江蘇省南通市區(qū)部分高中2024-2025學年高二下學期3月份質

量檢測數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

12

1.已知尸（用/）=丁尸（4）=1，則尸（45）等于（）

14廠9一5

A.—B.-C.—D.一

55104

2.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生,

則不同的選法共有（）

A.140種B.120種C.35種D.34種

3.在二項式（6-工］的展開式中，下列說法正確的是（）

A.常數項為「

B.各項的系數和為64

C.第3項的二項式系數最大D.奇數項二項式系數和為-32

棱長為2的正四面體/8CO中，點￡是/。的中點，則瓦5.詼=

B.-1C.V3D.-V3

5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為（）

A.-B.-C.!D.—

8424

6.在一個口袋中裝有大小和質地均相同的5個白球和3個黃球，第一次從中隨機摸出一個

球，觀察其顏色后放回，同時在袋中加入兩個與所取球完全相同的球，第二次再從中隨機摸

出一個球，則此次摸出的是黃球的概率為（）

試卷第1頁，共4頁

1

7.已知（1+1）（4_%）6=/+%^---Fa1x,若Qo+qH---1-tz7=0,貝|%=（）

A.-5B.-20C.15D.35

8.設二項式（〃eN*）展開式的二項式系數和與各項系數和分別為?！埃琤n,則

%+622H--+%

A.2"-1+3B.2（2"-1+1）C.2"+1D.1

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.50到9+1被7除后的余數為5

B.兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是g

C.已知A；=C：,貝lj"=8

45

D.從一批含有10件正品、4件次品的產品中任取3件，則取得2件次品的概率為

10.已知尸(/)=1,P(刃/)=；.若隨機事件4,2相互獨立，貝!!()

54

11-4-4

A.P⑻=gB.P(AB)=-C.P(A\B)=-D.P(A+B)=-

ii.正方體438-4耳的棱長為2,E為。。的中點，貝()

A.EBJgB.RE與NG所成角余弦值為巫

5

C.面/石2與面/BCD所成角正弦值為也D.C與面的距離為逅

53

三、填空題

12.在［瓶-j］的二項式中，所有的二項式系數之和為256,則常數項等于.

13.已知(6+工)"展開式中所有奇數項的二項式系數和為64,現(xiàn)將展開式中的各項重新排

X

列，則有理項互不相鄰的概率為.

14.某單位4男3女參加鄉(xiāng)村振興工作，這7人將被派駐到/,B,C3個鄉(xiāng)村進行鄉(xiāng)村振

興工作(每個鄉(xiāng)村至少派駐1人).若只考慮3個鄉(xiāng)村的名額分配，則有種不同的名

試卷第2頁，共4頁

額分配方式；若每個鄉(xiāng)村至少派駐1男1女兩位工作人員，且男性甲必須派駐到/鄉(xiāng)村,

則有種不同的派駐方式.(用數字填寫答案)

四、解答題

15.6位同學報名參加2022年杭州里運會4個不同的項目(記為4,B,C,D)的志愿者

活動，每位同學恰報1個項目.

(1)6位同學站成一排拍照，如果甲乙兩位同學必須相鄰，丙丁兩位同學不相鄰，求不同的排

隊方式有多少種？

(2)若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？

16.已知在的展開式中滿足。＞0,且常數項為?，求：

(1)二項式系數最大的項

(2)系數絕對值最大的是第幾項

(3)從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項，求共有多少種

不同的取法.

17.甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和3個紅球，丙袋中有4個白球和4

個紅球.先隨機取一只袋，再從該袋中先后隨機取2個球.

(1)求第一次取出的球為紅球的概率；

(2)求第一次取出的球是紅球的前提下，第二次取出的球是白球的概率.

18.如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面/BCD為正方形，PA=AB=2,PAL^ABCD,E、

尸分別為E4、的中點，直線/C與。尸相交于。點.

試卷第3頁，共4頁

(1)證明：尸8//平面。昉；

(2)求直線PC與平面尸所成角的正弦值；

⑶求二面角A-EO-D的余弦值.

19.已知/(無)=(1+x)"+1+2(1+x)"+2+…+依1+x)"+k+…+”(1+》了。,(〃eN*).

(1)當〃=3時，求〃無)的展開式中含d項的系數；

(2)證明：/(x)的展開式中含X"項的系數為(”+l)G；j；

(3)定義：=%+〃2+…+?，化簡：￡(1+i)c：.

z=lz=l

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省南通市區(qū)部分高中2024-2025學年高二下學期3月份質量檢測數學試卷》參考答

案

題號12345678910

答案ADAACBACBCBCD

題號11

答案AD

1.A

【分析】根據條件概率公式計算可得；

12121

【詳解】解：因為尸（耳/）=5，PQ）=M，所以尸（/2）=尸?尸（匈=M；

故選：A

2.D

【分析】先求選出4人參會，總的選法共有C；=35種，再計算全是男生的選法，做差即可

得結果.

【詳解】由題意得：選出4人參會，總的選法共有C；=35種，

選出4人均為男生的選法有C：=1種，

則4人中既有男生又有女生的選法共有C；-C：=34種，

故選：D.

【點睛】本題考查組合的應用，正難則反，巧妙運用間接法是解題的關鍵，考查分析理解，

計算化簡的能力，屬基礎題.

3.A

【分析】對于A,由二項式展開式，通過賦值即可得解；對于B,直接賦值即可得解；對于

C,由二項式系數的性質即可判斷；對于D,由奇數項、偶數項二項式系數的性質即可判斷.

【詳解】對于A,14-：；的展開式通項為

當廠=2時，常數項為選項A正確；

對于B,令x=l,得各項的系數和為（1一工［=工，選項B錯誤；

I2J64

對于C,展開式共7項，二項式系數最大應為第4項，故選項C錯誤；

答案第1頁，共11頁

26

對于D,依題意奇數項二項式系數和為C：+或+C：+C：=5=32,選項D錯誤.

故選：A.

4.A

【分析】由詼?醞=成?(9+西=詼?而+詼?瓦求解即可.

【詳解】CE=CA+AE，所以

BA-CE=BA-{CA+JE^=RA-CA+JA-AE=2<3<COS60+2<lxcosl20=1.

故選：A.

5.C

【詳解】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相鄰的情況有：所有排列為：A時=48,

甲和乙相鄰，丙和丁也相鄰的情況有：A；A；A；=24,

241

所以在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為一=-,

482

故選：C

6.B

【分析】借助全概率公式計算即可得.

【詳解】設事件A為第一次從中隨機摸出一個球的顏色為白色，

事件8為第二次再從中隨機摸出一個球是黃球，

則尸(5)=p(/)?尸(2卜)廿尸@口)

故選：B.

7.A

【分析】利用賦值法可求。的值，再利用二項式展開式的通項公式即可得解.

【詳解】令x=1,可得4+為H-----F%=+—I)，=2x(a—I)，=0,解得a=\,

(l+x)(a+=(1-x)6+x(l-x)6,

，展開式中x3的系數為C鼠-4+C；(-1)2=-20+15=-5.

故選：A.

答案第2頁，共11頁

8.C

【詳解】試題分析：由于二項式（x-g）"（〃eN*）展開式的二項式系數和與各項系數和分

別為巴,4,

2(1-2")

%+?+…+%_21+22+.??+2

則a”=2",b=2-n,所以1-2

n"+%+…+22T+2-+...+2-"一2、1一2-")

1-2-1

故選:C.

考點：二項式定理的應用；數列的求和.

9.BC

【分析】對于A利用二項式定理50如9=（49+1）如"展開即可判斷，對于B兩位男生和兩位女

生隨機排成一列共有A：種排法，利用插空法求兩位女生不相鄰排法有A；A；即可求概率，對

于C根據排列數和組合數公式即可求解，對于D先求從一批含有10件正品、4件次品的產

品中任取3件的取法，再求取得2件次品的取法即可求概率.

【詳解】對于A：由于50=49+1,所以

20192192019

50=（49+1）°=C°O1949+C就49如8+...+C濫49+C虢

=49（C除9492018+C就492017+.??+C就）+1,

所以5O2019+1=49（C如492018+C就492017+…+C就）+2,即50刈9+1被7除后的余數為2,

故A錯誤；

對于B：兩位男生和兩位女生隨機排成一列共有A：種排法，兩位女生不相鄰的排法有A；A；,

A2A21

則兩位女生不相鄰的概率為一號=彳，故B正確；

A42

對于C：由A：二C：可得=解得〃=8,故C正確；

3x2x1

對于D：從一批含有10件正品、4件次品的產品中任取3件，共有CM種取法，取得2件次

C2cl15

品共有C；C；。，則取得2件次品的概率為-^=而，故D錯誤.

故選：BC.

10.BCD

答案第3頁，共11頁

【分析】根據條件概率公式和獨立事件乘法公式即可判斷ABC,再根據

P(A+B)=P(A)+P{B)-P(AB)即可判斷D.

p(B\/)==P"B)=]_.pQB)=—

【詳解】對B,卬為p⑷j_4'('20，B正確；

5

對A,P(AB)=P(A)P(B)=-P(B),:.P(B)=~,A錯誤；

54

]_

對C,P(2JB)=PU)P(S)=^xl=l尸(刁8)=4^=C正確；

545P(B)工5

4

對D,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)尸(豆)[=1,D正確.

故選：BCD.

II.AD

【分析】本題建立空間直角坐標系，利用空間向量可解決線線垂直、異面直線所成的角的相

關問題、二面角的相關問題，以及解決空間一點到面的距離問題.

【詳解】根據題意建立如圖所示的空間直角坐標系A-平

正方體的棱長為2,易求4(2,0,0)、男(2,2,0)、G(0,2,0),2(0,0,0)、4(2,0,2)、8(2,2,2)、

C(0,2,2)、￡>(0,0,2),￡(0,1,2).

選項A：因為函=(2,1,-2),苑=(2,0,2),所以西.麗=(2,0,2>(2,1,-2)=0

所以函_LN萬，故A正確.

選項B：因為率=(0,1,2),AQ=(-2,2,-2),所以印?布=(0,1,2>(-2,2,-2)=-2,設

答案第4頁，共11頁

異面直線和NC所成的角為。，貝!|：cose^cos力E布卜麻.布I-2_屈

19H為「k-vfir記

故B不正確.

選項C：易求平面N8CZ)的法向量功0=(0,0,2).

設平面/E2的法向量為】=(x0,%,z。)，易求郎=(2,0,2),屏=(0,1,2),

%=1

，令，%=2,貝!I〃=(1,2,—1).

A=T

設平面AEDi與平面ABCD所成角為々，則

選項D：因為平面的法向量為)=(1,2,-1),無=(0,-1,0),

設到C平面的距離為1,向量而與法向量％的夾角為尸，

,_,,_,\CE-n\|CE?司、%

則：d=CE-cos/?=同=2-7=+，故選項D正確.

111CE.司\n\J63

故選：AD.

12.252

【解析】根據展開式中所有二項式系數的和等于2"=256,求得〃=8.在展開式的通項公式

中，令x的幕指數等于0,求得『的值，即可求得展開式中的常數項.

【詳解】?.?在［五

的二項式中，所有的二項式系數之和為256,

，2"=256,解得〃=8,

...當三二。，即「=2時，常數項為n=(-3『4=252.

故答案為：252.

答案第5頁，共11頁

【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系

數，二項式系數的性質，屬于中檔題.

1

13.—

14

【分析】利用二項式系數的性質求出“，再求出展開式的有理項項數，利用不相鄰的排列問

題求解即得.

【詳解】依題意，2"_=64,解得”=7,因此二項式(夜+冬)7的展開式共8項，

X

)7—3r

展開式的通項為=C；(6)7f(―Y=2，qx丁/eN*“W7，

X

當r=l,3,5,7時，4M是有理項，貝lj(6+馬7展開式的有理項共4項，

X

A4A41

所以將展開式中的各項重新排列，其中有理項互不相鄰的概率P=卡=-.

A%14

故答案為：4

14

14.15；72.

【分析】在7個名額中間的6個空位中插入2個隔板即可得空一；先將3女分到3個鄉(xiāng)村，

再將4男分成3組，將有甲的一組分到/鄉(xiāng)村，然后再分配剩余2組即可得空二.

【詳解】第一空，隔板法，將7個名額排成一排，在除去兩端的6個空位中選擇2個空位插

入隔板，

共有C：=15種分配方式；

第二空，先將3女分配到3個鄉(xiāng)村，有A；=6種，

再將4男分成3組，有空5

=6種，將有男性甲的一組分配到/鄉(xiāng)村有1種,

然后將剩余兩組分配到其他兩個鄉(xiāng)村，有A；=2種分法,

所以共有6x6x1x2=72種分配方式.

故答案為：15；72.

15.(1)144

(2)1560

【分析】(1)利用捆綁法和插空法即可求解；

(2)將6為同學分成4組，計算每一類的情況即可.

答案第6頁，共11頁

【詳解】（1）根據題意，第一步：把甲乙看成整體和除丙丁外的兩位同學排列有A；A；種排

法,

第二步：再把丙丁插空排列有A；種排法,

所以共有A；A；A；=144種排法；

（2）先將6為同學分成4組，按人數分有1,1,1,3和1,1,2,2種分法:

C&c：c；

第一類:按1,1,1,3分法有?A：種分法;

A；

010202

第二類：按1,1,2,2分法有?A：種分法;

A；A；

c?c；c；CCc；c；

所以共有:■A：+?A：=1560種分法.

所以一共有1560種不同報名方式.

63-

16.（1）--%2

8

⑵8

（3）135

【分析】（1）寫出二項展開式的通項并令％的指數為0,利用常數項為年45即可求得

4

進而可求解；

（2）由系數絕對值最大的項等價于（晟+￡|'°系數最大的項，結合不等式求解即

可；

（3）由通項可知展開式中有理項共有6項，無理項有5項，再利用分類分步計數原理即可

求得結果.

/x10-A5

【詳解】⑴根據展開式的通項可得兀|=（-以（Cf/"

令20—1■左=0,解得后=8

即左=8時，常數項=

解得a=1

答案第7頁，共11頁

5竺15

563T

所以二項式系數最大的項T6=c；0（-i）||

8

(2)系數絕對值最大的項等價于系數最大的項;

設第左+1項系數最大,

3左219

即又左￡Z,

3k<22

所以左=7,

即第8項系數最大，也即-亡］展開式中第8項系數絕對值最大.

（3）令20-*左=機，mGZ,解得左=0,2,4,6,8,10,

2

即展開式中的有理項共有6項，無理項有5項；

所以從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項的取法共有

Cg+C泣=135種;

17.（1*

62

（2）----

v105

【分析】（1）合理設出事件，利用全概率公式進行求解；（2）結合第一問的求解，設出事件,

用全概率公式和條件概率公式進行求解.

【詳解】（1）設第一次取出的球為紅球為事件4取到甲袋、乙袋、丙袋為事件呂，當，B3,

則°（耳）=2（當）=?（四）=?，由全概率公式可得：

JjJJoJ2

（2）設第二次取出的球是白球為事件C,由全概率公式可得：

p（AC）=p（AC\Bl）p（Bl）+p（AC\B2）p（＜B2）+p（AC\B3）p（B3）

答案第8頁，共11頁

23132144131

=—X—X—+—X—X—+—X—X—=------,

543543873105

31

°(/C)=io5=62

所以p(C|4)=

p(A)—1-105

2

18.(1)證明見解析

V93

V62

【分析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面?！晔囊粋€法向量，計算得出通

與平面的法向量垂直，再由線在面外，得線面平行；

(2)求出直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦值后可得所求線面角的正弦值；

(3)用二面角兩個面的法向量的夾角求解二面角.

【詳解】(1)解：以/民/2/P為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖，

則40,0,0),5(2,0,0),C(2,2,0),。(0,2,0),尸(0,0,2),￡(0,0,1),尸(1,0,0),

設平面DE尸的法向量為％=("/),礪而=(1,-2,0),

―—,一fx-z=0

,**EF_Ln，DF_L〃，:?J八，

[x-2oy=0

取3=(2,1,2)；

又麗=(2,0,-2),

***PB-n=4—4=0

工麗_Ll，PBt面DEF,所以尸5//平面。EE

答案第9頁，共11頁

—"-pc,YIy/3

(2)?.?定=(2,2,-2),，cos〈尸C,”>=同同=q,設直線PC與平面所成角為巴

則

sin0=|cos<PC,H>|=-

-------?UUlttULU

(3)SO=(-2,2,0),AC=(2,2,0),AP=(0,0,2),

BDAC^0>RDAP=Q^所以面/E。的法向量為麗=(-2,2,0),

_~~-BD-n5/2

面DEO的法向量為n=(2,1,2),Acos<BD,n>］而嗣