專題20分類討論思想在壓軸題中的應(yīng)用

I厘概述

分類討論思想是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想，在中考數(shù)學(xué)壓軸題中考查頻繁，例如在解決中考?jí)狠S題中的

存在性問(wèn)題時(shí)，要用到分類討論思想：

1.在解決等腰三角形存在性問(wèn)題時(shí)，需要討論腰和底的多種情況；

2.在解決直角三角形存在性問(wèn)題時(shí)，需要對(duì)直角的情況進(jìn)行討論；

3.在解決平行四邊形和矩形、菱形、正方形的存在性時(shí)，需要對(duì)鄰邊或?qū)叺那闆r進(jìn)行討論；

4.在解決相似三角形存在性問(wèn)題時(shí)，需要對(duì)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角進(jìn)行分類討論；

5.壓軸題中其他的問(wèn)題，例如線段的數(shù)量和位置關(guān)系等，有時(shí)也需要進(jìn)行分類討論。

真題精析

例早1

（2022?遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)>=-/+云+0的圖像交x軸于點(diǎn)A（TO）,3（5,0）,

交》軸于點(diǎn)C.

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）如圖1,點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒四個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)。出發(fā)，以每

秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)出發(fā).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒（0</<5）.當(dāng),為何

值時(shí)，A&WN的面積最大？最大面積是多少？

(3)已知尸是拋物線上一點(diǎn)，在直線3C上是否存在點(diǎn)。，使以A,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?

若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)。坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

哪甌

(1)用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的表達(dá)式為；

(2)過(guò)點(diǎn)M作MELx軸于點(diǎn)E,設(shè)"MN面積為S,由ON=/,BM=^2t，可得BN=5-t,

ME=BMsin45°=y/2t--=t,即得S=:附?腔=((57)J=-+字，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)

22222X

f=g秒時(shí)，ABMN的面積最大，求得其最大面積；

(3)由3(5,0),C(0,5)得直線8C解析式為y=f+5,設(shè)Q(〃z,fi+5),可〃,-/+4〃+5),分三種情況

進(jìn)行討論求解.

［答案與解析】

【答案】⑴y=-Y+4尤+5

525

⑵當(dāng)/=彳時(shí)，的面積最大，最大面積是?

28

⑶存在，Q的坐標(biāo)為(-7,12)或(7,-2)或(1,4)或(2,3)

【詳解】(1)將點(diǎn)A(TO),3(5,0)代入、=一1+打+。中，

得［。=一25+5。+?！?/p>

仿二4

解這個(gè)方程組得<,

［c=5

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-/+4x+5；

(2)過(guò)點(diǎn)M作MELx軸于點(diǎn)E,如圖：

根據(jù)題意得：ON=t,BM=Qt.

/.BN—5—tf

在y=-%2+4x+5中，令％=0得y=5,

/.C(0,5),

/.OC=OB=5f

:.^OBC=45°.

ME=BMsin450=y/2t--=t,

2

:.S=-BN-ME=-(5-tYt=--t2+-t=--(t--)2+—,

22、)22228

\a0<t<5,

525

，當(dāng)才=彳時(shí)，ABAW的面積最大，最大面積是丁

2o

（3）存在點(diǎn)Q,使以A,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下:

由3（5,0）,C（0,5）得直線BC解析式為y=-x+5,

設(shè)。（加，一機(jī)+5）,*",一"+4〃+5）,又A（-l,0）,C（0,5）,

①當(dāng)尸2,AC是對(duì)角線，貝”。，AC的中點(diǎn)重合,

Im+n=-1+0

1一機(jī)+5-〃2+4〃+5=0+5'

解得根=0（與C重合，舍去）或加=_7,

.??2(-7,12)；

②當(dāng)QA,PC為對(duì)角線，則QA,PC的中點(diǎn)重合,

Im—l=n+0

[-m+5+0=—n2+4〃+5+5'

解得m=0(舍去)或根=7,

.?.2(7,-2)；

③當(dāng)QC,9為對(duì)角線，則QC,必的中點(diǎn)重合,

Jm+0=n-1

I—m+5+5=—n1+4〃+5+0'

解得加=1或m=2,

??01,4）或（2,3）,

綜上所述,Q的坐標(biāo)為（-7,12）或（7,-2）或（1,4）或（2,3）.

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，平行四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度.

（2022?湖南湘潭?統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=x2+bx+c.

⑴如圖①，若拋物線圖象與無(wú)軸交于點(diǎn)A（3,0）,與y軸交點(diǎn)3（0,-3）.連接AB.

①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式；

②若點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），過(guò)點(diǎn)尸作尤軸于點(diǎn)與線段A2交于點(diǎn)是否存在

點(diǎn)尸使得點(diǎn)M是線段的三等分點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）如圖②，直線y=gx+〃與y軸交于點(diǎn)C,同時(shí)與拋物線y=f+bx+c交于點(diǎn)。（-3,0）,以線段。為邊

作菱形CDFE，使點(diǎn)/落在％軸的正半軸上，若該拋物線與線段CE沒(méi)有交點(diǎn)，求6的取值范圍.

蠅甌

（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線A5的解析式，設(shè)點(diǎn)M（m,叩3）點(diǎn)P（%,7"2_2怯3）若點(diǎn)M

是線段物的三等分點(diǎn)，則嗡=4或罌=；，代入求解即可；

nr5Hr3

（2）先用待定系數(shù)法求出”的值，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)為5,因?yàn)樗倪呅蜟ObE是菱形，由此得

出點(diǎn)E的坐標(biāo).再根據(jù)該拋物線與線段CE沒(méi)有交點(diǎn)，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）

進(jìn)行討論，求出。的取值范圍.

［答案與解析】

【答案】⑴①?gòu)V爐-2尤-3,②存在，點(diǎn)尸坐標(biāo)為（2,-3）或（；，-二）,理由見(jiàn)解析

24

313

⑵方V-］或方

【詳解】（1）①解：把A（3,0）,3（0,-3）代入股/+旅+0,得

0=32+3Z;+C

'—3=c

仿=—2

解得：Q，

［c=-3

/.y=x2-2x-3

②解：存在，理由如下,

設(shè)直線A5的解析式為廣質(zhì)+兒把A（3,0）,8（0,-3）代入，得

3k+b=0

b=—3

k=l

解得

b=-3

工直線AB的解析式為y=x-3,

設(shè)點(diǎn)M（m,m-3）＞點(diǎn)尸（機(jī)，m2-2m-3）

若點(diǎn)M是線段尸H的三等分點(diǎn)，

,HM1-HM2

則nt前=3或前0

m-3=1m-3=2

m2-2m-33m2-2m-33

解得：帆=2或或帆=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，m=3是原方程的增根，故舍去,

:.m=2或m-y

???點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,?3)或(!，??■)

4

(2)解：把點(diǎn)。(-3,0)代入直線y=—x+n,解得n=4,

4

直線y=耳力+4,

當(dāng)x=0時(shí)，j=4,即點(diǎn)C(0,4)

CD—J32+42=5，

V四邊形CDFE是菱形，

：.CE=EF=DF=CD=59

???點(diǎn)E(5,4)

???點(diǎn)0(-3,0)在拋物線y=Y+版+°上，

:.(-3)2-3ft+c=0,

:.c=3b-9,

2

/.y=X+bx+3b-99

V該拋物線與線段CE沒(méi)有交點(diǎn)，

分情況討論

當(dāng)CE在拋物線內(nèi)時(shí)

52+5b+3b-9<4

3

解得：ft<~—

當(dāng)在拋物線右側(cè)時(shí)，

3加9>4

解得：唉13

綜上所述，；3或13

皿與翻

此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論.

精題

1.(2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0ABe的頂點(diǎn)3的坐標(biāo)為(8,4),OA,OC

分別落在X軸和y軸上，將AQAB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8落在y軸上，得到AODE,OD與CB相交于

k

點(diǎn)尸，反比例函數(shù)y=-(%>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，交A3于點(diǎn)G.

X

⑴求上的值.

(2)連接FG,則圖中是否存在與△EBG相似的三角形？若存在，請(qǐng)把它們一一找出來(lái)，并選其中一種進(jìn)行

證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶點(diǎn)M在直線0D上，N是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形GR0N是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo).

2.(2022?河南鄭州?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M)在AABC中，AB=AC,E為邊AC上一點(diǎn)，D為直線8C上

一點(diǎn)，連AD、BE,交于點(diǎn)F.

(2)如圖2,若ZBAC=ZBFD,且BF=3AF,求一的值；

BC

(3)如圖3,若440=60。.若BD=3CD,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AH,并且使得,

連接交AC于尸，直接寫(xiě)出正=.

3.(2022?吉林長(zhǎng)春.模擬)如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=6.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿以每秒2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線。1-AS以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),

到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)。停止1秒，然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng).分別連接PQ、BQ.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

A

⑴求點(diǎn)A與BC之間的距離；

(2)當(dāng)BP=34。時(shí)，求r的值；

(3)當(dāng)AP。為鈍角三角形時(shí)，求t的取值范圍；

(4)點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)。，連接。。，當(dāng)線段。。與AABC的某條邊平行時(shí)，直接寫(xiě)出f的值.

4.(2022?浙江金華.一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形042c的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C

的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)。從原點(diǎn)。出發(fā)沿。fAf8勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿A-8-C

隨。運(yùn)動(dòng)，且始終保持/CDE=/CQ4.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

(1)當(dāng)￡>E〃OB時(shí)，求證：△OCD四△3CE.

⑵若點(diǎn)E在2C邊上，當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng).

(3)若點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，是否存在這樣的3使得以點(diǎn)C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與AOCD相

似?若存在，京堪與出所有符合條件的六若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2022?重慶?模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-，+6x+c交x軸于點(diǎn)A和C(1,0),交y

軸于點(diǎn)8(0,3),拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)R

(1)求拋物線的解析式；

(2)將線段0E繞著點(diǎn)。沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段OE',旋轉(zhuǎn)角為a(0。＜仁＜90。)，連接AE'.BE',求

BE'+gAE'的最小值；

(3)M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？

若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.(2022.廣東佛山??？既?已知拋物線》=以2-2融-3a(a＜0)交x軸于點(diǎn)A,8(A在B的左側(cè))，交》軸

于點(diǎn)C.

⑴求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=kx+k交拋物線于點(diǎn)D.

①當(dāng)左＞0且。=-1時(shí)AQ交線段8C于E,交》軸于點(diǎn)/，求-SACE尸的最大值；

②當(dāng)左＜0且