河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)

檢測試題

注意事項:

1.答卷前，請考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效。

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。

4.考試時間：120分

一、單選題（每小題5分，共計40分）

1.47三r是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

2.已知正方形的邊長為1,則|運+西=

A.2B.3C.V2D.272

3.“a=是"sina=sin￡”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知平行四邊形ABCD中，點E為CA的中點，I］M-mAB>AN=nAD（”"0）,若麗〃礪，

n

則4=()

m

A.1B.2C.yD.-2

355

5.魏晉南北朝時期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率兀約等于急，和兀相比,

其誤差小于八億分之一，這個記錄在一千年后才被打破.若已知兀的近似值還可以表示成4sin52。,

兀，16-兀2

則§的值約為（

cos43.5°+sin43.5°-

4

1

A.-32B.——C.32D.

3232

6.已知函數(shù)/（x）=2sin（s+o“0>O,網(wǎng)的部分圖象如圖所示，若/,8,C是直線了=機與函

數(shù)/（尤）圖象的從左至右相鄰的三個交點，且/8=23C,則實數(shù)加=（）

7.已知正四棱錐尸的底面邊長為2,高為百，則其內(nèi)切球半徑是（）

8.如圖，設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成6角的兩條數(shù)軸，］,［分別是與x軸、y軸正方向同向的

單位向量，若向量。尸=xq+ye2,則把有序數(shù)對（x,y）叫做向量而在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，則該

坐標(biāo)系中M（龍”%）和N（%,%）兩點間的距離為（）

22

A.A/(x1-x2)+(^1-y2)-2(x1-x2)(y1-j;2)sin6?

B.J(x「x2)2+(%-%丫+2(尤］-X2)(%-%)sin。

22

C.^(jc1-x2)+(j1-y2)-2(x1-x2)(j1-^2)cos6?

D--%)?+(必一%『+2(再一%)?-%)cos。

二、多選題（每小題6分共計18分）

9.已知復(fù)數(shù)4/2,則下列命題一定成立的有（）

A.右匕i+Zzk。，則4=—z?B.右團=閡，則z；=z；

C.匕修卜上修[D.（Z]+Z2）2=（Z]+Z2）2

10.已知復(fù)數(shù)z=5-4i,以下說法正確的是（）

A.z的實部是5

B.|z|=V41

C.z=5+4i

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限

11.已知V/BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是（）.

A.若sin4>sin8,則/>B

B.若/+°2>，，則V/3C為銳角三角形

C.若acos/=bcos3,貝iJVN2C為等腰三角形

D.若b=2,A=~,這樣的三角形有兩解，則。的取值范圍為（省,2）

三、填空題（每小題5分，共計15分）

12.已知2=（1,2）,3=（1,1）,且￡與G+2B的夾角為銳角，則實數(shù)九的取值范圍是.

13.已知幕函數(shù)/（x）=（―-加-2卜-2在（0,+句上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是

14.鄭州二七塔是為了紀(jì)念二七大罷工而修建，是中國建筑獨特的仿古聯(lián)體雙塔，小米同學(xué)為了

測量二七塔的塔高9,在塔底所在的水平面內(nèi)取點A,測得塔頂?shù)难鼋菫椤?，前進130米后到達

B點,測得塔頂?shù)难鼋菫?6,再前進5罟20米后到達C點，測得塔頂?shù)难鼋菫?6,則塔高產(chǎn)8=

米參考數(shù)據(jù)：岳。3.87,最終結(jié)果保留整數(shù)，即結(jié)果精確到1m）

15.（13分）

已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx-6cos2x+■

(1)求函數(shù)y=/(無)的解析式，并求其圖象的對稱軸方程;

⑵求函數(shù)/⑺在[0,可上的單調(diào)遞增區(qū)間.

16.(15分)

已知復(fù)數(shù)Z=bi(b^R),「是實數(shù)，i是虛數(shù)單位.

1+1

⑴求目的值；

⑵若復(fù)數(shù)(m+z)2所表示的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍.

17.(17分)

如圖，在四棱錐尸中，底面48CD為直角梯形，ZADC=ZBCD=90°,BC=\,CO=百,

PD=2,ZPDA=60°,NPAD=30°,且平面PAD1平面ABCD,在平面ABCD內(nèi)過B作80_LNO,

交AD于O,連PO.

(1)求證：PO_L平面48CD；

(2)在線段PA上存在一點W,使直線BM與平面PAD所成的角的正弦值為名夕，求PM的長.

7

18.(15分)

—,,"__,._L.A?,,1、_L八rtt、r,r。+ccosA+COSC

已知V/BC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為“、b、c,且丁丁=「~「丁.

2abca+c-b

⑴求8;

(2)設(shè)。為/C的中點，6=2；求：①V48c面積的最大值；②AD的最大值.

19.(17分)

\x'=ax+by?

在平面直角坐標(biāo)系xQy中，利用公式，；①(其中a,b,C,d為常數(shù))，將點尸(x,y)變換

[y=cx+dy

為點P'(x'/')的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由a,

abab

b,c,d組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文

dd

jr

⑴在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點尸（3,4）繞原點0按逆時針旋轉(zhuǎn);得到點P（到原點距離不變）,

求點P的坐標(biāo);

⑵如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點尸（x,y）繞原點O按逆時針旋轉(zhuǎn)a角得到點尸‘（X'/'）（到

原點距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對應(yīng)的二階矩陣;

X

⑶向量麗=（無/）稱為行向量形式,

也可以寫成,這種形式的向量稱為列向量，線性變換坐

bx

d^y）,則稱【刃是二階矩陣1°

標(biāo)公式①可以表示為:力與向量I刈的乘積，設(shè)A

是一個二階矩陣，碗是平面上的任意單位向量，：是平面上與前不垂直的向量，且石與工夾角為6,

滿足］=/蔡；當(dāng)?在前方向上的投影向量模長為1時，求矩陣A

數(shù)學(xué)答案

1.C

【分析】利用象限角的定義直接求解.

【詳解】???￥=〃+￡,

33

???4三7r是第三象限角，

故選C

本題考查角所在象限的判斷，考查象限角的定義等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力與計算能力，是基

礎(chǔ)題.

2.C

正方形中根據(jù)向量的加法法則|刀+力|=|狗，即可得解.

【詳解】由題正方形/8C。的邊長為1,根據(jù)向量加法法則，

|ZB+ZD|=|^C|=V2.

故選：c

此題考查向量加法的平行四邊形法則，根據(jù)加法法則求出向量之和，再求模長.

3.A

【分析】利用正弦函數(shù)的定義及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】由得sina=sin〃；

27r

反之，取口=§,￡=彳滿足$也￡=$也/?,而aw夕，

所以“a=〃”是“sine=sin〃”的充分而不必要條件.

故選：A

4.B

【分析】設(shè)潑=彳潴，根據(jù)平面向量的線性運算，結(jié)合平面向量的基本定理求解即可

【詳解】解：依題意設(shè)潑=2費，

uuuruuwuuiruuruuur/uuruur(uuuriu曲

貝IJTW=M4+/N=—加/B+=4AD—ABI,

uuruuuriuuruum_-—2”

BP-mAB+nAD=~-AAB+AAD,所以＜OT=2,故一=2；

2,m

故選：B.

5.C

【分析】將兀=4sin52。代入4一。.4一。3,結(jié)合三角恒等變換化簡可得結(jié)果.

XS°_1_ci2＞0_

[詳解]將兀=4sin52。代入―77^―3，

兀J16-兀2

r

cos*43.5°+sin43.5°--

4

4sin52°-4cos52°

l+cos7°cos7°3

24

8sin104。

-COS270--

24

8sin104。

-(l+cosl4°)--

44

8cosl4°

1-------=32

—cosl4°

4

故選：C.

6.D

【分析】根據(jù)圖象求出9，。，得〃x)=2sin(2x+。!，分類討論,

函數(shù)的對稱性求出盯，根據(jù)機=/(乙)計算即可.

【詳解】由/'⑴的部分圖象知，子=修==+，解得？=兀，

27r7Tjrjr

所以。=——=2,又2x—+0=—+2左兀,解得夕=—+2左兀,左￡Z,

T626

因為|。|＜彳，所以夕所以/(x)=2sin[2x+j].

26\6/

若冽＜0,不妨設(shè)45。的位置如圖1所示，則/。=%-/=兀，

圖1

227171

又AB=2BC,所以AB=—AC=—TI=x—x,又x+x=2x—=—,

33BABA63

所以X/=-^^>m=/(x/1)=/(-^)=2sin(-2x^+^)=-l；

6666

所以點噌,0)是〃尤)圖象與無軸的一個交點，即43關(guān)于直線三對稱,

得『XL2X.1，解得打=卜,

所以楣=/(%)=/([)=2sin(2xq+1)=l.

336

綜上，m=+l.

故選：D

7.D

【分析】根據(jù)正四棱錐的軸截面，轉(zhuǎn)化成等腰三角形的內(nèi)切圓問題，轉(zhuǎn)化為直角三角形，運用勾

股定理解出內(nèi)切球半徑.

【詳解】

設(shè)正四棱錐內(nèi)切球球心為。，其在底面/BCD的投影為。'，則尸、O、。三點共線，內(nèi)切球半徑

為r,取48中點E,CO中點尸，則正四棱錐尸-4BCD內(nèi)切球半徑即為！PE廠的內(nèi)切圓半徑，

因為底面邊長為2,所以所=2'?！?/p>

因為高為百，即PO'=G，則尸E=尸尸=2,

所以。尸=OP=P。一。。=V3-r,

在必AOO￡中，。，。2+（7產(chǎn)=O尸即/=解得廠=?,

故選：D.

8.D

【分析】由題意可得的=Xle1+y^,ON=+再利用向量減法運算法則以及向量數(shù)量積的

運算法則求解即可.

【詳解】因為該坐標(biāo)系中/（匹,乃）和

所以O(shè)M=再6+必e2,ON=々6+%，2，

則=（工2-西）。+（%-%）6,

222

=yj(x2-xl)+(y2-yi)e2+2(x2-xl)(y2-yl)el-e2

-七)2同2+(%一弘)2同2+2(/_%)(%一弘)同.同cose

=xx2x22X2

y(i~2)l+(j/i~y2)1+2-x2)^1-y2)<klxo

=J(%i一+(乂-%y+N再一々)(乂一%)co0

即該坐標(biāo)系中屈(再,必)和N(%,%)兩點間的距離為：

j(再一'2『+(必一>2Y+2(再一%)Q1一%上。56

故選：D.

9.AC

【分析】根據(jù)共甄復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的四則運算，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算及性質(zhì)，逐項判斷即可.

【詳解】^zi=a+lA,z2=c+(A{a,b,c,dGR),則％=。一例心=c—di.

對于A：zx+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i,

若14+z2|=0,貝ija+c=0,6+d=0,

所以4+Z2=Q-歷+c-di=(〃+c)-(6+d)i=0,即4=-z2,故A一定成立；

222

對于B：I=^a+b\\z21=^c+d,若匕卜㈤，則/+/=/+/①，

z；=a2+2abi+(bi)2=a2-b2+2abi,同理z；=(?一屋+2cdi,

若z；=z；,則需滿足/—〃=02—/且"二%與①式不同，故B不一定成立；

選項C：歸勾=|(〃+藥)(。+町=|(ac-bd)+(Qd+Z)c)i|=^ac-bd^+^ad+bc^，

\ziz^==|(ac-bd)-^ad+b^ac-b^+ad+臂,

所以匕必2Hzi司,故C一定成立；

2222

選項D：卜1+z2)=[(a+c)+(6+t/)i]=(a+c)-(b+d)+2(〃+c)(6+d)i②，

222

(4+Z2)=[(6z+c)-(/?+6?)i]=(a+c)-(Z?+t/)-2(tz+c)(/?+6?i),與②式不同，故D不一定成

立.

故選：AC

10.ABC

【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)的實部、模、共軌復(fù)數(shù)及復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點依次判斷ABCD.

【詳解】對于A,復(fù)數(shù)？=5-4i的實部是5,A正確；

對于B,|z|=+(-4)2=，B正確；

對于C,7=5+4i,C正確；

對于D,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(5,T)在第四象限，D錯誤.

故選：ABC

11.AD

【分析】利用正弦定理判斷A、D,利用余弦定理判斷B,利用正弦定理將邊化角，再由二倍角公

式判斷C.

【詳解】對于A,因為sin/>sin8,由正弦定理可得a>6,所以/>8,故A正確；

對于B,由余弦定理cosC="+"-c'>0，可知C為銳角，

2ab

但是無法判斷角A和角B是否為銳角，所以無法判斷V45C是否為銳角三角形，故B錯誤；

對于C,因為〃cosZ=bcosB,所以sin/cosZ=sin5cos5,即sin224=sin25,

又43e(0,兀),所以24,28e(O,2兀)，所以2N=23或2/+28=兀，

7T

即/=8或/+8=彳，即V/8C為等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；

對于D,因為三角形有兩解，所以6sin4<a<b,即2x*=6<a<2,即。的取值范圍為(后2),

故D正確.

故選：AD.

12.A>--_a/^0

3

【分析】根據(jù)々與1+二的夾角為銳角，由,卡+篇)>0,且￡與1+痛不共線解不等式求解.

【詳解】因為3=(1,2)石=(1,1),

所以1+焉=(1+2,2+2),

因為￡與)+45的夾角為銳角，

所以濟伍+4)>0,且Z與a+痛不共線，

所以1+%+2(2+丸)>0,且2(1+?1)w2+%,

解得2>號且彳40.

故;且X40.

13.3

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義求得加，再由單調(diào)性確定最終結(jié)論.

【詳解】由題意加2-2機一2=1,解得加=-1或加=3，=一1時，/'（工）=廣|在（0,+<?）上遞減，m=3

時，/（尤）=/在（0,小）上遞增，所以加=3.

故3.

14.63

【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合和差角公式即可求解.

【詳解】在V/8C中，PB=AB=13Q,

在△PBC中，由正弦定理得:

PBBCPBsin30sin（20+0）sin20cos￡±cos2^in￡=2130_

--------------=-------=>-----=---------=---------------520

sin（兀-36）sin。BCsin。sin。

3—4sin/=?nsinO=!，由于6為銳角，故cosO=Y叵，

444

在RtZXPCH中，PH=FSsin26?=130x2x-x—=^^?；63,

444

故63

15.（l）〃x）=sin（2x-3,對稱軸方程為x=j|+gReZ）；

「八5兀］/11兀

（2）0,—和——,71

_】/」|_1Z_

【分析】⑴直接對/（X）的表達式進行三角恒等變換即可求出解析式〃x）=sin（2x-［,進而

得到其圖象的對稱軸方程；

（2）先考慮sinx的單調(diào)遞增區(qū)間，然后令2x-1屬于該區(qū)間即可解得「（X）的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】（1）

f(x)=sinx-cosx-\5^cos2x+^-=^sin2x-^-(2cos2x-l卜1in2x—且os2x=sin

v7222rr22

由2、一三二］+左兀（左wZ）,角犁得％=W+$（左￡Z）；

所以，函數(shù)了=/(x)圖象的對稱軸方程為x=!|+g化eZ)；

(2)當(dāng)xe［O,兀］時，有2xje-py,要使/'(x)單調(diào)遞增，

兀兀,兀_^3兀,5兀，5兀

則需要一^—<2x-—<—,

解得OVx0,或粵(』；

1212

故函數(shù)/(x)在［0,可上的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1|和皆，兀.

16.(1)2

⑵(-%-2)

【分析】(1)運用復(fù)數(shù)四則運算可得:2=二+胃1,結(jié)合復(fù)數(shù)為實數(shù)的定義即可求得6,進

1+122

而可求得復(fù)數(shù)模.

(2)化簡(加+z)2,結(jié)合復(fù)數(shù)幾何意義即可求得結(jié)果.

z—2_bi—2_3i_2)(l_i)_3—2)+(6+2)i_b—2b+2.

【詳尚軍】(1)因為z=bi(6eR),所以

I+7-1+i-(l+i)(l-i)2~^22~2

又因為:2是實數(shù)，

所以處2=0,即6=-2,

2

所以z=-2i，

所以|z|=2.

(2)由(1)知，z=—2i,

所以(冽+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi,

又因為復(fù)數(shù)(%+Z)2所表示的點在第一象限,

m2-4>0

所以解得m<-2,

-4m>0

故次的取值范圍為

17.(1)見解析

⑵B

2

【分析】(1)由已知四邊形80DC為矩形,證明PO_L4D,由條件根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明尸。1

平面ABCD；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)五江=2萬，求兩，利用向量方法求直線即/與平面P/O所成的

角的正弦值，列方程求九

【詳解】（1）因為因為8C///D,ZADC=ZBCD=90°,

所以四邊形BODC為矩形，

在△PDO中，PD=2,DO=BC=1,ZPDA=60。,

則PO=yjPD~+OD--2PDODcos60°=6，

PO~+DO'=PD2,POLAD,

且平面PAD1平面ABCD,POu平面PAD

平面上40c平面/BCD=4D,

PO1平面ABCD；

（2）以。為原點，。/為x軸，02為y軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

PO=V3)/.PAD=30°,可得/。=3,

則0(0,0,0),/(3,0,0),尸(o,o,G),2(0,石,0),c(-i,Ao),

設(shè)疝=4萬（0W4VI）,則血=加+商=（3,-行,0）+213,0,6卜（3-32-5M）,

又平面尸4D的法向量為赤=（0,6,0b

__________3

直線BM與平面PAD所成的角的正弦值為V3X^(3-3A)2+3+322

解得2=3,.-.PM=-AP=-yJPO2+OA2=—.

4442

71

18.(1)5=-

⑵①5②收

【分析】（1）由余弦定理、正弦定理結(jié)合兩角差的正弦公式可得出宙11（/-8）=5由（8-C）,結(jié)合

A-B,B-C的取值范圍可得出/-5、3-C的關(guān)系，由此可得出角B的值；

（2）①由余弦定理結(jié)合基本不等式可求得碇的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式即可求得VN8C

面積的最大值；

②由平面向量的線性運算可得出2品=涓+淺，由平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出

4BD2=a2+c2+ac,由余弦定理可得出/+/一b=4,可得出/十^、公的表達式，結(jié)合基本

不等式可得出關(guān)于BD的不等式，由此可解得BD的最大值.

【詳解】（1）由余弦定理可得cos8,所以，a2+c2-b2=2accosB,

2ac

a+ccos4+cosC,日Q+CCOS+COSC由目a+ccos4+cosC

由得丁丁=一;.....-＞整理可得

222

2abca+c-b2abc2QCCOS6bcos5

sin/+sinCcosA+cosC

由正弦定理可得

sin5cos5

BPsinAcos5+sinCcosB=cos4sinB+sinBcosC，

所以，sin4cosB-cos/sin8=sinBcosC-cos3sinC,

所以，sin(^4-5)=sin(5-C),

因為A、B、Ce（O,7t）,所以，A-B、A-C.S-Ce（-7t,7t）,有如下幾種情況:

（4—B）+（5—C）=—兀，即/—C=一兀，矛盾；

（4—3）+（B—c）=兀，即/—C=兀，矛盾；

,7T

A—B=B-C,可得2B=A+C=Ti—B,解得B=—.

3

（2）①由余弦定理、基本不等式可得〃=Q2+-2QCCOS/=Q2+一QC22QC-QC=QC，

即QC<4,當(dāng)且僅當(dāng)。=。=2時，等號成立，

所以，=—acsinB=^~ac<^~x4=

會c244

故VABC面積的最大值為V3;

②因為。為邊/C的中點，貝=詼，^BD-BA=Jc-RD，

UULUL1ULLlUUl

所以，2BD=BA+BC，

以，4BD=BA+BC+2,BA,BC=3+d+2CQCOS-=d+d+Q(,

3

又因為力+。2-4。=/=4，

所以，a2+c2=A+ac,48。2=4+2統(tǒng)由①知

可得451)2V12，解得

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時，等號成立，故BO的最大值為百.

[x'-xcostz-ysinct(cosa-sina)

(2),.

[y=xsinct+ycosa(smacosa)

(3)答案見解析.

【分析】(1)設(shè)以坐標(biāo)系原點。為頂點，x軸正半軸為始邊，終邊過點尸(3,4)的角為。，由題可

得口1尸0回5,+3，留?就,+胃],代入數(shù)據(jù)可得答案；

(2)設(shè)以坐標(biāo)系原點。為頂點，x軸正半軸為始邊，終邊過點尸(x,y)的角為6,由題可得

P(|Pacos(8+c),|PObin(8+a)),化簡后可得答案.

(3)注意到同=豆)，然后分順時針，逆時針兩種旋轉(zhuǎn)方向結(jié)合(2)中結(jié)論可得答案.

UUo(7

【詳解】(1)由題，設(shè)以坐標(biāo)系原點0為頂點，X軸正半軸為始邊，終邊過點尸(3,4)的角為巴

則|尸O|=5,cos6=1,sine=g,

將點P(3,4)繞原點0按逆時針旋轉(zhuǎn);得到點P,

7T

則以坐標(biāo)系原點為頂點，X軸正半軸為始邊，終邊過點P的角為

則點P的橫坐標(biāo)為|尸。廚0+9=5乂[2-34]=上孕，

+L叫<(413614+36

縱坐標(biāo)為1Pqs6>+-=5x-x-+-x—=--——.

’3-464+3同

故點尸'坐標(biāo)為:

22J

（2）由題，設(shè)以坐標(biāo)系原點。為頂點，X軸正半軸為始邊，終邊過點P（x,y）的角為6,則

+/'C°s0=,=-,sin0=—r====

yjx2+y2y]x2+y2

將點P繞原點O按逆時針旋轉(zhuǎn)。得到點尸'（x',V）

則以坐標(biāo)系原點為頂點，x軸正半軸為始邊，終邊過點P的角為e+c,

/\

貝ijx'=|PO|cos(e+a)Xcosa-/」sina=xcosa-ysinc,

U^2+/6+v