遼寧省沈陽市2024-2025學(xué)年七年級下學(xué)期數(shù)學(xué)診斷試題

（第一、第二章）

一、單選題

i.氣凝膠是一種具有納米多孔結(jié)構(gòu)的新型材料，質(zhì)量輕、隔熱能力強(qiáng)，可應(yīng)用于航天、軍工、建

筑等領(lǐng)域，氣凝膠顆粒尺寸通常小于S00000002m.數(shù)據(jù)“0.00000002m，，用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A.2xl0-8mB.0.2xl0-8mC.0.2x107mD.2義10-7m

【正確答案】A

【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axl（T,其中1＜忖＜10,n為由

原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【詳解】解：0.00000002m=2xl0-8m.

故選：A.

2.下列運算正確的是（）

A.x2+x2=2x4B.a6=a2C.（2a）=2a"D.（a,=a6

【正確答案】D

【分析】本題考查了合并同類項，同底數(shù)幕的除法，積的乘方，幕的乘方，根據(jù)合并同類項，同

底數(shù)幕的除法，積的乘方，幕的乘方運算法則逐一判斷即可求解，熟練掌握其運算法則是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：A、X2+X2=2X2;原選項運算錯誤，不符合題意；

B、?6-o3=a\原選項運算錯誤，不符合題意；

C、（2?）2=4?2,原選項運算錯誤，不符合題意；

D、（?2）3=a6,原選項運算正確，符合題意；

故選：D.

3.如圖，圖中陰影部分是由兩個正方形組成.若兩個正方形面積的和與周長的和分別為20、24,

則圖中空白部分的面積共等于（）

B.18C.16D.14

【正確答案】C

【分析】本題考查完全平方公式的變形.設(shè)大正方形的邊長為x,小正方形的邊長為y,根據(jù)題意

得：4x+4y=24,x2+y2=20,然后得出2孫=16即可.

【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長為x,小正方形的邊長為y,

根據(jù)題意得：4x+4y=24,x2+y2=20,

:.x+y-6,

'：x2+j2=（x+y）2-2xy=20，

二.2孫=16,

「空白部分的面積為2盯，

???空白部分的面積共等于16,

故選：C.

4.已知（X-1）（2X+Q）不含x的一次項，則a的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【正確答案】D

【分析】本題考查了多項式乘多項式，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.先根據(jù)多項式乘多項式法

則展開，再根據(jù)不含x的一次項，得到。-2=0,即可求出a的值.

【詳解】解：=2x2+ax-2x-a=2x2,

若（x—l）（2x+a）不含x的一次項，

則a—2=0,

解得：a=2,

故選：D.

5.如圖，4B,C,。四點在直線/上，點M在直線/外，MC，/,若M4=5cm,M5=4cm,

MC=2cm,則點M到直線/的距離是（）

ABCD

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【正確答案】A

【分析】本題考查了點到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離的定義即可求解，理解定義是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：,MC=2cm,

.1.點M到直線I的距離是2cm,

故選：A.

6.已知N2是N1的余角，且/1=15°，則N2的補(bǔ)角等于（）

A.125°B.115°C.105°D.95°

【正確答案】C

【分析】本題主要考查了互余角關(guān)系、互補(bǔ)角關(guān)系，會用互為余角、互為補(bǔ)角求解是解題的關(guān)鍵.

先利用互余求出N2,再求出N2的補(bǔ)角.

【詳解】解：；知N2是N1的余角，且/1=15°，

Z2=90°-Zl=90°-15°=75°,

/.Z2的補(bǔ)角=180°-Z2=180°-75°=105°.

故選：C.

7.如圖，小菲同學(xué)的周末作業(yè)被調(diào)皮的弟弟給撕掉了一個角，作業(yè)上的問題變成了一個不全的題

目.根據(jù)小菲同學(xué)記錄的內(nèi)容，可得到被除式應(yīng)該為（）

J+（5xy）=2x+y

A.-10x2j+5xy2B.-10x2y-5xy2C.10x2y-5xy2D.

10x2j+5xy2

【正確答案】B

【分析】本題主要考查了整式乘除運算，熟練掌握多項式乘單項式乘法運算法則，是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)被除式=除式x商，求出結(jié)果即可.

【詳解】解：被除式應(yīng)該為：

（2x+y）?（-5中）=-10x2y-5xy2.

故選：B.

8.如圖為一個彎折的鐵絲，ZABC=a,工人師傅對該鐵絲進(jìn)一步加工，在。處進(jìn)行第二次彎

折，最終保證彎折后的部分與48保持平行，那么彎折后形成的N5CD=（）

B.180°-(z

C.90°—aD.。或180°—a

【正確答案】D

【分析】本題主要考查平行的性質(zhì)，熟練掌握平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行的性質(zhì)進(jìn)行推

理即可.

【詳解】解：根據(jù)平行線的性質(zhì)，當(dāng)點。在C點左側(cè)時，/BCD=a,

當(dāng)點。在。點右側(cè)時，ZBCD=180°-a,

故選：D.

9.如圖，下列推理不正確的是（）

A.VN4+ZADC=180°,/.AB\\CDB.VAD//BC,Z3=Z4

C.VZ1=Z2,，AD//BCD.VAB//CD，ZABC+ZC=180°

【正確答案】B

【分析】本題考查平行線的知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)，進(jìn)行解答，即可.

【詳解】解：A>■：ZA+ZADC^180°,J.AB^CD,同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，正確;

B>-：AD\\BC,.-.Z1=Z2,兩直線平行，內(nèi)錯角相等，錯誤;

C,VZ1=Z2,：.AD\\BC,內(nèi)錯角相等，兩直線平行，正確；

D.'：AB^CD,：.ZABC+ZC=180°,兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，正確;

故選：B.

10.將一副三角板按如圖所示方式擺放在一張對邊平行的長方形紙片上，其中含30°角的直角三

角板的斜邊與紙片一邊貼合，含45。角的直角三角板的一個頂點與含30。角的直角三角板的直角

頂點重合，且兩個直角三角板的一條直角邊貼合，而含45。角的直角三角板的另一個頂點恰好落

在紙片的另一邊上，那么N1的度數(shù)是（)

C.30°D.45°

【分析】本題考查三角板中角度的計算，平行線的性質(zhì),過點E作EF〃4B,進(jìn)而得到EF||CD,

根據(jù)平行線的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，過點E作斯〃45,由題意，得：^HEG=45°,ZEGD=30°,AB//CD,

J.EF//AB//CD,

/.NHEF=Zl,NFEG=ZEGD,

ZHEG=ZHEF+ZGEF=Z1+ZEGD,

：.Zl=ZHEG-/EGD=15°；

故選B.

二、填空題

11.數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活.下列各選項中能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象有

①測量跳遠(yuǎn)成績②木板上彈墨線③彎曲河道改直④兩釘子固定木條

【正確答案】1

【分析】本題考查了垂線段最短，線段的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短，線段的性質(zhì)分別判斷即可.熟

記垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①測量跳遠(yuǎn)成績是求腳后跟到起跳線的距離，數(shù)學(xué)常識為垂線段最短，故該選項符

合題意；

②木板上彈墨線，能彈出一條筆直的墨線，數(shù)學(xué)常識為兩點確定一條直線，故該選項不符合題意;

③彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數(shù)學(xué)常識為兩點之間，線段最短，故該選項不符合題意；

④彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數(shù)學(xué)常識為兩點之間，線段最短，故該選項不符合題意；

故能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象有1個，

故1.

12.若（一7加+2）（4〃+8）=16〃2-49加之，貝！IA=,B=.

【正確答案】①.4n②.7m

【分析】根據(jù)平方差公式的特點進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：16〃2-49川=（4"+7加）（4〃-7加），

，即可得A=4n,B=7m,

故4n,7m.

本題考查了平方差公式，熟知/+〃=（4+6）3—6）是解本題的關(guān)鍵.

13.如圖，AB//CD,直線EE分別交28、CD于點、E、F,EG平分/&EF,Nl=39。,

則Z2的度數(shù)為.

【正確答案】102。或102度

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和角

平分線的定義.根據(jù)48〃。?？傻?/￡3=/1=39。，由EG平分//￡尸可得

ZAEF=2ZAEG=78°,最后根據(jù)平角的定義求解.

【詳解】解：：45〃CD,

Zl=ZAEG=39°,

又：EG平分N4EF,

：.ZAEF=2ZAEG=2x39°=78°,

Z2=180°-ZAEF=180°—78。=102。，

故102。.

14.用簡便方法計算20252-4050x2024+20242的結(jié)果是.

【正確答案】1

【分析】本題考查了完全平方公式，先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再求出答案即可.

【詳解】解：20252—4050x2024+20242

=2025?-2x2025x2024-20242

=（2025-2024）2

=12

二1.

故1.

15.一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架48與吊線尸G平行，燈桿CD與底部支架4B所成

銳角a=14°.頂部支架EF與燈桿CD所成銳角夕=43。，則EF與FG所成銳角的度數(shù)為.

【正確答案】57°##57度

【分析】本題考查了平行線判定和性質(zhì)，平行公理的推論.過點E作EH〃AB,可得

AB//EH//FG,即得NB￡〃=Na=14。，NFEH+NEFG=180。,根據(jù)/尸=43。求出

即可.

【詳解】解：過點、E作EH〃AB,

?：AB//FG,

：.AB//EH//FG,

ABEH=a=14°,/FEH+ZEFG=180°,

?"=43。,

.,^7^7/=180°-43°-14°=123°,

ZEFG=180°-ZFEH=180°-123°=57°,

EF與FG所成銳角的度數(shù)為為57°,

故57。.

三、解答題

16.計算：

(1)已知10a=3，10"=2，求103m-2"的值.

(3)(-3")-2a2a4；

(4)(m-/7+3)(7n+M-3).

27

【正確答案】(1)—

4

(2)2

⑶7a6

(4)m2-n~+6n-9

【分析】（1）先利用同底數(shù)幕除法的逆運算和幕的乘方的逆運算恒等變形，再將10"'=3,10"=2

代入求解即可得到答案；

（2）先計算乘方運算、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞運算，再由積的乘方的逆運算恒等變形后求解即可得到答案;

（3）先計算積的乘方運算、幕的乘方運算及同底數(shù)塞的乘法運算，再合并同類項即可得到答案;

（4）先將（加一"+3）（機(jī)+〃-3）恒等變形為［加-［陽+（〃-3）］,再由平方差公式及完

全平方差公式展開即可得到答案.

【小問1詳解】

解：：10"'=3，10"=2,

103m_(10m)3_33_27

記一(10"J一吸：

【小問2詳解】

=2x1

=2；

【小問3詳解】

解：(-3a1一2/.(/

=9八2/

=7d；

【小問4詳解】

解：(優(yōu)―〃+3)(加+〃-3)

=[加-(〃-3)][加+(〃-3)]

=加2一(“_3)-

=m2-("2-6〃+9)

=m2-772+6n-9■

本題考查綜合計算，涉及同底數(shù)嘉的乘法運算、同底數(shù)塞除法的逆運算、幕的乘方運算及其逆運

算、乘方運算、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕運算、積的乘方運算及其逆運算、合并同類項、平方差公式及完全

平方差公式等知識，熟練掌握相關(guān)運算法則是解決問題的關(guān)鍵.

17.先化簡，再求值：已知a、b滿足6—a=—2025,求代數(shù)式：

[(a+b)(a—b)—(a——2b(b—a)]+4b的值.

【正確答案】a-b,2025

【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據(jù)平方差公式，完全平方公式，單項式乘以多項

式的計算法則去括號，然后合并同類項，再根據(jù)多項式除以單項式的計算法則化簡，最后利用整

體代入法求解即可.

【詳解】解：+—26(6—a)]+46

=[(/_/)—(/_2ab+b2)-2b2+2"卜4b

=(a2-b2-a2+2ab-b2-2b-+2ab)-i-4b

=(4ab-4町+46

—a—b,

?：b-a--2025

：.a-b=2Q25,即原式=2025.

18.如圖，是6x6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點為格點，線段48的兩個端點及點C均在

格點上.

(1)過點C作AB的平行線EF.

(2)過C點作線段48的垂線，交48于H.

(3)點D是線段48與網(wǎng)格線的交點，連結(jié)CD,CB,比較線段CD,CH,C8的大

小：，理由是

【正確答案】(1)見詳解(2)見詳解

(3)CH<CD<CB；垂線段最短

【分析】此題考查了作圖-平行線；作圖-垂線；線段的長短比較;

(1)根據(jù)作圖-平行線結(jié)合題意畫圖即可求解；

(2)根據(jù)作圖-垂線結(jié)合題意畫圖即可求解；

(3)根據(jù)線段的比較結(jié)合題意填空即可求解.

【小問1詳解】

故CH<CD<CB；垂線段最短.

19.如圖，Z1=ZACB,Z2=Z3,求證：ZBDC+ZDGF=180°.

【正確答案】見解析

【分析】若證/BDC+/DGF=180。，則可證GF、CD兩直線平行，利用圖形結(jié)合已知條件能證明.

【詳解】解：：N1=/ACB,

:.DE〃BC,

.\Z2=ZDCF.

VZ2=Z3,

，/3=NDCF,

.?.CD/7FG,

.,.ZBDC+ZDGF=180°.

20.從邊長為。的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1）,然后將剩余部分拼成一個長方

形（如圖2）,

圖2

（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的一個）

A.a2-2ab+b2=^a-by

B.ci~—b~=（a+6）（a—b）

C.cr+ab=a（a+b^

（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下題：

已知x?—4y2=12,x+2y=4,求x—2y的值.

【正確答案】（1）B（2）3

【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，運用平方差公式計算，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正

確解答的關(guān)鍵.

（1）分別用代數(shù)式表示圖1、圖2陰影部分的面積即可；

（2）令a=x,b=2y,根據(jù)（1）中的公式得至I]/一4了2=（》+2y）（x—2y）,再將f-4/=12,

x+2y=4代入計算，即得答案.

【小問1詳解】

解：圖1陰影部分可以看作兩個正方形的面積差，即/一拼成的圖2是長為a+6,寬為a-b

的長方形，因此面積為（a+?（a—

ci_b=(q+6)(a—b).

故選：B.

【小問2詳解】

解：根據(jù)(1),令。=X，b=2y,

貝Ux2-4y2=(%+2y)(x-2y),

當(dāng)爐一4>2=12,x+2y=4時，12=4(x—2y),

21.［問題情境］

在綜合實踐課上，老師組織班上的同學(xué)開展了探究兩角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動，如圖1,已知

直線AB〃CD,點、E、G分別為直線45、CD上的點，點廠是平面內(nèi)任意一點，連接斯、GF.

圖1

［探索發(fā)現(xiàn)］

(1)當(dāng)//=60°時，求證：ZAEF+ZFGC=60°；

［拓展探究］

(2)如圖2點P、。分別是直線CD上的點，且ZPFQ=ZEFG=90°,直線MN〃FG，交

FQ于點K,“智勝小組”探究NEKN與NPEE之間的數(shù)量關(guān)系.請寫出它們的關(guān)系，并說明理

由.

【正確答案】(1)證明過程見詳解

(2)ZFKN=ZPFE,理由見詳解

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)如圖所示，過點F作EH〃4B，可得AB〃FH〃CD,由平行線的性質(zhì)得到

ZAEF=NEFH,ZHFG=NFGC,根據(jù)ZEFH+ZFGH=ZEFG=60°,即可求解;

(2)^ZFKM=ZNKQ=x,則NEKN=180?！狽E"=180°—x,根據(jù)平行線的性質(zhì)，角

的和差關(guān)系得到NPFE=ZPFQ+NEFK=180°-%,由此即可求解.

【詳解】解：（1）證明：如圖所示，過點F作EH〃4B,

■：AB//CD,

AB//FH//CD,

：.ZAEF=NEFH,ZHFG=ZFGC,

?1,ZEFH+ZFGH=ZEFG=60°,

ZAEF+ZFGC=60°；

(2)ZFKN=ZPFE,理由如下，

設(shè)NFKM=NNKQ=x,

：.ZFKN=1800-ZFKM^180°-x,

?：MN//FG,

：.ZFKM=ZGFK=x,

?：ZPFQ=ZEFG=90°,

ZEFK=ZEFG-ZGFK=90°—x,

NPFE=ZPFQ+ZEFK=180°-x,

ZFKN=ZPFE.

22.【背景閱讀】在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)?？梢岳脠D形的面積關(guān)系理解代數(shù)公式，使抽象的

數(shù)量關(guān)系直觀化.

圖I圖2圖3

【問題解決】

(1)填空：根據(jù)圖1所示圖形的面積關(guān)系，可以寫出的一個乘法公式是;

(2)如果圖2中陰影部分的面積為25,一個小長方形的面積為14,求a+6的值；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,有兩個正方形A,B,現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得到圖甲，將A,B并列放置后構(gòu)造新

的正方形得到圖乙.設(shè)正方形A的邊長為x.正方形B的邊長為y(x〉y〉O),且圖甲和圖乙中

陰影部分的面積分別為4和30.現(xiàn)將三個正方形A和兩個正方形B如圖丙擺放，求圖丙中陰影部

分的面積.

(4)(x—300)(200—x)=1996時，求(2x—500『的值.

【正確答案】(1)[a+b^=a2+2ab+b\(2)a+b=9；(3)76；(4)2016

【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵.

(1)從“整體”和“部分”兩個方面分別用代數(shù)式表示圖1的面積即可；

(2)根據(jù)圖2可得+=(a—b『+4仍，再將(a—b『=25,劭=14代入計算即可；

(3)由圖甲和乙中陰影部分的面積分別為4和30得到—=4,盯=15,求得>=2,

x+y=8,再根據(jù)S陰影部分=x2-j2+4孫代入計算即可；

(4)根據(jù)(a+b)2=(a—b『+4ab求解即可.

【詳解】解：(1)圖1中大正方形的邊長為a+6,因此面積為(a+b『，

2

拼成圖1的四個部分的面積和為/+2ab+b>

所以有+=/+2。6+/,

故(a+b)-=a2+2ab+b2；

(2)圖2中，大正方形的邊長為a+b,因此面積為(a+b『，

陰影部分是邊長為a-6的正方形，因此面積為(a-bp,四個空白長方形的面積和為4曲，

所以有(a+b)~=(a-6)~+4ab，

:圖2中陰影部分的面積為25,一個小長方形的面積為14,

=25,ab=14f

???(。+與2=25+56=81,

?：a>b>0,

「?a+6=9；

(3)??,圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為4和30,即(x—y『=4,

(x+j/)2-x2-y2=2xy=30,

(x+y)2=(、一?+4肛=4+60=64,xy=15,

*：x>y>0,

：.x-y=2,x+y=S；

jS圖丙陰影部分二(2x+y)-3x2-2y2

—4%2+4xy+y2—3x2—2y2

=x2-y2+4xy

=(x+y)(x-y)+Axy

=8x2+60

=16+60

二76.

(4)x-300,6=200-x,

由(2)知，(a+/?)2=(。一6)2+4[力，

(2x-500)2=[(x-300)-(200-x)]\

=[(X-300)+(200-X)]2-4(X-300)(200-X)

=(-100)2-4x1996

=2016.

23.已知，AB〃DE,點、C在AB上方,連接BC、CD.

cHC

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若N48C=145°,ZEDC=116°,求N5CD的度數(shù)；

(2)如圖2,過點C作CR_LBC交￡￡＞的延長線于點F,寫出/4B。和NR之間的數(shù)量關(guān)系;

(3)如圖3,在(2)的條件下，NCED的平分線尸G交CQ于點G,連接G5并延長至點H,

若BH平分NABC,求N8G。—NCGR的值.

【正確答案】(1)ZBCD=29°

(2)ZABC-ZF=90°

(3)NBGD—NCGF=45°

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，垂線，