專題06幾何圖形的翻折變換問題

I苗嗅概述

幾何圖形中的翻折變換在中考?jí)狠S題中考查比例較高，翻折變換本質(zhì)上是考查軸對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)知識(shí)，

在解決有關(guān)翻折問題的壓軸題時(shí)，需要注意三點(diǎn)：

（1）掌握軸對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)：

①關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

（2）掌握折疊圖形的性質(zhì)，例如折疊圖形是矩形，那么在解決折疊問題時(shí)，就需要結(jié)合矩形的性質(zhì)和軸對(duì)

稱的性質(zhì)。

（3）折疊問題中求解線段的長(zhǎng)度，一般要借助勾股定理，列出方程進(jìn)行求解。

真題精析

例孽1

布

（2022?貴州貴陽?統(tǒng)考中考真題）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.

如圖，在，ABCD中，AN為5C邊上的高，—==m,點(diǎn)M在AD邊上，且=點(diǎn)E是線段A"上

AN

任意一點(diǎn)，連接BE,將.ABE沿BE翻折得FBL；.

尸

A2EMk（F）\pAIE/\LMpAMD

\

NBCNBcNBC

圖①圖②備用圖

⑴問題解決：

使點(diǎn)尸與點(diǎn)M重合，則金絲=_____;

如圖①，當(dāng)/胡。=60。，將一ME沿BE翻折后,

（2）問題探究:

如圖②，當(dāng)440=45。，將沿BE翻折后，使EF〃BM,求NABE的度數(shù)，并求出此時(shí)加的最小值;

⑶拓展延伸：

當(dāng)/54。=30。，將.ABE沿BE翻折后，若EF2AD,且AE=MD,根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求

出冽的值.

聊甌

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得駕=當(dāng)=—j—,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即

ANANcos/BAN

可求解；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得/4匹=/歹項(xiàng)=；(180。+45。)=112.5。，由三角形內(nèi)角和定理可得

ZABE=180°-ZAEB-ZBAE=22.5°,根據(jù)點(diǎn)M在AT＞邊上，當(dāng)AD=AM時(shí)，加取得最小值，最小值為

AM\

-----=2；

AN

(3)連接尸版，設(shè),AN=a,則AB=2a,NB=y/3AN=^3a,在RtZXFBM中，F(xiàn)B=AB=BM,延長(zhǎng)FE

交NC于點(diǎn)G,在中，EMTFMZ-EF，=,8/_(道—1"=(g+l)a,進(jìn)而根據(jù)

AD=AE+EM+MD,即可求解.

［答案與解析】

【答案】⑴38;⑵ZABE=22.5。,加=2；(3)作圖見解析，36-1

3

【詳解】(1)BA=BM,ZBAD=60。

ABM是等邊三角形，

:.AB=AM=BM

四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.AD//BC,

ZABN=ZBAM=60°,

AN為BC邊上的高，

.AMAB11

"'AN~^N~cosZBAN~~^3~~T，

^2

(2)ZBAD=45°,BA=BM,

二是等腰直角三角形,

/.ZMBC=ZAMB=45°,

EF//BM,

ZFEM=ZAMB=45°,

ZAEB=/FEB=1(180°+45°)=112.5°,

AD//NC9

:.NBAE=ZABN=45。，

ZABE=180°-ZAEB-ZBAE=22.5°,

An1

菽—3是等腰直角三角形，AN為底邊上的高，則.=

點(diǎn)M在邊上,

當(dāng)仞=3時(shí)，優(yōu)取得最小值，最小值為黑=2

(3)如圖，連接EM,

ZBAD=30°,則ZABN=30。，

設(shè)4V=a,貝!]AB=2a,NB=^AN=?,

折疊，

*e-FB=AB=2a,

EF-LAD,

ZAEB=ZFEB=1(180°+90°)=135°,

ZEAB=ZBAD=30°f

ZAB石=180。—30?！?35。=15。，

/.Zz4BF=30°,

AB=BM,ZBAD=30°9

:.ZABM=120°,

.ZMBC=ZAMB=30°9

...ZFBM=120°-ZABF=90°,

在RtaFBM中，F(xiàn)B=AB=BM,

FM=V2FB=2缶，

延長(zhǎng)FE交NC于點(diǎn)G,如圖，

:.EG±GB,

AEBG=ZABE+ZABN=15°+30°=45°,

GB=EG=a9

NB=島,

:.AE=EF=MD-l)a，

在RSEFAf中,EMAFM2-EF?=河—/=(6+1',

:.AD=AE+EM+MD=2AE+EM=2^-lja+^+^a=(3yl3-^a,

m=-----=35/3—1.

AN

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度

角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

（2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）我們可以通過面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩

腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問題.

(1)如圖一，在等腰；ABC中，AB=AC,2c邊上有一點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DESAB于E,DFJ.AC于F,過

點(diǎn)C作CG_LAB于G.利用面積證明：DE+DF=CG.

⑵如圖二，將矩形ABCD沿著EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)2落在胡處，點(diǎn)G為折痕E尸上一點(diǎn)，過

點(diǎn)G作GAf_LFC于M,GNLBC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GV的長(zhǎng).

ADAF

(3)如圖三，在四邊形ABC。中，E為線段BC上的一點(diǎn)，EA±AB,EDLCD,連接8D,且/「=一二，

CDDE

BC=后,CD=3,BD=6,求ED+E4的長(zhǎng).

(1)根據(jù)題意，利用等面積法SAABC=SAABD+SAACD，根據(jù)等腰么BC中，AB^AC,即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)題中條件，利用折疊性質(zhì)得到NAFE=NCFE,結(jié)合矩形ABCD中A￡>〃BC得到NAFE=ZFEC,

從而有NCFE=NFEC,從而確定AEFC是等腰三角形，從而利用(1)中的結(jié)論得到GM+GN=FH,結(jié)合

勾股定理及矩形性質(zhì)即可得到結(jié)論；

AD4r

(3)延長(zhǎng)胡、CD交于F,連接所，過點(diǎn)8作3G_LFC于G,根據(jù)次=—,EA±AB,EDVCD,得

CDDE

到AABC是等腰三角形,從而由(1)知即+￡4=3G,在RtABCG中，8G=7BC2-CG2=J(何飛+蛾,

在RtABDG中,BD=6,BG=《Blf-DC2=4&-￡，聯(lián)立方程J(后丫-(3+無1=BG='6?-爐求解得

x=l,從而得到結(jié)論.

【答案與解析】

【答案】⑴證明見解析；(2)4；⑶后

【詳解】(1)證明：連接4。，如圖所示:

在等腰中，＞1B=AC,BC邊上有一點(diǎn)，過點(diǎn)。作Z)E上AB于E,1AC于尸，過點(diǎn)C作CG,AS

于G,

■?■由S^c=S^BD+SMCDn^ABCG=^ABED+~ACFD,

：.DE+DF=CG；

(2)解：連接CG,過點(diǎn)尸作切于H,如圖所示：

在矩形ABC。中，AD〃BC,則NAFE=NFEC,

NCFE=NFEC,即AEFC是等腰三角形，

在等腰AEFC中，R7=EC,所邊上有一點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GM_LbC于M,GN，BC于N,過點(diǎn)尸作FH，BC

于H,由(1)可得GM+GN=FH,

在R/AABE中，?B90?,BE=3,AE=EC=BC-BE=8-3=5,則AB=QAE°—BE?！??=4,

在四邊形ABHF中，NB=/BAF=NFHB=90。,則四邊形ABHF為矩形,

:.FH=AB=4,BPGM+GN=FH=AB=4；

(3)解：延長(zhǎng)胡、CD交于F,連接跖，過點(diǎn)8作3GL/C于G,

在四邊形ABC。中，￡為線段3C上的一點(diǎn)，EA±AB,EDVCD,則NB4E=NCD石=90。，

bABAE

又五=五'

AABEADC￡,

:.ZABE=ZC,即AABC是等腰三角形，

由（1）可得即+E4=3G,

設(shè)G￡>=x,

NEDC=NBGC=90。,BC=5,CD=3,

在&ABCG中,BGNBG-CG。=J（庖『-（3+4,

在HABDG中,BD=6,BG^BD1-DG2=飛6-￡，

，（后,-（3+無y=BG=yj62-x2,解得x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l是方程的解用符合題意，

:.BG=^62-]2=A/35?即即+￡4=反?=屈?

，儂與碰

本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線段關(guān)系、折疊的性質(zhì)、勾股定理求線段

長(zhǎng)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，掌握（1）中的證明過程與結(jié)論并運(yùn)用到其他情境中是

解決問題的關(guān)鍵.

卅礴膜UK題

1.（2022?湖北武漢??？既＃?）如圖1,在正方形ABCD中，E是。上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著班折

疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，連接CF,并延長(zhǎng)C尸交AD于點(diǎn)G.求證：4BCE望CDG；

(2)在(1)的條件下，如圖2,延長(zhǎng)所交AD邊于點(diǎn)若蕓=：,求黑的值；

BC3DH

(3)如圖3,四邊形ABC。為矩形，同樣沿著BE折疊，連接C/,延長(zhǎng)CF,成分別交AD于G,H兩點(diǎn),

?(直接寫出結(jié)果)

GDAGHGHD

【答案】(1)見解析；(2)(3)晅

74

【分析】⑴根據(jù)AAS證明三角形全等即可；

(2)如圖2中，連接根據(jù)“尸+正2=￡>"2+￡>￡■],求出DE即可解決問題；

(3)如圖3中，連接HE.由空，"■="，可以設(shè)AB=3x,3C=4x,￡>H=4租,HG=5〃?，根據(jù)相似三角形

BC4GH5

的判定和性質(zhì)可得CE=12根，則DE=CD-CE=3x-12zn,利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可.

【詳解】⑴證明：如圖1中，

AGD

△BEE是由3CE折疊得到,

:.BEVCF,

:.ZECF+ZBEC=90°,

四邊形ABCD是正方形，

:.ZD=ZBCE=90°,

ZECF+ZCGD=90°,

:.ABEC=Z.CGD,

在；BCE和CDG中,

NBCE=ND

<ZBEC=ZCGDf

BC=CD

.△BCEgCDGCAAS)；

(2)解：如圖2中，連接EH.

，D

QVBCE\CDG,

CE=DG,

由折疊可知BC=BF,CE=FE,

.\ZBCF=ZBFC,

四邊形ABCQ是正方形，

:.AD//BC,BC=CD,

:./BCG=/HGF,

ZBFC=ZHFG,

:.ZHFG=ZHGFf

HF=HG,

CE2

BC3

設(shè)C￡=2%，則3。=。。=3%,萬石=。石=2%,

.e.DE=CD—CE=x,

設(shè)HF=HG=a,

DH=DG—HG=2x—a,

「?由折疊可知ZBFE=Z.BCE=90°,

.\ZEFH=90°,

:.HF2+FE2=DH2^DE2^

2+(2x)2=(2x-a)2+x2，

.“=4a或0(舍棄)，

DH=lx—a=7。，

GH_a_1

一加一五一于

(3)解：如圖3中，連接

設(shè)AB=CD=3x,BC=4x,DH=4m,HG=5m,

由(2)知7iF=〃G=5M,

DG=9m,

由折疊可知

ZECF-^-ZBEC=90°,

NZ)=90。，

:.NECF+NCGD=9。。,

,\ZBEC=ZCGD,

ZBCE=ZD=9Q09

/.CDGs,BCE,

DGCDAB_3

9m_3

??~~~=一,

CE4

CE=12m=FE,

..DE=3x—12m,

ZD=ZHFE=90°

/.HF2+FE2=DH2+DE2，

/.(5m)2+(12m)2=(4m)2+(3x—12m)2,

x=4加+VITm或4m(舍棄),

DE=3x-12m=12m+3\/17m-12m=3y[vim,

.D￡_3厲m_#7

,EC-12/n-4-

2.（2022.福建寧德?統(tǒng)考二模）在YABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在上.將四邊形A8EP沿EF

折疊，得到四邊形AB'EF.

（1）利用圖1,求證：B'C//EF；

（2）如圖2,連接B。，若AB=5&,BD=17,ZABD45°,當(dāng)點(diǎn)3,落在8。上時(shí)，求EF的長(zhǎng)；

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)H恰好落在線段O上時(shí)，求證：直線A的與直線C。重合.

85

【答案】（1）見解析；（2）12；（3）見解析

【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線判定定理，也可以運(yùn)用折疊

的性質(zhì)，構(gòu)造三角形中位線定理證明.

（2）設(shè)匹與2。相交于點(diǎn)O.運(yùn)用勾股定理，三角函數(shù)，中位線定理求解即可.

（3）運(yùn)用經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，證明即可.

【詳解】（1）解：（1）證法一：由折疊的性質(zhì)可知：B'E=BE,ZBEF=ZB'EF.

2

是8C的中點(diǎn),

EC=BE=B'E.

1800-ZB'EC

ZEB'C=ZECB'=

2

：.ZB'EF=ZEB'C.

B'C//EF.

證法二：設(shè)EF與班'相交于點(diǎn)G.

由折疊的性質(zhì)可知：G是的中點(diǎn).

，GE是△BB'C的中位線.

B'C//GE.

即B'C//EF.

⑵設(shè)EF與3。相交于點(diǎn)0.由折疊的性質(zhì)可知：。是的中點(diǎn)，NBOE=NB'OE=90°.

由（1）得？C〃￡F.

ZDB'C=ZB'OE=90°.

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

:?若DC=AB=，N_BDC=NAB_D=45°.

/.B'D=DC-cosZBDC=5y/2x—=5,B'C=DC-sinZBDC=5.

2

B'B=BD-B'D=17-5=12.

在Rt^BB'C中，由勾股定理得BC=ylBB'2+B'C2=45?+12?=13.

是8C的中點(diǎn)，。是39的中點(diǎn)，

ABO=-BB'=6,OE=-B'C=-.

222

OD=BD-BO=11.

..?四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AD//BC.

.FOOP11X—

即口八ODOE1IX255.

'0E~OBrU—-------=--------=—

OB612

EF^OF+OE^-+-=—

12212

⑶證法一：連接AA交直線所于點(diǎn)由折疊知：AM=AM.連接并延長(zhǎng)交直線C￡）于點(diǎn)

:四邊形A2CD是平行四邊形，點(diǎn)A，在上,

AB//A'C.

：.ZABM^ZA'HMNBAM=NHA'M.

：.Z^ABM當(dāng)△AHM.

:.BM=HM.

又是BC的中點(diǎn)，

，近0是A3cH的中位線.

CH//EM,即CD〃E尸.由（1）得B，C〃EF.

..?過點(diǎn)C有且只有一條直線與石廠平行，

???點(diǎn)3'在直線C。上.

二直線A?與直線CD重合.

證法二：連接AE并延長(zhǎng)交直線42于點(diǎn)K,連接AE.

?D

一

B'

:四邊形ABCO是平行四邊形，點(diǎn)4在CO上，

，AC//AB.

：.ZBKE=ZCAE,ZKBE=ZA'CE.

;BE=CE,

：.ABKE2△C4'E.

KE=A;E.

由折疊知：AE=AE=KE,NBAE=NB'A'E.

；?ZAKE=/BAE=NB'A'E.

A'B'//AB

:過點(diǎn)A'有且只有一條直線與AB平行，

直線A?與直線A'C重合.即直線與直線CD重合.

3.（2022?山東淄博?統(tǒng)考二模）在放△ABC中，ZACB=900.,ZA=60°,C￡）是斜邊AB上的中線，點(diǎn)E

為射線BC上一點(diǎn)，將4臺(tái)力石沿。E折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為廠

七」

FF

圖1圖2

（1）如圖1,若AB=a,請(qǐng)直接寫出C。的長(zhǎng)（用含。的代數(shù)式表示）；

（2汝口圖2,若DF工BC,垂足為點(diǎn)G,點(diǎn)尸與點(diǎn)。在直線CE的異側(cè)，連接CR判斷四邊形AOFC的形

狀，并說明理由；

(3)若_LAB,直接寫出N3/組的度數(shù).

【答案】嗚

(2)菱形，理由見解析

(3)45°或135°

【分析】(1)根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得CD=；AB=；“；

(2)由題意可得。/〃AC,。尸=；AC由"直角三角形中含30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，得

47=：/18￡＞產(chǎn)=/^據(jù)此判斷四邊形4?！笔瞧叫兴倪呅?，再由折疊得。F=BD=AD,據(jù)此解答；

(3)分兩種情況討論，點(diǎn)尸與點(diǎn)。在直線CE的同側(cè)或異側(cè)，正確畫出圖形即可解答.

【詳解】(1)解：由圖1，在RdABC中，/ACB=90。，CO是斜邊AB上的中線，鈿=。

CD=-AB=-a；

22

(2)四邊形尸C是菱形.

理由如下：

圖1圖2

VCZ）是斜邊上的中線，

/.AD=BD=^AB,由折疊的性質(zhì)可得，BD=DF,

：.AD=DF,

VZACB=90°,NA=60。，

，ZB=30°,

/.AC=-AB,

2

AC=DF,

,：DF1BC,ZACB=90°,

???ZACB=NDCB=9。。,

:.AC//DF,

J四邊形ADR?是平行四邊形，又AD=DF,

???口4。9。是菱形.

（3）如圖3,點(diǎn)尸與點(diǎn)。在直線CE的異側(cè),

DF±AB

:.ZBDF=9Q°

由折疊得，

/BDE=NFDE

/BDE=ZFDE=-ZBDF=工x90。=45。；

22

如圖4,點(diǎn)尸與點(diǎn)。在直線CE的同側(cè)，

圖④

DF1AB

:.ZBDF=90°

ZBDE+ZFDE=360°-90°=270°

由折疊得，

NBDE=NFDE

:.2ZBDE=ZJ0。

:.ZBDE=135°

綜上所述，ZBDE=45°或ZBDE=135°.

4.（2022?四川樂山?統(tǒng)考一模）模型探究：如圖1,D、E、尸分別為ABC三邊BC、AB、AC上的點(diǎn)，且

ZB=ZC=ZEDF=a.

（1）與△CED相似嗎？請(qǐng)說明理由；

模型應(yīng)用：AFC為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為8,E為邊上一點(diǎn)，尸為射線AC上一點(diǎn)，將△AEF沿EF翻

折，使A點(diǎn)落在射線C8上的點(diǎn)。處，且3D=2.

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段上時(shí)，求能的值；

AF

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)。落在線段C3的延長(zhǎng)線上時(shí)，求△5DE與△CTO的周長(zhǎng)之比.

51

【答案】⑴-BDE?CFD,證明見解析；⑵—=^；（3）△§漬與△CFD的周長(zhǎng)之比為:

AF73

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到NB即=NCD方，即可證明；

（2）①設(shè)AE=x,AF=y,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與折疊可知。石二M二元,DF=AF=y,

NEDF=ZA=60,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得4￡。=/。。尸，即可證明ABD石?ACFD,故

BDBEDEHggir,AE,,_

--;=—T=-Z—,再根據(jù)比例關(guān)系求出不;■的值；

CFCDFDAF

RDRFnF28-xxX1

②同理可證得左===二,得一-=—=再得到一=1，再根據(jù)相似三角形的

CFCDFDy-810yy3

性質(zhì)即可求解.

【詳解】解（1）^BDE~\CFD,

理由：/B=NC=NEDF=a,

在AB/M■中，ZB+ZBDE+ABED=180,

.?./BDE+/BED=180-ZB=180-a.

ZBDE+ZEDF+ZCDF=180,

.,.NBDE+/CDF=180-ZEDF=180-a,

:.ZBED=ZCDF,

ZB=ZC,

BDE?CFD；

(2)①設(shè)AE=x,AF=yf

AABC是等邊三角形，

.\ZA=ZB=ZC=60,AB=BC=AC=8,

由折疊知，DE=AE=x,DF=AF=y,/EDF=NA=6G,

在ABDE中，ZB+ZBDE+ZBED=180,

/.ZBDE+ZBED=180-ZB=120,

NBDE+/BED=180-ZB=120，

,ZBDE+ZEDF+ZCDF=180,

/.ZBDE+ZCDF=ISO-ZEDF=120,

:.ZBED=ZCDFf

"="=60，

:.gDE?bCFD,

.BDBEDE

'^CF~~CD~~FD"

BE=AB-AE=8-xfCF=AC-AF=8-y,CD=BC-BD=6,

2_8-x_x

8-y6y'

」2y=x(8-y)

\6x=y(8-x)，

.?石_5

**AF-7?

②設(shè)AE=x,AF=yf

ARC是等邊三角形，

ZA=ZABC=ZACB=60，AB=BC=AC=8,

由折疊知，DE=AE=x,DF=AF=y,ZEDF=ZA=60,

在石中，ZABC+ZBDE+ABED=180,

.?.NBDE+/BED=180-ZABC=120,

ZBDE+ZEDF+ZCDF=180，

,\ZBDE+ZCDF=180-ZEDF=120,

:.ZBED=ZCDF,

ZABC=ZACB=60,

/.ZDBE=ZDCF=120,

:母DE?NCFD,

BDBEDE

,CF~CD~FD

BE=AB-AE=8-x,CF=AF-AC=y-S,CD=BC+BD=10,

2_8-x_x

y-810y'

.12y=x(y-8)

[10x=y(8-x)，

x_1

,,y=31

MDE與ABD是相似三角形,

DEx1

二ABZ)E與ACED的周長(zhǎng)之比為言:=二=￡.

DFy3

5.(2022.江蘇徐州?統(tǒng)考二模)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4.

圖①圖②

(1)將正方形A8CD對(duì)折，折痕為EF,如圖①把這個(gè)正方形展平，再將點(diǎn)C折到折痕上的點(diǎn)N的位置,

折痕為求尸尸的長(zhǎng)；

(2汝口圖②當(dāng)AE=CF時(shí)，在點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到AD中點(diǎn)的過程中，求△AUG面積的取值范圍.

【答案】⑴手⑵324+40

【分析】(1)連接CN.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定定理和性質(zhì)求出

根據(jù)正方形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系即可求出PF.

(2)連接AC交所于點(diǎn)0,連接0D,0G,再以。為圓心，以04為半徑畫圓，取的中點(diǎn)為K,

連接K。并延長(zhǎng)交。于J.根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)確定G,A,B,C,。共圓,

然后確定點(diǎn)G在C2上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而確定當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C或點(diǎn)8重合時(shí)，AAOG面積取得最小值，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)

1/重合時(shí)，AADG面積取得最大值，最后根據(jù)正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，三角形面積

公式求解即可.

【詳解】(1)解：如下圖所示，連接CN.

AED

I\I

BFC

:正方形ABC。對(duì)折后，折痕為ER正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,

...EF垂直平分BC,BC=4.

:.NB=NC,BF=2.

:正方形折疊后點(diǎn)C到點(diǎn)N的位置，

NB=BC,NNBM=NCBM=-匕NBC.

2

：.NB=NC=BC.

:.叢NBC是等邊三角形.

/.ZNBC=60°.

：.ZCBM=3Q°.

PF=BFxtanZCBM=冬8.

3

(2)解：如下圖所示，連接AC交于點(diǎn)0,連接。3,0D,0G,再以。為圓心，以。4為半徑畫圓,

取AA的中點(diǎn)為K,連接KO并延長(zhǎng)交。于J.

???四邊形ABC。是正方形，

AD〃BC.

：.ZOAE=ZOCFfZOEA=ZOFC.

9：AE=CF,

：.^OAE^OCF(AS^).

OA=OC.

...O是AC中點(diǎn).

/.OA=OB=OC=OD.

,/正方形ABCD折疊后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,

OG-OC,

：.BfC,D,G都在C。上.

???OA=OB=OC=OD=OG.

在點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到A。中點(diǎn)K的過程中，點(diǎn)G在CB上移動(dòng).

當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C或點(diǎn)B重合時(shí)，△ADG的面積取得最小值.

,/正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,

：.AD=CD^4,ZADC=90°.

1.--------------「

ADCD=S

^AADC=--'AC=A/A￡>2+CD2=4V2.

.?.△4OG面積的最小值是8,OA=jAC=2&.

OJ=OA=2^2.

是AO中點(diǎn)，。是AC中點(diǎn)，

.?.KO是△AC。中位線.

AKO//CD,KO=-CD=2.

2

/.ZAKO=ZADC=90°,KO是固定值.

：.OKLAD,BPOJLAD.

...當(dāng)OGLAO時(shí)，即點(diǎn)G與點(diǎn)■/重合時(shí)，△ADG面積取得最大值.

KJ=KO+OJ=2+2^2.

??.S"QKJ=4+4日

△A￡)G面積的最大值是4+4夜.

...△ADG面積的取值范圍是8Vs△的＜4+40.

6.(2022?山西大同?統(tǒng)考二模)綜合與實(shí)踐：

如圖1,已知正方形紙片ABCD.

實(shí)踐操作

第一步：如圖1,將正方形紙片ABC。沿AC,8。分別折疊.然后展平，得到折痕AC,