斛答題，，圖律曲俵的徐金瘙用

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題型一最值問題.......................................................................1

題型二參數(shù)范圍問題...................................................................3

題型三定值問題.......................................................................4

題型四過定點(diǎn)問題.....................................................................6

題型五定直線問題.....................................................................7

題型六動(dòng)點(diǎn)軌跡問題...................................................................9

題型七角度關(guān)系證明問題..............................................................11

題型八向量共線問題..................................................................12

題型九存在性問題探究...............................................................14

題型十“非對(duì)稱”韋達(dá)定理.............................................................16

必刷大題..............................................................................18

題型一

o大題典例

1.(24-25高三上?福建福州?月考)已知橢圓「:4+g=1經(jīng)過點(diǎn)4(2,3),右焦點(diǎn)為斤(2,0)

a

(1)求橢圓「的方程；

(2)若直線Z與『交于C兩點(diǎn),且直線AB與AC的斜率互為相反數(shù)，求的中點(diǎn)M與尸的最小距

離.

S變式訓(xùn)練???

2.(24-25高三上?貴州黔東南?開學(xué)考試)已知雙曲線G：與—耳=l(o>0,6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物

a?bz

線a：靖=的的焦點(diǎn)尸重合，且G被&的準(zhǔn)線i截得的弦長為苧.

⑴求a的方程；

(2)若過斤的直線與G的上支交于4,8兩點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|出+5司的取值范圍.

3.(24—25高三上?四川成都?期中)已知拋物線E：靖=2pc(p>0)經(jīng)過點(diǎn)P(l,2),直線=+m與

E的交點(diǎn)為A,B,且直線PA與PB傾斜角互補(bǔ).

(1)求拋物線在點(diǎn)P(L2)處的切線方程；

⑵求卜的值；

(3)若m<3,求APAB面積的最大值.

題型二參數(shù)范圍問題?M

s大題典例

4.(23-24高三下?全國?模擬預(yù)測)已知橢圓。:苧+y2=l.

(1)若橢圓。的左右焦點(diǎn)分別為為。的上頂點(diǎn)，求APE用的周長；

(2)設(shè)過定點(diǎn)河(0,2)的直線I與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)4、B,且乙4OB為銳角(其中O為坐標(biāo)原

點(diǎn)),求直線I的斜率k的取值范圍.

s變式訓(xùn)練

5.(23-24高三下?江蘇蘇州?月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)“到定點(diǎn)F(V3,0)的距離和它

到定直線x=軍的距離之比為平，記M的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程；

(2)已知點(diǎn)4(0,1)，不過A的直線，與。交于P,Q兩點(diǎn)，直線人尸，尸Q,AQ的斜率依次成等比數(shù)列，

求人至此距離的取值范圍.

6.(24-25高三上?湖南?開學(xué)考試)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為點(diǎn)。(g⑵在拋物線C

上，且尸|=2.

(1)求拋物線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)拋物線的準(zhǔn)線與rc軸交于點(diǎn)K,過K的直線I交拋物線。于兩點(diǎn)，且反方=AKN,AG(1,2],

點(diǎn)G為線段的垂直平分線與刀軸的交點(diǎn)，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)xG的取值范圍.

題型三定值問題

S大題典例

7.(24-25高三上?貴州畢節(jié)?期中)已知橢圓+《=l(a>b>0)的焦距為4,Q(V3,1)為橢圓C

a2b-

上一點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線Z:力=3P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到F的距離為小，點(diǎn)P到I的距

離為n,若空為定值,求此定值及t的值.

n

S變式訓(xùn)練???

8.(24-25高三上?湖北武漢?開學(xué)考試)已知曲線。上的點(diǎn)到點(diǎn)F(-1,O)的距離比到直線T=3的距離

小2,0為坐標(biāo)原點(diǎn).直線Z過定點(diǎn)A(O,1).

(1)直線Z與曲線。僅有一個(gè)公共點(diǎn),求直線I的方程；

(2)曲線。與直線Z交于兩點(diǎn)，試分別判斷直線(W,ON的斜率之和、斜率之積是否為定值？并

說明理由.

9.(24-25高三上?甘肅張掖?模擬預(yù)測)已知雙曲線—冬=l(a>0,b>0)的焦距為8,右焦點(diǎn)為

尸，直線/："=4立與雙曲線在一、三象限的交點(diǎn)分別為P,Q,且尸PLFQ.

(1)求雙曲線。的方程及APQF的面積；

(2)直線沙=而+zt(RWO)與雙曲線。交于兩點(diǎn),若直線PA、PB與工軸分別交于點(diǎn)A,B，且

|B4i|=|P8j.證明：R為定值.

題型四過定點(diǎn)問題?M

s大題典例

10.（24-25高三上?河南駐馬店?開學(xué)考試）已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)鳥⑵0），并且與圓“Q+2）2+娟=4外切，設(shè)

動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C.

⑴直線EQ與圓E相切于點(diǎn)Q，求㈤QI的值；

（2）求曲線。的方程；

（3）過點(diǎn)￡的直線。與曲線。交于E,尸兩點(diǎn)，設(shè)直線l-x=^，點(diǎn)。（一1,0），直線ED交，于點(diǎn)M,證明

直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

o變式訓(xùn)練

11.（24-25高三上?湖北襄陽?月考）已知拋物線E:y[=2px?>0）與雙曲線春—,=1的漸近線在第

O4

一象限的交點(diǎn)為Q,且Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.

（1）求拋物線E的方程；

（2）過點(diǎn)朋r（—3,0）的直線Z與拋物線E相交于4,8兩點(diǎn)，B關(guān)于立軸的對(duì)稱點(diǎn)為?，求證:直線AB'

必過定點(diǎn).

12.（24-25高三上?天津北辰?期中）已知橢圓C：4+￡=l（a>6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為尸,其短軸長是焦

azbz

距的四倍，點(diǎn)A為橢圓上任意一點(diǎn),且|AF1的最大值為3.

⑴求橢圓C的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線I：u=+m與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線宓=4相交于點(diǎn)Q.問：c軸上

是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)河的坐標(biāo);若不存在，說明理

由.

題型五定直線問題

金大題典例

13.（24—25高三上?北京?月考）已知橢圓C：W+《=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E、月，一個(gè)焦點(diǎn)

為F（J^,O）,P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（與左、右頂點(diǎn)不重合）.已知AP居用的面積的最大值為2.

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點(diǎn)（1,0）且斜率不為0的直線，與橢圓C相交于兩點(diǎn),橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A1，

4，4雙與4N相交于點(diǎn)Q,求證:點(diǎn)Q在某條定直線上.

9變式訓(xùn)練???

14.(23—24高三下.湖南長沙.三模)已知拋物線C:婿=2pc(p>0),過點(diǎn)。(0,2)的直線Z與。交于不同的

兩點(diǎn)當(dāng)直線Z的傾斜角為135。時(shí)，|人引=4沏.

(1)求。的方程；

(2)在線段48上取異于點(diǎn)48的點(diǎn)況且滿足藝=口，試問是否存在一條定直線，使得點(diǎn)E恒

\DB\\EB\

在這條定直線上？若存在，求出該直線;若不存在,請(qǐng)說明理由.

15.(24—25高三上?上海?期中)已知雙曲線。的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，E,用是。的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中左焦點(diǎn)為(

-2V^",0),離心率為V5.

(1)求。的方程；

(2)雙曲線。上存在一點(diǎn)P,使得NEPE=120°,求三角形PE月的面積；

(3)記。的左、右頂點(diǎn)分別為4,4，過點(diǎn)(-4,0)的直線與。的左支交于M,N兩點(diǎn),河在第二象限，

直線MA,與NA2交于點(diǎn)P.證明：點(diǎn)P在定直線上.

題型六動(dòng)點(diǎn)軌跡問題???

s大題典例

16.（23-24高三下?湖南益陽?一模）已知兩點(diǎn)4—2,0）,3（2,0）及一動(dòng)點(diǎn)P,直線上4,PB的斜率滿足kPA

%=—十，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記為C.過點(diǎn)（1,0）的直線2與。交于河，N兩點(diǎn)，直線AM,BN交于■點(diǎn)、Q.

（1）求。的方程；

（2）求的面積的最大值；

（3）求點(diǎn)Q的軌跡方程.

s變式訓(xùn)練

17.（23-24高三下?江西撫州?月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線及:尤-y2=1經(jīng)過點(diǎn)

m

4（2,1）,點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，。為M上一動(dòng)點(diǎn)，且。異于兩點(diǎn).

⑴求M■的離心率；

（2）若/^BCT的重心為A,點(diǎn)。（8,4）,求\DT\的最小值；

（3）若ABCT的垂心為4求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程.

18.(23-24高三下?安徽合肥?模擬預(yù)測)圖1為一種衛(wèi)星信號(hào)接收器,該接收器的曲面與其軸截面的交線

為拋物線的一部分，已知該接收器的口徑=4《，深度2,信號(hào)處理中心尸位于拋物線的焦

點(diǎn)處，以頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線。尸為X軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系立。夕.

⑴求該拋物線的方程；

(2)設(shè)Q是該拋物線的準(zhǔn)線與比軸的交點(diǎn)，直線Z過點(diǎn)Q,且與拋物線交于H,S兩點(diǎn),若線段RS上有

一點(diǎn)P,滿足無=需，求點(diǎn)P的軌跡方程.

題型七角度關(guān)系證明問題

念大題典例

19.(24-25高三上?云南昆明?開學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4(—2,0),6(2,0),動(dòng)點(diǎn)河滿

足直線4W與直線的斜率之積為-言，設(shè)點(diǎn)河的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程；

(2)已知點(diǎn)尸(1,0)，直線/立=4與力軸交于點(diǎn)。，直線AMr與I交于點(diǎn)N,證明：AMFD=24NFD.

o變式訓(xùn)練

20.(23-24高三下.山西運(yùn)城.三模)已知雙曲線C-.x2-^~=l的左、右焦點(diǎn)分別為E，鳥，點(diǎn)［為。的左

頂點(diǎn)，點(diǎn)P為。右支上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，NRPB的平分線PM交x軸于M

(1)過右焦點(diǎn)用作ENLPM于N,求|ON|；

(2)求證：NP&4=2^PAF2.

21.（23-24高三下.廣西.二模）已知拋物線,過點(diǎn)成0,2）作直線交拋物線。于4B兩點(diǎn)，過4

B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P.

（1）證明：P在定直線上；

（2）若尸為拋物線。的焦點(diǎn)，證明：=

題型八向量共線問題

s大題典例

22.（24—25高三上?四川成都?模擬預(yù)測）橢圓。的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在夕軸上，離心率e=^，橢

圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1—e,直線Z與0軸交于點(diǎn)P（O,m）（小工0）,與橢圓C交于相異兩點(diǎn)

4且51+加范=4種.

（1）求橢圓方程；

（2）求nz的取值范圍.

o變式訓(xùn)練

23.(23-24高三下.山西太原.三模)已知雙曲線。耳—鼻=l(a>0,fe>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A與

azd

點(diǎn)。(3,禽)在。上,且直線AD與口。的斜率之和為方.

(1)求雙曲線。的方程；

(2)過點(diǎn)P(3,0)的直線與C交于M,N兩點(diǎn)(均異于點(diǎn))，直線MA與直線x=l交于點(diǎn)Q,求

證：B,N,Q三點(diǎn)共線.

24.已知拋物線r：y2=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)P(l,2),直線I與拋物線P有兩個(gè)不同的交點(diǎn)直線PA交y

軸于加r，直線交0軸于N.

(1)若直線I過點(diǎn)Q(0,1),求直線I的斜率k的取值范圍；

⑵若直線，過拋物線『的焦點(diǎn)交V軸于點(diǎn)。，山=痛反屈=〃屈，求4+〃的值；

⑶若直線，過點(diǎn)Q(0,l),設(shè)0(0,0),臣方=/19,而=”前,求:+工的值.

A〃

題型九存在性問題探究

念大題典例

25.（23-24高三下?上海?三模）已知橢圓。：4+斗=1,3鳥分別為左、右焦點(diǎn)，直線Z過鳥交橢圓于

o4

A、B兩點(diǎn).

（1）求橢圓的離心率；

（2）當(dāng)乙％48=90°,且點(diǎn)A在立軸上方時(shí)，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若直線交沙軸于河，直線欲交y軸于N,是否存在直線I，使得S.AB=S△磔亞？若存在，求出

直線Z的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

o變式訓(xùn)練

26.（24—25高三上?上海?月考）已知雙曲線。:與—%=l（a>0,b>0）的離心率e=2,左頂點(diǎn)

A（—1,0）,過C的右焦點(diǎn)尸作與田軸不重合的直線，，交C于尸、Q兩點(diǎn).

（1）求雙曲線C的方程；

（2）求證:直線AP.AQ的斜率之積為定值；

⑶設(shè)說=蘇日,試問:在x軸上是否存在定點(diǎn)T,使得AF±（TP-久河）恒成立？若存在，求出點(diǎn)

T的坐標(biāo);若不存在，說明理由.

27.（23-24高三下?西藏拉薩?月考）已知拋物線C：y2=2PMp>0）,準(zhǔn)線，與力軸交于點(diǎn)為拋

物線。上一點(diǎn)，ADLZ交沙軸于點(diǎn)D當(dāng)為=42時(shí)，涼=就+說.

（1）求拋物線。的方程；

（2）設(shè)直線⑷W?與拋物線。的另一交點(diǎn)為B（點(diǎn)B在點(diǎn)4河之間），過點(diǎn)尸且垂直于T軸的直線交AM

于點(diǎn)N.是否存在實(shí)數(shù)小使得\AM\\BN\=A\BM\\AN\?若存在，求出4的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

題型十“非對(duì)稱”韋達(dá)定理

念大題典例

28.（23—24高三上.陜西西安.期中）已知橢圓皿:三+上=1（巾>0）的長軸長為4,左、右頂點(diǎn)分別為

4mm

A,經(jīng)過點(diǎn)P（l,0）的動(dòng)直線與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C,。（不與點(diǎn)4口重合）.

（1）求橢圓W的方程及離心率；

（2）若直線CB與直線入。相交于點(diǎn)判斷點(diǎn)M是否位于一條定直線上？若是,求出該直線的方程；

若不是，說明理由.

S變式訓(xùn)練

29.（23-24高三上?上海閔行?期中）已知雙曲線C：生—喜=l（a>0,&>0）的離心率為方，點(diǎn)（3,-1）

在雙曲線。上.過。的左焦點(diǎn)尸作直線Z交。的左支于4、B兩點(diǎn).

（1）求雙曲線。的方程；

（2）若反（一2,0）,試問：是否存在直線I，使得點(diǎn)及在以AB為直徑的圓上？請(qǐng)說明理由.

（3）點(diǎn)F（-4,2），直線AP交直線x=—2于點(diǎn)Q.設(shè)直線Q4QB的斜率分別取、區(qū)，求證：自—無為

定值.

2?/2

30.（24-25高三上?重慶?月考）已知尸是橢圓。:%+%=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為

a?bz

橢圓上任意一點(diǎn),\MF\的最大值為2+遮，當(dāng)|OM=Qm時(shí)，△朋O尸的面積為y.

⑴求之的值；

a

（2）48為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P滿足前=3席,當(dāng)雙與AB不重合時(shí)，射線MP交橢圓。于點(diǎn)N,

直線AM,BN交于點(diǎn)、T,求乙4TB的最大值.

c（必刷大題）o

s刷模擬

1.（23-24高三下?河北?模擬預(yù)測）橢圓C：與+竺=l（a>6>0）左右頂點(diǎn)分別為A,且|4日=4,

azbz

離心率e=烏.

（1）求橢圓。的方程；

（2）直線Z與拋物線夕2=42相切，且與C相交于M、N兩點(diǎn)，求ZWNB面積的最大值.

2.（24—25高三上?河北石家莊?月考）已知焦距為2代的橢圓=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為廠,

a2b-

右頂點(diǎn)為4過F作直線，與橢圓。交于夙。兩點(diǎn)（異于點(diǎn)⑷，當(dāng)BDL刀軸時(shí)，|皿|=1.

（1）求橢圓。的方程；

（2）證明：0是鈍角.

3.(24-25高三上?重慶?月考)已知雙曲線C邑—4=l(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=乎宓,

azbz2

點(diǎn)P(4,3)在雙曲線。上.

(1)求雙曲線。的方程.

(2)設(shè)過點(diǎn)(-1,0)的直線I與雙曲線。交于河，N兩點(diǎn)，問在c軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得就?兩

為常數(shù)？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由.

4.(24—25高三上?云南保山?期中)若P⑵2)為拋物線「:好=小①上一點(diǎn)，過p作兩條關(guān)于①=2對(duì)稱的

直線分別另交r于人如如出但外)兩點(diǎn).

(1)求拋物線r的方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)判斷直線48的斜率是否為定值？若是，求出定值;若不是，請(qǐng)說明理由.

5.(24-25高三上?湖北武漢?期中)已知橢圓。：三十《=l(o>b>0)的離心率為空，點(diǎn)A(O,1)在

a-b"2

。上，直線Z與。交于不同于A的兩點(diǎn)河，N.

(1)求。的方程；

(2)若彳法?俞=0,求△AVN面積的最大值；

(3)記直線AM,4V的斜率分別為自，自，若自居=一工，證明：以上亞為直徑的圓過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)

坐標(biāo).

2?/2

6.(24—25高三上?上海寶山?月考)已知橢圓C:%+4=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F?

azbz

N(—2,0)為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且右焦點(diǎn)尸2到雙曲線.爐—92=2漸近線的距離為卓，

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線l:y=k岔+m(k于0)與橢圓。交于A、B兩點(diǎn).

①若直線I過橢圓右焦點(diǎn)尸2,且a的面積為華;，求實(shí)數(shù)k的值；

5

②若直線，過定點(diǎn)P(0,2),且卜>0,在立軸上是否存在點(diǎn)T90)使得以24、為鄰邊的平行四邊

形為菱形？若存在，則求出實(shí)數(shù)方的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說明理由.

21

刷真題

7.(2024?全國.高考真題)已知4(0,3)和尸(3,,)為橢圓+白=l(a>b>0)上兩點(diǎn).

(1)求C的離心率；

(2)若過P的直線，交。于另一點(diǎn)B,且AABP的面積為9,求Z的方程.

8.(2024.全國.高考真題)已知橢圓C,+看=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)/1,勤在。上，且MF

_L2軸.

(1)求。的方程；

⑵過點(diǎn)P(4,0)的直線交。于A8兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB交直線MR