專題20分類討論思想在壓軸題中的應(yīng)用

I厘概述

分類討論思想是一個非常重要的數(shù)學(xué)思想，在中考數(shù)學(xué)壓軸題中考查頻繁，例如在解決中考壓軸題中的

存在性問題時，要用到分類討論思想：

1.在解決等腰三角形存在性問題時，需要討論腰和底的多種情況；

2.在解決直角三角形存在性問題時，需要對直角的情況進行討論；

3.在解決平行四邊形和矩形、菱形、正方形的存在性時，需要對鄰邊或?qū)叺那闆r進行討論；

4.在解決相似三角形存在性問題時，需要對對應(yīng)邊和對應(yīng)角進行分類討論；

5.壓軸題中其他的問題，例如線段的數(shù)量和位置關(guān)系等，有時也需要進行分類討論。

真題精析

例早1

（2022?遼寧阜新?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)>=-/+云+0的圖像交x軸于點A（TO）,3（5,0）,

交》軸于點C.

⑴求這個二次函數(shù)的表達式;

（2）如圖1,點M從點B出發(fā)，以每秒四個單位長度的速度沿線段向點C運動，點N從點。出發(fā)，以每

秒1個單位長度的速度沿線段向點B運動，點N同時出發(fā).設(shè)運動時間為f秒（0</<5）.當,為何

值時，A&WN的面積最大？最大面積是多少？

(3)已知尸是拋物線上一點，在直線3C上是否存在點。，使以A,C,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形?

若存在，直接寫出點。坐標；若不存在，請說明理由.

哪甌

(1)用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的表達式為；

(2)過點M作MELx軸于點E,設(shè)"MN面積為S,由ON=/,BM=^2t，可得BN=5-t,

ME=BMsin45°=y/2t--=t,即得S=:附?腔=((57)J=-+字，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當

22222X

f=g秒時，ABMN的面積最大，求得其最大面積；

(3)由3(5,0),C(0,5)得直線8C解析式為y=f+5,設(shè)Q(〃z,fi+5),可〃,-/+4〃+5),分三種情況

進行討論求解.

［答案與解析】

【答案】⑴y=-Y+4尤+5

525

⑵當/=彳時，的面積最大，最大面積是?

28

⑶存在，Q的坐標為(-7,12)或(7,-2)或(1,4)或(2,3)

【詳解】(1)將點A(TO),3(5,0)代入、=一1+打+。中，

得［。=一25+5。+。’

仿二4

解這個方程組得<,

［c=5

???二次函數(shù)的表達式為y=-/+4x+5；

(2)過點M作MELx軸于點E,如圖：

根據(jù)題意得：ON=t,BM=Qt.

/.BN—5—tf

在y=-%2+4x+5中，令％=0得y=5,

/.C(0,5),

/.OC=OB=5f

:.^OBC=45°.

ME=BMsin450=y/2t--=t,

2

:.S=-BN-ME=-(5-tYt=--t2+-t=--(t--)2+—,

22、)22228

\a0<t<5,

525

，當才=彳時，ABAW的面積最大，最大面積是丁

2o

（3）存在點Q,使以A,C,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下:

由3（5,0）,C（0,5）得直線BC解析式為y=-x+5,

設(shè)。（加，一機+5）,*",一"+4〃+5）,又A（-l,0）,C（0,5）,

①當尸2,AC是對角線，貝”。，AC的中點重合,

Im+n=-1+0

1一機+5-〃2+4〃+5=0+5'

解得根=0（與C重合，舍去）或加=_7,

.??2(-7,12)；

②當QA,PC為對角線，則QA,PC的中點重合,

Im—l=n+0

[-m+5+0=—n2+4〃+5+5'

解得m=0(舍去)或根=7,

.?.2(7,-2)；

③當QC,9為對角線，則QC,必的中點重合,

Jm+0=n-1

I—m+5+5=—n1+4〃+5+0'

解得加=1或m=2,

??01,4）或（2,3）,

綜上所述,Q的坐標為（-7,12）或（7,-2）或（1,4）或（2,3）.

總結(jié)與點撥

本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，平行四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

用含字母的式子表示相關(guān)點的坐標和相關(guān)線段的長度.

（2022?湖南湘潭?統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=x2+bx+c.

⑴如圖①，若拋物線圖象與無軸交于點A（3,0）,與y軸交點3（0,-3）.連接AB.

①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達式；

②若點尸是拋物線上一動點（與點A不重合），過點尸作尤軸于點與線段A2交于點是否存在

點尸使得點M是線段的三等分點？若存在，請求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

（2）如圖②，直線y=gx+〃與y軸交于點C,同時與拋物線y=f+bx+c交于點。（-3,0）,以線段。為邊

作菱形CDFE，使點/落在％軸的正半軸上，若該拋物線與線段CE沒有交點，求6的取值范圍.

蠅甌

（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線A5的解析式，設(shè)點M（m,叩3）點P（%,7"2_2怯3）若點M

是線段物的三等分點，則嗡=4或罌=；，代入求解即可；

nr5Hr3

（2）先用待定系數(shù)法求出”的值，再利用勾股定理求出的長為5,因為四邊形CObE是菱形，由此得

出點E的坐標.再根據(jù)該拋物線與線段CE沒有交點，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）

進行討論，求出。的取值范圍.

［答案與解析】

【答案】⑴①廣爐-2尤-3,②存在，點尸坐標為（2,-3）或（；，-二）,理由見解析

24

313

⑵方V-］或方

【詳解】（1）①解：把A（3,0）,3（0,-3）代入股/+旅+0,得

0=32+3Z;+C

'—3=c

仿=—2

解得：Q，

［c=-3

/.y=x2-2x-3

②解：存在，理由如下,

設(shè)直線A5的解析式為廣質(zhì)+兒把A（3,0）,8（0,-3）代入，得

3k+b=0

b=—3

k=l

解得

b=-3

工直線AB的解析式為y=x-3,

設(shè)點M（m,m-3）＞點尸（機，m2-2m-3）

若點M是線段尸H的三等分點，

,HM1-HM2

則nt前=3或前0

m-3=1m-3=2

m2-2m-33m2-2m-33

解得：帆=2或或帆=3,

經(jīng)檢驗，m=3是原方程的增根，故舍去,

:.m=2或m-y

???點P坐標為(2,?3)或(!，??■)

4

(2)解：把點。(-3,0)代入直線y=—x+n,解得n=4,

4

直線y=耳力+4,

當x=0時，j=4,即點C(0,4)

CD—J32+42=5，

V四邊形CDFE是菱形，

：.CE=EF=DF=CD=59

???點E(5,4)

???點0(-3,0)在拋物線y=Y+版+°上，

:.(-3)2-3ft+c=0,

:.c=3b-9,

2

/.y=X+bx+3b-99

V該拋物線與線段CE沒有交點，

分情況討論

當CE在拋物線內(nèi)時

52+5b+3b-9<4

3

解得：ft<~—

當在拋物線右側(cè)時，

3加9>4

解得：唉13

綜上所述，；3或13

皿與翻

此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論.

精題

1.(2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標系中，矩形0ABe的頂點3的坐標為(8,4),OA,OC

分別落在X軸和y軸上，將AQAB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，使點8落在y軸上，得到AODE,OD與CB相交于

k

點尸，反比例函數(shù)y=-(%>0)的圖象經(jīng)過點尸，交A3于點G.

X

⑴求上的值.

(2)連接FG,則圖中是否存在與△EBG相似的三角形？若存在，請把它們一一找出來，并選其中一種進行

證明；若不存在，請說明理由.

⑶點M在直線0D上，N是平面內(nèi)一點，當四邊形GR0N是正方形時，請直接寫出點N的坐標.

2.(2022?河南鄭州?河南省實驗中學(xué)?？寄M)在AABC中，AB=AC,E為邊AC上一點，D為直線8C上

一點，連AD、BE,交于點F.

(2)如圖2,若ZBAC=ZBFD,且BF=3AF,求一的值；

BC

(3)如圖3,若440=60。.若BD=3CD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到AH,并且使得,

連接交AC于尸，直接寫出正=.

3.(2022?吉林長春.模擬)如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=6.點P從點B出發(fā),沿以每秒2

個單位長度的速度向終點C運動，同時點。從點C出發(fā)，沿折線。1-AS以每秒5個單位長度的速度運動,

到達點A時，點。停止1秒，然后繼續(xù)運動.分別連接PQ、BQ.設(shè)點尸的運動時間為f秒.

A

⑴求點A與BC之間的距離；

(2)當BP=34。時，求r的值；

(3)當AP。為鈍角三角形時，求t的取值范圍；

(4)點P關(guān)于直線AB的對稱點是點。，連接。。，當線段。。與AABC的某條邊平行時，直接寫出f的值.

4.(2022?浙江金華.一模)如圖，在平面直角坐標系中，菱形042c的頂點A在x軸的正半軸上，點C

的坐標為(3,4),點。從原點。出發(fā)沿。fAf8勻速運動,到達點B時停止，點E從點A出發(fā)沿A-8-C

隨。運動，且始終保持/CDE=/CQ4.設(shè)運動時間為

(1)當￡>E〃OB時，求證：△OCD四△3CE.

⑵若點E在2C邊上，當△CDE為等腰三角形時，求BE的長.

(3)若點。的運動速度為每秒1個單位，是否存在這樣的3使得以點C,D,E為頂點的三角形與AOCD相

似?若存在，京堪與出所有符合條件的六若不存在，請說明理由.

5.(2022?重慶?模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-，+6x+c交x軸于點A和C(1,0),交y

軸于點8(0,3),拋物線的對稱軸交x軸于點E,交拋物線于點R

(1)求拋物線的解析式；

(2)將線段0E繞著點。沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段OE',旋轉(zhuǎn)角為a(0。＜仁＜90。)，連接AE'.BE',求

BE'+gAE'的最小值；

(3)M為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N,使得以A,B,M,N為頂點的四邊形為矩形？

若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由.

6.(2022.廣東佛山??？既?已知拋物線》=以2-2融-3a(a＜0)交x軸于點A,8(A在B的左側(cè))，交》軸

于點C.

⑴求點A的坐標；

(2)若經(jīng)過點A的直線y=kx+k交拋物線于點D.

①當左＞0且。=-1時AQ交線段8C于E,交》軸于點/，求-SACE尸的最大值；

②當左＜0且