3.5冪函數(shù)與一元二次函數(shù)（精講）一．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1圖象性質(zhì)定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增(－∞，0]上單調(diào)遞減；＋∞)上單調(diào)遞增R上單調(diào)遞增[0，＋∞)上單調(diào)遞增(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減公共點(diǎn)(1，1)二．一元二次函數(shù)1．二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)，))上單調(diào)遞增；在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－eq\f(b,2a)對(duì)稱3．根與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0時(shí)，其圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M1(x1，0)，M2(x2，0)，這里的x1，x2是方程f(x)＝0的兩個(gè)根，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1·x2＝\f(c,a)，))|M1M2|＝|x1－x2|＝eq\f(\r(Δ),|a|)．一．冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系1.解析式：冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式．2.奇偶性:判斷冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的奇偶性時(shí)，當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷．3.單調(diào)性：(1)當(dāng)α＞0時(shí)，函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)當(dāng)α＜0時(shí)，函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．(3)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，α越大，函數(shù)值越小，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，α越大，函數(shù)值越大．4.對(duì)于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域．根據(jù)α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．二．一元二次函數(shù)1.解析式2.二次函數(shù)圖象（1）是看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；（2）是看對(duì)稱軸和頂點(diǎn)；（3）是看函數(shù)圖象上的一些特殊點(diǎn)．3.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)(1)拋物線的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論．(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是求定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問(wèn)題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)．(3)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)．無(wú)論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論．4．由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．(2)兩種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min．考法一冪函數(shù)的性質(zhì)【例11】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，所以或，對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；故只有B選項(xiàng)“在上單調(diào)遞減”符合這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)．故選：B【例12】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【解析】圖象（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（2）關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（4）關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，故滿足；圖象（5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，故滿足；圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨增大遞減，故滿足；圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨增大遞增，故滿足；故圖象對(duì)應(yīng)解析式順序?yàn)棰蔻堍邰冖撷佗?故選：C【例13】（2023·江蘇）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列實(shí)數(shù)可作為值的是（

）A．2 B． C．2 D．3【答案】C【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，，函數(shù)定義域?yàn)?，不是偶函?shù)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)，錯(cuò)誤；故選：C【一隅三反】1.（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）若函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)與，則m的值為_(kāi)___________．【答案】81【解析】由題意函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)與，則，則故，故答案為：812．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.【答案】【解析】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋沂沁f減函數(shù)，因?yàn)椋傻?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.3．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是減函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【解析】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意.函數(shù)在和上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B；因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知冪函數(shù)（且p與q互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（

）

A．p、q均為奇數(shù)且 B．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且C．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且 D．p為偶數(shù)，q為奇數(shù)且【答案】D【解析】由圖像知函數(shù)為偶函數(shù)，所以p為偶數(shù)，且由圖像的形狀判定，又因?yàn)閜與q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，故選：D.考法二指數(shù)式比較大小【例2】（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，又因?yàn)橥ㄟ^(guò)計(jì)算知，所以，即，又，所以，所以.故選：B【一隅三反】1．（2023·河北）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，，所以，則.故選：D.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，，，則，，又，，則，即，所以．故選：D．考法三二次函數(shù)性質(zhì)【例31】（2023·云南）已知二次函數(shù)滿足，且的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意,由得:的對(duì)稱軸為，設(shè)二次函數(shù)為，因的最大值是8,所以,當(dāng)時(shí),，即二次函數(shù)，由得:,解得：，則二次函數(shù)，故選：A.【例32】（2023·山西）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，解得，故選：B.【例33】（2023·山東淄博）設(shè)的定義域?yàn)?，?duì)于任意實(shí)數(shù)t，則的最小值__________．【答案】【解析】可化為，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為，所以，故答案為：.【一隅三反】1．（2023·廣西）已知（b，c為實(shí)數(shù)），且，，則的解析式為_(kāi)_____.【答案】【解析】解法一：由題意知，解得，所以的解析式為.解法二：由題意知，得，則，得，所以的解析式為.故答案為：2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，二次函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)_______【答案】或【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，所以可設(shè)二次函數(shù)為（），展開(kāi)得：頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，∴，即，所以二次函數(shù)的表達(dá)式為或.故答案為：或.3．（2023·福建）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）．A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在上具有單調(diào)性，所以或，即或.故選：C考法四二次函數(shù)根的分布【例41】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令由題可知：則，即故選：C【例42】（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎P(guān)于x的方程有兩個(gè)正根，那么兩個(gè)根的倒數(shù)和最小值是（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】由題意可得，解得或，設(shè)兩個(gè)為，，由兩根為正根可得，解得，綜上知，.故兩個(gè)根的倒數(shù)和為，，，，故，，故兩個(gè)根的倒數(shù)和的最小值是.故選：B【例43】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：因?yàn)榉匠糖∮幸桓鶎儆?，則需要滿足：①，，解得：；②函數(shù)剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)或者，另一個(gè)零點(diǎn)屬于，把點(diǎn)代入，解得：，此時(shí)方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點(diǎn)代入，解得：，此時(shí)方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)滿足方程恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi);綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為故選：D【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根，的取值范圍為_(kāi)_．【答案】【解析】令，圖象恒過(guò)點(diǎn)，方程0在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根，，解得.故答案為：2．（2023·北京）方程的兩根都大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】由題意，方程的兩根都大于，令，可得，即，解得．故答案為：.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】.【解析】方程

方程兩根為，若要滿足題意，則，解得，故答案為：.考法五二次函數(shù)成立問(wèn)題【例51】（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測(cè)）命題“”為假命題，則命題成立的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槊}“”為假命題，所以，對(duì)，恒成立，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以滿足條件，當(dāng)時(shí)，令，對(duì)稱軸，且，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然有不恒成立，故對(duì)，恒成立時(shí)，，所以則命題成立的充分不必要條件是選項(xiàng)C.故選：C.【例52】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】①當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得：，符合題意；②當(dāng)時(shí)，為開(kāi)口方向向上的二次函數(shù)，只需，即；③當(dāng)時(shí)，為開(kāi)口方向向下的二次函數(shù)，則必存在實(shí)數(shù)，使得成立；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)一切恒成立，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】－4【解析】∵當(dāng)時(shí)，恒成立，∴恒成立，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào)．∴，∴，故a的最小值為－4.故答案為：.2．（2023·福建）命題:，的否定為真命題，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)_________.【答案】5【解