2024-2025學年度高一第二學期期中考試

數(shù)學黃題

（考試時間120分鐘試卷滿分150分）

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.復數(shù)z滿足，則-的虛部為（）

A.B.TC.-iD.1

【答案】B

【解析】

【分析】利用復數(shù)的除法運算求出二，進而求出其共輾的虛部.

1+i（1+i）（l+i）2i._

【詳解】衣題意，:一i,

所以G的虛部為一L

故選：B

2.已知向量a=W&iJ'l-LL則兩向量之間的夾角,為（）

nnnIn

A6B.[C.5D.y

【答案】C

【解析】

【分析】利用平面向量的夾角公式求解.

【詳解】解：因為”=。""=卜1，網(wǎng)，

所以。?月=IX（-]|4-73XV3=2；

14=J1+（可=2,忖=/『+（可=2,

n_ab2_1

所以麗

因為04°，叱

兀

所以。Q=Q,

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故選：c

3.在.48C中，內(nèi)角上8,C的對邊分別為人兒，，已知c=acos8,則.48。的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】在ABC中利用余弦定理化簡題干信息即可.

22?2

【詳解】在ABC中利用余弦定理，貝ik=acosB=a■"”一-,

lac

得/+「=T，則.48C為直角三角形.

故選：B

4.下列關于向量瓦月三，說法正確的是（）

A.若J"b,b〃',則-B.若.；卜二JF,則1i

C.若。J<0,貝壯與力,夾角為鈍角D.（3a+26p（3a-26）=9fl2-4b-

【答案】D

【解析】

【分析】對于A,當￡=。時d與0不一定共線；對于B,當i=Q時八不一定等于，：；對于C,當

?兀時，滿足。不<0；對于D,根據(jù)向量的運算性質(zhì)即可判斷.

【詳解】對于A,當不二。時，滿足力力石但「與5不一定共線，故A錯誤；

對于B,當6=（I時，J=a.r=（I,但6不一定等于0,故B錯誤；

對于C,當?瓦萬?兀時，滿足。6<（I,此時d與6夾角不是鈍角，故C錯誤；

對于口，根據(jù)向量的運算性質(zhì)可知楫+2/>][3”2修=9片-4小，故D正確.

故選：D.

5.已知函數(shù)〃*）=COCX-8CO$JT,則/（x）的值域為（）

A.I--工)B.|-?.+8)C.[-7,9]D.卜9,9]

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【答案】c

【解析】

分析】利用二倍角公式化簡函數(shù)/（X）,再利用余弦函數(shù)及二次函數(shù)求出值域.

【詳解】函數(shù)/（1）=28S?x—8cosr—1=2（cosx-2『-9，而-I4cos.r41,

則當cosu1時，有/III,,=；當COSK=1時，有〃X）,N=9,

所以/（D的值域為[-7,9）.

故選：C

6.如圖，在矩形48c。中，48=3.JD=均為邊長2的等邊三角形，p為六邊形

ABECDF邊上的動點（含端點），貝（后.丁。的取值范圍為（）

A.（-6,15]B.[-3V3,9+3>/3]C.[一6.9+3力]D.[-3>/3,15]

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，求出77在行方向上投影的數(shù)量，再利用數(shù)量積的定義求出范圍.

【詳解】令一行在」B方向上投影的數(shù)量為；.，

當點P在線段48上時，04143；當點P在線段住上（不含點8）時，3<2W3+G；

當點P在線段4/,?上（不含點A）時，-V3<A<0>

則當點P在折線/F8E上時，VT<；,<3.VT，

同理當點p在折線FDCE上時，

因此點p為六邊形48ECOF邊上運動時，43?石，

于是行?=入|萬|=3Ae[-373.9+3V3J-

所以行.行的取值范圍為[一16,9+3力卜

故選：B

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7.已知cosa+cos。=VT,sina+sin0=——，貝ijcos(2a-2。)=()

171V15

A.-B.C.一7D.--

o844

【答案】A

【解析】

【分析】分別平方后相加即可求co§(aP\,再用二倍角公式求解即可.

、、「8

【詳解】vcosa-cos/=J3,sina+sin/J二、一，

:.cos%+2cosacos/3+cos'p=3①

sin2a+2sinasin^?sin，。=:②

①+②得：2f2(cosacos/?+sinasin/?)=；，

???COS(Q-0|=[,

4

9]

..cos(2a-2。)=2cos2(a--1=2x-----1=-,

168

故選：A

8.在.48C中，角L8,C的對邊分別為J8C的面積為,且滿足條件,

3

。為，4C邊上一點，08一.4848=2.8O=JL則8c的邊長為()

A.2B.73C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理及三角形面積公式求出B,再利用直角三角形邊角關系及差角的正弦、

正弦定理求解.

【詳解】在.48C中，由/--4Ws及余弦定理、面積公式得:

3

2K

laccosB=--j=-acs'\nB,則tan8=—75,而0<8<it,故8=

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在AABD中,DBLAB.AB=2.BD=s/3,

sinJ=^,cos/42

貝。=

1,4J7,F

WM-加避cos/」而機亙

ABC中,

3222V72>/72x/7

.2X—'psr

??48sin4J7.

由正弦定理得BC=.=-4一=4.

sinCV3

訪

故選：D

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數(shù)：=("J+m-6)+(，n-2|i,其中，”為實數(shù)，為虛數(shù)單位，則()

A.若二為純虛數(shù)，則加=2或-3

B.若復平面內(nèi)表示復數(shù)二的點位于第四象限，則川＜3

C.若M=3,則:，M=36?

D.若二="i(aeR,貝1|目=折

【答案】BD

【解析】

【分析】由純虛數(shù)的定義，求出，〃的值，即可判斷A；由復數(shù)表示的點所在象限，求出，〃的范圍，即可判

斷B；由題意求得二=6+i,二=6-i,求出二?亍的值，即可判斷C；由題意可得二，-4-i,再求出日，即

可判斷D.

【詳解】對于A,因為二為純虛數(shù),

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\nr+ni-6=0

所以〈、c，解得而=-3,故A錯誤;

〃L2wO

對于B,因為復平面內(nèi)表示復數(shù)二的點位于第四象限,

|nr+/H-6>0

所以i.，解得m<3,故B正確；

zn-2<A0

對于C,當加=3時，1=6+i,二=6-i,

所以二,：=36一：=37，故C錯誤;

對于D,因二=a1,

所以m,2=I,解得附=I,所以>-4-1,

所以二=V4），（-=后,故D正確.

故選：BD.

10.如圖，在矩形4BC0中，=8,4。=3,點P滿足萬戶=；DC,其中，e[0.）,設

西=瓦麗=方，則下列說法正確的有（）

B."4[2后,10]

D.abe[7,9]

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算逐項求解判斷.

【詳解】在矩形乂8（、。中，以點。為原點，射線。C.D4分別為軸非負半軸建立平面直角坐標系,

則。圈。）.（（1川鼠3）,設。出0）,由而=[配,得x=8A,

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3_____

由入得X€[0,6),a=PA=(-x,3),b=PB=(8-x,3),

4

對于AB,a+b=(8-2.r,6),|a+|=2^(4-x):+9e[6,10],A正確，B錯誤；

對于CD,ci,b=x~-8.v+9=(.t—4)'—7€(—7.9],C錯誤，D正確.

故選：AD

11.尺規(guī)作圖是一種傳統(tǒng)的幾何作圖方法，這種方法僅使用無刻度直尺和圓規(guī)這兩種工具，通過有限次的操

作步驟完成幾何圖形的構造.已知.48C中，//=3。，8c=7,48=10,現(xiàn)需用尺規(guī)作圖作出該三角形,

下列說法正確的有()

A,可以作出兩個不同的三角形

B.作出的三角形中沒有銳角三角形

C.作出的三角形中，三角形的面積不變

D.作出的三角形中，/C可能為銳角，也可能為鈍角

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理確定三角形的個數(shù)，再逐項判斷.

,48sinJ_5

【詳解】在.48C中，NZ=3(y,8C'=7"8=10,由正弦定理得sinC

BC-7

由8c3,得>7，由*式<理，得3。<

C<150,

因此可以作出兩個不同的三角形，可能為銳角，也可能為鈍角，AD正確;

當30<C<60時，8>9。，是鈍角三角形；當HO<C<150時，48。是鈍角三角形，B

正確;

當30,<C<6。時，.4C>48=10；當120<C<150時，4C<48=10,

15

ABC的面積=5/8TCsin/=f/C有兩個不同值，C錯誤.

故選：ABD

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量「=貝i|d在，上的投影向量的坐標為.

【答案】

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【解析】

【分析】先求出B=2,再由投影向量的坐標表示求出即可.

【詳解】由題意可得M7

d在卜上的投影向量為

所以d在卜上的投影向量的坐標為

(VI3、

故答案為:

〔7W

2sinacosa

13.己知tana=2,則

cos4a-sin,a

【答案］一弓##"；

【解析】

【分析】利用平方關系及正余弦齊次式法求得目標值.

2sinacosa2sinacosa2tana4

【詳解】由【ana=2,得.~.。、"”“二力一；—=一:

cosa-sina(cosa+sina)(cosa-sma)1-tana3

故答案為：-：

14.在ABC41,。是8C邊上靠近8的四等分點，過點。的直線分別交直線48,4('于不同的兩點“''

,設赤二用而,前二〃赤，其中加>0.〃>0,則In屑Mnq的最大值為.

【答案】嗎

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件可得而='乂?+!左，再利用共線向量定理的推論及基本不等式求出最大值.

44

—1——3—I—

【詳解】在.48。中，由。是8c邊上靠近8的四等分點，得B0=?BC,則/。=：.48+二」。，

444

而AB=mAM,AC="AN,則.4。=—AM+—IX,由".。\共線，得——+—=1,

4444

又m>O.?>0,因此|=加■+2>2,1^--=，當且僅當￥>=?=:時取等號，

44V442442

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因止匕j,In///iInn=Inmn<Inj,

24

所以當，〃=：,〃=2時，In例?In/r取得最大值InQ.

3J

故答案為：In,

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知向量五〃滿足同=4,忖=2,a與卜的夾角為二

(1)求k-可；

(2)當［為何值時，向量點+1b與-h垂直?

【答案】(1)2、5；

(2)A=-

10

【解析】

【分析】(1)利用數(shù)量積的定義求出；i,再利用數(shù)量積的運算律求出模.

(2)利用垂直關系的向量表示列式，再利用數(shù)量積的運算律求解.

【小問1詳解】

?.27r

由同=4小卜2.a與卜的夾角為二、,得〃,方=4x2cos—=-4

所以舊-61=Jr+后-2限6=74：+22-2x(-4)=26.

【小問2詳解】

由向量"川與底+E垂直,得(3■+辦3+加3丁+(2；1+3)方$+25

=48Z-4(2；,+3)+8=0,解得,

10

、1--

所以當入=歷時，向量35+2八與］一?力垂直.

16.已知向量而=(25m5,2=(coS］,sin-5),函數(shù)/(x)=而?萬-JJ.

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(1)求函數(shù)/(X)的周期，最大值，最小值；

(2)若/⑴=I,求sin(2x--)的值.

6

【答案】(1)周期卻兀，最大值為2,最小值為2；

(2)；,

【解析】

【分析】(1)利用數(shù)量積的坐標表示求出./(X),再利用二倍角公式及輔助角公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性

質(zhì)求解.

(2)由(1)求得sin。-：)=：,再利用誘導公式及二倍角的余弦公式求解.

【小問1詳解】

向量而=(2sin一.2y/i).萬=(cos-,sin*),

?22

貝|]/(.v)=2sin|-cosy+2>/3sin:y-6=sinx->/3cosx=2sin(x—),

所以函數(shù)的周期為2兀，最大值為2,最小值為-2.

【小問2詳解】

由，7,得sin(x-；)=|,

所以sin(2.v--)=cos[(2.r=cos2(.r--)=1-2sin;(.r--)=—.

662332

17.在.48。中，角LB,C的對邊分別為"A。，已知cos/8/C=，。=而.

4

(1)若c=2,求角C；

(2)若/64C的平分線與邊8(：交于點。，且80=20(、，求.48C的面積.

兀

【答案】(1)%

⑵辿

16

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)條件限制出-84C的范圍，并求出sin/8.4C,然后在.48C中利用正弦定理即可;

(2)先證明角平分線定理并得出。=23,,再利用余弦定理得出小的值，即可利用面積公式求解.

【小問1詳解】

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因cosN84C=—<—,且N8/Ce(0,x),

42

則:且sin/84C=—

U2)4

ac7152]

在J8C中利用正弦定理得，=即7n"=嬴7,得sinC=7，

sinAsin(__2

4

因Ce(O,兀I,則C="或C=乎，

66

若c=如，則N84C+/4C8>x,不符合題意；若C=:貝U/8.4C+/.4C8

66

故C=￡.

O

【小問2詳解】

因是.48C的角平分線，且80=2DC,

con一'c-AD-s\nZ.BAD

5人“”DU7

則一^=—7=-7----------------則c二2八，

S&ADCDCL.b，ADsinZCADb

2

在ABC中利用余弦定理得，cos/BAC=I"-。-=Sb--15=

2bc4/>24

得人半，則「岳,

則ABC的面積S=L6csinN8/C=Lx^xJiTx4iW=MI

222416

18.在.48C中，角L8.C的對邊分別為1M.y,8('為銳角三角形，已知/?=2且滿足條件

(j+b+c)(a-6-c)=3ac.

(1)求/8的大小；

(2)求3,取值范圍;

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(3)求48C的內(nèi)切圓半徑『的最大值.

【答案】(1)8=W；

，8,，

(2)(-.4];

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出8.

（2）利用正弦定理，結(jié)合和差角正余弦公式求出儀,的范圍.

（3）利用三角形面積公式可得『=（萬（"+C-2）,結(jié)合（2）中信息求出最大值即可.

【小問1詳解】

由（u+6+（）（u-A-<I=Juc,得u：+c：-b：=°r,

在銳角/BC中，由余弦定理得cos8=丁+廣一-=）,而0<6<:，

lac22

c兀

所以8=§.

【小問2詳解】

由（1）知，8=?,則/+C=§,令」+仇C=：-0,由銳角ABC,得

3^3366

a_c_ft_2_4j

由正弦定理得sin/-sinC一sin8-sin馬一耳'則。=/$而兒c=/sinC,

因止匕ac=—sin（—+0）sin（--0）=—（—^-cos0+—sin6）（—^-cosfl--sinfl）

33332222

163I..16.3.&.16.2A

=—（—cos2-o0—sin20x）=—（—sin*0）=4---sin*0,

344343

71八萬，1ZA11..1X16.">

由一一<0<一,得—vsinOv—,則04sin。<—,—<4---sin*844,

6622433

8小

所以迷?的取值范圍是（丁4].

【小問3詳解】

由（2）得"+c=^[sin（；+0）+sin（g-0）]=正,7Jcos9=4cos0€,

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又0：+/_6：則(a+c)2—4=3ac，由S=-(a+A+c)r=-acsinB,

/日―力acI3a(I更支a+I)

侍~2a+c+2-26a+c+2-2石

a+c+22<3

則當q+c=4,即。二c二2時，r

tnin3

所以ABC的內(nèi)切圓半徑，?的最大值

3

19.設OLO；是平面內(nèi)相交成。U'1<a<XI的兩條射線，分別是與。L。)同向的單位向量，定義平

面坐標系為a仿射坐標系，在a-仿射坐標系中，若。，=xq'+卜丐，則記OP=(x,yl.

(1)在a-仿射坐標系中

①若「=1，”,〃］,求|4；

②若5=(1,-2),5=(2,-lj且萬與6的夾角為三，求a；

(2)如圖所示，在巳-仿射坐標系中，8(分別在X軸、r軸正半軸上，且打1=2,點D、E、F分別為

4

OC.BD.BC的中點，求?￡.少尸的最大值.

［答案］(1)|=\jnr?Inincosan:;②/=§

⑵

4

【解析】

【分析】(1)①利用數(shù)量積的定義及運算律求出HI；②由cosa表示出舊|和林及1一再利用夾角公

式建立方程求解.

(2)設出點8.C的坐標，用表示O瓦O/7,利用數(shù)量積的運算律，結(jié)合正余弦定理及三角恒等變換

求出最大值.

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【小問1詳解】

①由「二("i,"I,得□=mg+ne?,

222

則方二(me[+ne2=me+2mnet-e2+ne2=m+2/n〃cosa+/，

所以二yjnr-Imncosa?n2；

②由a=(-1,2|,6=(-2,1)，即萬二—<1+2e2,b=-2et+e:，

得同+2x(-1)x2cosa+2:=yji-4cosa，

p|=+2x(-2)xlxcosa+I2=^5-4cosa,

_一一一一一2.2——

鼠h=(-e,+2e2)-(-2e}+e2)=2el+le2-5et-e2=4-5cosa,

由j與6的夾角為？，得cos四=GB_'c8a=~，得cosa=—，而0〈Q〈N，

3