江西省于都中學2024-2025學年高三下學期3月強化訓練一數(shù)

學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合&=｛小2-2X-3＜。｝,B=|y|y=lg(x2+1)|,貝l]AB=()

A.(-1,3)B.(TO]C.[0,3)D.(-oo,3)

?2?

2.設復數(shù)z=±1,則z的虛部是（)

-1-1

A.-1B.1C.-iD.i

3.已知向量a=(O,l),6=(x,2),若b//(6+4a),則了=()

A.-1B.0C.D.2

；貝！()

4.已矢口sina+cos,,cosa-sin6=-,JCOS2Q-277=()

7

A.B._2_

32~32

57395739

C.D.

32-~32-

5.某圓錐母線長為1,其側面積與軸截面面積的比值為2兀，則該圓錐體積為()

3_n71

A.B.C.D.

~8~8~T~~24

〃-2”,%W0

6.已知函數(shù)〃x）=<〔m（x+i）,x>o是R上的增函數(shù)，且關于X的不等式/（a+/）N〃x）恒

成立，則實數(shù)。的取值范圍是（)

A.B.C.~4^4_D.

曲線y=sinx與>=2疝（2苫+e）的交點個數(shù)為（）

7.當工￡［。,2九］時，

A.3B.4C.5D.6

8.己知是定義在R上的奇函數(shù)，且“X）的一個周期為4,若

/（1）+/（2）+-+/（2026）=2,則〃1）=（）

A.0B.1C.2D.3

二、多選題

9.拋擲一枚質量均勻的骰子兩次.記事件A="第一次拋出的點數(shù)是:1"，事件3="兩次拋

出的點數(shù)不同"，事件C="兩次拋出的點數(shù)之和是8"，事件D="兩次拋出的點數(shù)之和7”，

則()

2

A.A與。相互獨立B.8與。相互獨立C.P(C|B)=—

D-F(CID)=1

10.已知函數(shù)y(x)=ln亍一+ax+b(x-V)3,則()

A.函數(shù)的定義域為(0,2)

B.當“=0力=。時，函數(shù)/(x)在定義域上單調遞增

C.曲線y=〃尤)是中心對稱圖形

D.若6=0,且1(力20,。的最小值是0

11.已知曲線(？：尤岡-?=1,尸(%,%)為C上一點，則以下說法正確的有()

A.存在點使得2%-%=-1

B.忤。-%+碼的取值范圍為(后2四+新］

C.若|21-%+時+|2/一%+司的值與%,%無關,且根＞0,”＜。，則”取值范圍為

2\/2J

D.若|2%-%+向+|2%一%+同的值與%,%無關，則其最小值為2夜.

三、填空題

12.已知直線/：y—履一2=0與圓c：f一2x+/=0相交，則實數(shù)上的取值范圍為.

13.已知曲線/(x)=21nx-l在點(1J⑴)處的切線也是曲線＞=爐+辦的切線，則。=

14.一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球，其中紅球、黃球、黑球各1只.現(xiàn)從口

袋中先后有放回地取球2“次(”eN*),且每次取1只球，X表示2〃次取球中取到紅球的次

試卷第2頁，共4頁

數(shù)，當x為奇數(shù)時，y=x；當X為偶數(shù)時，y=0,則X的數(shù)學期望為（用”表示）,

y的數(shù)學期望為（用"表示）.

四、解答題

15.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,6,c,且滿足》cosC+csin3=0.

（I）求角C的大小；

（II）若a=?,b=M，線段BC的中垂線交AB于點。，求線段30的長.

16.已知雙曲線C:1-/l（a>0,6>0）,離心率6=冬點P（岔在雙曲線上

⑴求雙曲線C的標準方程；

⑵點用，鳥分別是雙曲線C的左右焦點，過點F2的直線/與雙曲線的右支交于A,3兩點，若

A3G的周長為12,求直線/的方程.

17.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PAL平面ABC。，PA=2,底面ABCD為直角梯形，

ZBAD=90°,AB=2,CD=AD=1,N是尸3的中點，點〃，。分別在線段尸￡）與AP上,

S.DM=AMP,AQ=^QP.

18.己知函數(shù)〃%）=（%一1戶-加一1,aeR.

⑴當°=0時，求函數(shù)〃尤）的圖象在點（L〃l））處的切線方程；

（2）討論函數(shù)〃x）的單調性；

⑶設g（x）=lnx-e￡-x?+x,若〃x）2g（x）,求實數(shù)。的取值范圍.

19.若無窮數(shù)列｛4｝滿足：對于TwcN*,仄-風=人,其中A為常數(shù)，則稱數(shù)列｛〃"｝為

“A數(shù)列

⑴若等比數(shù)列出｝為“A數(shù)列"，求｛bn｝的公比q.

(2)若數(shù)列｛%｝為“A數(shù)列”，且4=1,4=1.

〃17

①求證：

a

1=1i今

〃1

②若c：=M，且｛q｝是正項數(shù)列‘S"=￡一,求滿足不等式

C

z=li

21an+b-2<Sn<2\[cn-l^a,b,c,〃￡N*)的abc的最小值.

試卷第4頁，共4頁

《江西省于都中學2024-2025學年高三下學期3月強化訓練一數(shù)學試題》參考答案

題號12345678910

答案CABABDBCACABC

題號11

答案BCD

1.C

【分析】分別求出集合A和8,然后，利用交集的運算可得答案.

【詳解】A={%|(x+1)(%-3)<0]=(-1,3),

故選：C

2.A

【分析】由i2=-l對式子化簡，然后根據(jù)復數(shù)的除法運算求解即可.

—i2+i1+i_(l+i)(-l-i)-2i.

【詳解】因為z=一口3”，

-1—1

所以z的虛部是—1.

故選：A.

3.B

【分析】求出b+4〃的坐標，再利用共線向量的坐標表示求得結果.

【詳解】向量〃Z?=(x,2),則b+4a=(羽6),

由人//(。+4〃)，得6%—2%=0,所以x=0.

故選：B

4.A

【分析】由sina+cosQ=，Z,cosa-sinQ=，兩邊平方相加得到sin(a-6)=一|＞再利

228

用二倍角的余弦公式求解.

【詳解】解：因為sina+cos4=1^cosa-sin/?=-g,

所以sin2a+2sinacos尸+cos2尸=—,cos2cr-2cos+sin2y0,

答案第1頁，共16頁

33

兩式相加得：2+2(sincrcosy0—coscrsin；0)=—,即2+2sin(a-分)=1,

化簡得sin(a

o

7

所以85(2Q_2分)=1_251112(1_￡)=魚，

故選：A

5.B

【分析】設出圓錐底面圓半徑，利用圓錐側面積公式及三角形面積公式列式計算即得.

“X1=2兀1

【詳解】設圓錐底面圓半徑為「，圓錐高為〃，依題意可得1、,,解得力

—x2rx/z2

該圓錐體積為:兀

3428

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調性可得出aWl,再由函數(shù)/(x)的單調性可得出“+/2巧結

合參變量分離法可得出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)g("=a—2T(xW0)與/2(x)=ln(x+l)(x>0)均是增函數(shù)，

所以，函數(shù)y=〃尤)是R上的增函數(shù)只需滿足g(O)(M。)，即a-1V0,解得aWl,

由+得4+/2巧即+；恒成立,

所以，當了=工時，函數(shù)y=/無+工取得最大值：，所以，a>i即ae,

22J44414」

因此，實數(shù)”的取值范圍是.

故選：D.

7.B

【分析】在同一坐標系下，作出兩個函數(shù)的圖像，即可得到答案.

【詳解】在同一個坐標系下，作出曲線>=$缶尤與y=2sin(2x+￡]在xe[0,2旭內的圖像,

答案第2頁，共16頁

由圖像可知，共有4個交點.

故選：B.

8.C

【分析】由奇偶性及周期先確定了(—2)=〃2)=0,進而得到〃1)+/(2)+〃3)+/(4)=0,

即可求解；

[詳解]由題故〃—2)=〃2)=0.又〃3)=〃-1)=—”1),

/(4)=/(0)=0,故/(1)+/(2)+/(3)+。(4)=0.

結合周期性可知〃1)+/(2)+…+/(2026)=

506[〃1)+〃2)+〃3)+〃4)[+〃1)+〃2)=〃1),

故"1)=2.

故選：C

9.AC

【分析】根據(jù)獨立事件的概率公式可判斷AB的正誤，根據(jù)條件概率的計算公式可求P(C|3),

從而可判斷C的正誤，根據(jù)互斥事件的概率公式可求P(C.D),故可判斷D的正誤.

【詳解】對于A,由題設有尸(A)=空=J,尸(。)=二=，，

6x666x66

P(AD)=-i-,故尸(AD)=P(A)P(0,故相互獨立，故A正確.

6x6

對于A,由題設有尸(8)=竺=3，P(BD)=U

6x666x66

故尸(即片2(3)尸(0,故民。不相互獨立，故B錯誤.

±

2

對于尸)篇

C,(C|2=L356-

15

6一

答案第3頁，共16頁

對于D,由題設C?；コ猓适–￡>）=P（C）+JP（D）=-^-+1=^,

6x6636

故D錯誤，

故選：AC.

10.ABC

【分析】利用對數(shù)函數(shù)定義域求法可得A正確，由復合型對數(shù)函數(shù)單調性可判斷B正確，

利用函數(shù)對稱性定義代入計算可得了a）+f（2-x）=2a,因此C正確，求導可得

廣（x）=碓=+再由基本不等式計算可得。+220即可，可判斷D錯誤.

【詳解】對于A,由函數(shù)解析式可得一二>。，解得0<x<2,因此函數(shù)f（%）的定義域為（0,2）,

顯然A正確；

對于B,當1=。,8=0時/（x）=ln—^-=lnx_ln（2_x）,

易知函數(shù)V=1似單調遞增，y=ln（2-x）單調遞減，所以函數(shù)〃x）在定義域上單調遞增，B

正確；

丫2—Y

對于C,令g（元）=111個—,g（2-x）=ln------,g（x）+g（2-x）=0,

2—xx

因此g（x）的圖象關于點（1,0）中心對稱，

易矢口/（力=8（力+口（％—1）+4+優(yōu)工一1）3滿足/（尤）+/'（2-尤）=24,

可得了（X）的圖象關于點（1,。）中心對稱，可得C正確；

對于D,%=0時，f[x）=\n—^—+ax,其中xe（0,2）,

2-x

112

則-（x）=（+—+“=I^+”'Xe（°，2），

因為x（2-x）W產二產：=1,當且僅當x=l時等號成立，

故了'OOmin=2+。，

而尸（x）20成立，故a+220,即?！?2,所以。的最小值為-2,即D錯誤.

故選：ABC.

11.BCD

【分析】首先對曲線進行化簡，分類討論點的位置判斷A,利用點到直線的距離公式結合余

答案第4頁，共16頁

弦函數(shù)的性質判斷B,利用平行線間的距離公式結合直線與橢圓的位置關系判斷C,D即可.

2V2

x2-----=1,x>0,y>0

4

2y2

【詳解】我們首先對曲線C的方程化簡，得到xH-----=1,x20,y<0,

4

—%2+=1,x<0,_y<0

2

對于A,若點尸在曲線C:/+上=l,(x>0,y<0)上時,

4

有其+3=1,此時不可能有=

2

當點尸在曲線C:x2-A=L(x20,y20)上時，曲線C的漸近線方程>=2尤,

2

當點尸在-爐+匕=1,(彳<0,y<0)上時，曲線C的漸近線方程y=2無，

如圖，因為直線2x-y=-l與漸近線方程y=2x平行,

則不存在點尸(%,%),使得2無。-%=-1,故A錯誤;

對于B,因為E-%+詞可看作尸(%,%)到

直線"-'+e=0的距離的括倍,

因為直線2x-y+百=0與y=2x平行，

且之間的距離為1,故［2無。-%+君|21,

2

由圖可知，當點「(%,%)在曲線C:/+Y=l,(x20,y<0)上時,

點P到直線2x-y+喬=0的距離有最大值，

設％=cos。,y=2sine,(cos6>0,sin6<0),

答案第5頁，共16頁

點P到直線2x-y+6=0的距離為|2c°se-2sin6>+6|_班cos["+/+?

下一非

結合余弦函數(shù)有界性可得一收。s：-4)+&120+詞,

A/5A/5

當且僅當cos(e+?j=l等號成立，即卜。-2%+叫<20+6,

則|2尤。-%+叫的取值范圍為(后20+何，故B正確.

對于C,設4:2%-y+根=0,4：2%-y+〃=0

?ic?icI/-f|2x-^+m|\2x-y+n\y

由|2x—y+T+|2x—y+"=’5-j=——L+J————J

得|2x-y+7771+|2x-y+”表示點P到直線l,和4的距離之和的百倍，

|2%-丫+時+|2%-丫+”的值與/,%無關，則該曲線在兩平行線乙和4之間，

當4：2彳7+"=。與曲線橢圓部分相切時,

\2x-y+n=0、(、、「「

聯(lián)立得422_4，且A=16〃2-32(/-4)=。'解得"=一2后或〃=20,

所以〃的范圍為卜8,-2形],故C正確；

對于D,當4為漸近線2x-y=0,，2為2無一〉+九=0

與曲線橢圓部分相切的直線2x-y-20=0時，

\2x-y+m\+\2x-y+n\的值最小，

由平行線間距離公式得2彳->=。與2x-y-20=O的距離d=普，

答案第6頁，共16頁

12%-y+同\lx-y+n\

則^2x—y+m\+\2x-y+r^=^/5、^+

且W吐H+＞昨后華=2叵故DOL

、y5v5yv5

故選：BCD

【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是判斷|2》-、+何+|2*-3；+,7|取值最小的情況，然后結合

平行線間距離公式得到所要求的結果即可.

【分析】由圓心到直線的距離小于半徑可得.

【詳解】C:x2-2x+y2=0,即C:(x-l『+y2=i,直線/方程為履一y+2=0,

\k+2\3

直線/與圓相交，貝解得上＜一:.

心+14

故答案為：f-09，--

13.2±2/

【分析】首先對函數(shù)求導，求出在(L/⑴)處的切線方程，然后根據(jù)二次函數(shù)與直線相切,

根據(jù)判別式求出對應的a.

【詳解】因為:(無)=女，所以/⑴=2,又/⑴=-1,

X

故曲線/(X)=21nx-1在點(1J⑴)處的切線方程為y+l=2(x-l),即y=2x-3.

"V—犬2+CUC

-'可得f+(a—2)x+3=0,A=(a—2)2—12=0,

{y=2x_3,

解得a=2±2jL

故答案為：2士2由.

「2nnn

14.——I—z—

3332"

【分析】根據(jù)題意可知X2(2",},利用二項分布的期望公式即可求出X的數(shù)學期望；利

用y與x的關系，寫出y的值為0,1,0,3,...,0,2"-1,0,進而可得

E(y)=G)2"C2"T+3ct2"3+…+(2〃_1)C#21，再利用=2〃c3即可求得y的數(shù)

答案第7頁，共16頁

學期望.

【詳解】第一空：由題可知x2(2〃,女,所以E(X)=2〃T=g；

第二空：根據(jù)題意注的值為0,1,0,3,…,0,2〃-1,0,

171?7

E(y)=1xCLC-)^-)2--1+3XcL(-)3(-)2--3+...+(2?-DC^C-)1

=(1)2n[c^22n-'+3C1?22"-3+…+(2〃-1)C；721，

kCk-OnCk~x

，EC)=聲?如221+C>?』+…+c；：割）,

l2n2

(2+1產=C*22i+C2n_t2-+C"22"-3+…+C^2'+C工2。,

(2-I)2"-1=%22"-1-C「i22"-2+Ci22n-3-...+C霍償一C工2°,

.「0,2〃-1.z~12r\2n-3..z^i2n-2_32"一+1

2

In321+I

￡（y）=

遼在e、r2nnn

故答案為：y;§+聲

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是y的數(shù)學期望的化簡需要用到《北=2〃《二及

(2+1產=+《"_啰"一2+C*22”3+...+C夏？+C工2。,

(2-產=%22"-1-C-22"-2+C)22"-3-...+C^：i21-C工2°.

3萬5

15.(I)C=—；(II)

44

【分析】(I)由已知及正弦定理可求sin8cosC+sinCsin3=0,結合sinB>0,可求tanC=-

1,結合范圍0VCV兀，可求c的值.

(II)由(I)和余弦定理可求c的值，cosB的值，設的中垂線交BC于點E,在RtABCD

中，可求8D的值.

【詳解】(I)在△A8C中，VZ?cosC+csinB=0,

由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0

V0<B<n,

sinB>0,于是cosC+sinC=0,BPtanC=-1

V0<C<ir

答案第8頁，共16頁

：.C=—

4

(II)由(I)和余弦定理知,

c2=a2+b2-2abcosC=電芋+（廂門一2x麗義百=25,

.-.cosB=a2+c2-b25+25-102加

2ac2XA/5X5—5

設BC的中垂線交BC于點E,

BE

:在RtABCZ)中，cosB=——，

BD

【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形中垂線的性質的綜合應用，考查了

數(shù)形結合思想的應用，屬于基礎題.

16.(1)---y2=1

4'

(2)3x士顯-3指=0

廠1

【分析】(1)由題意可得：一蟲,541,解方程求出/，戶，即可得出答案；

a2--TT=1

ab

(2)由題意可得|AB|=2,設/：尤=my+石，與雙曲線聯(lián)立，得出韋達定理，利用弦長公

式即可求解.

【詳解】(1)由題意可得￡=、兀衛(wèi)=正，則＜=」，即a2=4/,

a\a22a24

答案第9頁，共16頁

又因為點尸［石在雙曲線上，所以9_：=i，

a2b2

解得：b2=l,a2=4,所以雙曲線C的標準方程為：

4

（2）因為/期的周長為12,所以|明+|州|+|即|=12①,

由雙曲線的定義可得:|時卜|/閭=24=4,忸耳卜忸閭=2a=4,

所以|A￡|+忸周一（|初|+忸可）=H用+忸周-|AB|=8②，

所以由①②可得：\AB\=2,

由（1）知，c2=a2+b2=5,所以工（百,0）,

因為直線/的斜率不為0，所以設/:x=my+6，

匚2=1

2

則聯(lián)立直線與雙曲線，4,可得（田-4）y+2君7孫+1=0,

x-my+出

當加2一4=0,即加=±2,直線與雙曲線只有一個交點，不合題意，所以及一4片0,

2\[Sm1

m2-4

所以二國4

m2—4

解得：m2=-6（舍去）或所以加=±，^,

33

直線/的方程為：x=±^~y+布,BP3x±46y-3\/5=0.

答案第10頁，共16頁

(2)8

【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得平面MDN與平面DNC的夾角；

(2)利用空間向量法把線面平行轉化為得向量垂直,從而利用數(shù)量積的運算化簡即可得〃與

2

2的關系，再結合基本不等式可得幺的最小值；

?!

【詳解】(1)因為2540=90,底面ABCD,

如圖，以A為原點，AD、AB.AP所在直線分別為x軸、>軸、z軸建立空間直角坐標系,

當4=1時，4(0,0,0)、3(0,2,0)、C(l,l,0),0(1,0,0),P(0,0,2)、wQ,0,1

N(0,l,l),

則0c=(0,1,0),DM^-^,0,]},DA^=(-1,1,1),

m?DN=一%+y+Z]=0

設平面MON的法向量為"z=(%,%,zj,貝i]<

m-DM=~~xi+=0

取芭=2,可得m=(2,1,1),

設平面ZWC的法向量為"=(%2，%/2)，貝葉-2

n?DN--x2+y2+z2=0

取z=l,可得咒=(1,0,1),所以cos』,"=||||=7-尸==7，

''J6xj22

設平面MON與平面ONC的夾角為6,所以cos。=|coswi,〃|=?,所以。=聿,

7T

故平面MON與平面ONC的夾角為二.

(2)PB=(O,2,-2),PC=(1,1,-2),設平面P2C的法向量為？■=(&,%，Z3),

答案第11頁，共16頁

t-PC=w+%_2z?=0

則33取為=1,可得/=(1,1,1),

t?PB=2y3-2Z3=0

因為AQ=/dQP,所以M占。熱,Q0,0,

2424]

則M2=占°，1+〃1+AJ,因為M。〃平面PBC,

所以MQ_Lf,即=0,

即一g

=0,

l+〃1+2

//-(1+22)

所以:⑺；、=。，所以〃=1+24,

所以Y=0+2')=4幾+,+422/4/1.4+4=8,

222VA

當且僅當42=!，即時取等號，

A2

2

所以上的最小值為8.

4

18.(l)y=ex-e-l

⑵答案見解析

⑶(-利

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，分類討論即可求解；

(3)由/(x)2g⑺參變分離得aW-一Inx二x-1+V恒成立,設

Mx)=xeTn;x-l+x2,%＞。，則。少⑺皿，令t=lnx+x,利用導數(shù)證明etf+1即

可求出”("行

【詳解】(1)f(x)=(x-l)eA-ar2-l,

當a=0時，/(x)=(x-l)er-l,f\x)=x&x,

當x=l時，〃1)=一1,7'⑴=e,

答案第12頁，共16頁

函數(shù)〃尤）在尤=1處的切線方程為丫=叱-6-1；

（2）函數(shù)“X）的定義域為R,f'（x）=xex-2OX=X{QX-2a）,

①當aVO時，e，一2a＞0恒成立，令/'（x）=0,貝Ux=O,

若r（x）＞0,則x＞0；若_f（x）＜0,則x＜0,

所以〃尤）在（-8,0）單調遞減，在（0,+"）單調遞增；

②當。＞0時，尸（x）=x（e*-2a）=x（e*-eW,

令/'（x）=0,貝i]x=0或x=ln（2a）,

（i）當ln（2a）＜0,即0＜。＜；時，

若尸（x）＞0,則x＜ln（2a）或x＞0；若八x）＜0,則ln（2a）＜x＜0,

所以〃x）在（f，山（2。））和（0,+“）上單調遞增，在（in（2“）,0）上單調遞減；

（ii）當ln（2a）=0,即a時，/（x）20恒成立，在R上遞增；

（iii）當ln（2a）＞0,即時，

若「（%）＞0,則x＜0或x＞ln（2a）,若尸（x）＜0,則0cx＜ln（2a）,

所以/（元）在（十,。）和（in伽）,+動上單調遞增，在（0,ln（2a））上單調遞減.

綜上所述，當aWO時，“X）在（-叫0）單調遞減，在（0,+動單調遞增；

當0＜”；時，/（x）在（-co,In（2。））和（0,+8）上單調遞增，在（ln（2a）,0）上單調遞減;

當時，〃尤）在R上遞增；

當時，“X）在（口,。）和（ln（2a）,"）上單調遞增，在（0,In伽））上單調遞減；

（3）g（x）=lnx-e*-f+x的定義域為（0,+8）,

由/（x）2g（力得尤/一Inx—x+尤,—12公2恒成立，即.《猶、-1門7-1+.恒成立，

X

設Mx）=xe=ln;l+x2,*＞0,則“少⑺血」

因為xe*=a一，同構可得/z（x）=[e2（lnx：x）l]+x2,

答案第13頁，共16頁

令，=lnx+x,因為％>0,所以讓R,

下面證e'>t+l.

設"(")=e',/GR,于是w'，)=e'_l,

令“(/)=0,貝ij%=o,當"?)>0時，Z>0；當“?)<0時，<0,

所以。⑺在(-0),0)上單調遞減，在(0,+。)上單調遞增，

所以%in⑺=0(。)=。，即et，+l,當且僅當好。時等號成立.

所以*A">(lnx+x)+l,即—(lnx+x)—120,

lnY+%2

CCHI,re-(ln.r+x)-ll+^/

所以h(x)=------；，」—>^=1.

所以%n(x)=l，即aWl，

所以實數(shù)”的取值范圍為(-8』.

19.⑴4=1

⑵①證明見詳解；②1

【分析】(1)根據(jù)題意可得北二-欣=人，結合等比數(shù)列通項公式分析求解;

⑵根據(jù)題意結合等差數(shù)列通項公式可得“