二次函數(shù)（4大知識(shí)點(diǎn)+10類(lèi)題型）（知識(shí)梳理與題型）（解析版）目錄知識(shí)點(diǎn)整合梳理知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)/P2知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)解析式的確定/P3知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)圖象的平移/P4知識(shí)點(diǎn)4二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系/P5分點(diǎn)對(duì)應(yīng)題型考點(diǎn)1：二次函數(shù)的定義考點(diǎn)2：二次函數(shù)的性質(zhì)考點(diǎn)3：二次函數(shù)的三種形式及其求解析式考點(diǎn)4：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)5：拋物線與x軸的交點(diǎn)考點(diǎn)6：二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征考點(diǎn)7：二次函數(shù)與幾何變換考點(diǎn)8：函數(shù)圖象的綜合判斷類(lèi)型1利用函數(shù)性質(zhì)分析判斷函數(shù)圖象類(lèi)型2幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題判斷函數(shù)圖象考點(diǎn)9：二次函數(shù)中的最值問(wèn)題（含區(qū)間）考點(diǎn)10：二次函數(shù)綜合題類(lèi)型1性質(zhì)綜合題類(lèi)型2面積問(wèn)題類(lèi)型3三角形問(wèn)題類(lèi)型4特殊四邊形問(wèn)題考點(diǎn)11：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用類(lèi)型1銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題類(lèi)型2建模問(wèn)題（拱橋、投球、噴水等）類(lèi)型3圖形面積問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)概念一般地，形如y=ax2+bx+a的符號(hào)a>a<大致圖象開(kāi)口方向開(kāi)口向上開(kāi)口向下對(duì)稱(chēng)軸（1）直接運(yùn)用公式x=?（2）配方轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(注：還可利用x=x1+x頂點(diǎn)坐標(biāo)（1）直接運(yùn)用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(?b2a，（2）用配方法將一般式化為y=a(（3）將對(duì)稱(chēng)軸的橫坐標(biāo)x0代入函數(shù)解析式求得對(duì)應(yīng)的增減性在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而減?。辉趯?duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而增大在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而減小最值當(dāng)x=?b2a時(shí)，y當(dāng)x=?b2a時(shí)，y2．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系a決定拋物線的開(kāi)口方向a>0開(kāi)口向上a<0開(kāi)口向下a，b決定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸位置b＝0對(duì)稱(chēng)軸為y軸a，b同號(hào)對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)a，b異號(hào)對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置c＝0拋物線過(guò)原點(diǎn)c>0拋物線與y軸交于正半軸c<0拋物線與y軸交于負(fù)半軸b2－4ac決定拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)b2－4ac＝0拋物線與x軸有唯一的交點(diǎn)(頂點(diǎn))b2－4ac>0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2－4ac<0拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)3.與二次函數(shù)系數(shù)有關(guān)的常見(jiàn)代數(shù)式2a+?b2a??b2a與a+令x=a?令x=?4a+令x=4a?令x=?9a+令x=9a?令x=?知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)解析式的確定二次函數(shù)解析式的三種表達(dá)形式一般式y(tǒng)=ax2+bx頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x?交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x?x1)(x?x確定二次函數(shù)解析式的方法及步驟方法待定系數(shù)法步驟一設(shè)：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=二列：找出函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn)，代入y=三解：解方程組，得到a，b，c的值；四還原：將所求待定系數(shù)a，b，c的值代入y=解析式的常見(jiàn)設(shè)法頂點(diǎn)在原點(diǎn)y=對(duì)稱(chēng)軸是y軸（或頂點(diǎn)在y軸上）y=頂點(diǎn)在x軸上y=拋物線過(guò)原點(diǎn)y=已知任意三個(gè)點(diǎn)y=頂點(diǎn)+其他一點(diǎn)坐標(biāo)y=與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)+其他一點(diǎn)坐標(biāo)y=與x軸的一個(gè)交點(diǎn)+對(duì)稱(chēng)軸+其他一點(diǎn)坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)圖象的平移1.二次函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式平移前的解析式移動(dòng)方向(m平移后的解析式規(guī)律y=向左平移m個(gè)單位y=左加向右平移m個(gè)單位y=右減向上平移m個(gè)單位y=上加向下平移m個(gè)單位y=下減2.二次函數(shù)解析式為一般式平移前的解析式移動(dòng)方向(m平移后的解析式規(guī)律y=向左平移m個(gè)單位y=左加向右平移m個(gè)單位y=a(右減向上平移m個(gè)單位y=上加向下平移m個(gè)單位y=下減知識(shí)點(diǎn)4二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象圖象與x軸(y＝0)有兩個(gè)交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)圖象與x軸(y＝0)有且只有一個(gè)交點(diǎn)(x1，0)圖象與x軸(y＝0)無(wú)交點(diǎn)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根Δ>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x＝x1或x＝x2Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x＝x1＝x2Δ<0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根不等式ax2＋bx＋c>0的解集x<x1或x>x2(對(duì)應(yīng)圖象中x軸上方部分)x≠x1的實(shí)數(shù)x取任意實(shí)數(shù)【溫馨提示】(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)令y＝0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c=0(a≠0)令y>0，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝m(a≠0，m≠0)的根或不等式ax2＋bx＋c>m(a≠0，m≠0)的解集常常轉(zhuǎn)化為拋物線y＝ax2＋bx＋c與直線y＝m的關(guān)系進(jìn)行處理，通常借助數(shù)形結(jié)合思想來(lái)判斷，如圖：分點(diǎn)對(duì)應(yīng)題型考點(diǎn)1：二次函數(shù)的定義1．（2025春長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝2x（x﹣3） C．y=?1x2 D．y＝（x﹣2）2【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)定義逐項(xiàng)分析判斷如下：A、當(dāng)a＝0時(shí)，y＝ax2+bx+c不是二次函數(shù)，故選項(xiàng)A不符合題意；B、y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x，是二次函數(shù)，故選項(xiàng)B符合題意；C、不是二次函數(shù)，故選項(xiàng)C不符合題意；D、y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4，不是二次函數(shù)，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．2．（2025灌南縣校級(jí)模擬）若函數(shù)y=xm2?2?4A．1 B．﹣2 C．2 D．2或﹣2【解答】解：由條件可知m2﹣2＝2，解得m＝±2，故選：D．3．（2223九年級(jí)上·全國(guó)·期末）若二次函數(shù)y=(m＋1)x2mx＋m22m3的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m的值必為(

)A．1或3 B．1 C．3 D．3或1【答案】C【分析】由圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)可知m22m3=0，同時(shí)注意m＋1≠0.【詳解】解：由圖像過(guò)原點(diǎn)可得，m22m3=0，解得m=1或3；再由二次函數(shù)定義可知m＋1≠0，即m≠1，故m=3.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，很容易遺漏m＋1≠0.4．當(dāng)時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)．【答案】2考點(diǎn)2：二次函數(shù)的性質(zhì)5．（2025春湛江期中）拋物線y＝﹣3（x+4）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（4，﹣3） B．（﹣4，﹣3） C．（4，3） D．（﹣4，3）【解答】解：由題意，∵y＝﹣3（x+4）2﹣3是拋物線解析式的頂點(diǎn)式，∴根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣3）．故選：B．6．（2025盱眙縣一模）已知拋物線y＝﹣2（x+h）2+k的頂點(diǎn)在第四象限，則（）A．h＞0，k＞0 B．h＞0，k＜0 C．h＜0，k＞0 D．h＜0，k＜0【解答】解：∵拋物線的解析式為y＝﹣2（x+h）2+k，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣h，k），∵第四象限的點(diǎn)橫坐標(biāo)大于0，縱坐標(biāo)小于0，∴﹣h＞0，k＜0，∴h＜0，k＜0．故選：D．7．（2025碑林區(qū)校級(jí)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的部分對(duì)應(yīng)值如表：x…﹣3157…y…6k106…則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A．圖象的開(kāi)口向上 B．圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1 C．當(dāng)x＞1時(shí)y隨x的增大而減小 D．b2＞4a（c﹣k）【解答】解：A、當(dāng)x逐漸增大時(shí)，y的值先變大再變小，所以a＜0，圖象的開(kāi)口向下，故不正確；B、根據(jù)x＝﹣3，y＝6和x＝7，y＝6，可知二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?3+7C、∵圖象的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，∴當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小，故不正確；D、由題意可知，x＝2時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的最大值為y=4ac?∵x＝1時(shí)，y＝k，∴4ac?b2∵a＜0，∴4ac﹣b2＜4ak，∴b2＞4a（c﹣k），故正確．故選：D．8．（2025許昌一模）已知函數(shù)y＝（x+1）2，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大．（填“增大”或“減小”）【解答】解：∵y＝（x+1）2，∴該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，故答案為：增大．考點(diǎn)3：二次函數(shù)的解析式9．（2024秋瀘州校級(jí)期末）一拋物線的形狀、開(kāi)口方向與y=12x2﹣4A．y=12（x﹣2）2+1 B．y=12（xC．y=12（x+2）2+1 D．y=12（【解答】解：∵拋物線的形狀、開(kāi)口方向與y=12x2﹣4∴a=1∵頂點(diǎn)為（﹣2，1），∴拋物線解析式為y=12（x+2）故選：C．10．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+mx+（m+2）（其中m為常數(shù)）．（1）該函數(shù)的圖象與x軸的公共點(diǎn)有個(gè)；（2）若該函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1，求此時(shí)函數(shù)的表達(dá)式．解：（1）2；.（2）∵該函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1，∴?m解得m＝2，∴該函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+4．11．（2025敦化市一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，10），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2）．（1）試求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，直接寫(xiě)出y的取值范圍．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2）∴二次函數(shù)的表達(dá)式可設(shè)為y＝a（x﹣1）2﹣2，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，10），∴a（3﹣1）2﹣2＝10，解得a＝3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝3（x﹣1）2﹣2；（2）∵x＝0時(shí)，y＝3（x﹣1）2﹣2＝1；x＝3時(shí)，y＝3（x﹣1）2﹣2＝10而x＝1時(shí)，y有最小值﹣2，∴當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y的取值范圍為﹣2≤y＜10．12．（2024秋封丘縣期末）二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），且過(guò)（﹣4，1）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)﹣5≤x≤2時(shí)，求函數(shù)值y的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a（x+2）2﹣3．∵二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（﹣4，1），∴1＝a（﹣4+2）2﹣3，解得a＝1，∴解析式為y＝（x+2）2﹣3．（2）∵將拋物線的一般形式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式為：y＝（x+2）2﹣3，∴拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣2，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)有最小的值﹣3，且拋物線上的點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的距離越大，函數(shù)值越大，∵﹣5≤x≤2，∴x＝﹣2在﹣5≤x≤2內(nèi)，∴二次函數(shù)的最小值為﹣3，∵|2﹣（﹣2）|＝4＞|﹣5﹣（﹣2）|＝3，∴當(dāng)x＝2時(shí)，取得最大的值，且最大的值為y＝（2+2）2﹣3＝13，故y的取值范圍為：﹣3≤y≤13．13．（2025南陵縣一模）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是實(shí)數(shù)）．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，6），求函數(shù)的表達(dá)式．（2）若n＝m﹣1，且當(dāng)x≤﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小，求m的取值范圍．（3）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（0，a），（3，b）兩點(diǎn)（a，b是實(shí)數(shù)）．當(dāng)2≤m＜n≤3時(shí)，求證：0≤ab＜4．【解答】解：（1）當(dāng)m＝1時(shí)，則y＝（x﹣1）（x﹣n），把點(diǎn)（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n），∴n＝﹣4，∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4；（2）∵y＝（x﹣m）（x﹣n），∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（m，0），（n，0），∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m+n∴n＝m﹣1，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝m?1∵拋物線開(kāi)口向上且當(dāng)x≤﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴m?1∴m≥?3（3）證明：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（0，a），（3，b）兩點(diǎn)（a，b是實(shí)數(shù)），∴a＝mn，b＝（3﹣m）（3﹣n），∴ab＝mn（3﹣m）（3﹣n）＝m（3﹣m）n（3﹣n）＝[﹣（m?32）2+94][﹣（n?∵2≤m＜n≤3，∴0＜﹣（m?32）20≤﹣（n?32）2∴0≤ab＜4．考點(diǎn)4：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系14．（2025大連一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1．下列結(jié)論：①c＜0；②a﹣b+c＞0；③若點(diǎn)B（﹣n，y1），C（n+2，y2）都在該拋物線上，則y1＝y(tǒng)2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：由圖可知函數(shù)與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，∴c＜0，故①正確；∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，即a﹣b+c＝0，故②錯(cuò)誤；∵點(diǎn)B（﹣n，y1），C（n+2，y2）都在該拋物線上，且?n+n+22∴點(diǎn)B（﹣n，y1），C（n+2，y2）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，∴y1＝y(tǒng)2，故③正確．故選：B．15．（2025龍口市一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)C在（0，3），（0，4）之間（不包含端點(diǎn)），拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，有以下結(jié)論：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，總有am2+bm＜43；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：由所給二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，與y軸交于正半軸，∴a＜0，c＞0．又∵對(duì)稱(chēng)軸是直線x=?b∴b＝﹣2a＞0．∴bc＞0，故①正確；又拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，且過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為（3，0）．∴9a+3b+c＝0．故②正確．由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值，則對(duì)于任意的x＝m，總有am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥am2+bm（m為實(shí)數(shù)）．又b＝﹣2a，3a+b=?c∴a=?c3，b=∴a+b=1∵3＜c＜4，∴1＜1∴am2+bm＜43，故∵1＜1∴2＜2而b=23∴2＜b＜8故④錯(cuò)誤．所以正確的結(jié)論有①②③3個(gè)．故選：C．16．（2025襄州區(qū)模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④2a+b＝1．其中正確的有（）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③【解答】解：①∵拋物線開(kāi)口方向向下，∴a＜0．∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸位于y軸右側(cè)，∴ab＜0．∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確；②∵x＝﹣1時(shí)，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故②正確；③∵拋物線的最大值為4，∴拋物線與直線y＝5無(wú)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c﹣5＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，故③錯(cuò)誤；④∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?b∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故④錯(cuò)誤，綜上所述，正確的有①②．故選：A．17.（2025宣城一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＜0；④b2＜4ac．其中正確的為（）①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④A考點(diǎn)5：拋物線與x軸的交點(diǎn)18．（2025春德化縣期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（3，0），若拋物線y＝x2﹣2x+n﹣1與線段OA有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則下列n的取值不可能的是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2，∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，頂點(diǎn)為（1，n﹣2），∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），拋物線y＝x2﹣2x+n﹣1與線段OA有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴n﹣2＝0或n?1＜03解得﹣2≤n＜1或n＝2，只有B選項(xiàng)不符合題意．故選：B．19．（2025南京模擬）如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝m總有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3【解答】解：如圖所示：當(dāng)m＞3時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝m有兩個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正，另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)．所以當(dāng)關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝m總有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，m的取值范圍是m＞3．故選：A．20.拋物線y＝a（x+1）2+2與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣3，0），它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是．11．（1，0）考點(diǎn)6：二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征21．（2025廉江市模擬）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中函數(shù)y與自變量x之間的部分對(duì)應(yīng)值如下表點(diǎn)A（x1，y1）點(diǎn)B（x2，y2）在該函數(shù)圖象上，當(dāng)0＜x1＜1，2＜x2＜3，y1與y2的大小關(guān)系是（）x…0123…y…1﹣2﹣3﹣2…A．y1≤y2 B．y1≥y2 C．y1＞y2 D．y1＜y2【解答】解：根據(jù)圖表知，當(dāng)x＝1和x＝3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的y值都是﹣2，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1+3又∵當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴該二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口方向是向上．∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，∴0＜x1＜1關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在3和4之間，又∵當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，∴y1＞y2，故選：C．22．（2025海安市一模）已知點(diǎn)（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）都在拋物線y＝﹣x2+2x+c上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2【解答】解：拋物線y＝﹣x2+2x+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，開(kāi)口向下，根據(jù)開(kāi)口向下，距離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小可得：點(diǎn)（﹣1，y1）距離對(duì)稱(chēng)軸有2個(gè)單位長(zhǎng)度，（2，y2）距離對(duì)稱(chēng)軸有1個(gè)單位長(zhǎng)度，（4，y3）距離對(duì)稱(chēng)軸有3個(gè)單位長(zhǎng)度，∴y3＜y1＜y2．故選：A．23．（2025春鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知A（﹣5，m），B（b，n）在二次函數(shù)y＝ax2+2ax+1（a＜0）的圖象上，且m＞n，則b的值可能是（）A．1 B．﹣1 C．5 D．0【解答】解：由二次函數(shù)y＝ax2+2ax+1（a＜0）可知，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1，開(kāi)口向下，∵m＞n，∴|b+1|＞|﹣1+5|＝4，解得b＜﹣4或b＞3，四個(gè)選項(xiàng)中，只有C符合條件，故選：C．24．（2025西湖區(qū)校級(jí)一模）已知點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）為拋物線y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上兩點(diǎn)，且x1＜x2，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若x1+x2＜4，則y1＜y2 B．若x1+x2＞4，則y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，則y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，則y1＞y2【解答】解：拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=??4a當(dāng)x1+x2＜4時(shí)，x2﹣2＜2﹣x1，則當(dāng)a＞0時(shí)，y1＞y2；當(dāng)a＜0時(shí)，y1＜y2；當(dāng)x1+x2＞4時(shí)，x2﹣2＞2﹣x1，則當(dāng)a＞0時(shí)，y2＞y1；當(dāng)a＜0時(shí)，y1＞y2；故A、B選項(xiàng)都不正確；若a（x1+x2﹣4）＞0，則a與x1+x2﹣4同號(hào)，由上可知y1＜y2，故C不正確；若a（x1+x2﹣4）＜0，則a與x1+x2﹣4異號(hào)，由上可知y1＞y2，故D正確；故選：D．考點(diǎn)7：二次函數(shù)與幾何變換25．（2025廣東一模）將拋物線y＝x2向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2【解答】解將拋物線y＝x2向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為：y＝x2﹣1．故選：A．26．（2024合肥科大附中期末）拋物線y＝x2+2先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線的表達(dá)式是（）A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2+7 C．y＝（x﹣5）2+4 D．y＝（x﹣2）2﹣3A27．（2025陜西模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線C1：y＝x2+mx+n向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C2：y＝x2+（2n﹣3）x+2，則m，n的值分別為（）A．m＝﹣1，n＝2 B．m＝﹣1，n＝3 C．m＝1，n＝2 D．m＝1，n＝3【解答】解：∵y＝x2+mx+n＝x2+mx+（m2）2﹣（m2）2+n＝（x+m2）∴將拋物線C1：y＝x2+mx+n向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線的解析式為y＝（x+m2+1）2?m24+n＝x2+（m∵得到拋物線C2：y＝x2+（2n﹣3）x+2，∴m+2=2n?3m+n+1=2解得n=2m=?1故選：A．28.平移二次函數(shù)的圖象y＝x2，使其頂點(diǎn)落在第二象限，且頂點(diǎn)到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為3，則平移后的二次函數(shù)（）A．對(duì)稱(chēng)軸為x=3 B．有最大值2C．對(duì)稱(chēng)軸為x=3 D．有最小值2C29．（2025寶安區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)P、Q，則PQ＝3．【解答】解：將拋物線y＝（x+1）（x﹣2）+5向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣2），令（x+1）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，∴點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（2，0），∴PQ＝|2﹣（﹣1）|＝3．故答案為：3．考點(diǎn)8函數(shù)圖象的綜合判斷類(lèi)型1利用函數(shù)性質(zhì)分析判斷函數(shù)圖象30．（2025南寧模擬）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+a2x﹣3a（a為常數(shù)，a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?a22a=?a2＜0，在y當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?a2＞0，在y軸的右側(cè)，與y故選：B．31．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c和直線y＝3x+c分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，則二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣3）x的圖象可能是（）A． B． C． D．A32．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax+a和函數(shù)y＝ax2+x+2（a是常數(shù)，且a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．D33.已知二次函數(shù)的圖像如圖，其對(duì)稱(chēng)軸為，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像大致是（）．A. B. C. D.C34.（2025蕪湖二十七中學(xué)一模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.A35．（2024合肥巢湖市期末）已知a≠0，函數(shù)y=?ax與y＝ax2﹣A． B． C． D．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的圖象．【分析】分a＞0和a＜0兩種情況分類(lèi)討論即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=?ax的圖象位于二、四象限，y＝ax2﹣a的開(kāi)口向上，交y軸的負(fù)半軸，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=?ax的圖象位于一、三象限，y＝ax2﹣a的開(kāi)口向下，交故選：D．類(lèi)型2幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題判斷函數(shù)圖象36．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，速度均2cm/s，點(diǎn)P沿A﹣D﹣C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿A﹣B﹣C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，則△APQ的面積S（cm2）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）第10題圖A． B． C． D．A【解析】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P，Q的速度均為2cm/s，∴點(diǎn)P，Q在AD，AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為2s，①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，S=12AP?AQ=12×2t×2②當(dāng)2≤t≤4時(shí)，S＝4×4﹣2×12×4×（2t﹣4）?12×（8﹣2t）2＝﹣2t37．如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB的平分線交斜邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CA，CB上（不含端點(diǎn)），且DE⊥DF，設(shè)AE＝x，△DEF與△CEF的面積之差為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象可能為（）A． B． C． D．A【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，DG⊥AC，則∠DHF＝∠DGC＝∠DGE＝90°.∵CD為∠ACB的角平分線，∴DH＝DG.又∵∠BCA＝90°，∴四邊形CGDH為正方形，∴CH＝CG＝DG＝DH，∠HDG＝90°，∴tanB=DHBH=ACBC=43，∴設(shè)DH＝4a，BH＝3a，∴CH＝DH＝4a，∴BC＝BH+CH＝7a＝3，∴a=37①如解圖1，當(dāng)點(diǎn)E在G點(diǎn)右側(cè)時(shí)，∴EG=AG?AE=167?x.∵DE⊥DF，∠HDG＝90°，∴∠FDH＝∠EDG＝90°﹣∠FDG.又∵DH＝DG，∠DHF＝∠DGE＝90°，∴△DFH≌△DEG∴DF＝DE，HF＝EG＝16﹣x，∴CF=CH?HF=127?167+x=x?47，∴S∴S△DEF整理，得y=x圖1圖2第10題解圖②如解圖2，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)G左側(cè)時(shí)，∴EG=AE?AG=x?167，CE＝4﹣x，CF=CH+HF=127+x?整理，得y=x2?∴圖象為頂點(diǎn)在x軸上的拋物線的一部分，故選A．考點(diǎn)9：二次函數(shù)中的最值問(wèn)題（含區(qū)間）38．（2025新城區(qū)三模）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+2的范圍內(nèi)的最大值為4，則實(shí)數(shù)t的值為（）A．﹣1或5 B．﹣3或5 C．﹣1或7 D．﹣3或7【解答】解：∵將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得：y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13，∴拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，13），為最高點(diǎn)，①當(dāng)x≤2時(shí)，拋物線隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝t+2≤2，即t≤0，函數(shù)有最大值4，∴﹣（t+2）2+4（t+2）+9＝4，∴t＝±3，∵t≤0，∴t＝﹣3；②當(dāng)x≥2時(shí)，拋物線隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝t≥2時(shí)，即函數(shù)有最大值4，∴﹣t2+4t+9＝4，∴t＝5，t＝﹣1，∵t≥2，∴t＝5；故選：B．39．（2025武威一模）當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣2）x+8有最小值，記作m，隨著a，b的變化，m的最大值為（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵a＞0，∴當(dāng)x=b?22a時(shí)，∴m=8×4a?(b?2∵（b﹣2）2≥0，a＞0，∴?(b?2∴?(b?2∴當(dāng)b＝2時(shí)，m取最大值8，故選：A．40．（2025天河區(qū)校級(jí)一模）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范圍內(nèi)有最小值為﹣5，則c的值為（）A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1，∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1，∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），∴在﹣3≤x≤2的范圍內(nèi)，x＝2時(shí)，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9為函數(shù)最小值，∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5，解得c＝3或c＝﹣1，故選：A．41．已知s，t是實(shí)數(shù)，點(diǎn)（s，t2）在函數(shù)y＝﹣2x2+6x的圖象上，設(shè)w＝t2+s2+2s，則w的最大值為（）A．15 B．16 C．17 D．18解：∵點(diǎn)（s，t2）在函數(shù)y＝﹣2x2+6x的圖象上，∴t2＝﹣2s2+6s，∵t2≥0，∴﹣2s2+6s≥0，∴0≤s≤3，∴w＝t2+s2+2s＝﹣2s2+6s+s2+2s＝﹣s2+8s＝﹣（s﹣4）2+16，∴s＝3時(shí)，w有最大值，∴w的最大值為15．故選：A．42．若二次函數(shù)y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m＝．解：∵二次函數(shù)y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴m+1＞0且m2﹣9＝0，∴m＝3．故答案為3．43．（2024衡水期末）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，5），對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)B（﹣1，7）向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向右平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，恰好落在y＝x2+bx+c的圖象上，求m的值；（3）當(dāng)n≤x≤2時(shí)，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值與最小值的差為94，求n【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【答案】（1）y＝x2﹣x+3．（2）4．（3）﹣1≤n≤1【解答】解：（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得：5＝22+2b+c，整理得2b+c＝1．根據(jù)二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸為：x=?b2=∴2×（﹣1）+c＝1，∴c＝3．故二次函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x+3．（2）根據(jù)題意點(diǎn)B向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向右平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，其橫坐標(biāo)為（﹣1+m），縱坐標(biāo)為7+2＝9．再代入y＝x2﹣x+3得：9＝（m﹣1）2﹣（m﹣1）+3．整理得：m2﹣3m﹣4＝0．解得，m＝4或﹣1．∵m＞0，∴m＝4．（3）對(duì)于二次函數(shù)y＝x2﹣x+3，其圖象拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=12，開(kāi)口向上．點(diǎn)（2，0）關(guān)于直線①當(dāng)n＞1由于n≤x≤2．故x＝n時(shí)二次函數(shù)值最小，ymin＝n2﹣n+3；x＝2時(shí)二次函數(shù)值最大，ymax＝22﹣2+3＝5，∴5﹣（n2﹣n+3）=94，解得n故n＞1②當(dāng)﹣1≤n≤1x=12時(shí)二次函數(shù)值最小，ymin＝（12）2?x＝2時(shí)二次函數(shù)值最大，ymax＝22﹣2+3＝5，∵ymax﹣ymin＝5?11∴﹣1≤n≤1③當(dāng)n＜﹣1時(shí)：x=12時(shí)二次函數(shù)值最小，ymin＝（12）2?故x＝n時(shí)二次函數(shù)值最大，ymax＝n2﹣n+3．∵ymax﹣ymin＝n2﹣n+3?114=綜上可得n的取值范圍為：﹣1≤n≤1考點(diǎn)10：二次函數(shù)綜合題類(lèi)型1性質(zhì)綜合題44.（2025蕪湖市南陵縣一模）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y＝（x﹣m）（x﹣n）（m、n是實(shí)數(shù)）．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，6），求函數(shù)表達(dá)式．（2）若n＝m﹣1，且當(dāng)x≤﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小，求m的取值范圍．（3）若該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（0，a），（3，b）兩點(diǎn)（a、b是實(shí)數(shù)）當(dāng)2≤m＜n≤3時(shí)，求ab的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)m＝1時(shí)，則y＝（x﹣1）（x﹣n），把點(diǎn)（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n），∴n＝﹣4，∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4；（2）∵y＝（x﹣m）（x﹣n），∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（m，0），（n，0），∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m+n∴n＝m﹣1，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝m?1∵拋物線開(kāi)口向上且當(dāng)x≤﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴m?1∴m≥?3（3）證明：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（0，a），（3，b）兩點(diǎn)（a，b是實(shí)數(shù)），∴a＝mn，b＝（3﹣m）?（3﹣n），∴ab＝mn?（3﹣m）?（3﹣n）＝m（3﹣m）?n（3﹣n）＝[﹣（m?32）2+94][﹣（n?∵2≤m＜n≤3，∴0＜﹣（m?32）20≤﹣（n?32）2∴0≤ab＜4．45．（2025合肥科大附中一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2ax+3（a為常數(shù)）與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)B，若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1．（1）求a的值；（2）若點(diǎn)C（c，6）是拋物線上的點(diǎn)，且c＜1，求證：點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線；（3）點(diǎn)P（t﹣1，m），Q（t，n）是拋物線上的兩點(diǎn)(t＞32)，記拋物線在P，Q之間的部分為圖象G（包含P，Q兩點(diǎn)），若圖象G【分析】（1）直接根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式求解即可；（2）先求出直線AB解析式，然后把點(diǎn)C坐標(biāo)求出，代入直線AB解析式看是否成立，進(jìn)而即可證出；（3）由題易得m＝（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3＝t2﹣4t+6，n＝t2﹣2t+3，分類(lèi)討論，看其在對(duì)稱(chēng)軸同側(cè)還是異側(cè)，然后根據(jù)增減性解決問(wèn)題即可．【解答】（1）解：∵拋物線y＝x2﹣2ax+3（a為常數(shù)）的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，∴x=??2a解得a＝1；（2）證明：由（1）知a＝1，∴y＝x2﹣2x+3，∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)B，∴A（0，3），B（1，0），設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的直線的解析式為y＝kx+b，將其坐標(biāo)代入，得b=3k+b=0解得k=?3b=3∴直線AB的解析式為y＝﹣3x+3，∵點(diǎn)C（c，6）在拋物線上，∴c2﹣2c+3＝6，解得c＝3或c＝﹣1，∵c＜1，∴c＝﹣1，即C（﹣1，6），將x＝﹣1代入直線y＝﹣3x+3得，y＝﹣3×（﹣1）+3＝6，∴點(diǎn)C（﹣1，6）在直線AB上，即點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線；（3）解：∵點(diǎn)P（t﹣1，m），Q（t，n）是拋物線y＝x2﹣2x+3上的兩點(diǎn)，∴m＝（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3＝t2﹣4t+6，n＝t2﹣2t+3，∵拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，∴分以下兩種情況：①當(dāng)32＜t＜2時(shí)，則t﹣1＜1＜t，點(diǎn)P此時(shí)圖象G上的最低點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為2，∵1?(t?1)＜1∴點(diǎn)P與對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)Q與對(duì)稱(chēng)軸的距離，此時(shí)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)最大，∴n﹣2＝t2﹣2t+3﹣2＝3，解得t=1+3②當(dāng)t≥2時(shí)，則t﹣1≥1，P，Q均在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最小，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)最大，∴．n﹣m＝t2﹣2t+3﹣（t2﹣4t+6）＝2t﹣3＝3，解得t＝3；綜上所述，t的值為3．類(lèi)型2面積問(wèn)題46．（2024濟(jì)南鋼城區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）試在線段BC上方拋物線上找一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大，求出最大面積是多少？（3）直線BC上是否存在兩點(diǎn)M、N，使得△MON為以MN為斜邊的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6．（2）274（3）存在，理由見(jiàn)解答過(guò)程；（65，185）或（185【解答】解：（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線關(guān)系式得：0=a?b+60=9a+3b+6，解得a=?2故拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6．（2）令x＝0，則y＝6，故點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6）．由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)通過(guò)待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為：y＝﹣2x+6．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣2m2+4m+6），0＜m＜3.過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，﹣2m+6）．∴PQ＝y(tǒng)P﹣yQ＝（﹣2m2+4m+6）﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m．∵S△PBC＝S△CPQ+S△BPQ=12PQ?xP+12PQ?（xB把PQ和xB代入得：S△PBC＝﹣3m2+9m＝﹣3（m?32）2∴當(dāng)m=32時(shí)，S△PBC最大值為故△PBC的最大面積為274（3）如圖△MON為等腰直角三角形，OM＝ON，∠MON＝90°.過(guò)M、N兩點(diǎn)向y軸作垂線，E、F分別為垂足．∵∠EMO+∠MOE＝∠MOE+∠FON＝90°，∴∠EMO＝∠FON．在△EMO和△FON中，∠EMO＝∠FON，∠MEO＝∠OFN＝90°，OM＝ON．∴△EMO≌△FON（AAS）．∴EM＝OF，OE＝FN設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（n，﹣2n+6），則點(diǎn)N坐標(biāo)為（﹣2n+6，﹣n）．由于點(diǎn)N也在直線BC上，則﹣n＝﹣2（﹣2n+6）+6，解得n=6∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（65，185），點(diǎn)N坐標(biāo)為（185因?yàn)辄c(diǎn)M、N位置可以互換，故點(diǎn)M坐標(biāo)為（65，185）或（18547．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=?12x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+c關(guān)于直線x=32對(duì)稱(chēng)，且經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于M，交AC于Q，求PQ的最大值，并求此時(shí)△APC的面積；（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找出使△ADC為直角三角形的點(diǎn)D，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）令y=?12x+2＝0，解得：即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．∵A、B關(guān)于直線x=3∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0）．令x＝0，則y＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，∴有c=2解得：a=?12，b=3故拋物線解析式為y=?12x2+（2）直線AC的解析式為y=?12x+2，即12x設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，?12m+2）；則P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，?12m∴PQ＝（?12m2+32m=?12m2+2m=?12（∴當(dāng)m＝2時(shí)，PQ最大＝2，此時(shí)點(diǎn)P（2，3）S△PAC＝S梯形OCPM+S△PMA﹣S△AOC＝5+3﹣4＝4；（3）D點(diǎn)的坐標(biāo)為（32，﹣5），（32，5），（32，1+192解法如下：假設(shè)存在，設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)（32，m△ADC為直角三角形分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)：作DM⊥y軸于M由△CD1M∽△ACO可得：MC∴42=CM∴OM＝5，即D1（32②同理當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)可求D2（32③當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)：過(guò)D3作MN⊥y軸，由△CD3M∽△D3AN可得：MCM∴m?232=52m解得：m＝1±19D3（32，1+192），D4（3故D點(diǎn)的坐標(biāo)為（32，﹣5），（32，5），（32，1+19248．（2024石家莊橋西區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB；y=12x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線L：y＝﹣x2﹣3x+k（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)；（2）如圖1，若拋物線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線L上一動(dòng)點(diǎn)，且在第二象限內(nèi)，連接PA，PB，求L的表達(dá)式及△PAB面積的最大值；（3）若拋物線L與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，直接寫(xiě)出k的取值范圍．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【答案】（1）A（﹣4，0）；（2）y＝﹣x2﹣3x+4；S△PAB最大=81（3）k=?1716或2＜【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，12∴x＝﹣4，∴A（﹣4，0）；（2）如圖1，將x＝﹣4，y＝0代入y＝﹣x2﹣3x+k得，0＝﹣（﹣4）2﹣3×（﹣4）+k，∴k＝4，∴y＝﹣x2﹣3x+4，連接OP，設(shè)P（t，﹣t2﹣3t+4），∵S△AOB=12OA?OBS△AOP=12OA?yP=S△BOP=1∴S△PAB＝S△AOP+S△BOP﹣S△AOB＝（﹣2t2﹣6t+8）+（﹣t）﹣4＝﹣2（t+74）2∴當(dāng)x=?74時(shí)，S△PAB最大（3）如圖2﹣1，當(dāng)L與AB相切時(shí)，由12x+2=?x2﹣3x+x2+7∴(7∴k=?17∴當(dāng)k=?1716時(shí)，拋物線L與線段如圖2﹣2，當(dāng)L過(guò)點(diǎn)B時(shí)，k＝2，當(dāng)L過(guò)點(diǎn)A時(shí)，由（2）知：k＝4，∴當(dāng)2＜k≤4時(shí)，拋物線L與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，綜上所述：當(dāng)k=?1716或2＜k≤4時(shí)，拋物線L與線段類(lèi)型3特殊四邊形問(wèn)題考點(diǎn)11：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用類(lèi)型1銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題49．（2025云南校級(jí)模擬）某暢銷(xiāo)書(shū)的售價(jià)為每本20元，每星期可賣(mài)出300本，書(shū)城準(zhǔn)備開(kāi)展“讀書(shū)節(jié)活動(dòng)”，決定降價(jià)促銷(xiāo)．經(jīng)調(diào)研，如果調(diào)整書(shū)籍的售價(jià)，每降價(jià)2元，每星期可多賣(mài)出20本．設(shè)每本降價(jià)x元后，每星期售出此暢銷(xiāo)書(shū)的總銷(xiāo)售額為y元，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x） C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x）【解答】解：設(shè)每本降價(jià)x元，則售價(jià)為（20﹣x）元，銷(xiāo)售量為（300+10x）本，根據(jù)題意得，y＝（20﹣x）（300+10x），故選：A．50．（2025春新吳區(qū)校級(jí)期中）某服裝店購(gòu)進(jìn)A、B兩種款式的服裝，已知購(gòu)進(jìn)3件A款服裝和5件B款服裝，需195元；購(gòu)進(jìn)4件A款服裝和2件B款服裝，需176元．（1）A、B兩種款式的服裝進(jìn)貨單價(jià)分別是多少？（2）設(shè)A款服裝的銷(xiāo)售單價(jià)為x（單位：元/件），在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)45≤x≤55時(shí)，A款服裝的日銷(xiāo)售量y（單位：件）與銷(xiāo)售單價(jià)x之間存在一次函數(shù)關(guān)系，x、y之間的部分?jǐn)?shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）455055日銷(xiāo)售量y（件）302010請(qǐng)求出當(dāng)45≤x≤55時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）在（2）的條件下，設(shè)A款服裝的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元，當(dāng)A款服裝的銷(xiāo)售單價(jià)x（單位：元/件）定為多少時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解答】解：（1）設(shè)A、B兩種款式的服裝進(jìn)貨單價(jià)分別是a，b元，由題意得：3a+5b=1954a+2b=176解得：a=35b=18∴A、B兩種款式的服裝進(jìn)貨單價(jià)分別是35，18元；（2）設(shè)y＝kx+m，把（45，30），（50，20）代入y＝kx+m中得：30=45k+m20=50k+m解得：k=?2m=120∴y＝﹣2x+120；（3）由題意得：w＝y(tǒng)（x﹣35）＝（﹣2x+120）（x﹣35）＝﹣2x2+190x﹣4200，∵a＝﹣2，b＝190，∴?b∴當(dāng)x＝47.5時(shí)，w最大＝（﹣2×47.5+120）×（47.5﹣35）＝312.5（元），∴當(dāng)A款服裝的銷(xiāo)售單價(jià)x定為47.5時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是312.5元．51．（2025春?jiǎn)慰h期中）公安交警部門(mén)提醒市民，騎車(chē)出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷(xiāo)商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔9月份到11月份的銷(xiāo)量，該品牌頭盔9月份銷(xiāo)售150個(gè)，11月份銷(xiāo)售216個(gè)，且從9月份到11月份銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率相同．（1）求該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率；（2）已知A類(lèi)頭盔的進(jìn)價(jià)為36元/個(gè)，在銷(xiāo)售中，該商家發(fā)現(xiàn)當(dāng)每個(gè)售價(jià)50元時(shí)，每個(gè)月可售出100個(gè)；若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲5元/個(gè)；則月銷(xiāo)售量將減少10個(gè)．設(shè)A類(lèi)頭盔售價(jià)每個(gè)a元（50≤a≤60），w表示該商家每月銷(xiāo)售A類(lèi)頭盔的利潤(rùn)（單位：元），求w關(guān)于a的函數(shù)解析式并求最大利潤(rùn)．【解答】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為x，依題意，得150（1+x）2＝216，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去），答：設(shè)該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為20%．（2）由題意得，該商家每月銷(xiāo)售A類(lèi)頭盔的利潤(rùn)為w＝（a﹣36）(100?a?50∵﹣2＜0，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線a＝68，∴當(dāng)a≤68時(shí)，w隨a的增大而增大．∴當(dāng)50≤a≤60時(shí)，故當(dāng)a＝60時(shí)，w取最大值為1920元．52．（2024青島嶗山區(qū)期末）剪紙是一種非常普及的中國(guó)民間藝術(shù)，春節(jié)期間，人們都喜歡在窗戶上貼上窗花作為裝飾，不僅烘托了喜慶的節(jié)日氣氛，還為人們帶來(lái)了美的享受，集裝飾性、欣賞性和實(shí)用性于一體．某商家在春節(jié)前夕購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種剪紙進(jìn)行銷(xiāo)售，已知每套甲種剪紙的進(jìn)價(jià)是每套乙種剪紙進(jìn)價(jià)的1.25倍，用400元購(gòu)進(jìn)甲種剪紙的套數(shù)比用400元購(gòu)進(jìn)乙種剪紙的套數(shù)少2套．（1）求這兩種剪紙每套進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）根據(jù)商家的銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，甲種剪紙的銷(xiāo)售量y1（套）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系為y1＝﹣200x+17000，乙種剪紙的銷(xiāo)售量y2（套）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系為y2＝﹣300x+20400．若每套甲種剪紙的售價(jià)同樣是每套乙種剪紙售價(jià)的1.25倍，則甲、乙兩款剪紙的銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少元？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用．【答案】（1）乙種剪紙每套進(jìn)價(jià)是40元，甲種剪紙每套進(jìn)價(jià)50元；（2）甲種剪紙每套售價(jià)為67.5元，乙種剪紙每套售價(jià)為54元時(shí)，商家可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是120050元．【解答】解：（1）設(shè)乙種剪紙每套進(jìn)價(jià)是a元，則甲種剪紙每套進(jìn)價(jià)1.25a元，根據(jù)題意得：4001.25a+2解得a＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝40是原方程的根，此時(shí)1.25a＝50，∴乙種剪紙每套進(jìn)價(jià)是40元，甲種剪紙每套進(jìn)價(jià)50元；（2）設(shè)乙種剪紙每套售價(jià)為x元，則甲種剪紙每套售價(jià)為1.25x元，商家獲得利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得：w＝（1.25x﹣50）（﹣200×1.25x+17000）+（x﹣40）（﹣300x+20400）＝﹣612.5x2+66150x﹣1666000＝﹣612.5（x﹣54）2+120050，∵﹣612.5＜0，∴當(dāng)x＝54時(shí)，w有最大值，最大值為120050，此時(shí)1.25x＝67.5，答：甲種剪紙每套售價(jià)為67.5元，乙種剪紙每套售價(jià)為54元時(shí)，商家可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是120050元．類(lèi)型2建模問(wèn)題（拱橋、投球、噴水等）53．（2024秋新榮區(qū)月考）中條山隧道進(jìn)口位于山西省運(yùn)城市鹽湖區(qū)，這一隧道開(kāi)創(chuàng)了全省普通公路特長(zhǎng)隧道工程建設(shè)的先河，也是全國(guó)單洞里程最長(zhǎng)的隧道工程．如圖①是中條山隧道，其截面近似為拋物線型，如圖②為其截面示意圖，線段OA表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．經(jīng)測(cè)量OA＝10m，拋物線的頂點(diǎn)P到OA的距離為5m，則拋物線的解析式為（）A．y=?15(x+5)2C．y=?15(x+5)【解答】解：由條件可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5）．設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣5）2+5．將O（0，0）代入拋物線解析式得0＝25a+5．解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?1故選：D．54．（2024秋溫州期末）如圖①，某建筑物的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線形（曲線ACB）的薄殼屋頂．已知它的拱寬AB為4米，拱高CO為0.8米．為了畫(huà)出符合要求的模板，通常要先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求解析式．圖②是以AB所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸建立的平面直角坐標(biāo)系，則圖②中的拋物線的解析式為（）A．y＝﹣0.2x2+0.8 B．y＝﹣0.2x2﹣0.8 C．y＝0.2x2+0.8 D．y＝﹣0.2x+0.4【解答】解：設(shè)圖②中的拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），∵AB＝4，CO＝0.8，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0.8），將A（﹣2，0），B（2，0），C（0，0.8）代入y＝ax2+bx+c，得：0=4a?2b+c0=4a+2b+c解得：a=?0.2b=0∴圖②中的拋物線的解析式為y＝﹣0.2x2+0.8．故選：A．55．（2024?陜西）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索L1與纜索L2均呈拋物線型，橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線FF′為x軸，以橋塔AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知：纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，橋塔AO與橋塔BC之間的距離OC＝100m，AO＝BC＝17m，纜索L1的最低點(diǎn)P到FF′的距離PD＝2m．（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）（1）求纜索L1所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)E在纜索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，F(xiàn)O＜OD，求FO的長(zhǎng)．【解答】解：（1）由題意，∵AO＝17m，∴A（0，17）．又OC＝100m，纜索L1的最低點(diǎn)P到FF′的距離PD＝2m，∴拋物線的頂點(diǎn)P為（50，2）．故可設(shè)拋物線為y＝a（x﹣50）2+2．又將A代入拋物線可得，∴2500a+2＝17．∴a=3∴纜索L1所在拋物線為y=3500（x﹣50）（2）由題意，∵纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，又纜索L1所在拋物線為y=3500（x﹣50）∴纜索L2所在拋物線為y=3500（x+50）又令y＝2.6，∴2.6=3500（x+50）∴x＝﹣40或x＝﹣60．又FO＜OD＝50m，∴x＝﹣40．∴FO的長(zhǎng)為40m．56．（2025碑林區(qū)校級(jí)四模）小博周末隨家人采摘草莓，小博發(fā)現(xiàn)種植草莓的大棚使用鋼結(jié)構(gòu)骨架，它的橫截面可以近似看作由矩形和拋物線構(gòu)成，小博通過(guò)采摘園主獲得了大棚的部分信息，并繪制了如下圖象．如圖，大棚橫截面下方是矩形ABCD，頂部是拋物線BEC．取AD中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作線段AD的垂直平分線OE交拋物線BEC于點(diǎn)E．若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，OE所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．E點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)且OE＝4m，AB＝3m，AD＝4m．請(qǐng)你解決下列問(wèn)題：（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出自變量取值范圍；（2）小博觀察到頂棚內(nèi)部采用另一種輕質(zhì)材料制作的直角三角形支架進(jìn)行加固．如圖，若點(diǎn)G在橫梁BF段的中點(diǎn)處，HG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，△HGF和△JIIF關(guān)于OE成軸對(duì)稱(chēng)．一個(gè)橫梁上需要兩個(gè)這樣的直角三角形，所需這種輕質(zhì)材料總長(zhǎng)是HG+HF+FJ+JI的和．若一個(gè)大棚有15個(gè)橫梁，不考慮材料損耗，請(qǐng)你計(jì)算，制作這樣的支架，一共需要多長(zhǎng)這種輕質(zhì)材料？【解答】解：（1）由題意得，點(diǎn)C、E的坐標(biāo)分別為：（2，3）、（0，4），設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2+4，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式得：3＝4a+4，解得a=?1∴拋物線的表達(dá)式為：y=?14x2+4（﹣2≤（2）∵G為BF的中點(diǎn)，∴FG＝FI＝1m，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y=?14+∴JI＝HG=154?3=∴FH＝FJ=1+∴HG+HF+FJ+JI=34+∴15×4＝60（m），∴制作這樣的支架，一共需要60m這種輕質(zhì)材料．57．（2025碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，某校興趣小組想在校慶時(shí)為學(xué)校設(shè)計(jì)兩個(gè)外輪廓近似為拋物線的拱門(mén)，設(shè)計(jì)方案如圖所示，其中A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，拋物線L1經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，拋物線L2經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，他們計(jì)劃在拋物線L1與地面圍成的區(qū)域中隔出一個(gè)大正方形DEFG，使得G，F(xiàn)在拋物線L1上，D，E在地面上，用于師生通道，其余地方鮮花裝點(diǎn)．在拋物線L2與地面圍成的區(qū)域中隔出矩形區(qū)域MNPQ，P，Q在拋物線L2上，M，N在地面上，使得MN＝4，PN=53，對(duì)矩形區(qū)域MNPQ進(jìn)行設(shè)計(jì)用于師生拍照留念．以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線L1的表達(dá)式為y（1）求DE的長(zhǎng)；（2）若拋物線L2與拋物線L1形狀相同，請(qǐng)求出拋物線L2的表達(dá)式．【解答】解：（1）∵四邊形DEFG是正方形，∴EF＝DE，∵拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴設(shè)點(diǎn)F（m，2m），∴2m=?13m2m2+6m﹣16＝0，（m+8）（m﹣2）＝0，解得：m1＝﹣8（不合題意，舍去），m2＝2，∴OE＝2，∴DE＝4；（2）?13x2解得x＝±4，∴點(diǎn)B為（4，0），∵M(jìn)N＝4，PN=53，DE＝∴L2的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：163?（4∴設(shè)拋物線L2的表達(dá)式為y=?13（x﹣h）∴0=?13（4﹣h）解得：h＝7，∴拋物線L2的表達(dá)式為y=?13（x﹣7）58．（2025臨安區(qū)一模）藥碾子是傳統(tǒng)的碾藥工具，從東漢時(shí)期沿用至今．如圖1，碾槽外輪廓的上沿和下沿可近似看作兩條拋物線的部分．如圖2，上沿和下沿的兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)O與點(diǎn)A到地面的距離相等，OA＝8dm，以O(shè)A所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且垂直于OA的直線為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，上沿拋物線的頂點(diǎn)為H(4，?12)，下沿拋物線的頂點(diǎn)為P，上沿拋物線的頂點(diǎn)H比P（1）求出上沿拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）點(diǎn)B是支撐架與下沿拋物線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，交上沿拋物線于點(diǎn)E，BE=218dm【解答】解：（1）設(shè)上沿拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣4）2?1把（0，0）代入解析式得：16a?1解得a=1∴上沿拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=132（x﹣4）2（2）∵H(4，?12)，H比P∴P（4，﹣4），設(shè)下沿拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a′（x﹣4）2﹣4，把（0，0）代入解析式得：16a′﹣4＝0，解得a′=1∴下沿拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=14（x﹣4）∵BE=218∴132（x﹣4）2?12?14（解得x＝2或x＝6，把x＝2或x＝6代入y=14（x﹣4）2﹣4得：∴B（2，﹣3）或（6，﹣3）．59．（2025貴州模擬）如圖①是某小區(qū)設(shè)計(jì)的一個(gè)車(chē)棚，其截面如圖②所示，頂棚是拋物線的一部分，OA，BC垂直于地面OC，且AO＝BC＝2m，OC＝8m，以O(shè)C所在的直線為x軸，OA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，頂棚拋物線滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝ax2+x+c（a，c為常數(shù)，a≠0）．（1）求頂棚拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）小星想駕駛一輛高為3m，寬為2m的貨車(chē)進(jìn)入車(chē)棚．通過(guò)計(jì)算判斷他能駕駛這輛車(chē)進(jìn)入車(chē)棚嗎？（3）如圖③，為使車(chē)棚更加穩(wěn)固，需增加鋼筋進(jìn)行加固．在頂棚A，B之間拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)D和E（不與點(diǎn)A，B重合）．它們的橫坐標(biāo)分別為t，2t，連接AD，AE．設(shè)點(diǎn)A與點(diǎn)D之間部分（含點(diǎn)A和點(diǎn)D）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為h1，點(diǎn)A與點(diǎn)E之間部分（含點(diǎn)A和點(diǎn)E）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為h2，當(dāng)?2??【解答】解：（1）由題意得，A（0，2），B（8，2），將A（0，2），B（8，2）分別代入y＝ax2+x+c得2=c2=64a+8+c解得：a=?1∴頂棚拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=?1（2）如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線：x=?1∵車(chē)身的寬為2m，∴車(chē)身FG一端點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，0），過(guò)F作FM⊥OC于點(diǎn)F，將x＝3代入y=?18x即FM=31∴小星能將車(chē)開(kāi)進(jìn)車(chē)棚；（3）∵D，E在拋物線A，B之間，∴0＜2t＜8且0＜t＜4，∴0＜t＜4，∴D(t，?18t∴?1①當(dāng)D，E都在對(duì)稱(chēng)軸直線x＝4的左側(cè)時(shí)，則0＜2t＜4，∴0＜t＜2，∵?2∴?2∴t1=43②當(dāng)D在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸上或右側(cè)時(shí)，則0＜t＜4，且4≤2t＜8，∴2≤t＜4，∴h2＝4﹣2＝2，∴?2∴t3=6+25綜上所述：t=460．（2025萬(wàn)柏林區(qū)一模）綜合與實(shí)踐如圖1，一灌溉車(chē)正為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為1.2米，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車(chē)噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝2米，豎直高度EF＝0.7米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌溉車(chē)到綠化帶的距離為OD．（1）求上邊緣拋物線噴出水的最大射程O(píng)C；（2）求下邊緣拋物線與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）若OD＝3.2米，灌溉車(chē)行駛時(shí)噴出的水能否澆灌到整個(gè)綠化帶？請(qǐng)你說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖2，由題意，∵A（2，1.6）是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，∴可設(shè)y＝a（x﹣2）2+1.6，又∵拋物線過(guò)點(diǎn)（0，1.2），∴1.2＝4a+1.6，∴a=?