專題14角、相交線與平行線（10個高頻考點）（強化訓練）

【考點1角、鐘面角、方向角】

1.（2022?北京西城?北京師大附中?？寄M預測）下列四個圖形中，能用回L0AOB,回。三種方法表示同一

個角的圖形是（）

【答案】A

【分析】角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示.角還可以用一個希臘字母表示，或用

阿拉伯數(shù)字表示.

【詳解】解：能用如、她。2、回。三種方法表示同一個角的圖形是選項A中的圖，選項B,C,D中的圖都

不能用回1、她。8、回。三種方法表示同一個角的圖形，

故選：A.

【點睛】本題主要考查了角的概念，有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的

頂點，這兩條射線是角的兩條邊.角可以用三個大寫字母表示，其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處

只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角.

2.（2022?浙江杭州?模擬預測）在3：30、6：40、9：00、12：20中，時針和分針所成的角度最大的是（）

A.3：30B.6：40C.9：00D.12：20

【答案】D

【分析】根據(jù)時針的旋轉(zhuǎn)角減去分針的旋轉(zhuǎn)角，可得答案.

【詳解】解：

A、3：30時時針與分針的夾角是90。一^X30。=75。，

B、6：40時時針與分針的夾角是30。X2-30。X竺=40。,

C、9：00時時針與分針的夾角是90。，

D、12：20時時針與分針的夾角是30。X4-30。X史=110。，

60

所以時針和分針所成的角度最大的是12：20,

故選：D.

【點睛】本題考查了鐘面角，利用了時針與分針的夾角是時針的旋轉(zhuǎn)角減去分針的旋轉(zhuǎn)角.

3.（2022?河北邯鄲?校聯(lián)考三模）如圖，已知A,8為兩座海島，若一個燈塔在海島A北偏東65。的方向上,

在海島2北偏西35。的方向上，則燈塔可以表示為（）

北

?24*東

~^AB

EF

A.點CB.點。C.點ED.點F

【答案】B

【分析】根據(jù)方位角的定義，結合圖形分析即可解答.

【詳解】解：一個燈塔在海島A北偏東65。的方向上，在海島2北偏西35。的方向上，則燈塔可以表示為：

D點，

故選：B.

【點睛】本題考查了方向角，熟練掌握方位角的定義，并結合圖形分析是解題的關鍵.

4.（2022?山東德州?校聯(lián)考中考模擬）在下列時間段內(nèi)時鐘的時針和分針會出現(xiàn)重合的是（）

A.5：20-5：26B.5：26-5：27C.5：27-5：28D.5：28-5：29

【答案】C

【詳解】分析：解這個問題的難處在于時針轉(zhuǎn)過多大的角度，這就要弄清楚時針與分針轉(zhuǎn)動速度的關系.每

一小時，分針轉(zhuǎn)動360。，而時針轉(zhuǎn)動30。，依據(jù)這一關系列出方程，可以求出.

詳解：設：從5:20開始，經(jīng)過x分鐘，時針和分針會出現(xiàn)重合.

此時分針指向4,時針與分針之間的夾角是30+20x0.5=40°.

則：6x-0.5x=40

尤=7.27,

即從5:20開始，經(jīng)過大約7.27分鐘，時針和分針會出現(xiàn)重合，在5:27-5:28時間段內(nèi)重合.

故選C.

點睛：考查鐘面角，鐘面角里時針和分針的轉(zhuǎn)動問題本質(zhì)上就是行程中的追擊問題，根據(jù)追擊問題的解題

思路解方程即可.

5.（2022?河北邯鄲??？既＃┤鐖D，N40B的一邊OB經(jīng)過的點是（）

A.尸點B.。點C.M點D.N點

【答案】D

【分析】組成角的兩邊是射線，射線的特點有：①只有一個端點；②直的；③向一邊無線延伸.據(jù)此可

用直尺去連接。2,看矩形內(nèi)的哪個點在這條射線上即可.

【詳解】解：畫出射線可知，經(jīng)過點N.

故選：D.

【點睛】此題考查了角、射線的定義和畫法，解題的關鍵是知道射線是直的.

【考點2對頂角、鄰補角】

6.（2022?河北保定?統(tǒng)考二模）下列四個圖形中，N1與N2是對頂角的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)對頂角的意義求解.

【詳解】解：對頂角指的是有一個公共頂點，并且一個角的兩邊是另一個角兩邊的反向延長線的兩個角,

所以A兩角只有一條邊互為反向延長線，另一條邊沒有互為反向長線，不符合題意；

B兩角也是只有一條邊互為反向延長線，另一條邊沒有互為反向長線，不符合題意；

C兩角有一個公共頂點，并且一個角的兩邊是另一個角兩邊的反向延長線的兩個角，符合題意；

D兩角沒有公共頂點，不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查對頂角的應用，熟練掌握對頂角的意義是解題關鍵.

7.（2022?陜西西安?二模）當光線從空氣中射入某種液體中時，光線的傳播方向發(fā)生了變化，在物理學中這

種現(xiàn)象叫做光的折射.如圖，281液面于點一束光線沿8射入液面，在點。處發(fā)生折射，折射

光線為QE,點F為C￡）的延長線上一點，若入射角41=50。，折射角42=36。，貝UNEDF的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)對頂角相等，計算角的差即可；

【詳解】解：回尸點在C。延長線上，

031=團即2=50°,

00EDF=0FDB-02=14°,

故選：A.

【點睛】本題考查了對頂角的概念：有一個公共頂點，且一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊的反向

延長線，那么這兩個角就叫做對頂角.

8.（2022?福建漳州?統(tǒng)考模擬預測）如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個全等的等腰三角形拼成的，貝IUBAC的

A.28°B.36°C.45°D.72°

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得五個全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個正五邊形，利用正多邊形內(nèi)角和可得

EI￡AB=EIAC￡）=108o,再由鄰補角得出EACB=EIE4C=72。，結合圖形代入求解即可.

【詳解】解：如圖所示，五個全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個正五邊形，

mEAB=BACD=180°y-2）=108°,

00ACB=0E4C=18O°-1O8°=72°,

00BAC=0EAB-EE4C=108°-72°=36°,

故選：B.

【點睛】題目主要考查正多邊形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)，鄰補角等，理解題意，熟練掌握運用正多邊

形內(nèi)角和的計算公式是解題關鍵.

9.（2022?廣西玉林?校聯(lián)考一模）下列各圖中，如與回2互為鄰補角的是（）

【答案】D

【詳解】解：根據(jù)鄰補角的定義可知：只有D圖中的是鄰補角，其它都不是.

故選D.

10.（2022?廣西河池?統(tǒng)考三模）如圖，直線a與6相交，Zl+Z2=240°,Z3=

【答案】60。##60度

【分析】先根據(jù)回1=回2,01+02=240°,求出回1的度數(shù)，再根據(jù)鄰補角互補求解即可.

【詳解】解：00-1+02=240°,01=132,

001=02=120°,

003=180--01=60°,

故答案為：60。.

【點睛】本題主要考查了對頂角相等，鄰補角互補，正確求出班的度數(shù)是解題的關鍵.

【考點3補角、余角】

11.（2022?江蘇蘇州?蘇州中學?？级＃?）己知恥（=35。19,,則回a的余角等于；

（2）已知團|3的補角為120。37,46",回0=°.

【答案】54°41'59°22'14"

【分析】（1）根據(jù)互余兩角之和為90。，可得出答案；

（2）根據(jù)互補兩角之和為180。，可得出答案.

【詳解】解：（1）回a的余角=90°-Ela=90°-35°19'=54°41',

故答案為：54"41"；

（2）郵=180°-120°37'46"=59°22'14”.

故答案為：59°22,14".

【點睛】本題考查了余角和補角的知識,解答本題的關鍵是掌握:互余兩角之和為90。,互補兩角之和為180。.

12.（2022?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考二模）若兩個互補的角的度數(shù)之比為1回2,則這兩個角中較小的角是度.

【答案】60

【分析】余角是指如果兩個角的和是一個直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱互余，也可以說其中一個

角是另一個角的余角.補角是指如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫互為補角.其中一個角叫做

另一個角的補角.可用未知數(shù)表示出這兩個互補角的度數(shù)，根據(jù)補角的定義，可列出方程求得它們的值，

進而可求出較小角的余角.

【詳解】解：依題意，設這兩個互補的角的度數(shù)為x、2x；則有：

x+2x=180°,解得：x=60°；

團90。?=30。；故這兩個角中較小角的余角的度數(shù)是30°.

故答案是：30。

【點睛】此題綜合考查余角與補角，解答此類題一般先用未知數(shù)表示所求角的度數(shù)，再根據(jù)一個角的余角

和補角列出代數(shù)式和方程求解.

13.（2022?云南昆明?云大附中?？寄M預測）若N1與N2互補，N3與N1互余，42+43=120。，貝吐2-

Z1=

【答案】30°##30度

【分析】根據(jù)余角與補角的定義即可求出答案.

【詳解】解：1341+42=180。，N3+41=90。，

01800-Z2=90°-z3,

即乙2—43=90°,

0z2+z3=120°,

-2—3=90°

lz2+z3=120°

解得:比黑。,

0Z1=75°,

0z2-41=105°-75°=30°,

故答案為：30°.

【點睛】本題考查余角與補角的定義以及解二元一次方程組，解題的關鍵是正確理解余角與補角的定義，

本題屬于基礎題型.

14.（2022?江蘇常州?統(tǒng)考一模）如圖，即加/為等腰直角三角形，點8為直角頂點，四邊形A8C￡）是正方

形.

回求證：0ABEI30CBF；

團CT與AE有什么特殊的位置關系？請證明你的結論.

【答案】（1）見解析；（2）CF0AE,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BE=BF,EIEBF=90。，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC,0ABC=9O°,

根據(jù)余角的性質(zhì)得到ElEBAWCBF,最后根據(jù)SAS證明結果；

（2）延長CF,交AE于點G,根據(jù)補角的性質(zhì)得出回AEB+EIBFG=180°,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出回EGF+EIEBF=18O°,

從而可得回EGF=90。，即可得到結果.

【詳解】解：（1）釀即尸為等腰直角三角形，

EIBE=BF,0EBF=9O°,

貝!|E1EBA+?FBA=9O",

團四邊形ABCD為正方形，

0AB=BC,13ABe=90",貝！|l3ABF+[3CBF=90°,

00EBA=EICBF,

又I3BE=BF,AB=BC,

^ABES^CBF(SAS)；

(2)延長CF,交AE于點G,

由(1)得：ECFB=0AEB,

00CFB+0BFG=18O°,

00AEB+0BFG=18OO,

00EGF+0EBF=18O°,

EEEBF=90",

fflEGF=90°,

0CF0AE.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角和補角的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，解題的關鍵是根據(jù)題

意證明財BEEBCBF.

15.（2022,黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四十七中學?？既＃┤鐖D，在等腰0ABe中，AB=BC,。為AB的中

(1)如圖1,求證：四邊形尸E是菱形；

⑵如圖2,連接3E,請直接寫出圖中與0A8E互余的所有角.

【答案】⑴過程見解析

(2)0A,EC,SCEF,EAEZ)

【分析】對于⑴，根據(jù)中位線的定義和性質(zhì)得出DEIIBC,DE=^BC,再根據(jù)EF||得出四邊形

是平行四邊形，然后根據(jù)可知BD=QE,即可得出結論；

對于(2),先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出0ABE+a4=9O。，可知與EA2E互余的角為0A,再確定與EA相等的

角即可.

(1)

回點。是的中點，點E為AC的中點，

EIDE是EIABC的中位線，DB=^AB,

WE||BC,DE=|BC.

0￡F||AB,

回四邊形OBFE是平行四邊形.

^AB=BC,

國2￡)=?！?

團平行四邊形。是菱形；

(2)

0A,0C,SCEF,EAED.

^AB=BC,點E是AC的中點，

0BEHAC,

00AEB=9O°,

00AB￡+EL4=9O".

^AB=BC,

00A=ac,

00AB￡+0C=9O°.

^EF||AB,

00A=0CEF,

0EL4B￡+0CEF=9O°.

EIDE||BC,

00C=0A￡Z）,

00ABE+EAED=9O°.

所以與EL4BE互余的角有0A,0C,（BCE尸，0A￡D.

【點睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線的定義和性質(zhì)，互余的定義等，

靈活的選擇判定定理是解題的關鍵.

【考點4同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角】

16.（2022?浙江杭州?校聯(lián)考中考模擬）兩條直線被第三條直線所截，如是團2的同旁內(nèi)角，回2是回3的內(nèi)錯

角.

（1）畫出示意圖，標出回1,02,03.

（2）若回1=2回2,02=203,求國3的度數(shù).

【答案】⑴見解析；（2）36。

【分析】（1）根據(jù)內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在

第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角；同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角

中，若兩個角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角進行分析

即可，進而畫出圖形即可；

（2）利用鄰補角的關系可求出團3的度數(shù).

【詳解】解：（1）如圖所示：

(2)001=202,[32=203,

回設回3=x,貝靦2=2x,01=4%,

故x+4x=180",

解得：x=36。，

故回3的度數(shù)為36°.

【點睛】此題主要考查了三線八角以及鄰補角的性質(zhì)，得出配與回3的關系是解題關鍵.

17.（2022?遼寧沈陽?統(tǒng)考二模）如圖，與回1是內(nèi)錯角的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)內(nèi)錯角的定義，即兩條直線被第三條直線所截，位于截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間

的兩個角，解答即可.

【詳解】根據(jù)內(nèi)錯角的定義，得：如是內(nèi)錯角的是N4.

故選:C

【點睛】本題主要考查了內(nèi)錯角的定義，解題的關鍵是熟練掌握并理解內(nèi)錯角的定義.

18.（2022?山東濟寧?統(tǒng)考中考模擬）如圖，下列說法中不正確的是（）

B.N2和N3是內(nèi)錯角

C.42和44是同位角D.43和是對頂角

【答案】C

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義、內(nèi)錯角的定義、同位角的定義和對頂角的定義逐一判斷即可.

【詳解】A.回1和回3是同旁內(nèi)角，故正確，不合題意;

B.回2和國3是內(nèi)錯角，故正確，不合題意；

C.回2和團4不是同位角，故錯誤，符合題意；

D.03和05是對頂角，故正確，不合題意；

故選C.

【點睛】此題考查的是同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角、同位角和對頂角的判斷，掌握同旁內(nèi)角的定義、內(nèi)錯角的定義、

同位角的定義和對頂角的定義是解決此題的關鍵.

19.（2022,湖北襄陽?統(tǒng)考中考模擬）如圖，回1的同旁內(nèi)角共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角定義即可得解.

【詳解】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義可得，如的同旁內(nèi)角有：0ACE,0D,EDCE.

D

故選C

20.（2022?浙江杭州?模擬預測）如圖，有下列3個結論：①能與BDE尸構成內(nèi)錯角的角的個數(shù)是2；②能

與回￡/咕構成同位角的角的個數(shù)是1；③能與回C構成同旁內(nèi)角的角的個數(shù)是4,以上結論正確的是.

【答案】①②.

【分析】根據(jù)同位角的邊構成"F"形，內(nèi)錯角的邊構成"Z"形，同旁內(nèi)角的邊構成"U"形進行判定.

【詳解】解：①能與ADEF構成內(nèi)錯角的角的個數(shù)有2個，即NEFA和NEDC,故正確；

②能與4EFB構成同位角的角的個數(shù)只有1個：即NE4E,故正確；

③能與NC構成同旁內(nèi)角的角的個數(shù)有5個：即“DE,ZB,乙CED,乙CEF,乙4,故錯誤；

所以結論正確的是①②.

故答案為：①②.

【點睛】本題主要考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，熟記"三線八角"中相關的定義和概念，掌握同位角的

邊構成"F"形，內(nèi)錯角的邊構成"Z"形，同旁內(nèi)角的邊構成"U"形是解答此題的關鍵.

【考點5角的和差】

21.（2022?北京平谷?統(tǒng)考中考模擬）如圖，射線。8、OC在0Ao。的內(nèi)部，下列說法:

①若0Aoe=08。。=90。，則與E180C互余的角有2個；

②若0AoO+ElBOC=：L80°,則0Aoe+回8。。=180°；

③若。M、0N分別平分0Ao八，0BOZ）,貝帆MON=f]AO&

④若0A00=150°、0BOC=3O°,作0Aop=|&4。8、回。。。=扣C。。，則E1POQ=90°

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)余角和補角的定義和角平分線的定義進行計算即可得到結論.

④要分兩種情況討論.0AOP、SD。。是在內(nèi)部還是外部.

【詳解】解：①函40C=I3800=90°,

EBA08+勖0C=EIC0￡）+EI20C=90",

El與互余的角有2個；正確；

（2）^BAOD+^BOC=SAOB+BBOC+^COD+SBCO=SAOC+^BOD=180",

00AOC+0B（9Z）=18OO；故正確；

③如圖1.

國。加、ON分別平分EL40D,SBOD,

SSS\DOM=-SAOD,^\DON=^\BOD,

22

^\MON=^DOM-0D<9A^=|(0AOD-0BOD)=SAOB,故正確;

④如圖2,

0EL4OD=15O%0BOC=3O°,

0EAOB+EC(?D=150°-30°=120°,

00AOP=|EAOB>回￡>。。=2回COD,

-1

團財0尸+團。0。=5(財08+團COD)=60°,

團團POQ=150°-60°=90°,

如圖3,

團財0。=150°、回80。=30°,

團朋03+團COD=150°-30°=120°,

回她0尸=工朋05、回。OQ=工團COD,

2上2

1

團0Aop+回。0。=鼻（M03+團CO0）=60°,

團團尸0。=150°+60°=210°,

綜上所述，團尸00=90°或210。，故錯誤.

故選C.

【點睛】本題考查了余角和補角，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵.

22.（2022,江蘇無錫?模擬預測）笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置，△DOE的直角頂點。在邊BC的

中點處，其中=乙DOE=90。,NB=45°,乙D=60°,△DOE繞點。自由旋轉(zhuǎn)，且。D,0E分另ij交力B,AC于

點M,N,當4N=4,NC=2時，MN的長為.

【答案】2V5

【分析】連接A。，證明AAOM三△CONG4S4）,得4M=NC=2,在利用勾股定理求出MN的長即可.

【詳解】如圖，連接AO,

國由題意可知AZBC是等腰直角三角形，LBAC=90°,。是邊BC的中點

0ZB=NC=45°,OA=OB=OC,AO1BC,/.BAO=/.CAO=-zBXC=45°

2

^AON+乙CON=90°,2BAO=Zf=45°

回乙DOE=90°,

^AOD+(AON=90°,

^Z.AOD=4CON,

^AOM三△CONQ4sA),

團4M=NC=2,

團在RtZkAMN中，由勾股定理得：MN2=AM2+AN2,

團MN=y/AM2+AN2=V22+42=2倔

故答案為：2V5.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，和勾股定理，正確作出輔助線是解答本題的關

鍵.

23.（2022,浙江杭州?模擬預測）如圖所示，將筆記本活頁兩角向內(nèi)折疊，使角的頂點A落在4處，頂點。

（1）如圖1,使邊8。與邊BA重合，若41=30。，求42=,乙CBE=.

（2）如圖2,使邊8。沿著BE折疊后的邊落在N1內(nèi)部，若Nl=40。，設NAB。=a,KEBD=0,求

a與0之間的數(shù)量關系，并直接寫出a,￡的取值范圍.

【答案】（1）60°,90°；（2）0°<a<40°,50y為<70°

【分析】（］）由0A'8￡）=12O°,m^DBE,可得團2=|即1'2。=60°；

（2）由折疊的性質(zhì)得到0ABe=回1=40。，^DBD'=2^\EBD=2p,得到a和/的關系，再結合8￡>在回1內(nèi)部，可

得各自的范圍.

【詳解】解：（1）回角的頂點A落在點A'處，8C為折痕，

0E1=0ABC=3O°.00A'BD=18OO-3OO-3O°=12O°,

EBA'BD=120°,02=0￡>B￡,

1

回團2二回。3E二一團4'8。=60°,

2

團團CBE二團1+團2=30°+60°=90°.

（2）由折疊的性質(zhì)可得：

媯3c二團1二40°,回DBD'=2國EBD=2￡,

團她'3￡>=180°-朋3。?團1=100°,

^\A,BD=^\DBD,-^A,BD,,^A'BD'=a,

回2夕/二100°,

0a=2/?-lOO°,

團3。在團1內(nèi)部,

0O0<ct<4O",

00°<2^-1000<40°,

0500<^<700.

【點睛】本題考查翻折變換，平角的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是利用法則不變性解決問題，屬于基礎題，

中考?？碱}型.

24.(2022?浙江杭州?模擬預測)如圖所示，兩條直線48,CD相交于點。，且乙4OC=乙4。。，射線。M(與

射線。B重合)繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15。/5,射線。N(與射線。。重合)繞點。按順時針方向旋

轉(zhuǎn)，速度為12。小.兩射線。M,ON同時運動，運動時間為t(s).(本題出現(xiàn)的角均指小于平角的角)

8(M

D(N)

備用圖

(1)圖中一定有..個直角；當t=3時，NM0N的度數(shù)為.，ABON的度數(shù)為./MOC的

度數(shù)為

(2)當0<t<12時，若乙4?！?3N4ON-60°,試求出t的值.

(3)當0<t<6時，探究石舞普的值：在t滿足怎樣的條件時是定值；在t滿足怎樣的條件時不是定值.

【答案】⑴4,171%126。,45。；⑵煞U。；⑶當。<t若時，咨焉您不是定值，鱷<”6時,

7ZCOM+2ZBON是定值,定值是3

Z.MON

【分析】(1)根據(jù)兩條直線AB、CD交于點0,/.AOC=Z.AOD,可得四個直角，當t=3時，根據(jù)射線運動

速度求出角度;

(2)分兩種情況討論,當0<tW7.5時和當7.5<t<12時，根據(jù)乙4。聞=3/4ON-60°列出方程進行求解;

(3)先判斷當NMON為平角時f的值，再分兩種情況討論，當0<t</時和當g<t<6時，分別計算

乙占乂/士nn■——r

7Z~COLM+M2OBONN的值即可.

【詳解】解：(1)0ZXOC=AAOD,^AOC+^LAOD=180°,

0ZXOC=A.AOD=90°,

0ZBOC=乙BOD=90°,

團一定有4個直角，

當t=3時，

乙BOM=3X15=45°,

乙DON=3x12=36°,

EI/MON=45°+36°+90°=171°,

乙BON=90°+36°=126°,

4Moe=90°—45°=45。，

故答案是：4,171°,126°,45°；

(2)當ON與0A重合時，t=90+12=7.5s,

當0M與0A重合時，t=180+15=12s,

①如圖，當0<tW7.5時，AAON=90°-12t,^AOM=180°-15t,

C

0ZXOM=3Z.AON-60°,

0180°-15°t=3(90°-12°t)-60°,解得t=y；

②如圖，當7.5<t<12時，AAON=12°t-90°,AAOM=180°-15°t,

0180°-15°t=3(12°t-90°)-60°,解得t=10；

綜上：若乙40M=3乙40N-60°,則t的值為/或10；

(3)當4MON=180°時，乙BOM+4BOD+乙DON=180°,

015°t+90°+12°t=180°,解得t=y,

①如圖，當0<t<￡時，

/.COM=90°-15℃,Z.BON=90°+12°t,

乙MON=乙BOM+乙BOD+乙DON=15°t+90°+12°t=27°t+90°,

々乙COM+2乙BON7(90°-15ot)+2(90o+12°t)810°-81°t

0-----------------

乙MON27°t+90°27°t+90°

②如圖，當?<t<6時,

乙BOM=15°t,4DON=12°t,

/.MON=360°-{/.BOM+/.BOD+4DON）=270°-27°t,

1_174coM+2NBON8100-81°to

團-----------=—:=3，

乙MON2700-27°t

綜上：當OVtvU時，7"OM+20ON不是定值,當u<「V6時，7"OM+20ON是定值,定值是3.

3Z.MON3Z.MON

【點睛】本題考查角度的計算綜合題，解題的關鍵是掌握角度和差關系的運用，將角度用r表示出來，列方

程進行求解，需要注意進行分類討論.

25.（2022?浙江杭州?模擬預測）己知。是直線AB上一點，將一個直角三角尺OMN按圖①方式放置，直角邊

ON在直線力B上，另一條直角邊OM與力B的夾角N40M=90。，射線。C在內(nèi)部.

①②

(1)如圖②，將三角尺。MN繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)，當。M平分NBOC時，

并說明理由.

(2)若乙40c=60°,三角尺0MN繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一周，每秒旋轉(zhuǎn)5。，旋轉(zhuǎn)時間為t,則當t為何值時NC0N=

乙MOB?

(3)在(2)的條件下，在三角尺0MN繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，NCON+NMOB的值能否為定值？

若能，求t的取值范圍.

【答案】(1)乙AON=^CON；(2)t=15；(3)能是定值，12<t<18.

【分析】(1)由[3MON=90°,得至!jEIAC)N+[3BC)M=90°,0NOC+0COM=9O°,禾!|用。M平分NBOC推出EIBOM=I3COM,

由止匕得至|JN40N=NC0N；

(2)畫出圖形，由NCON=AM0B推出回AOC+213coN=90。，禾!J用N40C=60。計算得出EICC)N=15。，根據(jù)公式

計算出旋轉(zhuǎn)時間為t；

(3)NC0N+NM0B能是定值，當EIMON在回BOC內(nèi)部時，ACON+ZMOB=18O°-0AOC-[3MON=3OO,旋轉(zhuǎn)

^6OO<0AON<9O°,計算得出t.

【詳解】(1)乙A0NMC0N,理由如下：

00MON=9O°,

00AON+0BOM=9O°,EINOC+EICOM=90°,

回?！捌椒諲BOC,

00BOM=0COM,

00AON=0CON；

(2)如圖，

00MON=9O°,

00AON+0BOM=9O°,

0ZCOW=Z.M0B,

H3C0N+13AoN=90°,

03AOC+2回CON=90°,

團乙40C=60°,

EHCON=15°,

(3)NCON+NMOB能是定值，如圖，

00MON=9O°,ZXOC=60°,

BREIMON在團BOC內(nèi)部時，乙CON+ZMOB=18O°-0AOC-0MON=3O°,

134coN+NMOB是定值，

止匕時60。<如\。1\1<90。，

【點睛】此題考查角平分線的性質(zhì)，角度互余互補的關系計算，運動角的問題，這是一道角度的基礎題,

但是有難度.

【考點6角的大小比較】

26.（2022?山東臨沂?校聯(lián)考一模）下列各圖中，加大于團2的是（）

【答案】B

【詳解】分析：根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)；兩直線平行，同位角相等的性質(zhì)；同弧所對的圓周角相等；三角

形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角的性質(zhì).根據(jù)各性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

詳解：A、根據(jù)對頂角相等，得：01=02,故本選項錯誤.

B、根據(jù)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角，得如大于團2,正確；

C、根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得：01=02,故本選項錯誤；

D、根據(jù)兩條直線平行，同位角相等，以及對頂角相等，得：01-02,故本選項錯誤.

故選B.

點睛：本題主要考查對頂角相等的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，熟練掌握性

質(zhì)是解題的關鍵.

27.（2022?北京大興?統(tǒng)考一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，4B,C是網(wǎng)格線的交點，貝UNABC與N4CB的

大小關系為：UBCAACB（填，，"="或

【答案】<

【分析】在網(wǎng)格中構建和0AC2一樣大的角，比較即可.

【詳解】解：如圖所示：ElOBC=a4CB=45。，AB在回DBC內(nèi)部，所以，EL4BC<0ACB,

故答案為：<.

【點睛】本題考查了角的比較，等腰三角形的性質(zhì)，解題關鍵是通過網(wǎng)格轉(zhuǎn)換，把兩個要比較的角放在一

起，直接判斷.

28.（2022糊南邵陽校聯(lián)考中考模擬）如圖，0AOB,HBOC,0AOC的大小關系用">"連接起來：.

【答案】0AOC>BAOB>I?]BOC

【詳解】分析：根據(jù)所給出的圖形可直接得出答案.

詳解：根據(jù)題意得:

0AOC>0AOB>0BOC.

故答案為［3AOC>I3AOB>13BOC.

點睛：此題考查了角的大小比較，根據(jù)圖形能正確的表示出各角是本題的關鍵，是一道基礎題.

29.(2022?天津河西?統(tǒng)考中考模擬)如圖，已知乙4OB是銳角，過點。作射線。D,OD=24AOD.

(1)當NBOD=2〃OC,且射線。。在N40C的內(nèi)部時，找出圖中另一對成2倍關系的角，并說明理由；

(2)當射線。。在乙40c的外部時，探索乙4。8,Z.B0C,NB。。之間的等量關系；

(3)若NC。。>NB0C,求NB0C的取值范圍.

【答案】(1)乙B0C=2LC0D,詳見解析；(2)乙BOD=2UOB—乙B0C；(3)當射線?！?在SAOC的

內(nèi)部時，/.B0C<36°；當射線OD在EMOC的外部時，A.BOC<60°

【分析】(1)根據(jù)題意，OD在她OC內(nèi)且將其分為三份，ZXOC=3^AOD,^COD=2/4。。，再根據(jù)NB。。=

2/.AOC,進而得出NBOC=乙BOD-乙COD=4/LAOD=2乙COD；

(2)根據(jù)題意，?！?在0AOC外部且乙4OC=乙4。。，根據(jù)=乙4。8+乙4。。即可得出結果；

(3)根據(jù)已知0AOB是銳角，并找出其與SBOC的關系，即可找出SBOC的范圍.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意畫圖如下：

由已知，NCOD=2N4OD可得NAOC=

又因為NBOD=241OC,所以NB。。=6/4。。

所以ZBOC=乙BOD-乙COD=4乙4?！?=24COD

(2)根據(jù)題意畫圖如下：

D

A

L

O匕-----------------B

由已知，Z.COD=2乙4。?？傻靡?0C=Z.AOD

又因為乙40C=KAOB-乙BOC,所以N力。。=/LAOB-乙BOC

所以NB。。=/.AOB+乙40。=2乙4。8-/.B0C

（3）當OD在乙40C內(nèi)時，圖如（1）所示.

止匕時，有等式N40C=3/LA0D,AC0D=2/4。。成立，

而NC。。>Z.B0C,

所以2乙4。。>NB0C,所以乙4">沁。（7.

所以乙4。8=^AOC+^BOO^BOC+乙B°C=^BOC.

又因為她OB是銳角，

所以沁。。</.AOB<90°

解得，乙BOC<36°；

當。。在0AOC的外部時，圖如（2）所示.

止匕時有NAOC=[NCOO>|ZBOC,

所以4力。8=/.AOC+Z.BOC>^Z-BOC,

又因為EAOB是銳角，

所以沁。。</.AOB<90°

解得,Z.BOC<60°

綜上，當OD在N40C內(nèi)時，若NC。。>ABOC,需要滿足NBOC<36°；當O￡>在EIAOC的外部時，若4COD>

/.BOC,需要滿足乙BOC<60°.

【點睛】這道題考察的是角的計算和比較.分情況畫出on看圖找出角的關系是解題的關鍵.

30.（2022?浙江杭州?模擬預測）已知OC是N40B內(nèi)部的一條射線，M,N分別為。4,0C上的點，線段。M,

ON同時分別以30。小，lOo/s的速度繞點。逆時針轉(zhuǎn)動，設轉(zhuǎn)動時間為ts.

(1)如圖(1),若乙4。8=120。，OM,ON逆時針轉(zhuǎn)動到。AT,ON，處.

①若。M,ON的轉(zhuǎn)動時間t為2,貝IU80N，+NCOAT=；

②若。平分N40C,ON，平分乙BOC,求3?！钡闹?

(2)如圖(2),若乙4OB=4NBOC,當。M,ON分別在乙4OC,NBOC內(nèi)部轉(zhuǎn)動時，請猜想“OM與N80N的

數(shù)量關系，并說明理由.

【答案】(1)①40°；②60°；(2)乙COM=3乙BON,理由見解析.

【分析】(1)①先求出I3AOM，、CON：再表示出(BON\ECOMS然后相加并根據(jù)EIAOB=120。計算即可得解；

②先由角平分線求出ElAOM'=ElCOM'giaAC)C,g01\1'=回81\1'=挪0(：,再求出回8171'+回82=挪08=220°=60°,

即E1M'ON'=60°;

(2)設旋轉(zhuǎn)時間為t,表示出13coN、0AOM,然后列方程求解得到EIBON、0COM的關系，再整理即可得解.

【詳解】⑴回線段OM、ON分別以30。人、10。人的速度繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)2s,

00AOMz=2x3O°=6O°,0CONz=2xlOo=2O°,

a3BON'=!3BOC-20",0COM=0AOC-6O°,

00BON,+SCOM,=0BOC-2O°+0AOC-6OO=0AOB-8O0,

EI0AOB=12O°,

a3BON'+l3COM'=120J80°=40°；

故答案為：40°；

②ISOM'平分E1A0C,ON'平分EIBOC,

11

團團AOM'二團COM'二一團AOC,團BON'二團CON'=-0BOC,

22

團團COM'+團CON'二細AOcAlBOC二細AOB二工X12O°=6O°,

2222

即EIMON=60°；

(2)0COM=3EBON,理由如下：

設E1BOC=久，貝1]ElAOB=4x,0AOC=3x,

回旋轉(zhuǎn)t秒后，0AOM=3Ot,0CON=lOt,

00COM=3x-30t=3(%-lOt),0NOB=x-lOt,

00COM=30BON.

【點睛】本題考查了角的計算，讀懂題目信息，準確識圖并表示出相關的角度，然后列出方程是解題的關

鍵.

【考點7點到直線的距離】

31.（2022?河北?模擬預測）已知直線”/6,點M到直線a的距離是5。H，到直線b的距離是3cH1,那么直線a和

b之間的距離是（）

A.2cmB.GanC.8cmD.2c“z或8cMi

【答案】D

【分析】點M可能在兩平行直線之間，也可能在兩平行直線的同一側，分兩種情況討論即可.

【詳解】解：如圖1,直線a和6之間的距離為：5-3=2（cM；

如圖2,直線a和6之間的距離為：5+3=8（cm）.

fb

1

?1

1

1

bIn

一aa

圖1圖2

故選：D

【點睛】本題主要考查了平行線之間的距離，解決問題的關鍵是分類討論，從一條平行線上的任意一點到

另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的1距離.

32.（2022?河北唐山?統(tǒng)考一模）如圖，已知，直線I,AB1I,BC1I,8為垂足，下列說法正確的是（）

A

C

-------------——I

A.點4到1的距離是線段48B.點C到點力的距離是線段AC

C.4、C、B三點共線D.4、C、B三點不一定共線

【答案】C

【分析】逐一進行判斷即可.

【詳解】A.點A至我的距離是線段力B的長度，故該選項錯誤;

B.點C到點A的距離是線段4C的長度，故該選項錯誤；

C.EL4B1I,BC1I,

她、C、B三點共線，故該選項正確；

D.A、C、B三點共線，故該選項錯誤，

故選：C.

【點睛】本題主要考查三點共線和點到直線的距離，點與點的距離，掌握距離的定義是關鍵.

33.（2022?吉林松原??？家荒＃┬∶鲄⒓犹h比賽，他從地面踏板尸處起跳落到沙坑中，兩腳后跟與沙坑

的接觸點分別為A,8,小明未站穩(wěn)一只手撐到沙坑C點，則跳遠成績測量正確的圖是（)

踏板I尸：

C.

【答案】c

【分析】由于C點到踏板最近，則C點到踏板的垂線段的長為跳遠成績.

【詳解】解：跳遠成績應該為身體與沙坑的接觸點中到踏板的垂線段長的最小值.

由于C點到踏板最近，所以C點到踏板的垂線段的長為跳遠成績.

故選：C.

【點睛】本題考查了垂線段最短，點到直線的距離，掌握垂線的定義以及垂線段最短是解題的關鍵.

34.（2022?陜西西安?陜西師大附中?？既＃┤鐖D，正方形2BCD中，AB=4,點E為邊BC上一動點，將

點A繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到點F,則DF的最小值為.

【答案】2近

【分析】4B上截取AG=EC,過點。作DH1CF交CF的延長線于點H,證明A4GEmAECF,是等腰

直角三角形，進而根據(jù)垂線段最短即可求解.

【詳解】如圖，上截取2G=EC,過點。作1CF交CF的延長線于點“，

?.?正方形力BCD中，AB=4,將點A繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到點F,

BG—BE

.?.△BEG是等腰直角三角形

???^AEF=90°,^ABE=Zf=90°,

???乙BAE+乙AEB=乙AEB+乙FEC=90°

???AGAE=/.BAE=乙CEF

AGE=△ECF

???/,AGE=乙ECF=135°

???乙DCF=45°

F在射線CF上運動，

則AOCH是等腰直角三角形，

???尸與H點重合時，DF取得最小值，等于DH='DC

■：DC=4

???DH=2V2

即DF的最小值為2a

故答案為：2金

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，垂線段最短，求得F的軌跡是解題的關鍵.

35.（2022?河北唐山?統(tǒng)考二模）如圖1,圖形/外一點P與圖形/上各點連接的所有線段中，若線段P4最

短，則線段P①的長度稱為點尸到圖形/的距離.

⑴觀察：如圖2中，線段P4的長度是點R到線段AB的距離；線段的長度是點到線段A3的距

離.

(2)如圖3,在平面直角坐標系中，點A、B、D的坐標分別為(2,1)、(3,2)、(5,0),直線AB與尤軸相

交于點C.點尸"0)(a>0)為無軸上一動點，設點P到線段AB的距離為d.

發(fā)現(xiàn)：①4BCD=。；

②若a=2,求d的值；

⑶嘗試：若d=&，求。的值；

⑷拓展：若點尸在線段。。上運動，且1為整數(shù)，請直接寫出a的值.

【答案】⑴P2H

(2)①45；②d=l

(3)a的值為1或3

⑷2一百或2或2加+1

【分析】(1)根據(jù)"直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”分析判斷即可；

(2)①利用待定系數(shù)法求直線的解析式，進而得到點C的坐標，過點A作AE0CO于點E,利用等腰

直角三角形的判定與性質(zhì)可得出結論；②利用新定義解答即可；

(3)利用分類討論的思想，分兩種情況：①當點P在點E左側時，②當點P在點E右側時，利用新定義

的意義解答即可；

(4)利用分類討論的思想，分三種情況：①點尸在點E左側時，②點尸與點E重合時，③點尸在點E

右側時，利用d為整數(shù)，令d=2、d=l、d=2,利用勾股定理求出線段PE、PC的長度，進而求得線段

0尸的長，則結論可得.

(1)

解：由"直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短"可知，線段「2”的長度是點P2到線段

的距離.

故答案為：P2H；

(2)

①設直線AB的解析式為y=kx+b,將點A(2,1)、B(3,2)代入,

可得｛盛［?=I，解得｛,=\，

13k+b=23=—1

團直線AB的解析式為y=%-1,

令y=0,則久-1=0,解得久=1,

0C(1,0),

團。C=1,

過點A作AE0s于點E,如圖1,則E(2,0),

BOE=2,AE—1,

團CE=OE-OC=1,

團4E=CE,

國乙BCD=/.CAE=45°.

故答案為：45；

②若a=2,點尸與點E重合，

團線段AE的長度為點P到線段AB的距離d,

圖1圖2

⑶

①當點尸在點E的左側時，PA的長為P到線段AB的距離d,

EL4c=yjAE2+CE2=立，d=V2,

回點尸與點C重合，

團a=1；

②當點P在點E的右側時，點P到線段AB的垂線段的長度為P到線段AB的距離d,

過點A作A/W18交x軸于點尸，如圖2,

0ZBCO=45°,

HCF=V2i4C=2,AF=AC=V2,

回點尸與點尸重合，

HOF=0C+CF=3,

HP(3,0),即0=3.

綜上所述，若d=VL。的值為1或3；

(4)

(4)①當點P在點E的左側時，E4的長為點尸到線段的距離4,

^\PA>AE,d為整數(shù)，

回當d=2時，即P4=2,如圖3,

0PE=y/PA2-AE2=V3,

HOP=OE-PE=2-43,

HP(2-V3,0),即a=2—V3；

②當點尸與點E重合時，PA=d=l,符合題意，

HP(2,0),即(7=2；

③當點P在點E的右側時，點P到線段AB的垂線段的長度為P到線段AB的距離d,

過點P作PH3A8于點H,如圖4,當d=2時，即PH=2,

HZBCD=45°,

0CP=42PH=2VL

HOP=0C+CP=2V2+1,

0a=2V2+1,

當d=3時，即PH=3,

HZBCD=45°,

0CP=五PH=3VL

HOP=0C+CP=3V2+1>5,不合題意.

綜上所述，若點P在線段0。上運動，且1為整數(shù)，則〃的值為2-,或2或2四+1.

圖3圖4

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖像上點的坐標的特

征、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，本題是閱讀型題目，理解并熟練應用新定義是解題關

鍵.

【考點8相交線與平行線】

36.（2022?江蘇蘇州?模擬預測）下列說法中正確的個數(shù)為（）

①在平面內(nèi)，兩條直線的位置關系只有兩種：相交和垂直；

②在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

③在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線平行；

④有限小數(shù)是有理數(shù)，無限小數(shù)是無理數(shù)；

⑤從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這個點到這條直線的距離.

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