】D

【解析】/(%)=gsinx+geos?x61.

---------=—sinx+cosx=sinx+工

2222I3

對于選項A,將f（x）的圖象向右平移亍個單位長度后得到函數(shù)

6

y=/1x_K]=sin[x_V+]]=sin[x_]]=_c0sx的圖象，選項A正確;

對于選項B,/(-x)=sin+j=s^n

^-xg(x)，

???〃%)與gQ)圖象關(guān)于y軸對稱，，選項B正確;

TTTT3冗7T771

對于C,由2E+,W尤+,W2癡+2(左GZ)2kji+—<x<2fai+—(kZ),

jr7兀

即/(尤)的單調(diào)遞減區(qū)間為2kji+—,2kn+――(%wZ),.,?選項C正確；

_66

對于D,如圖為y=sin/的圖象，

由圖可知，/（X）在［0㈤上有3個零點，則371?。+4<4兀，解得早117T

選項D錯誤.

故選：D.

【一隅三反】

1.（2022?成都）已知函數(shù)/（x）=J^cos2x-sin2x,下列說法正確的是()

A./（力的最小正周期是2兀

B.“X）的圖像關(guān)于直線工=聯(lián)對稱

C.〃尤）在區(qū)間（。，"上單調(diào)遞增

D.〃x）的圖像可由"2cos2x的圖像向左平移己個單位得到

【答案】D

【解析1/（x）=6cos2x-sin2x=-2sin（2x-：J,

得7=三27r=兀，故A選項錯誤；

令2%一三=T+伍（左￡Z）nx=普+（%￡Z）,

二直線X=3不為其對稱軸，故B選項錯誤；

當(dāng)xe［。噂12"一與。|一時，，=2sin〔2x-1^單調(diào)遞增，

函數(shù)/（x）=-2sin（2x-T單調(diào)遞減，故C選項錯誤；

7T

將於）=2cos2%的圖像向左移三個單位得

12

/（x）=2cos12'+專1）=2cos12x+胃=2sin1一0^+仁）］

=2sin（g-2尤）=-2sin（2x-gj.故D選項正確.

故選：D.

2.（2022?陜西師大附中高一期中）aa/（x）=-2sin2x+sin2%+1,給出下列四個命題：

①在區(qū)間4，孚］上是減函數(shù)；②直線x=?是函數(shù)圖像的一條對稱軸；

OOO

③函數(shù)/（X）的圖像可由函數(shù)y=0sin2尤的圖像向左平移:個單位得到；

④若彳€［0,3，則/⑺的值域是［0,占］

其中，正確的命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】/（x）=-2sin2x+sin2x+l=cos2x+sin2x=A/2sin（2x+—）,

4

7TTT37rTTSir

求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間：由一+2EW2x+—?—+2kn（ksZ）,得—+E<%<—+kit（keZ）,

24288

笈=0時，有F（X）在區(qū)間哈，個］上是減函數(shù)，①正確；

OO

求函數(shù)的對稱軸：由2x+：=g+EMeZ）,得尤=二+!ECeZ）,

4282

IT

左=0時，尤=三是函數(shù)"X）圖像的一條對稱軸，②正確；

O

由y=VIsin2x向左平移2個單位后得到y(tǒng)=0sin（2x+；）,③不正確；

當(dāng)xe［0,/時，2喈嗚苧，有sin（2x+：）e［-冬1］,所以/⑴的值域為［T,拘，④不正確.

故正確的是①②，正確的命題個數(shù)是2個.

故選:B

3（2022?江蘇省如皋中學(xué)）（多選）函數(shù)y=Asin（（y尤+0）（4>0,。>0,0<0<無）在一個周期內(nèi)的圖象如圖

所示，則（）.

A.該函數(shù)的解析式為y=2sin[gx+|^

B.該函數(shù)圖象的對稱中心為kwZ

C.該函數(shù)的單