高數(shù)c期末試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=\)（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(2\)D.\(0\)4.\(\intxdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{2}x+C\)D.\(x+C\)5.曲線\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.46.函數(shù)\(f(x)=\lnx\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\((0,1)\)D.\([0,+\infty)\)7.下列極限存在的是（）A.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\sinx\)B.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x^2}\)8.已知\(y=e^{2x}\)，則\(y^\prime=\)（）A.\(e^{2x}\)B.\(2e^{2x}\)C.\(e^x\)D.\(2e^x\)9.\(\inte^xdx=\)（）A.\(e^x+C\)B.\(-e^x+C\)C.\(xe^x+C\)D.\(\frac{1}{x}e^x+C\)10.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的駐點(diǎn)是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.下列極限運(yùn)算正確的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}(x+1)=1\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x^2}=\infty\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.極限\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)C.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)D.\(\inte^{-x}dx=e^{-x}+C\)5.下列函數(shù)中，單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2x+1\)B.\(y=e^x\)C.\(y=x^2\)（\(x\gt0\)）D.\(y=\lnx\)6.曲線\(y=x^3-3x^2+2\)的拐點(diǎn)可能是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=3\)7.下列說(shuō)法正確的是（）A.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)B.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)C.函數(shù)的極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)D.函數(shù)的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)8.已知\(y=\sin(2x+1)\)，則\(y^\prime\)可以通過(guò)（）方法求導(dǎo)。A.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則B.乘積求導(dǎo)法則C.令\(u=2x+1\)，\(y=\sinu\)，\(y^\prime=\cosu\cdot2\)D.直接求導(dǎo)9.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值與（）有關(guān)。A.積分下限0B.積分上限1C.被積函數(shù)\(x^2\)D.積分變量\(x\)10.函數(shù)\(y=x^4-2x^2+1\)的極值點(diǎn)有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域是\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。（）2.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)。（）3.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是函數(shù)\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）4.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）5.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是單調(diào)遞增的。（）6.函數(shù)\(y=\cosx\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=\sinx\)。（）7.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)。（）8.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值。（）9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處極限不存在。（）10.曲線\(y=x^2\)的凹凸性在\(x=0\)處發(fā)生改變。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-6x^2+9x+1\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt1\)或\(x\gt3\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime\lt0\)，得\(1\ltx\lt3\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計(jì)算\(\int\frac{1}{x^2+4}dx\)。答案：令\(x=2\tant\)，\(dx=2\sec^2tdt\)，則\(\int\frac{1}{x^2+4}dx=\int\frac{2\sec^2t}{4\tan^2t+4}dt=\frac{1}{2}\intdt=\frac{1}{2}t+C=\frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{2})+C\)。3.求函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)在點(diǎn)\(x=1\)處的切線方程。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=\frac{2x}{1+x^2}\)，當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y(1)=\ln2\)，\(y^\prime(1)=1\)。切線方程為\(y-\ln2=1\times(x-1)\)，即\(y=x+\ln2-1\)。4.計(jì)算\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)。答案：利用等價(jià)無(wú)窮小，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(e^x-1\)與\(x\)是等價(jià)無(wú)窮小，所以\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的漸近線情況。答案：垂直漸近線：令\(x^2-1=0\)，得\(x=\pm1\)，所以\(x=\pm1\)是垂直漸近線。水平漸近線：\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2-1}=0\)，所以\(y=0\)是水平漸近線。2.討論函數(shù)\(y=x^4-4x^3+1\)的極值情況。答案：求導(dǎo)\(y^\prime=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)，\(x=3\)。當(dāng)\(x\lt3\)且\(x\neq0\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)；當(dāng)\(x\gt3\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)。所以\(x=3\)是極小值點(diǎn)，\(y(3)=-26\)，\(x=0\)不