微積分2試題及答案詳解

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\int_{0}^{x}\sintdt\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(\sinx\)C.\(-\cosx\)D.\(-\sinx\)2.定積分\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)的值為（）A.0B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.23.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(F(x)\)，則\(\intf(2x)dx\)等于（）A.\(F(2x)+C\)B.\(\frac{1}{2}F(2x)+C\)C.\(2F(2x)+C\)D.\(F(x)+C\)4.無窮限反常積分\(\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx\)（）A.收斂于1B.收斂于0C.發(fā)散D.收斂于-15.下列級數(shù)中，收斂的是（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)6.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)的收斂半徑是（）A.0B.1C.\(+\infty\)D.27.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點\((1,2)\)處關(guān)于\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.48.設(shè)\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)所圍成的區(qū)域，則\(\iint_{D}dxdy\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.39.交換積分次序\(\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}f(x,y)dy\)得（）A.\(\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx\)B.\(\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)C.\(\int_{1}^{0}dy\int_{y}^{1}f(x,y)dx\)D.\(\int_{1}^{0}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx\)10.微分方程\(y'+y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^x\)B.\(y=Ce^{-x}\)C.\(y=Cx\)D.\(y=C\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\sinx\)2.計算定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)可使用的方法有（）A.牛頓-萊布尼茨公式B.換元積分法C.分部積分法D.二重積分法3.下列級數(shù)中，絕對收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)4.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)的收斂情況可能是（）A.僅在\(x=x_0\)處收斂B.在整個數(shù)軸上收斂C.有一個確定的收斂區(qū)間\((x_0-R,x_0+R)\)D.以上都不對5.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，下列說法正確的是（）A.若偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)一定連續(xù)B.函數(shù)在某點可微，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)一定可微D.函數(shù)連續(xù)，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在6.計算二重積分\(\iint_{D}f(x,y)dxdy\)時，可將區(qū)域\(D\)分為（）A.\(X-\)型區(qū)域B.\(Y-\)型區(qū)域C.圓形區(qū)域D.不規(guī)則區(qū)域7.下列微分方程中，是一階線性微分方程的有（）A.\(y'+xy=x\)B.\(y''+y=0\)C.\(y'+\siny=0\)D.\(y'-\frac{1}{x}y=x^2\)8.反常積分收斂的類型有（）A.無窮限反常積分收斂B.無界函數(shù)的反常積分收斂C.定積分收斂D.廣義積分收斂9.下列關(guān)于原函數(shù)的說法正確的是（）A.一個函數(shù)若有原函數(shù)，則有無窮多個原函數(shù)B.兩個原函數(shù)之間相差一個常數(shù)C.所有原函數(shù)都可由一個原函數(shù)加上任意常數(shù)得到D.一個函數(shù)的原函數(shù)一定是唯一的10.關(guān)于級數(shù)的性質(zhì)，下列說法正確的是（）A.若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收斂，則\(\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)\)收斂B.若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，\(k\)為非零常數(shù)，則\(\sum_{n=1}^{\infty}ku_n\)收斂C.去掉級數(shù)的有限項不影響級數(shù)的斂散性D.若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）2.無窮限反常積分\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\)收斂的充要條件是\(\int_{-\infty}^{0}f(x)dx\)與\(\int_{0}^{+\infty}f(x)dx\)都收斂。（）3.若冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n\)在\(x=x_1\)處收斂，則在\(|x-x_0|<|x_1-x_0|\)內(nèi)絕對收斂。（）4.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(f_x(x_0,y_0)\)就是函數(shù)\(z=f(x,y_0)\)在\(x=x_0\)處的導(dǎo)數(shù)。（）5.二重積分\(\iint_{D}f(x,y)dxdy\)的值與積分區(qū)域\(D\)的劃分方式無關(guān)。（）6.一階線性非齊次微分方程\(y'+P(x)y=Q(x)\)的通解是對應(yīng)的齊次方程通解與非齊次方程的一個特解之和。（）7.若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)的部分和數(shù)列\(zhòng)(\{S_n\}\)有界，則級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂。（）8.函數(shù)\(F(x)\)和\(G(x)\)都是\(f(x)\)的原函數(shù)，則\(F(x)-G(x)\)為常數(shù)。（）9.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值只與被積函數(shù)\(f(x)\)和積分區(qū)間\([a,b]\)有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）10.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定可積。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述牛頓-萊布尼茨公式及其意義。答案：若函數(shù)\(F(x)\)是連續(xù)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的一個原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)。意義在于把定積分計算轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)在區(qū)間端點函數(shù)值之差，極大簡化定積分計算。2.求冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收斂區(qū)間。答案：用比值審斂法，\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=1\)，所以收斂半徑\(R=1\)。當(dāng)\(x=1\)時，級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)發(fā)散；當(dāng)\(x=-1\)時，級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)收斂。收斂區(qū)間為\([-1,1)\)。3.簡述二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微的定義。答案：如果函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)的全增量\(\Deltaz=f(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)-f(x_0,y_0)\)可表示為\(\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)\)，其中\(zhòng)(A\)、\(B\)不依賴于\(\Deltax\)、\(\Deltay\)，\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)，則稱函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微。4.簡述判斷級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂的必要條件，并舉例說明不滿足此條件級數(shù)發(fā)散。答案：級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂的必要條件是\(\lim_{n\to\infty}u_n=0\)。例如\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)，\(\lim_{n\to\infty}n=+\infty\neq0\)，所以該級數(shù)發(fā)散。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論無窮限反常積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：無窮限反常積分是定積分在積分區(qū)間趨于無窮時的推廣，計算有時可通過極限轉(zhuǎn)化為定積分計算。區(qū)別：定積分積分區(qū)間有限，函數(shù)在區(qū)間上有界；無窮限反常積分積分區(qū)間無窮，函數(shù)可能無界，斂散性需專門判定，計算結(jié)果可能是有限值（收斂）或無窮（發(fā)散）。2.討論冪級數(shù)在實際應(yīng)用中的作用。答案：冪級數(shù)在實際中作用廣泛。在近似計算里，可將復(fù)雜函數(shù)用冪級數(shù)展開取部分和近似計算函數(shù)值；在物理學(xué)中用于求解微分方程；在數(shù)值分析領(lǐng)域，為算法設(shè)計提供理論基礎(chǔ)；在工程技術(shù)里，對信號處理、電路分析等方面問題的解決有重要意義。3.討論多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分之間的關(guān)系。答案：函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)一定存在，偏導(dǎo)數(shù)存在是函數(shù)可微的必要條件而非充分條件；偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是函數(shù)可微的充分條件。全微分可表示為偏導(dǎo)數(shù)與自變量增量乘積之和，反映函數(shù)在一點處的整體變化，偏導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)沿坐標軸方向的變化率。4.討論微分方程在實際生活中的應(yīng)用。答案：微分方程在實際生活中應(yīng)用多。在人口增長模型里，描述人口變化規(guī)律；在電路分析中，建立電流、電壓關(guān)系求解相關(guān)參數(shù)；在物體運動方面，分析物體